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第 56 讲 带电粒子在电场中的直线运动
1．（2022•广东）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了 1923年的诺
贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上
极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两
个质量均为m 、位于同一竖直线上的球形小油滴 A和B，在时间t内都匀速下落了距离h 。此
0 1
时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运
动。B在匀速运动时间t内上升了距离h （h ≠h ），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继
2 2 1
续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝k 1v，其中k为比例系数，
m3
m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h 电势能的变化量；
2
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
一.知识回顾
1．带电粒子在匀强电场中的运动加速问题
分析带电粒子加速问题的两种思路：
(1)利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式来分析；适用于匀强电场且涉及运动时间等描述
运动过程的物理量的情景。
(2)利用静电力做功结合动能定理来分析；适用于涉及位移、速率等动能定理公式中的物理量或
非匀强电场的情景。
2 带电粒子(体)在电场中的直线运动
1.带电粒子(体)在电场中运动时是否考虑重力的处理方法
(1)基本粒子：如电子、质子、α粒子、离子等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都不考虑
重力(但并不忽略质量)。(2)带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有明确的暗示以外，一般都要考虑重
力。
3．做直线运动的条件
(1)粒子所受合力F ＝0，粒子静止或做匀速直线运动。
合
(2)粒子所受合力F ≠0，且合力与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做变速直线运动。
合
4．解题思路
(1)用动力学观点分析
Eq＋F ＝ma，E＝(匀强电场)，v2－v＝2ad(匀变速直线运动)。
其他
(2)用功能观点分析
①匀强电场中：W ＝Eqd＝qU，W ＋W ＝mv2－mv。
电 电 其他
②非匀强电场中：W ＝qU，W ＋W ＝E －E 。
电 电 其他 k2 k1
二.例题精析
例1．如图所示，两个相同的平行板电容器均与水平方向成 角放置，两极板与直流电源相连。若
带电小球分别以速度v 沿边缘水平射入电容器，均能沿图θ中所示水平直线恰好穿出电容器，穿
0
出时的速度分别为v 和v 。下列说法正确的是（ ）
1 2
A．小球运动时间相等
B．小球的速度满足关系2v 2＝v 2+v 2
0 1 2
C．小球的速度满足关系v ＝v ＝v
0 1 2
D．两电容器极板间的电压不相等
例2．如图所示，三块平行放置的带电金属薄板A、B、C中央各有一小孔，小孔分别位于O、M、
P点。由O点静止释放的电子恰好能运动到P点。现将C板向右平移到P′点，则由O点静止释
放的电子（ ）
A．运动到P点返回B．运动到P和P′点之间返回
C．运动到P′点返回
D．穿过P′点
三.举一反三，巩固练习
1. 如图，一平行板电容器连接在直流电源上，电容器的极板水平，两微粒a、b所带电
荷量大小相等、符号相反，使它们分别静止于电容器的上、下极板附近，与极板距离相等。现
同时释放a、b，它们由静止开始运动，在随后的某时刻t，a、b经过电容器两极板间上半区域
的同一水平面，a、b间的相互作用和重力可忽略。下列说法正确的是（ ）
A．在t时刻，a和b的电势能相等
B．在t时刻，a的动能比b的大
C．a的质量比b的大
D．在t时刻，a和b的加速度大小相等
2. 如图所示，一带负电的粒子以初速度v进入范围足够大的匀强电场E中，初速度方向
与电场方向平行，粒子不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子一直做匀加速直线运动
B．粒子一直做匀减速直线运动
C．粒子先做匀减速直线运动，再反向做匀加速直线运动
D．粒子先做匀加速直线运动，再反向做匀减速直线运动
3. （多选）如图，绝缘座放在光滑水平面上，间距为 d的平行板电容器竖直固定在绝缘
座上，A板有小孔O，水平绝缘光滑杆穿过O固定在B板上，电容器、底座和绝缘杆的总质量
为M。给电容器充电后，一质量为m的带正电环P套在杆上以某一速度v ，对准O向左运动，
0
d
在电容器中P距B板最近的位置为S，OS= 。若A、B板外侧无电场，P过孔O时与板无接
2触，不计P对A、B板间电场的影响。则（ ）
A．P在S处的速度为0
md
B．P从O至S的过程中，绝缘座的位移大小为
2M
md
C．P从O至S的过程中，绝缘座的位移大小为
2(M+m)
D．P从O至S的过程中，整个系统电势能的增加量为
mMv2
0
2(M+m)
4. （多选）如图所示，在xOy平面内有匀强电场，半径为R的圆周上有一粒子源P，以
相同的速率v 在平行于圆周面内沿各个方向发射质量为m、带电量为+q的微粒，微粒可以到
0
达圆周上任意一个位置。比较到达圆上各个位置的微粒，发现到达Q点的微粒的动能最小，从
C点离开的微粒的机械能最大，已知∠BOP＝30°，∠AOQ＝37°，取重力加速度为 g，取
sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取最低点D所在水平面为零重力势能面，不计空气阻力及带电微粒
间的相互作用。则（ ）
√3mg
A．匀强电场的电场强度大小为 ，方向沿y轴负方向
3q
4mg
B．匀强电场的电场强度大小为 ，方向沿x轴负方向
3q1 √3 5
C．通过D点的微粒动能为 mv 2+（ + ）mgR
0
2 2 3
2mgR
D．微粒从P点运动到Q点过程中电势能增加
5
5. 如图所示，ACB是一条足够长的绝缘水平轨道，轨道CB处在方向水平向右、大小E
＝1.0×106N/C的匀强电场中，一质量m＝0.25kg、电荷量q＝﹣2.0×10﹣6C的可视为质点的小物
体，从距离C点L ＝6.0m的A点处，在拉力F＝4.0N的作用下由静止开始向右运动，当小物
0
体到达C点时撤去拉力，小物体滑入电场中。已知小物体与轨道间的动摩擦因数 ＝0.4，g取
10m/s2．求： μ
（1）小物体到达C点时的速度大小；
（2）小物体在电场中运动的时间。
6. 多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，
从离子源A处飘出的离子初速度不计，经电压为U的匀强电场加速后射入质量分析器。质量
分析器由两个反射区和长为l的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当
离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电
场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即
将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏B上被探测到，可测得离子从A到B
的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为q，不计离子重力。
（1）求质量为m的离子第一次通过漂移管所用的时间T ；
1
（2）反射区加上电场，电场强度大小为E，求离子能进入反射区的最大距离x；
（3）已知质量为m 的离子总飞行时间为t ，待测离子的总飞行时间为t ，两种离子在质量分析
0 0 1
器中反射相同次数，求待测离子质量m。7. 反射式速调管是常用的微波器件之一，它利用电子团在电场中的振荡来产生微波，其
振荡原理与下述过程类似．如图所示，在虚线MN两侧分别存在着方向相反的两个匀强电场，
一带电微粒从A点由静止开始，在电场力作用下沿直线在A、B两点间往返运动．已知电场强
度的大小分别是E ＝2.0×103N/C和E ＝4.0×103N/C，方向如图所示，带电微粒质量m＝1.0×10
1 2
﹣20kg，带电量q＝1.0×10﹣9C，A点距虚线MN的距离d ＝1.0cm，不计带电微粒的重力，忽略
1
相对论效应．求：
（1）B点距虚线MN的距离d ；
2
（2）带电微粒从A点运动到B点所经历的时间t．
