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选择题考点专项 10 平衡状态下的“临界与极值”
问题
1.(拉力的最大值)如图所示，一物体在三根不可伸长的轻绳的作用下处于静止状
态，ac轻绳与竖直方向成37°角，bc轻绳与竖直方向成53°角，已知ac轻绳与
bc轻绳能够承受的最大拉力均为 20 N，cd轻绳能够承受足够大的拉力，g＝10
m/s2，sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8。则所挂重物的最大质量为( )
A.1.6 kg B.2.4 kg
C.2.5 kg D.2.8 kg
2.(推力的最小值)如图所示，装御工人利用斜面将一质量为m，可近似为光滑的
油桶缓慢地推到汽车上。在油桶上移的过程中，人对油桶推力的方向由水平方
向逐渐变为与水平方向成60°角斜向上，已知斜面的倾角为θ＝30°，重力加速
度为g，则关于工人对油桶的推力大小，下列说法正确的是( )
A.不变 B.逐渐变小
C.逐渐变大 D.最小值为
3.(高度的最小值)某幼儿园要在空地上做一个如图所示的滑梯，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为 6 m。设计时，滑梯和儿童裤料之间的动摩擦因数取
0.3，则滑梯的高度至少为( )
A.1.4 m B.1.8 m
C.2.0 m D.2.4 m
4.(滑动临界问题)一本质量为m的书平放在水平桌面上，将一张A4纸夹在书页
间，如图所示。已知书与桌面间的动摩擦因数为 μ，A4纸与书页间的动摩擦因
数为4μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A4纸的质量忽略不计。现有一水平
向右的力F作用于A4纸上，若要使书与A4纸一起运动，则A4纸上面书页的
质量应至少大于( )
A. B.
C. D.
5.(滑动临界问题)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为
m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和
轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为 45°时，物块A、B刚好要滑动，
则μ的值为( )
A. B.
C. D.
6.(分离临界问题)如图所示，两木块的质量分别为 m 和m ，两轻质弹簧的劲度
1 2系数分别为k 和k 。上面的木块压在上面的弹簧上(但不拴接)，整个系统处于
1 2
平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧。上述过程中，
m 木块移动的距离x 和m 木块移动的距离x 分别是( )
1 1 2 2
A.x ＝m g，x ＝
1 1 2
B.x ＝m g，x ＝
1 2 2
C.x ＝，x ＝m g
1 2 2
D.x ＝，x ＝m g
1 2 1
7.(函数法求极值)(多选)日常生活中，放在水平地面上的箱子可能被拖着运动，
也可能被推着运动。一箱子和水平面之间的动摩擦因数为μ，且μ<1，对箱子施
加一外力F，方向与水平面的夹角为θ，下列说法正确的是( )
A.用斜向上的力拉箱子匀速运动，当tan θ＝μ时最省力
B.用斜向上的力拉箱子匀速运动，当tan θ＝时最省力
C.用斜向下的力推箱子，当tan θ>μ时不可能推动箱子
D.用斜向下的力推箱子，当tan θ>时不可能推动箱子微专练10 平衡状态下的“临界与极值”问题
1．C [对结点c受力分析，由共点力平衡条件可得 F ＝mgsin 37°＝0.6mg，
Tbc
F ＝mgsin 53°＝0.8mg，可知F >F ，则ac轻绳承受的最大拉力为20 N时，
Tac Tac Tbc
此时重物悬挂质量最大，则有m＝＝ kg＝2.5 kg，故C正确。]
2．D [分析油桶的受力情况，油桶受重力、斜面的支持力和推力，因油桶缓慢
地推到汽车上，处于动态平衡状态，由三角形定则作出力的动态变化过程，如
图所示，当水平推力F由水平方向逐渐变为与水平方向成60°角斜向上的过程中，
推力先变小后变大，最小时推力 F和支持力F 垂直，即沿斜面方向，最小值为，
N
故D正确。]
3．B [设滑梯与水平面的夹角为 θ，重力在滑梯上分解成两个方向的力，垂直
于滑梯的力等于mgcos θ，平行于滑梯的力等于mgsin θ；儿童在滑梯上能滑下，
满足mgsin θ≥μmgcos θ，已知滑梯与儿童裤料之间的动摩擦因数取 0.3，解得
滑梯倾角tan θ≥0.3，根据几何关系可知tan θ＝，解得滑梯的最小高度h＝1.8
m，故B正确。]
4．B [书本恰好运动时，设A4纸上面的书页的质量为m ，2×4μm g＝μmg，
0 0
解得m ＝；若要使书与A4纸一同运动，A4纸上面的书页的质量越大越容易一
0
起拉动，所以m ≥，故A、C、D错误，B正确。]
0
5．C [当木板与水平面的夹角为45°时，两物块刚好要滑动，对A物块受力分
析如图甲，A、B之间的滑动摩擦力F ＝μF ＝μmgcos 45°，沿斜面方向，根据
f1 N
平衡条件可知 F ＝mgsin 45°＋μmgcos 45°，对B物块受力分析如图乙，B与斜
T
面之间的滑动摩擦力F ＝μF ′＝μ·3mgcos 45°，沿斜面方向，根据平衡条件可知
f2 N
2mgsin 45°＝F ＋μmgcos 45°＋μ·3mgcos 45°，两式相加，可得 2mgsin 45°＝
T
mgsin 45°＋μmgcos 45°＋μmgcos 45°＋μ·3mgcos 45°，解得μ＝，故C正确。]甲 乙
6．A [开始时设上面弹簧压缩的长度为 Δx ，下面弹簧压缩的长度为 Δx ，则
1 2
有m g＝k Δx ，m g＋m g＝k Δx ，得到Δx ＝，Δx ＝，当上面的木块刚离开上
1 1 1 1 2 2 2 1 2
面弹簧时，设下面弹簧压缩的长度为Δx ′，则有m g＝k Δx ′，得到Δx ′＝，所以
2 2 2 2 2
在这过程中上面木块移动的距离为x ＝Δx －Δx ′＋Δx ＝m g，下面木块移动的
1 2 2 1 1
距离为x ＝Δx －Δx ′＝，故A正确。]
2 2 2
7．AD [用斜向上的力拉箱子匀速运动，根据受力平衡可得 Fcos θ＝F＝μF
f N
＝μ(mg－Fsin θ)，解得F＝＝，其中sin α＝，cos α＝，当α＋θ＝90°，力F有
最小值，则有tan θ＝＝＝μ，故A正确，B错误；用斜向下的力推箱子，若满
足Fcos θ<μFsin θ<μ(Fsin θ＋mg)＝F ，可得cos θ<μsin θ，即当tan θ>时，
fmax
不可能推动箱子，故C错误，D正确。]
