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第 01 讲 实数
目 录
..............................................................2
考
点一 实数的分类（高频考点）.................................2
题型01 实数的分类....................................................3
题型02 无理数估值....................................................4
题型03 相反意义的量...............................................4
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考点二 实数的相关概念（高频考点）....................5
题型01 用数轴上的点表示数.................................6
题型02 求数轴上两点之间的距离........................7
题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负.7
题型04 数轴上的动点问题......................................8
题型05 求一个数的相反数...................................10
题型06 多重符号化简.............................................10
题型07 相反数的应用.............................................11
题型08 求一个数的绝对值...................................11
题型09 化简绝对值.................................................11
题型10 绝对值非负性的应用...............................12
题型11 利用几何意义化简绝对值.....................12
题型12 乘方运算......................................................14
题型13 乘方的应用.................................................14
考点三 科学记数法与近似数（高频考点）..........15
题型01 用科学记数法表示数...............................16
题型02 求一个数的近似数...................................16
考点四 实数比较大小...............................................17
题型01 利用数轴法比较实数大小.....................17
题型02利用类比法比较实数大小.......................18
题型03 利用作差法比较实数大小.....................18
题型04 利用作商法比较实数大小.....................19
题型05 利用平方法比较实数大小.....................19
题型06 利用其它方法比较实数大小.................19
考点五 平方根、算术平方根、立方根..................20
题型01 求一个数的算术平方根..........................21
题型02 利用算术平方根的非负性解题............22
题型03 求一个数的平方根...................................22
题型04 已知一个数的平方根，求这个数.......22
题型05 求一个数的立方根...................................22
考点六 实数的运算（高频考点）..........................22
题型01 实数的运算.................................................24
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考点要求 新课标要求 命题预测
实数这一考点在中考数学中属于
理解有理数、无理数的概念，知道
实数的分类 较为简单的一类考点，在中考，
实数是由有理数和无理数组成的
实数的分类及相关概念主要以选
择题或填空题形式考查，比较
可以借助数轴理解相反数和绝对值 简单；科学记数法、近似数多以
实数的相关概念 的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒
选择题或填空题形式考查，有
数，知道实数与数轴上的点一一对应
大数和小数两种形式，有时带
“亿”“万”“千万”等单位，
利用科学记数法简化表示非常大或 做题时要仔细审题，切忽略单
科学记数法、近似
非常小的数，了解近似数，会按问题的要求 位；实数的大小比较常以选择题
数
进行简单的近似计算
形式出现，常与数轴结合考查；
实数的运算考查形式多样，多数
实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小
以解答题形式出现，结合绝对
了解平方根、算术平方根、立方根 值、锐角三函数、二次根式、平
平方根、算术平方
的概念，会用根号表示数的平方根、算术平 方根、立方根等知识考查. 对于
根、立方根
方根、立方根 实数的复习，需要学生熟练掌握
实数相关概念及其性质的应用、
掌握有理数的加、减、乘、除、乘 实数运算法则和顺序等考点.
方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能
实数的相关计算
运用有理数的运算解决简单的问题，知道有
理数的运算律在实数范围内仍然适用．
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考点一 实数的分类（高频考点）
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省
略.0既不是正数，也不是负数.
2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则
另一个就用负表示．
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3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理
数统称为实数.
4、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分
数形式： ）、1.333333…（分数形式： ）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π， （不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在 中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数 ，x0（x≠0），cos30°， 中，有理数的个数是
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
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A． B． C． D．
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计 的值应在 （）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若 为两个连续整数，且 ，则 ．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，
如果把收入5元记作 元，那么支出5元记作（ ）
A． 元 B．0元 C． 元 D． 元
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今
两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“ ”，则“ ”表示（ ）
A．运出30吨粮食 B．亏损30吨粮食 C．卖掉30吨粮食 D．吃掉30吨粮食
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上 ，记作 ，夜间平均温
度零下 ，应记作（ ）
A． B． C． D．
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
① 开方开不尽的数，如： 、 等.
② 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π， 等.
③ 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
④ 某些三角函数，如sin60°、cos20°.
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考点二 实数的相关概念（高频考点）
相关概念 概念 补充与拓展
数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表
示的数大.
数轴 规定了原点、正方
在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
向、单位长度的直线
数轴中点公式：数轴上有两点 A、B分别表示的数为x，y，若C是
叫做数轴.
A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数
（简称大数-小数）.
若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且
位于原点的两侧.
只有符号不同的两个
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反
相反数 数称为互为相反数.
数是本身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而
小.
正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
在数轴上表示数a的
若|a|=a（或|a|-a=0），则 a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则
绝对值 点到原点的距离叫做
a≤0.
a 的绝对值，记为|
若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
a|．
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离
|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离
|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离
0没有倒数.
1除以一个不等于零
的实数所得的商， 若a、b互为倒数，则ab=1
倒数
叫 做 这 个 数 的 倒 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
数．
倒数是本身的只有1和-1.
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
n个相同的因数a相
乘方 乘记作 an，其中 a 正数的任何次幂都是正数.
为底数，n为指数， 规定：a0=1（a≠0）
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乘方的结果叫做幂.
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数
式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴
上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023， ，则点B表示
的数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图， ， 位于数轴上原点两侧，且 ．若点 表示
的数是6，则点 表示的数是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数 的点可能是( )
A．点P B．点Q C．点R D．点S
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题型02 求数轴上两点之间的距离
【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的
位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4
【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且 ，若
，则点A表示的数为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点 ， ， 在数轴上，点 表示的数是 ，点 是 的中
点，线段 ，则点 表示的数是 ．
题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负
【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（
）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下
列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点 分别对应实数 ，则
0.(用“ ”“ ”或“ ”填空)
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利用特殊值法判断式子正负
利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊
值法.【变式3-3】中根据数轴A、B点的位置，首先可知a为负数，b为正数且a的绝对值大于b的绝对
值，所以我们假设a=-2,b=1，然后代入到代数式中判断正负. 利用特殊值法做题时，大家需要注意：根
据题目信息将合适的数值带入到代数式中判断式子正负.
题型04 数轴上的动点问题
【例4】（2022·广东·惠州一中校考二模）如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑
动地滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数是（ ）．
A．3 B．4 C．π D．2π
【变式4-1】（2021·广西百色·一模）正方形纸板 在数轴上的位置如图所示，点 对应的数分别
为1和0，若正方形纸板 绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是
（ ）
A．A B．B C．C D．D
【变式4-2】（2023·河北承德·二模）如图，数轴上点M对应的数为 ，点N在点M右侧，对应的数
为a，矩形 的边 在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停
止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线 绕矩形匀速运
动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知 ， ，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于
数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．
(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不
必写范围）．
(2)若 ，当 ，即点Р在 边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表
示）
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(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则 ．
【变式4-3】．（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如图，程序员在数轴上设计了A、B
两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次
正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正
方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，
并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若 ，求x的值．
【变式4-4】（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．
点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，
设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
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数轴上的动点问题
解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程
展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来
说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量
关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利
用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题：
1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标；
2.算出动点运动后的坐标：
向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程；
向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程；
3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数；
4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标；
5.求解
题型05 求一个数的相反数
【例5】（2023·辽宁锦州·中考真题） 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
A．9 B． C． D．
【变式5-2】（2023·四川绵阳·中考真题）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣
0.5的相反数是（ ）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
题型06 多重符号化简
【例6】（2023·广东广州·中考真题） （ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2023·广东广州·校考模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A． 和 B． 和
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C． 和 D． 和
题型07 相反数的应用
【例7】（2021·河北·中考真题）能与 相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（2023·山东潍坊·一模）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【变式7-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．16
【变式7-3】（2021·甘肃陇南·一模）若 与 互为相反数，则 的值为 .
题型08 求一个数的绝对值
【例8】（2023·浙江·中考真题）计算： ．
【变式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③ 的倒数是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式8-2】（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2023·山东淄博·中考真题） 的运算结果等于（ ）
A．3 B． C． D．
题型09 化简绝对值
【例9】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果
是（ ）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
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【变式9-1】（2022·宁夏·中考真题）已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（
）
A． B． C． D．
【变式9-2】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）已知有理数 ， ， 满足 ，且 ，
则 ．
【变式9-4】．（2023·山东青岛·校考一模）设a，b，c为有理数，则由 构成的各
种数值是 ．
题型10 绝对值非负性的应用
【例10】（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若 ，则 的值是
（ ）
A． B． C．1 D．2023
【变式10-1】（2023·山东·中考真题） 的三边长a，b，c满足 ，
则 是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
【变式10-2】（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足 ，则
．
【变式10-3】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上 点表示数 ， 点表示数 ，且
．
(1) ______， ______；
(2)点 、点 开始在数轴上运动，若点 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点 以每秒2个单位
长度的速度向右运动．求 秒后点 、点 之间的距离（用含 的代数式表示）．
【变式10-4】（2023·湖南·模拟预测）先化简，再求值： ，其中
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．
题型11 利用几何意义化简绝对值
【例11】（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：
我们知道 的几何意义是在数轴上数 对应的点与原点的距离；即 ；这个结论可以推广为
表示在数轴上数 ， 对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程 ．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的 ±4；
例2：解方程 ．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的 的值．在数轴
上，-1和2的距离为3，满足方程的 对应的点在2的右边或在-1的左边．若 对应的
点在2的右边，如图可以看出 ；同理，若 对应点在-1的左边，可得 ．所以原方程的解是
或 ．
例3：解不等式 ．
在数轴上找出 的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的
值就满足 ，所以 的解为 或 ．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为 ；
（2）方程 的解为 ；
（3）若 ，求 的取值范围．
【变式11-1】（2023·河北邢台·模拟预测）我们知道， 的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点
的距离，类似的， 的几何意义就是：数轴上数 对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离
可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是3
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（1）数轴上1和 两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和 的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果AB=2，结合几何意义，那么x的
值为 ；
（3）代数式 表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
利用零点分段法化简绝对值
零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点
利用零点分段法去绝对值符号的方法：
1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即
a>0，a<0，还是a =0)如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论.
2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在
数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；
最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法
零点分段法的具体步骤：1.找零点;2.分区间; 3.定正负;4.去符号.
题型12 乘方运算
【例12】（2023·广东佛山·校考一模）以下式子和 的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-1】（2023·江西赣州·赣州市第三中学校考模拟预测）下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【变式12-2】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2
＝44944，z2＝45796，则y2＝（ ）
A．45369 B．45371 C．45465 D．46489
【变式12-3】（2023·山东东营·一模） 的相反数是（ ）
A．－1 B．1 C．－2023 D．2023
题型13 乘方的应用
【例13】（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时
有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满
七进一，那么孩子已经出生了（ ）
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A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【变式13-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）有一张厚度是0.1mm的纸，将它对折20次后，
其厚度可表示为（ ）mm
A． B． C． D．
【变式13-2】（2023·陕西西安·模拟预测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这
句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4
天截取后木棍剩余的长度是 ．
【变式13-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若 ，则 ．
考点三 科学记数法与近似数（高频考点）
相关概念 概念 补充与拓展
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜
10，n等于原数的整数位数减1
科学记数法的表示形式为
科学记数
a×10n的形式，其中1≤| 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜
法
a|＜10，n为整数． 10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包
括小数点前面的零）.
小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108
近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0
近似数与准确数的接近程
度通常用精确度来表示，
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有
近似数一般由四舍五入取
近似数 的数字都是这个数的有效数字
得，四舍五入到哪一位，
就说这个近似数精确到哪
一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数
一位.
字
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1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求
取近似值.
2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.
3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是
3.6×105.
4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0.
题型01 用科学记数法表示数
【例1】（2023·四川成都·中考真题）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射
第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某
地图软件调用的北斗卫星日定位量超 亿次．将数据 亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023·贵州·中考真题）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平
稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2023·湖北武汉·中考真题）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．
其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表
示为 的形式，则 的值是 （备注：1亿＝100000000）．
【变式1-3】（2023·山东东营·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出 的近似值为 ，它与 的
误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法可以表示为 ．
题型02 求一个数的近似数
【例2】（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【变式2-1】（2021·山东潍坊·中考真题）第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7
万人，将101 527 000用科学记数法（精确到十万位）（ ）
A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109
【变式2-2】（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）用四舍五入法把某数取近似值为 ，精确度正
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确的是（ ）
A．精确到0.01 B．精确到0.1 C．精确到万分位 D．精确到千分位
考点四 实数比较大小
实数比较大小的6种基础方法：
1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0ab2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a1/b，ab>0，则a1a>b , a/b<1a>b
3)任意负实数a，b，a/b>1ab
题型01 利用数轴法比较实数大小
【例1】（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（
）
A． B． C． D．无法确定
【变式1-1】（22·23下·惠州·二模）已知有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的
是（ ）
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a
A． B． 1 C． a b D．
ab b ab
题型02利用类比法比较实数大小
【例2】（2022·辽宁阜新·中考真题）在有理数 ， ，0，2中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．2
【变式2-1】（2023·浙江金华·中考真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分
别是 ， ， ， ，其中最低气温是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2023·湖南益阳·中考真题）四个实数 ，0，2， 中，最大的数是（ ）
A． B．0 C．2 D．
题型03 利用作差法比较实数大小
【例3】（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知 ， ， ，试比较 与 的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较 与 的大小．
小华：∵ ，
∴ ．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小： __________ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【变式3-1】（2023·山西临汾·一模）阅读理解下面内容，并解决问题.
用求差法比较大小
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求
它们的差来判断．如果两个数或式子为 和 ，那么
当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当 时，一定有 ．
反过来也正确，即
当 时，一定有 ；当 时，一定有 ；当 时，一定有 ．
因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大
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小的方法被称为“求差法”．
例如：已知 ，比较 与 的大小．
解：
∵ ，∴ ， ， ，∴ ，∴ ．
“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较
的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
请解决以下问题：(1)用“ ”或“ ”填空： ______ ．
(2)制作某产品有两种用料方案，方案 ：用 块 型钢板， 块 型钢板；方案 ：用 块 型钢板， 块
型钢板；已知 型钢板的面积比 型钢板的面积大，若 型钢板的面积为 ， 型钢板的面积为 ，则
从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知 ，比较 与 的大小．
题型04 利用作商法比较实数大小
【例4】作商比较法的理论依据是 ， ，若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．
请用作商法比较 与 的大小．
【变式4-1】若a＞0，b＞0，且 ，则a＞b；若a＜0，b＜0，且 ，则a＜b．以上这种比较大小的
方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较 与 的大小．
题型05 利用平方法比较实数大小
【例5】（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小： （填“>”“=”或“<”）
【变式5-1】（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“ ”，“ ”或“ ”）．
【变式5-2】（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
题型06 利用其它方法比较实数大小
【例6】（2023·江苏扬州·中考真题）已知 ，则a、b、c的大小关系是( )
A． B． C． D．
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【变式6-1】（2022·西藏·中考真题）比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
【变式6-2】（2023·陕西西安·一模）比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
【变式6-3】（2023·陕西西安·一模）比较大小： 1．（填“ ”“ ”或“ ”）
其它比较实数大小的方法
1.取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个
常用的近似值: √2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236
2.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的
形式根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小.
3.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比
较两个实数的大小.（例如：比较√3和2.5大小.∵√3<2,2<2.5 ∴√3<2.5）
考点五 平方根、算术平方根、立方根
相关概
概念 补充与拓展
念
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那
算术平 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平
么这个正数x叫做a的算术平方根.记为
方根 方根为0；负数没有算术平方根
√a，a叫做被开方数.
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 正数有两个平方根，且它们互为相反数.
平方根 做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那
么x叫做a的平方根. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数
如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x 只有一个负的立方根．
立方根
叫做a的立方根或三次方根
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
常见实数的平方根与立方根：
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1^2 2^2 3^2 4^2 5^2 6^2 7^2 8^2 9^2 10^2
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
11^2 12^2 13^2 14^2 15^2 16^2 17^2 18^2 19^2 20^2
常见数的
平方
121 144 169 196 225 256 289 324 361 400
25^2 30^2 35^2 40^2
625 900 1225 1600
1^3 2^3 3^3 4^3 5^3 6^3 7^3 8^3 9^3 10^3
常见数的
立方
1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
实数的非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即 ≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即 ≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为√a，一个非负数a的平方根用符号表示为±√a；一个数a的
立方根用符号表示为3√a
2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－
1、0和1.
3. 有时候题目会故意没有把√a去根号，这时候就要注意千万不要把√a的平方根当作a的平方根，要
先把√a去根号，再求平方根．（如：例3）
题型01 求一个数的算术平方根
【例1】（2023·甘肃武威·中考真题）9的算术平方根是（ ）
A． B． C．3 D．
【变式1-1】（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根
【变式1-2】（2022·四川凉山·中考真题）化简： ＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
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题型02 利用算术平方根的非负性解题
【例2】（2023·湖北荆门·中考真题）若 ，则 ．
【变式2-1】（2023·四川内江·中考真题）在 中， 的对边分别为a、b、c，且满足
，则 的值为 ．
题型03 求一个数的平方根
【例3】（2023·四川广安·中考真题） 的平方根是 ．
【变式3-1】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）64的算术平方根是 ， 的平方根是 ．
题型04 已知一个数的平方根，求这个数
【例4】（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）若正数 的两个平方根是 与 ，则 为
（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
题型05 求一个数的立方根
【例5】（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（ ）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
【变式5-1】（2023·湖南郴州·中考真题）计算： ．
【变式5-2】（2023·湖南·中考真题） 的立方根是 ．
【变式5-3】（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为
．
考点六 实数的运算（高频考点）
常见的实数运算：
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三角函数 30° 45° 60°
√3 √2 1
cosα
2 2 2
√3
tanα 1 √3
3
实数的四则运算：
1.实数的加法法则：
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2.实数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数.
3.实数的乘方法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2）任何数同0相乘，都得0.
4.实数的除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；
2）0除以任何不为0的数，都得0.
5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中
的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是
最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无
论何种运算，都要注意先定符号后运算）.
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1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换
律 、乘法结合律、 乘法分配律．
2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
题型01 实数的运算
【例1】（2023·云南·中考真题）计算： ．
【变式1-1】（2023·北京·中考真题）计算： ．
【变式1-2】（2023·湖南怀化·中考真题）计算：
【变式1-3】（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算： ．
实数运算技巧
实数运算的“两个关键”：
1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括
号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
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