文档内容
专题01 直线与椭圆的位置关系
测试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．椭圆 与直线 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定
【解析】直线过定点 在椭圆内，故直线与椭圆相交.故选:B.
2．在平面直角坐标系 中，已知点 ， 在椭圆 上，且直线 ， 的斜率
之积为 ，则 （ ）
A．1 B．3 C．2 D．
【解析】因为点 ， 在椭圆 上，所以 ，
因为直线 ， 的斜率之积为 ，所以 ，
可得 ，化简得 ，
则 .故选：A.
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C交于A，B两点，若 面
积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．【解析】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，则 ， ，
，解得 或 （舍去），故选：C.
4．已知实数x，y满足： ，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．5
【解析】令 ，则直线 与 有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则 ，即 ，
所以 ，可得 ，即 ，
要使 在x轴上截距最大，即 .故选：B.
5．已知椭圆 方程为 ，过平面内的点 作椭圆 的两条互相垂直的切线，则点 的轨迹方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设点 ，当切线斜率存在且不为0时，设切线方程为 ，联立 ，消去 得 ，
则 ，
即 ，两切线垂直故其斜率之积为-1，
则由根与系数关系知 ，即 .
当切线斜率不存在或为0时，此时点 坐标为 ， ， ， ，满足方程 ，
故所求轨迹方程为 .故选：A.
6．已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ，过坐标原点 作直线 交椭圆于 两点，
若 ，则直线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由椭圆离心率为 ，知 ，
由题意可设 ，则 ，
由 可得 ，即 ，
结合 可得 ，故 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，故选：B7．若直线 被圆 所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，圆 的圆心为 ，半径为 .
设直线方程为 ，直线 到圆心 的距离为 ，由弦长公式得 ，所以 .
由点到直线的距离公式得， ，即 .
对于选项A，直线 到该圆圆心的距离为 ，
取 ，满足条件，而 ，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当 时，对于直线 有 ， ， ，
联立椭圆方程得 ，所以必有公共点；
当 时，联立直线 与椭圆方程得 ，
，所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线 与抛物线方程得 ，
若 时，则 ，有解 ；
若 时， ，取 ，则 ，方程无解，此时无公共点，故C错误；对于选项D，当 时，对于直线 有 ， ， ，
联立双曲线方程得 ，
取 ，则直线 ： ，与双曲线不存在公共点，故D排除.
故选：B.
8．在椭圆 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大时，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如下图所示：
根据题意可知，当点 在第三象限且椭圆在点 处的切线与直线 平行时，
点 到直线 的距离取得最大值，可设切线方程为 ，
联立 ，消去 整理可得 ，
，因为 ，解得 ，
所以，椭圆 在点 处的切线方程为 ，
因此，点 到直线 的距离的最大值为 ,联立 ，
可得点 的坐标为 .故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，椭圆 ： ，则下列说法
正确的有（ ）
A． 恒过点
B．若 恒过 的焦点，则
C．对任意实数 ， 与 总有两个互异公共点，则
D．若 ，则一定存在实数 ，使得 与 有且只有一个公共点
【解析】方程 可化为 ，所以直线 恒过点 ，A正确；
设椭圆的半焦距为 ，则点 的坐标可能为 或 ，
若直线恒过点 ，则 ，故 ，矛盾，
直线恒过点 ，则 ，故 ，所以 ，B错误；
联立 ，消 可得， ，
由对任意实数 ， 与 总有两个互异公共点，
可得方程 有 个不相等的实数解，
所以 ，所以 ，所以 ，C正确；
因为 ，
所以 时，则 ，即 时，
可得 ，此时方程组有且只有一组解，故 与 有且只有一个公共点，D正确.故选：ACD.
10．直线 ， 与椭圆 共有四个交点，它们逆时针方向依次为 ，
则（ ）
A．
B．当 时，四边形 为正方形
C．四边形 面积的最大值为
D．若四边形 为菱形，则
【解析】A选项，可以看出 ，由椭圆的对称性知四边形 是平行四边形，
设 ， ，联立 与 得， ，其中
，解得 ，A正确.
B选项，由韦达定理得 ， ，
，
平行四边形的高即为两平行线之间的距离 ，
当 时， ， ，故 ，B错误.
C选项， ，设 ， ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，C正确.
D选项，若四边形 是菱形，则 ，即
故 ，解得 ， ，D正确.
故选：ACD
11． 为椭圆 的两个焦点，过 的直线l与椭圆交于A，B两点，则 的内切圆半径的r
值可以为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由已知可得， ， ，
如图，根据椭圆的定义可得， 的周长为 ，
所以 .设 ， ，设 ， ，
则 .
由已知可得，直线与 轴不重合， ，设直线 的方程为 ，
联立直线与椭圆的方程 可得， .，且 ，
所以， .
令 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以， ，所以 ，所以， ，
所以， ，解得 .故选：BCD.
12．已知 ， 是椭圆 ： 的左右顶点，过点 且斜率不为零的直线与 交于 ， 两点，
， ， ， 分别表示直线 ， ， ， 的斜率，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．直线 与 的交点的轨迹方程是
【解析】对于A：设交点 ，因为 在椭圆上，故 ，
所以 .选项 正确；
对于B：设 ， ，直线 ： ，联立 ，消去 ，得 ，则 ①， ②，
所以
，故选项B正确；
对于C：联立 和 ，相除得 ，故选项C错误；
对于D：设直线 方程： ③，
直线 方程： ④，联立③④，消 得，
，
结合选项B中①②得 ，
所以 .D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设椭圆中心在坐标原点， 是它的两个顶点，直线 与线段AB相交于点D，
与椭圆相交于E，F两点．若 ，则实数k的值为 .
【解析】依题意得椭圆的方程为 ，直线AB，EF的方程分别为 ， .
如图，设D，E，F三点的坐标分别为 ， ， ，其中 ，
由 得 ，则 满足方程 ，
故 ，由 知 ，得 ，
由点D在直线AB上，知 ，即 ，
所以 ，化简得 ，解得 或 .
14．已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆 交于 两点（点 位于 轴上方），若
，则直线 的斜率 的值为 ．
【解析】依题意，点 位于 轴上方且 ，则直线 的斜率存在且不为 ，
设 （ ），则 ， ，
则可得 ，设直线l方程为 ，
联立直线与椭圆 可得 ，显然 ，
， ， ，
，解得 ，则直线 的斜率为 .15．已知椭圆C: ，过右焦点 的直线交椭圆于A，B，若原点O在以AB为直径的
圆上，则a的取值范围为 ．
【解析】已知椭圆 ，则其右焦点坐标为 ，则 ，且 ，过右焦点的
直线交椭圆于A，B，满足原点O在以AB为直径的圆上，所以 ，
则设直线AB方程为 ，
则 ，所以 ，
显然 恒成立，所以 ，
则
整理得 ，所以 ，
又 ， 在 单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ．故答案为：
16．已知椭圆C： ，圆O： ，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若 ，则直线l的方程为 ．
【解析】取 中点 ，连接 ,由于 ,所以 ,进而 ,
设 ，设直线上任意一点 ，
由于 是圆的切线，所以 ,所以 ，
令 则 ，所以 ，由中点坐标公式可得 ，
设 ,则 ，两式相减可得
，
所以 ,又 ， ,
所以 ，解得 ，进而
故直线l的方程为 ，即
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ， ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线 与椭圆 相交于 两点，且点 ，当 的面积最大时，求直线
的方程．【解析】（1）由题意，可得 ，且 ，所以 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离为 ，
联立方程组 ，整理可得 ，
由判别式 ，解得 ，
设 ，则 ，
可得
，
所以
，
当且仅当 时，等号成立，
所以所求直线的方程为 或 ．
18．如图，在平面直角坐标系 中， 两点分别为椭圆 的右顶点和上顶点，且
，椭圆上的点到直线 的距离的最大值为6.(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 的直线交椭圆于另一点 ，交直线 于点 ，且以 为直径的圆经过原点，求直线 的方程.
【解析】（1）由题意得 ，解得 ，故椭圆的标准方程为： .
（2）由题意得直线 不垂直 轴，设直线 ，
联立 ，可得 ，且 .
设 ，则 ，则 ，易知 .
联立 ，可得 . 以 为直径的圆经过原点，
，解得 .
直线方程为： 或 .
19．以椭圆 的四个顶点所围成的四边形的面积为 ，一个焦点
(1)求椭圆的标准方程
(2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线 ： ，使得 上的任何一点P都
满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线 的方程，若不存在说明理由【解析】（1） 椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为 ， ，
∴ ∴ ， ， ∴椭圆方程
（2）假设存在一条定直线 ，使得 上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列，
（Ⅰ）当AB斜率k不存在时， ， ， ，
，故当斜率不存在时成立.
（Ⅱ）当AB斜率k存在时，设AB直线方程 ， ， ,
联立 ，可得 ，
由韦达定理可知 ， ,又 ,
, ,
,
,
,, ,∴ 时，k，t任意值都成立,
∴存在直线 成立,
综上，存在一条定直线 ，使得 上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列.
20．已知圆 ： ，点 ， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线和半径 相
交于
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)经过点 和 的圆与直线 ： 交于 ， ，已知点 ，且 、 分别与 交于 、 .
试探究直线 是否经过定点.如果有，请求出定点；如果没有，请说明理由.
【解析】（1）如图所示，
∵ ，且 ，∴点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
设椭圆方程 ，则 ， ，∴ ， .
所以点 的轨迹方程为： .
（2）设直线 的方程为： ，由 ，得
设 ， ，则 ， .
所以， ，
因为直线 的方程为： ，令 ，得 ，
所以， ，同理可得 ，以 为直径的圆的方程为： ，
即 ，
因为圆过点 ，所以， ，
得 ，代入得 ，
化简得， ，解得 或 （舍去），
所以直线 经过定点 ，
当直线 的斜率为0时，此时直线 与 轴重合，直线 经过点 ，
综上所述，直线 经过定点 .
21．已知椭圆C： 的离心率 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点 的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线 相交于点Q，如果 ，
，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）由题意得 ，解得 ， ，故椭圆C的方程为 ；
（2）当直线l的斜率不存在时， ， ， ， ,
则 ， ， ， ，此时 ， ， ；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为 ，
联立 可得 ，设 ， ，
联立 可得 ，
则 ， ，因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，
22．已知椭圆 的焦距与短轴长相等，点 在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若 为椭圆上两点， 是以 （斜率存在）为斜边的直角三角形（ 为坐标原点），求
的最大值.
【解析】（1）由题意，可知 ，即 ，所以 ，
把点 的坐标代入椭圆方程得 ，所以
所以椭圆方程为 .
（2）设直线方程为 ，与椭圆联立，得
则 ，
设 ，则 ，
是以 为斜边的直角三角形， ，即 ，
，
所以 ，即 ，满足 ，
，
，
（当且仅当 时取等号），
，
综上， 的最大值为3.
