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专题 06 构造法求数列通项的八种技巧(三)
【必备知识点】
◆构造六:取对数构造法
型如 , 或者 为常数.
针对出现这种数列,为方便计算,两边通常取以 或首项为底的对数,就能找到突破口.什么情况取 为底,什
么情况取首项为底呢?我们来看两道例题.
【经典例题1】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【经典例题2】数列 中, , ,求数列 的通项公式.
【经典例题3】已知 ,点 在函数 的图像上,其中 ,求数列 的通项
公式.
【经典例题4】在数列 中, ,当 时,有 ,求数列 的通项公式.
◆构造七:二阶整体构造等比
简单的二阶整体等比:关于 的模型,可通过构造二阶等比数列求解,大部分题型可转化为,利用 成等比数列,以及叠加法求出 .还有一小部分题型可转化
为 ,利用 成等比数列求出 .
【经典例题1】已知数列 满足 ,求数列 的通项公式.
【经典例题2】已知数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
【经典例题3】数列 中, , , ,求数列 的通项公式。
此方法可以解决大多数的 , 模型的试题.当然针对个别试题,单纯构造
成等比数列可能解决不了问题.我们需要学习更完整的方法来解决这种类型题.这就需要运用数
列的特征方程理念来解决.当然我们不需要详细学习数列的特征方程,用高中的待定系数法也可以解决,接
下来我们通过两道例题,来详细解释说明下这种方法.
【经典例题4】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【经典例题5】已知数列 满足 , , ,求 的通项公式.秒杀求法:
类通项公式暴力秒杀求法
对应的特征方程为: ,设其两根为
当 时,
当 时,
其中 , 的值的求法,用 的值代入上面的通项公式中,建立方程组解之即可
【秒杀例题1】已知数列 满足 , , ,求 的通项公式.
【秒杀例题2】已知数列 满足 , , ,求数列 的通项公式.
【练习1】在数列 中, ,则
_______.
【练习2】设数列 的前 项和为 .已知 ,且当 时,
.
(1)求 的值；
(2)证明： 为等比数列 ;
(3)求数列 的通项公式.【练习3】数列 满足 .
(1)设 ,证明 是等差数列;
(2)求 的通项公式.
◆构造八：数列不动点构造求数列(较难,能力强的同学可以学习)
针对 这类题型,考题中并不多见,难度比较大,这类题型有特定的解题方法.我们需要学习
“数列不动点”的知识点.接下来我们来学习下什么是“数列不动点”,它有什么性质.当然看不懂也没关
系,可以通过例题,熟记掌握解题步骤就可以.
对于函数 ,若存在实数 ,使得 ,则称 是函数 的不动点.
在几何上，曲线 与曲线 的交点的横坐标即为函数 的不动点.
一般地,数列 的递推式可以由公式 给出,因此可以定义递推数列的不动点:对于递推数列
,若其递推式为 ,且存在实数 ,使得 ,则称 是数列 的不动点。
数列的不动点有什么性质呢? 若从某一项 开始,数列的取值即为 ,也即 ,则
,以此类推,根据数学归纳法, 可以得到当
时, ,也即数列 在 之后“不动”了.
这就为我们求数列的不动点提供一个思路,当数列达到不动点,之后的每一项都相等,所以在给定等式中,令
数列当中的每一项都等于 ,最后解方程即可.
接下来我们来看分式递推数列,这也是不动点法主要应用的范围.所谓分式递推数列是指以下类型：若数列
满足 ,其中 , , , 是给定的实数,求数列 的通项公式。
这时候要求它的不动点,考虑方程 ,得到了一个二次方程,我们从几个例子出发：
【经典例题1】设数列 满足 ,求数列 的通项公式。
【经典例题2】设数列 满足 ,求数列 的通项公式。
【经典例题3】已知 ,且 ,求 的通项公式.
【经典例题4】数列 满足 ,求 的通项公式
【经典例题5】设数列 满足 ,求数列 的通项公式。总结:
形如 的递推数列,首先令 ,解出数列的不动点.
处理时也可以分两种情况:
(1)若其有一个不动点 ,则 是等差数列;
(2)若其有两个不动点 ,则 是等比数列。
【过关检测】
一、单选题
1．已知数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在数列 中， ， ，则 的值为( )
A． B． C． D．无法确定
3．已知数列 满足： ， ，则 （ ）
A． B． C． D．4．已知数列 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足 ，且 ， ，其前n项和为 ，若对任意的正整数
n， 恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知数列 满足 ， ，且 ，若 表示不超过x的最大整数（例如
， ）.则 （ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
二、填空题
8．在数列 中， ， ，且满足 ，则 ___________.
9．已知数列 满足 ，且 ，则 的通项公式
_______________________.
10．设正项数列 满足 ， ，则数列 的通项公式是______．
11．在数列 中， ， ，且对任意的 ，都有 ，则数列 的通项公式为
______．12．已知 是数列 的前 项和， ， ， ，求数列 的通项公式
___________.
13．数列 满足 ，则 _______.
三、解答题
14．已知 是数列 的前 项， .
(1)设 ，求数列 与 的通项公式.
(2)证明： .
