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→➌题型突破←→➍专题精练←
题型一 一元二次方程的解
1．判定下列方程是否关于x的一元二次方程：
(1)a2(x2-1)+x(2x+a)=3x+a； (2)m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1．
题型二 解一元二次方程
2．（2023·新疆·统考中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方后得到的方
程是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）用配方法解方程 时，配方后正确的是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川眉山·统考中考真题）已知方程 的根为 ，则
的值为____________．
5．（2022·四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
题型三 一元二次方程根的判别式
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6．（2023·山东滨州·统考中考真题）一元二次方程 根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能判定
7．（2022·浙江温州）若关于x的方程 有两个相等的实数根，则c的值是
（ ）
A．36 B． C．9 D．
8．（2023·全国·统考中考真题）一元二次方程 根的判别式的值是
（ ）
A．33 B．23 C．17 D．
9．（2023·四川·统考中考真题）关于x的一元二次方程 根的情况，下列说
法中正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
10．（2023·河南·统考中考真题）关于x的一元二次方程 的根的情况是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
11．（2023·上海·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 没有实数根，
那么a的取值范围是________．
12．（2020·湖北中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个实数
根 ．
（1）求k的取值范围；（2）若 ，求k的值．
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13．（2020·广西玉林·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不
相等的实数根．
（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等实数根是a，b，求 的值．
14．（2020·湖北随州·中考真题）已知关于 的一元二次方程
．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
15．（2022·四川南充）已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求
k的值．
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考向四 含参问题
16．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的一元二次方程 有两个不相
等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·山东聊城·统考中考真题）若一元二次方程 有实数解，则m的取
值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
18．（2023·湖南常德·统考中考真题）若关于 的一元二次方程 有两个不相
等的实数根，则 的取值范围是_________．
19．（2022秋·河南新乡·九年级统考期中）关于x的一元二次方程 有两个不
相等的实数根，则m的取值范围是_____________．
20．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程 两根的倒数
和为1，则m的值为___________．
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）若 是关x的方程 的解，则
的值为___________．
22．（2022秋·北京东城·九年级景山学校校考阶段练习）关于x的一元二次方程x2+2x+k＝
0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
23．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，且 ，则实数 _________．
24．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根．
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(1)求 的取值范围；
(2)当 时，用配方法解方程．
题型五 根与系数关系
25．（2023·山东·统考中考真题）一元二次方程 的两根为 ，则 的
值为（ ）
A． B． C．3 D．
26．（2023·四川泸州·统考中考真题）关于 的一元二次方程 的根的情
况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数 的取值有关
27．（2023·四川乐山·统考中考真题）若关于x的一元二次方程 两根为 ，
且 ，则m的值为（ ）
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A．4 B．8 C．12 D．16
28．（2023·天津·统考中考真题）若 是方程 的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
29．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）已知 、 是方程 的两根，则代数式
的值为_________．
30．（2023·四川遂宁·统考中考真题）若a、b是一元二次方程 的两个实数根，
则代数式 的值为_________．
31．（2023·四川内江·统考中考真题）已知a、b是方程 的两根，则
___________．
32．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知一元二次方程 的两个实数根为
，若 ，则实数 _____________．
33．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若 ， 是方程的两个实数根，且 ，求m的值．
34．（2019·湖北黄石·中考真题）已知关于 的一元二次方程 有
实数根.
（1）求 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为 、 ，且 ，求 的
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值.
35．（2019·四川南充·中考真题）已知关于 的一元二次方程
有实数根.
（1）求实数m的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为 ，求代数式
的值.
题型六 一元二次方程在实际问题中的应用
36．（2023·广西·统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计
公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设
2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（
）
A． B．
C． D．
37．（2022·新疆）临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8
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万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题
意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
38．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在长为 ，宽为 的矩形空地上修筑四条
宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 ，则小路的宽是
（ ）
A． B． C． 或 D．
39．（2023·重庆·统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位 个，并按
计划逐月增长，预计八月份将提供岗位 个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平
均增长率为 ，根据题意，可列方程为___________．
40．（2023·湖南·统考中考真题）某校截止到 年底，校园绿化面积为 平方米．为
美化环境，该校计划 年底绿化面积达到 平方米．利用方程想想，设这两年绿化面
积的年平均增长率为 ，则依题意列方程为__________．
41．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以
1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6 cm2？
（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于8 cm2？说明理由．
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42．（2023·辽宁大连·统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部
分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购
买图书的费用是7200元，求 年买书资金的平均增长率．
43．（2022·四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，
2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小
区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多
少个老旧小区？
44．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月
份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．
已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人
数最多是多少万人？
45．（2019·辽宁铁岭·中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6
元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，
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日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价
为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）．
（1）求y与x的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润w（元）与销售单价x（元）的函数关系式，当x为何值时，日销售利
润最大，并求出最大利润．
46．（2019·山东东营·中考真题）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决
定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市
场调查：这种电子产品销售单价定为 元时，每天可售出 个；若销售单价每降低
元，每天可多售出 个．已知每个电子产品的固定成本为 元，问这种电子产品降价后
的销售单价为多少元时，公司每天可获利 元？
47．（2020·辽宁丹东·中考真题）某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50
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元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 （件）与每件的售价
（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 （元/件） 60 65 70
销售量 （件） 1400 1300 1200
（1）求出 与 之间的函数表达式；（不需要求自变量 的取值范围）
（2）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给
这种衬衫定价？
（3）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利
润为 （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？
48．（2020·内蒙古赤峰·中考真题）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的
和，则称这三个实教x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为 ， ，则有
， ．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a，b，c均不为0)的两根， 是关于x的
方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x ，x，x可以构成“和谐三数组”；
1 2 3
（3）若A(m，y) ，B(m + 1，y) ，C(m+3，y)三个点均在反比例函数 的图象上，
1 2 3
且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
49．（2022·四川凉山）阅读材料：
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材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x ，x ，则x ＋x ＝
1 2 1 2
，x x ＝
1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x ，x ，则x ＋x ＝ ；x x ＝
1 2 1 2 1 2
．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
50．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
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下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数
的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有
三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种
情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴
的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ，
分别分 和 两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当 时，
……
（2） 时，抛物线开口向下．
……
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任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即
可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
(2)请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方程
根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：
可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
14
