第5讲反比例函数（考点精析+真题精讲）（原卷版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_一轮复习资料_第三章函数_考点精析+真题精讲

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 备战 2024 中考数学一轮复习 第三章函数 第 5 讲反比例函数 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 第 5 讲反比例函数 →➊考点精析← →➋真题精讲← 考向一 反比例函数的定义 考向二 反比例函数的图象和性质 考向三 反比例函数解析式的确定 考向四 反比例函数中 k 的几何意义 考向五 反比例函数与一次函数的综合 考向六 反比例函数的应用 考向七 反比例函数与平面几何综合 类型一最值问题 类型二存在性 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 类型三与面积有关 第 5 讲反比例函数 反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2024年各地中考一 定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比 例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考 察的重点. →➊考点精析← 一、反比例函数的概念 1．反比例函数的概念：一般地，函数 （k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例 函数的解析式也可以写成 的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数 的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数 （k是常数，k 0）中x，y的取值范围 ¿ 自变量x和函数值y的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质 （1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象 限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、 y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． （2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x 的增大而减小． 当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 表达式 （k是常数，k≠0） k k>0 k<0 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 大致图象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 2．反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对 称中心为原点． 3．注意 （1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的 曲线连接各点． （2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数 中x≠0且y≠0． （3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限 内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼 统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而 增大． 三、反比例函数解析式的确定 1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数 中，只有 一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 k的值，从而 确定其解析式． 2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 （1）设反比例函数解析式为 （k≠0）； （2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式． 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四、反比例函数中|k|的几何意义 1．反比例函数图象中有关图形的面积 2．涉及三角形的面积型 当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S =2S =|k|； △ABC △ACO （2）如图②，已知一次函数与反比例函数 交于A、B两点，且一次函数与x轴交于 点C，则S =S +S = + = ； △AOB △AOC △BOC （3）如图③，已知反比例函数 的图象上的两点，其坐标分别为 ， ，C为AB延长线与x轴的交点，则S =S –S = – = △AOB △AOC △BOC ． 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 五、反比例函数与一次函数的综合 1．涉及自变量取值范围型 当一次函数 与反比例函数 相交时，联立两个解析式，构造方程组，然 后求出交点坐标．针对 时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比 例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当 时，x的取值范围为 或 ；同理，当 时，x的取值范围为 或 ． 2．求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定. ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点， 可有两个交点； （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的 情况． 六、反比例函数的实际应用 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特 别注意自变量的取值范围． →➋真题精讲← 考向一 反比例函数的定义 1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子 是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式． 2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 为1． 5 y= 1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y=2x﹣1；② x ；③y=x2+8x﹣2；④ 2 1 a y= y= y= x2 ；⑤ 2x ；⑥ x 中，y是x的反比例函数的有 ▲ （填序号） 2．（2023·山西·统考中考真题）已知 都在反比例函数 的图象 上，则a、b、c的关系是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点 在反比例函数 的图象上，其中 a，k为常数，且 ﹐则点M一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考向二 反比例函数的图象和性质 当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每 个象限内，y随x的增大而减小． 当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每 个象限内，y随x的增大而增大． 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限）， 而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）． a y  (a 0) 4．（2020·山东威海·中考真题）一次函数y axa与反比例函数 x 在同 一坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点 在反比例函数 的图 像上，且 ，则下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． 6.（2023·山西·统考中考真题）已知 都在反比例函数 的图象上， 则a、b、c的关系是（ ） A． B． C． D． Aa1,y  Ba1,y  7．（2020·湖北武汉·中考真题）若点 1 ， 2 在反比例函数 k y  (k 0) y  y x 的图象上，且 1 2 ，则a的取值范围是（ ） a1 1a1 a1 a1 a1 A． B． C． D． 或 m+3 y= x 8. 已知点A( ，2)、B(2， )都在反比例函数 的图象上． (1)求 、 的值； (2)若直线 与 轴交于点C，求C关于 轴对称点C′的坐标． 考向三 反比例函数解析式的确定 1．反比例函数的解析式 （k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定 了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点的坐标，代入 中即可． 2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值， 若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上 （2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在 图象上． 9．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（3，2），C（﹣ k 6，m）分别在三个不同的象限．若反比例函数y＝ x （k≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____． 10.当 为何值时 是反比例函数？ 11.已知 的图象是双曲线，且在第二、四象限， (1)求 的值． (2)若点(－2， )、(－1， )、(1， )都在双曲线上，试比较 、 、 的大小． 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考向四 反比例函数中 k 的几何意义 三角形的面积与k的关系：（1）因为反比例函数 中的k有正负之分，所以在利用解 析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为 |k|，满 足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂 线的垂足． 12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比 例函数 图像上的一点，过点A分别作 轴于点M， 轴于直N， 若四边形 的面积为2．则k的值是（ ） A．2 B． C．1 D． 13．（2023·广西·统考中考真题）如图，过 的图象上点A，分别作x轴，y轴的 平行线交 的图象于B，D两点，以 ， 为邻边的矩形 被坐标轴分割成四 个小矩形，面积分别记为 ， ， ， ，若 ，则 的值为（ ） 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．4 B．3 C．2 D．1 14．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分 别为 与 关于直线 对称，反比例函数 的图象与 交于点 ．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 15．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲 线 （其中 ）相交于 ， 两点，过点B作 轴，交y轴于 点P，则 的面积是___________． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考向五 反比例函数与一次函数的综合 反比例函数与一次函数综合的主要题型： （1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置； （2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标； （3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式； （4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等． 解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题． 16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点 在双曲线 上，将直线 向上平移若干个单位长度交 轴于点 ，交双曲线于点 ．若 ，则点 的坐标是 ___________． 17．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数 与反比例函数 相交于点A和点 ． 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求m的值和反比例函数解析式； (2)当 时，求x的取值范围． 18．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知 ，设函数 与函 数 的图象交于点 和点 ．已知点 的横坐标是2，点 的纵坐标是 ． (1)求 的值． (2)过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，在第二象限交于点 ；过点 作 轴的垂 线，过点 作 轴的垂线，在第四象限交于点 ．求证：直线 经过原点． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考向六 反比例函数的应用 用反比例函数解决实际问题的步骤 （1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； （2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； （4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （5）解：用函数解析式去解决实际问题． 19.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化 而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理 想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部 分）： （1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达 到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 20.如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y（微克/毫 升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．并测得 当y=a时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时， 药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？ 考向七 反比例函数与平面几何综合 类型一最值问题 21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，等腰直角三角形 的直角顶点 ，顶点A、 恰好落在反比例函数 第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式； (2)在x轴上是否存在一点P，使 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 请说明理由． 类型二存在性 22．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x 轴交于点 ，与y轴交于点 ，与反比例函数 在第四象限内的图象交于点 ． 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求反比例函数的表达式： (2)当 时，直接写出x的取值范围； (3)在双曲线 上是否存在点P，使 是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在， 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型三三角形面积问题 23．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，反比例函数 （ 为常数， ）与正比 例函数 （ 为常数， ）的图像交于 两点． 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)求反比例函数和正比例函数的表达式； (2)若y轴上有一点 的面积为4，求点 的坐标． 18