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→➌题型突破←→➍专题训练←
题型一菱形的性质判定及其应用
1．（如图，四边形 是菱形，点E，F分别在 边上，添加以下条件不能判定
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形全等判定定理SAS可判定A，三角形全等判定定理AAS可判定B，三角形全等判
定定理可判定C，三角形全等判定定理AAS可判定D即可．
【详解】
解: ∵四边形 是菱形，
∴AB=AD,∠B=∠D,
A. 添加 可以，
在△ABE和△ADF中，
，
∴ (SAS)，
故选项A可以；
B.添加 可以，
在△ABE和△ADF中
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，
∴ (AAS)；
故选项B可以；
C. 添加 不可以，条件是边边角故不能判定；
故选项C不可以；
D. 添加 可以，
在△ABE和△ADF中
，
∴ (SAS)．
故选项D可以；
故选择C．
【点睛】
本题考查添加条件判定三角形全等，菱形性质，掌握三角形全等判定定理，菱形性质是解
题关键．
2．如图，在菱形ABCD中， ， ，过菱形ABCD的对称中心O分别作边
AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
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依次求出OE=OF=OG=OH，利用勾股定理得出EF和OE的长，即可求出该四边形的周长．
【详解】
∵HF⊥BC,EG⊥AB,
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∵∠A=120°，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，∠EOH=60°，
由菱形的对边平行，得HF⊥AD,EG⊥CD，
因为O点是菱形ABCD的对称中心，
∴O点到各边的距离相等，即OE=OF=OG=OH，
∴∠OEF=∠OFE=30°，∠OEH=∠OHE=60°，
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，
所以四边形EFGH是矩形；
设OE=OF=OG=OH=x，
∴EG=HF=2x， ，
如图，连接AC，则AC经过点O，
可得三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB=2,
∴OA=1,∠AOE=30°，
∴AE= ，
∴x=OE=
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE= ,
故选A．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角
三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相
关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．
3．如图，已知点 是菱形 的对角线 延长线上一点，过点 分别作 、
延长线的垂线，垂足分别为点 、 ．若 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】
根据菱形的基性质，得到∠PAE=30°，,利用勾股理求出AC= ，则AP= +PC，PE=
AP= + PC ，由∠PCF=∠DCA=30°，得到PF= PC ，最后算出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形且∠ABC=120°，AB=2，
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∴AB=BC=CD=DA=2，∠BAD=60°，AC⊥BD，
∴∠CAE=30︒，
∵AC⊥BD，∠CAE=30°，AD=2，
∴AC= ，
∴AP= +PC，
在直角△AEP中，
∵∠PAE=30°，AP= +PC，
∴PE= AP= + PC，
在直角△PFC中，
∵∠PCF=30°，
∴PF= PC，
∴ = + PC- PC= ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直
角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．
4．如图，在菱形 中， ，连接 、 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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【分析】
设AC与BD的交点为O，由题意易得 ，
，进而可得△ABC是等边三角形， ，然后问
题可求解．
【详解】
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴△ABC是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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故选D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性
质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
5．如图，菱形 的对角线 与 相交于点 ，点 在 上，连接 ， ，
， ， ，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】
根据菱形的性质以及已知条件，可得 是等边三角形，可得 ，进而根据
，可得 ，进而可得 ,根据 ， ，
，即可求得 ．
【解析】
四边形 是菱形，
, ，
，
是等边三角形，
，
，
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，
，
，
，
，
即 ，
，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性
质，综合运用以上知识是解题的关键．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结
论中不一定正确的是（ ）
A．AB＝AD B．OE AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO
【答案】C
【分析】
由菱形的性质可得AB=AD=CD，AC⊥BD，由直角三角形的性质可得OE=DE=CE= CD= AB，即
可求解．
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，
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∴AB=AD=CD，AC⊥BD，故选项A不合题意，
∵点E是CD的中点，
∴OE=DE=CE= CD= AB，故选项B不合题意；
∴∠EOD=∠EDO，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，掌握菱形的性质是是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别
是AC的三等分点，则S ÷S 的值为（ ）
四边形EHFG 菱形ABCD
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意可证EG∥BC，EG＝2，HF∥AD，HF＝2，可得四边形EHFG为平行四边形，即可求解．
【解析】
解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴ ，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴ ， ，
∴ ，
∴EG∥BC
∴ ，
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同理可得HF∥AD， ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，由题意可证EG∥BC，HF∥AD是本题的关键．
9．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O， ，垂足为E， ，
，则 的长为______．
【答案】
【分析】
直接利用菱形的性质得出AO，DO的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积
法得出答案．
【详解】
解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，DB=6，
∴AO=4，DO=3，∠AOD=90°，
∴AD=5，
在 中，由等面积法得： ,
∴
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故答案为： ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的高的求法（等面积法），熟记性
质与定理是解题关键．
10．菱形 中，对角线 ，则菱形的高等于___________．
【答案】
【分析】
过A作AE⊥BC，垂足为E，根据菱形的性质求出菱形边长，再利用菱形的面积公式得到方
程，解之可得AE．
【详解】
解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB= BD=12，OA= AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC= =13，
∵S = ，
菱形ABCD
∴ ，
解得：AE= ，
故答案为： ．
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【点睛】
本题考查了菱形的性质和勾股定理的应用，能熟记菱形的性质是解此题的关键，注意：菱
形的四条边都相等，菱形的对角线互相平分且垂直．
11．如图，在菱形ABCD中，对角线 ， ，分别以点A，B，C，D为圆心，
的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结
果保留 ）
【答案】
【分析】
先根据菱形的性质得出AB的长和菱形的面积，再根据扇形的面积公式求出四个扇形的面积
和即可得出答案
【详解】
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解：∵四边形ABCD是菱形， ， ，
∴AC⊥BD，AO=6，BO=8；
∴ ；
∴菱形ABCD的面积=
∵四个扇形的半径相等，都为 ，且四边形的内角和为360°，
∴四个扇形的面积= ，
∴阴影部分的面积= ；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
12．如图1，菱形 的对角线 与 相交于点O，P、Q两点同时从O点出发，以
1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．点P的运动路线为 ，点Q的
运动路线为 ．设运动的时间为x秒，P、Q间的距离为y厘米，y与x的函数
关系的图象大致如图2所示，当点P在 段上运动且P、Q两点间的距离最短时，P、Q
两点的运动路程之和为__________厘米．
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【答案】
【分析】
四边形 是菱形，由图象可得AC和BD的长，从而求出OC、OB和 ．当点P在
段上运动且P、Q两点间的距离最短时，此时 连线过O点且垂直于 ．根据三
角函数和已知线段长度，求出P、Q两点的运动路程之和．
【详解】
由图可知， （厘米），
∵四边形 为菱形
∴ （厘米）
∴
P在 上时，Q在 上， 距离最短时， 连线过O点且垂直于 ．
此时，P、Q两点运动路程之和
∵ （厘米）
∴ （厘米）
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故答案为 ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质和三角函数．解题的关键在于从图象中找到菱形对角线的长度．
13．如图，在菱形 中， ， 为 中点，点 在 延长线上， 、 分别
为 、 中点， ， ，则 _____．
【答案】4
【分析】
连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理
可得CG= 2HF= ，由AB CD，得 CDM= A= 60°，设DM= x，则CD= 2x，CM=
x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得 ，即可求出x的值，
从而解决问题．
【解析】
如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，
F、H分别为CE、GE中点，
FH是△CEG的中位线，
HF= CG，
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四边形ABCD是菱形，
AD BC，AB CD，
DGE = E，
EHF= DGE，
E= EHF，
HF = EF = CF，
CG= 2HF = ，
AB CD，
CDM= A = 60°，
设DM= x，则CD= 2x，CM= x，
点G为AD的中点，
DG= x，GM=2x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
，
x=2，
AB = CD= 2x= 4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作
辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键．
14．如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 的延长线上，且
．连接 、 ．
求证： ．
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【答案】见解析
【分析】
根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，
∴∠CDF=∠CBE，
在△BEC和△DFC中，
，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=CF．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等
的条件．
15．如图，在 中， 的角平分线交 于点D， ．
（1）试判断四边形 的形状，并说明理由；
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（2）若 ，且 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4
【分析】
（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分
线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；
（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式
计算即可．
【详解】
解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EDA=∠EAD，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
（2）∵∠BAC=90°，
∴四边形AFDE是正方形，
∵AD= ，
∴AF=DF=DE=AE= =2，
∴四边形AFDE的面积为2×2=4．
【点睛】
本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的
关键是掌握特殊四边形的判定方法．
16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC
的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
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（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明 ，则可得到AE
＝CF；
（2）连接BF，DE，由 ，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行
四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【详解】
证明：（1）∵四边形 是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中
∴
∴AE＝CF
（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
如图：连结BF，DE
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∵四边形 是平行四边形
∴OB＝OD
∵
∴
∴四边形 是平行四边形
∵EF⊥BD，
∴四边形 是菱形
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟
悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．
题型二矩形的性质判定及其应用
ABCD AC BD O AB6 BC 8 O
17．如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ， ， ，过点 作
OE AC AD E E EF BD F OEEF
，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的值为
（ ）
48 24 12
32
A． 5 B． 5 C． 5 D． 5
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【答案】C
AOE ADC
【分析】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明 得
到OE的长，再证明DEF DBA可得到EF的长，从而可得到结论．
AC BD
【详解】∵四边形ABCD是矩形， ，
ABC BCD ADC BAD 90
AB 6 BC 8ADBC 8 DC AB6
， ，
AC AB2 BC2 10，BD10， ，
， ，
又 ， ， ，
， ， ， ，同理可证， ，
， ， ， ，故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是
解答此题的关键．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C
恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
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【答案】D
【分析】
设CE=x，则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x，DF=CD=AB=5，所以AF=4，BF=AB-AF=5-
4=1，在Rt△BEF中，由勾股定理得(3-x)2+12=x2，解得x的值即可．
【详解】
解：设CE=x，则BE=3-x，
由折叠性质可知，
EF=CE=x，DF=CD=AB=5
在Rt△DAF中，AD=3，DF=5，
∴AF= ，
∴BF=AB-AF=5-4=1，
在Rt△BEF中，BE2+BF2=EF2，
即(3-x)2+12=x2，
解得x= ，
故选：D．
【点睛】
本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键．
19．如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别是 ，
的中点，连接 ，若 ， ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理求出BD的长，根据矩形的性质求出OD的长，最后根据三角形中位线
定理得出EF的长即可．
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【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC=OD=OB，
∵ ， ，∴AC= ∴BD=10cm，∴
，
∵点 ， 分别是 ， 的中点，∴ ．故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本
知识．
20．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以
1cm/s的速度匀速运动到点C， 的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象
如图2所示，则AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再
根据图象可知 的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题．
【解析】
解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过
程中，S随t的增大而减小．
∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，
∵点P的运动速度为1cm/s，
∴BC=1×4=4（cm），
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∵当点P在直线AB上运动至点B时， 的面积最大，
∴由图象2得： 的面积6cm2，
∴ ，
∴ cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据
函数图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
21．如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，
B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段 的长
是（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】
先利用矩形的性质与勾股定理求解 再利用轴对称的性质求解 ，从而可得答案.
【解析】
解： 矩形纸片ABCD，
由折叠可得：
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同理：
故选：
【点睛】
本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键.
22．如图，在矩形纸片ABCD中， ， ，M是BC上的点，且 ．将矩形纸
片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点 处，折痕为MN，
则线段PA的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】
连接PM，证明 即可得到 ，PA=5．
【解析】
连接PM
∵矩形纸片ABCD中， ， ，
∴
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∵
∴
∵折叠
∴ ,
∴
∵PM=PM
∴
∴
∴
故选B．
【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件 ，学会利用翻折不变
性解决问题．
23．如图，在矩形 中， ，点E，F分别在边 上，且
，按以下步骤操作：第一步，沿直线 翻折，点A的对应点 恰好落在对角线
上，点B的对应点为 ，则线段 的长为_______；第二步，分别在 上取
点M，N，沿直线 继续翻折，使点F与点E重合，则线段 的长为_______．
【答案】1
【分析】
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连接AF，NE，NF，证明出△AOE △ADC，利用对应边成比例求出OE= ，再根据勾股定
理求出 的长，利用勾股定理求出EF ，再根据折叠的性质，得到NF=NE，最后得
出结果．
【详解】
解：如图所示，连接AF，NE，NF，
∵点F与点E重合，
∴MN⊥EF，
设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到OA=OA’=3，
令BF=x，则FC=8-x,
由勾股定理的：
，
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC
∴△AOE △ADC，
∴ ，
由勾股定理得到：AC= ，
∴ ，
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∴OE= ，
∴OA= ，
∴OC= ，
∵ ，
∴ ，
解得： ,
∴ 的长为1．
设B’N=m，B’F=1，则 ，
解得：m=1，则FN= ，
∵EF= ，
∴MF= ，
∴MN= ，
故答案为：1， ．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质和勾股定理的应用，关键在于画出图形，利用三角形相似和勾
股定理求出各边的长度，特别注意点F与点E重合用到垂直平分线的性质．
24.如图，矩形 中， ， ，对角线 的垂直平分线 交 于点 、交
于点 ，则线段 的长为 __．
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【答案】
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理求出BD，证明△BOF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到比例
式，求出EF即可．
【解析】
解：如图：
四边形 是矩形，
，又 ， ，
，
是 的垂直平分线，
， ，又 ，
，
，
，
解得， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
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是 的垂直平分线，
， ，
在 和 中，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个
角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键．
25.如图，在矩形 中，E为 的中点，连接 ，过点E作 的垂线交 于点F，
交CD的延长线于点G，连接CF．已知 ， ，则 _________．
【答案】
【分析】
由题意，先证明△AEF≌△DEG，则EF=EG， ，利用等腰三角形的性质，求出
，然后得到AB=CD= ，则 ，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的长度，
即可求出FE的长度．
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【解析】
解：根据题意，在矩形 中，则
AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，
∵E为 的中点，
∴AE=DE，
∵∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG，
∴EF=EG， ；
∵CE⊥FG，
∴ ，
∴AB=CD= ，
∴ ，
在直角△BCF中，由勾股定理则
，
∴AD=3，
∴ ，
在直角△AEF中，由勾股定理则
；
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，
26.如图，将矩形纸片 折叠（ ），使 落在 上， 为折痕，然
后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将 边折起，使点B落在 上的点G处，
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连接 ，若 ， ，则 的长为________．
【答案】
【分析】
根据矩形的性质和正方形的性质，证明 ，从而 ，又因为
，代入求解即可．
【详解】
解：∵四边形 是矩形, ，
∴ , , ,且四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
又∵ （折叠，
∴ ， , ，
设 ,则 ，
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∴ ，
又∵ 是正方形 对角线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，即 ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，正方形的性质和判定，三角形全等等相关知识点，根据题意找
到等量关系转换是解题的关键．
解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到 ．
27.如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点， ，
则GH的长为________．
【答案】3
【分析】
根据直角三角形的性质和三角形中位线的性质，即可求解．
【详解】
∵在矩形ABCD中，∠BAE=90°，
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又∵点F是BE的中点， ，
∴BE=2AF=6，
∵G，H分别是BC，CE的中点，
∴GH是 的中位线，
∴GH= BE= ×6=3，
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握直角三角
形斜边上的中线等于斜边上的一半，是解题的关键．
28.如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿
边向点 运动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点
运动，到达点 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当
为_____时， 与 全等．
【答案】2或
【分析】
可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到 ，
，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【解析】
解：①当 ， 时， ，
，
，
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，
，解得： ，
，
，
解得： ；
②当 ， 时， ，
，
，
，解得： ，
，
，
解得： ，
综上所述，当 或 时， 与 全等，
故答案为：2或 ．
【点睛】
主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定
与性质．
29.已知：如图，矩形 的对角线 相交于点O， ．
（1）求矩形对角线的长．
（2）过O作 于点E，连结BE．记 ，求 的值．
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【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）根据矩形对角线的性质，得出△ABO是等腰三角形，且∠BOC=120°，即
∠AOB=60°，则△ABO为等边三角形，即可求得对角线的长；
（2）首先根据勾股定理求出AD，再由矩形的对角线的性质得出OA=OD,且OE⊥AD，则AE=
AD，在Rt△ABE中即可求得 ．
【详解】
解：（1）∵四边形 是矩形
，
是等边三角形，
，
所以 ．
故答案为：4．
（2）在矩形 中， ．
由（1）得， ．
又
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在 中， ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三
角形中求锐角正切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键．
30.如图，点C是 的中点，四边形 是平行四边形．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证：四边形 是矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形
ACED是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
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∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
【点睛】
本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
31.如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，
▱
AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质得到两角一边对应相等，利用 AAS判定△ABE≌△FCE，从
而得到AB＝CF；由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC＝AF，根据对角线相等的平行
四边形是矩形，可得到四边形ABFC是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
32.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线
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交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，
根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角
形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
33.如图，菱形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点 F，G在AB上，
EF⊥AB，OG∥EF．
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（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
1
【分析】（1）根据菱形的性质得到 BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OE= AD，推出
2
OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
1
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE= AD＝5；由（1）知，四边
2
形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，
∵E是AD的中点，
1
∴AE＝OE= AD，
2
∴∠EAO＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠BAO，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
1
∴OE＝AE= AD＝5；
2
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由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF=√AE2−EF2=3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
题型三正方形的性质判定及其应用
34.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O做
ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】
先证明 ，再证明四边形MOND的面积等于， 的面积，继而解
得正方形的面积，据此解题．
【详解】
解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC，
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又
四边形MOND的面积是1，
正方形ABCD的面积是4，
故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握
相关知识是解题关键．
35.如图，在边长为3的正方形 中， ， ，则 的长是
（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】
由正方形的性质得出 ， ，由 证得 ，即可得
出答案．
【解析】
解： 四边形 是正方形，
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， ，
∵在 中， ，
，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： （负值舍去），
，
，
，
，
，
， ，
，
．
故选： ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含 角的直角三角形的
性质等知识，证明 是解题的关键．
36.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 如图所示．过点 作
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的垂线交小正方形对角线 的延长线于点 ，连结 ，延长 交 于点 ．
若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据
可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可
得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH= FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明
△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH= BE，可得BH= ，利用勾股定理可用BE表
示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形 ，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵ ，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
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∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH= QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中， ，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH= DF= BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH= ，
在Rt△PCH中，CH= = ，
∴CG= BE，
∴ ．
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故选：C．
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及勾股定理，熟
练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
37.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上， ， ，则
AF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
过 作 的垂线分别交 于 ,由 ，证明 ，设
，根据 ，求得 ，在 中，利用勾股定理即可求得 ．
【解析】
如图，过 作 的垂线分别交 于 ，
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四边形 是正方形，
，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
在 和 中，
（AAS），
，
设 ，则 ，
，
即 ，
解得 ，
，
四边形 是正方形， ，
，
，
．
故选B
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【点睛】
本题考查了矩形的性质，正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰直角
三角形的性质，求得 是解题的关键．
38.如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中， ，直角顶点P
在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为
MN的中点，则 的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【分析】
根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出
的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
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故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用
相关性质，根据角的关系进行计算．
39.如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将
BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，
∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股
定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用 求解即
可.
【解析】
解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8），
∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，
由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，
在直角三角形BEO中： ，
∴ ，
设 ，则
在直角三角形ADE中： ，
∴ ，
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解得 ，
∴ ，
∵∠DEB=90°，
∴ ，
故选D.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟
练掌握相关知识进行求解.
40.如图，在正方形ABCD中， ，M是AD边上的一点， ．将
沿BM对折至 ，连接DN，则DN的长是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】
延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 ，根据折叠的正方形的性质得到
，在 中应用勾股定理求出DE的长度，通过证明 ，利用
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相似三角形的性质求出NF和DF的长度，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：如图，延长MN与CD交于点E，连接BE，过点N作 ，
∵ ，M是AD边上的一点， ，
∴ ， ，
∵将 沿BM对折至 ，四边形ABCD是正方形，
∴ ， ，
∴ (HL)，
∴ ，
∴ ，
在 中，设 ，则 ，
根据勾股定理可得 ，解得 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容，做出合适的辅
助线是解题的关键．
41.如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A
恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2 B．2 C．6 D．5
【答案】D
【分析】
作FH⊥AB于H，交AE于P，设AG=GE=x，在Rt△BGE中求出x，在Rt△ABE中求出AE，再
证明△ABE≌△FHG，得到FG=AE，然后根据S =S +S 求解即可
四边形AGEF △AGF △EGF
【解析】
解：作FH⊥AB于H，交AE于P，则四边形ADFH是矩形，由折叠的性质可知，AG=GE，
AE⊥GF，AO=EO．
设AG=GE=x，则BG=3-x，
在Rt△BGE中，
∵BE2+BG2=GE2，
∴12+(3-x)2=x2，
∴x= ．
在Rt△ABE中，
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∵AB2+BE2=AE2，
∴32+12=AE2，
∴AE= ．
∵∠HAP+∠APH=90°，∠OFP+∠OPF=90°，∠APH=∠OPF，
∴∠HAP=∠OFP，
∵四边形ADFH是矩形，
∴AB=AD=HF．
在△ABE和△FHG中，
，
∴△ABE≌△FHG，
∴FG=AE= ，
∴S =S +S
四边形AGEF △AGF △EGF
=
=
=
=
=5．
故选D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，三角形的面积，以及勾股定
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理等知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．
42.如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 ，使点B落在点
的位置，连接B ，过点D作DE⊥ ，交 的延长线于点E，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用已知条件求得 ,设 ，将 都表示出含有 的代数
式，利用 的函数值求得 ，继而求得 的值
【解析】
设 交于点 ,
由题意：
是等边三角形
四边形 为正方形
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∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥
又
设
则
解得：
故选A
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角
三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．
43.如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜
180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′
的长度是 ___．
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【答案】
【分析】
连接AA′，根据旋转和正方形的性质得出∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，
OA=OA′=AB=2，再根据等腰三角形的性质，结合已知条件得出旋转角 ，然后利用三
角形的性质和勾股定理得出答案；
【解析】
解：连接AA′，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连
接BC′，当点A′恰好落在线段BC′
∴∠OA′C′=45°，∠BA′O=135°，OA=OA′=AB=2，
∴∠OA′A=∠OAA′= ，
∴∠BAA′= ，
∴∠ABA′=∠AA′B= ，
∴∠BA′O=135°=∠AA′B+∠OA′A，
∴ ，
∴ ，∠A′AB=30°，
∴△OAA′为等边三角形，
∴AA′=AB=2，
过点A′作A′E⊥AB于E，
∵∠A′AB=30°，
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则A′E= ，AE= ，
∴BE= ，
∴A′B= ，
∵A′C′= ，
∴BC′= A′B+ A′C′= ；
故答案为：
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰直角三角形以及勾股定理，解题的关键是得
出旋转角 得出△OAA′为等边三角形．
44.已知 的三个顶点都是同一个正方形的顶点， 的平分线与线段 交于
点D．若 的一条边长为6，则点D到直线 的距离为__________．
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【答案】3或 或 或
【分析】
将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答．
【详解】
解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点，
如图，若∠ABC=90°，
则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点，
过点D作DF⊥AB，垂足为F，
当AB=BC=6，
则DF= BC=3；
当AC=6，
则AB=BC= = ，
∴DF= BC= ；
如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，AD=DF，
又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BFD（AAS），
∴AB=BF，
当AB=AC=6，
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则BC= ，
∴BF=6，CF= ，
在正方形ABEC中，∠ACB=45°，
∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD= ；
当BC=6，
则AB=AC= = ，
同理可得： ，
综上：点D到直线AB的距离为：3或 或 或 ，
故答案为：3或 或 或 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，
全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况
解答．
45.如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，
点F在CD上，N为EF的中点，连结NA，以NA，NF为邻边作□ANFG．连结DG，DN，将
Rt△ECF绕点C顺时针方向旋转，旋转角为 （0°≤ ≤360°）．
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（1）如图1，当 ＝0°时，DG与DN的关系为____________________；
（2）如图2，当 时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若
不成立，请说明理由；
（3）在Rt△ECF旋转的过程中，当□ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，
EC＝ 时，连结GN，请直接写出GN的长．
【答案】（1）DG＝DN，且DG⊥DN；（2）成立，理由见解析；（3）GN＝ 或
【分析】
（1）如图1中，连接AE，AF，CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），推出DG=DN，
∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（2）如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．证明△GAD≌△NCD（SAS），
推出DG=DN，∠ADG=∠CDN，推出∠GDN=∠ADC=90°，可得结论；
（3）分两种情形：如图3-1中，当点G落在AD上时，如图3-2中，当点G落在AB上时，
分别利用勾股定理求出GN即可．
【解析】
解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
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∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CB=CD，∠B=∠ADF=90°，
∵CE=CF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵EN=NF，
∴AN⊥EF，CN=NF=EN，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF=90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG=FN=CN，∠GAN=90°，
∵∠DCA=∠DAC=45°，
∴∠GAD=∠NCD=45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN．
故答案为：DG⊥DN，DG=DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
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∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG=NF，
∴∠DAG=∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J=∠CKE，
∵CE=CF，EN=NF，
∴CN=NE=NF=AG，CN⊥EF，
∴∠ECN=∠CEN=45°，
∴∠EKC+∠ECK=∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN=∠CKE，
∴∠GAD=∠DCN，
∵GA=CN，AD=CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG=DN，∠ADG=∠CDN，
∴∠GDN=∠ADC=90°，
∴DG⊥DN，DG=DN；
（3）如图3-1中，当点G落在AD上时，
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∵△ECN是等腰直角三角形，EC=5 ，
∴EN=CN=NF=5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG=NF=5，
∵AD-CD=12，
∴DG=DN=7，
∴GN=7 ．
如图3-2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN=5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG=CN=5，
∴BG=AB-AG=7，BN=BC+CN=17，
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综上所述，满足条件的GN的值为 或
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形
等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
46.已知正方形 ， ， 为平面内两点．
（探究建模）
（1）如图1，当点 在边 上时， ，且 ， ， 三点共线．求证： ；
（类比应用）
（2）如图2，当点 在正方形 外部时， ， ，且 ， ， 三点共
线．猜想并证明线段 ， ， 之间的数量关系；
（拓展迁移）
（3）如图3，当点 在正方形 外部时， ， ， ，且 ，
， 三点共线， 与 交于 点．若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；理由见解析（3）
【分析】
（1）根据正方形性质以及题意证明 即可得出结论；
（2）根据已知条件证明 ，然后证明 为等腰直角三角形即可得出
结论；
（3）先证明 ，得出 为等腰直角三角形，根据勾股定理以及等腰直
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角三角形的性质求出 的长度，即可得出结论．
【解析】
解：（1）∵四边形 是正方形， ， ， 三点共线，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
∴ ,
在 和 中，
,
∴ ,
∴ ;
（2）∵ ，四边形 是正方形，
∴ , ,
∴ ,
∵ ， ，
∴ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ ,
∴ ,
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ,
即 ；
（3）过点D作 于点H，连接BD，
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∵ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
在 和 中，
,
∴ ,
∴ ， ，
∵ 且 ,
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
在 中， ,
∴ ,
∵ 是正方 对角线，
∴ ,
∵
∴ ,
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ,
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∴在 中， ,
∴ ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形判定与
性质，熟知性质定理是解本题的关键．
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