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专题 07 平面向量
1．（2021·浙江高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
2．（2021·全国高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量
的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以，
同理 ，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
3．（2021·全国高考真题（文））若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
4．（2021·浙江高考真题）已知平面向量 满足 .记向量
在 方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________.【答案】
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式
即可得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可
求得最小值.
5．（2021·全国高考真题（文））已知向量 ，若 ，则 _________．【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
6．（2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______； _______．
【答案】0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.
【详解】 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
7．（2021·天津高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交
AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
【答案】1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于
的关系式即可求出最值.【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
8．（2021·江苏高考真题）已知向量 ， ，设函数 .
（1）求函数 的最大值;
（2）在锐角 中，三个角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
，求 的面积.【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得 ，
进而可得 的最大值；
（2）由锐角 ，推出 ，再结合 （B） ，求得 ，由正弦定理知 ，
再利用余弦定理求出 ， ，最后由三角形面积公式得解．
【详解】（1）因为 ， ，
所以函数
∴当 时，
（2）∵ 为锐角三角形， .
又即
1．（2021·安徽高三其他模拟（文））在 中， ， ， ，
则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算算出答案即可.
【详解】因为 ，
因为 ，
所以 ，即 ，所以 .
故选：C
2．（2021·福建高三其他模拟）向量 ， ．若 ，则 （ ）．
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】解法一：利用向量的坐标运算求得 ， 的坐标，再根据向量垂直的条件建立方程，解之
可得选项.解法二：根据向量垂直的条件得出 ，再运用向量数量积的运算律求得 ，从而
可得选项.
【详解】解法一： ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 ．
解法二：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
故选：C.
3．（2021·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三三模（文））在菱形 中， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用 、 表示向量 、 ，利用平面向量数量积的定义与运算性质可计算得出
的值.
【详解】由平面向量数量积的定义可得 ，
因为 ，所以
.
故选：B.
4．（2021·福建三明市·三明一中高三其他模拟）已知向量 ， ，且 与 共线，
则x=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先表示出向量 和 的坐标，然后由 与 共线，列方程可求出 的值
【详解】∵ ， ， 与 共线，
∴ ，解得 ．
故选：B．
5．（2021·北京高一其他模拟）已知向量 ，向量 ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示，求出 的值，从而得到 的坐标，然后由向量模长的坐标公式求出
.
【详解】向量 ，向量 ，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
故选：A.
6．（2021·四川德阳市·高三二模（文））图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四
个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成个大的正方形，某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三
个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若 ， ，那么
（ ）
A．2 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】由已知图形可得 ，展开后代入向量的数量积公式求值．
【详解】解：由题意可知， ，
，
又 ， ，
， ，．
故选：D．
7．（2021·陕西高三其他模拟（文））如图，边长都为 的正方形 与正方形 的中心
分别为 ，点 分别是 的中点，则 （ ）
A． B．8 C．10 D．
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算得到 ， ，再根据平面
向量数量积的运算律计算可得；
【详解】解： ，所以
故选：C
8．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三其他模拟（文））已知 为锐角，若 ， ，
与 的夹角为 ，则 的值（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式，直接带入数据，利用三角恒等变化公式，即可得解.
【详解】 ，
故选：D.
9．（2021·湖南高三其他模拟）已知向量 ， 满足 ， ，若 与 共线，
则 （ ）
A．2 B．4 C． D．22
【答案】A
【分析】先根据向量共线求解出 的值，然后根据向量的模长以及数量积采用先平方再开根号的方法求解
出 的大小.【详解】因为 与 共线，所以 ， .
又 ， ，所以
.
故选：A.
10．（2021·重庆高三三模）己知双曲线 的左右焦点为 ，虚轴长为 ，若其
渐近线上横坐标为1的点P恰好满足 ，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】先求得 的值，利用一条渐近线方程求得点 坐标，然后利用数量积得
，结合 求得离心率.
【详解】解：虚轴长为 ，得 ，设一条渐近线 ，则 ，
，
又 ，解得 ，
故 ，故选：A.11．（2021·湖南永州市·高三其他模拟）在 中，角 所对的边分别为 ，则能确定 为
钝角的是（ ）
A．
B． 均为锐角，且
C． 均为锐角，且
D．
【答案】AC
【分析】对于A：结合向量的数量积的计算公式可以判断出角 的余弦值的符号，即可确定角 的范围；
对于B：利用诱导公式转化为同名函数，然后根据函数的单调性即可判断；
对于C：首先判断出角 的正切值的符号，即可确定角 的范围；
对于D：结合余弦定理以判断出角 的余弦值的符号，即可确定角 的范围
【详解】对于A： ，即 ，可得 ，
又 为三角形的内角，所以 为钝角；故A正确
对于B： 均为锐角， 等价于 ，
又因为 在 上单调递增，所以 ，
即 ， ，故B错误；
对于C： 均为锐角，可得 ， ，
又 ，所以 ，故B为钝角；故C正确
对于D： ，所以 ，所以 为锐角，故D错误，
故选：AC.【点睛】
判断三角形的内角的范围的问题
（1）根据正余弦定理判断出对应角的正弦值或者余弦值的符号，再确定角的范围即可；
（2）结合向量的数量积的公式判断对应角的余弦值的符号，再确定角的范围即可；
（3）利用诱导公式转化为同名函数，利用函数的单调性进行判断.
12．（2021·广东汕头市·高三二模）已知菱形 边长为1， ，E是 中点，F是 中
点，M是 中点，延长 交 于N(如图所示)，设 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．. B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算及数量积的运算性质分别验证即可求解.
【详解】由F是 中点可得，
，故A正确；
因为E是 中点，M是 中点，所以 ,又 ,
所以 错误，故B错误；
因为 ， ，所以 ，故C正确;
若 ，则 ，即 ,
即 ,由图形可知显然不成立，故D错误.
故选：AC
13．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）已知平面向量 ， ，且 ， 的夹角是钝
角，则 可以是（ ）
A．-1 B． C． D．2
【答案】BD
【分析】根据题意得出 且 与 不共线，运算即可.
【详解】因为 与 的夹角为钝角，
所以 且 与 不共线，
即 且 ，
所以 且
故选：BD
14．（2021·全国高三其他模拟）下列说法正确的是（ ）
A．若 为平面向量， ，则
B．若 为平面向量， ，则
C．若 ， ，则 在 方向上的投影为
D．在 中，M是AB的中点， ＝3 ，BN与CM交于点P， ＝ + ，则λ＝2μ
【答案】CD【分析】利用向量共线的概念判断A、B，；利用向量数量积的定义可判断C；利用向量共线的推论即可
判断D.
【详解】A，若 ，则 与任意向量共线，所以 与 不一定平行，故A错误；
B，若 ，则 ， ，当 共面时， ，
若 不共面时， 与 不平行，故B错误；
C，若 ，则 ，所以 ，
在 方向上的投影为 ，故C正确；
D， ，设 ,
则
，
设 ，则 ，即 ，①
，设 ，
，
，即 ，②由①②可得 ， ，即 ，故D正确.
故选：CD
15．（2021·福建高三三模）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】由已知求解方程组可得 与 ，求模判断A；由 判断B；由数量积求夹角判断C；由数量
积不为0判断D．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，得 ， ，故A错误；
又 ，则 ，则 ，故B正确；
，又 ，∴ ，故C正确；
∵ ，∴ 与 不垂直，故D错误.
故选：BC．
16．（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）设 是已知的平面向量且 ，向量 ， 和 在同一
平面内且两两不共线，关于向量 的分解，下列说法正确的是（ ）
A．给定向量 ，总存在向量 ，使 ；
B．给定向量 和 ，总存在实数 和 ，使 ；
C．给定单位向量 和正数 ，总存在单位向量 和实数 ，使 ；D．给定正数 和 ，总存在单位向量 和单位向量 ，使 .
【答案】AB
【分析】由平面向量的加减法可判断A，由平面向量基本定理可判断B，举出反例可判断C、D.
【详解】对于A，给定向量 ，总存在向量 ，使 ，故A正确；
对于B，因为向量 ， ， 在同一平面内且两两不共线，由平面向量基本定理可得：
总存在实数 和 ，使 ，故B正确；
对于C，设 ，给定 ，则不存在单位向量 和实数 ，使 ，故C错误；
对于D, 设 ，给定 ，则不存在单位向量 和单位向量 ，使 ，故D错误.
故选：AB.
17．（2021·河南高三其他模拟（文））已知向量 ， ， ，则 ______．
【答案】
【分析】首先求出 ，再根据向量平行的坐标表示计算可得；
【详解】解：因为 ， ，所以
因为 ，所以 ，则 ．
故答案为：
18．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（文））若单位向量 ， 满足 ，则 ，
的夹角为___________.
【答案】
【分析】根据向量数量积的定义求出向量夹角的余弦值，即可得答案；
【详解】 ，，
， ，
又 ， ，
故答案为： .
19．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（文））已知 ， ，且 ，则
___________.
【答案】
【分析】先由 求出 ，再求出
【详解】因为 ，所以 ，即 ，解得 ，所以
.
故答案为： .
20．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））已知非零向量 ， 满足 ，且
，则 和 的夹角为___________.
【答案】135°
【分析】将已知等式两边同时平方求得 ，进而利用向量的夹角余弦公式计算，求得夹角的余弦值，
进而得解.
【详解】解：不妨设 .
,∴ ，
∴ ,
则
，
设 与 的夹角是的夹角是 ,
, ,
故答案为: .
21．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（文））已知 ， 夹角为120°， ， . 与
夹角为150°，如图所示位置 ，若 ， ___________， ___________.
【答案】 2
【分析】以 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，然后根据已知条件求出向量 ， ， 的坐标，代
入解方程求出 和 .【详解】
如图所示，以 所在的直线为 轴建立平面直角坐标系，
设 ， ， 的终点坐标为 ， ， ，
则 ，所以 ，
因为 ，且 与 的夹角为120°，则 与 轴的夹角为30°，
所以 ，所以 ，
又 ，且 与 的夹角为150°，则 与 轴的夹角为60°，
所以 ，所以 ，
所以由 可得： ，
所以 ，解得 ， ，
故答案为： ，2.
【点睛】
向量的基本运算处理的常用方法：
(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；
(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．
22．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足：，则 _______，对于任意 ，向量 与向量 所成角的
最小值为_______．
【答案】
【分析】由题意得： ，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；
设向量 与向量 所成角为 ，根据求夹角公式，令 ,计算可得 ，令
，（ ），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得 的最大值，即可得答案.
【详解】由题意得：
= .
因为
设向量 与向量 所成角为 ，
所以 ，
当 时，夹角才可能最小，令 （ ），
则 ，
令 ，（ ），则 ，所以当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 ，
所以 ，即 .
所以向量 与向量 所成角的最小值为 .
故答案为： ； .
【点睛】
解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断 的单调性，
求得最值，当 最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
23．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）在四边形 中，已知
．点E是线段 上的点，且
，则 _______．若F是线段 上的动点，则 的最小值为_______．
【答案】
【分析】过点 作 交 于点 ，以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
由 得出点 的坐标，分别求出向量 的坐标，从而求出 ；设 ，则，分别表示出向量 的坐标，可得 的表达式，从而可得答案.
【详解】过点 作 交 于点 ，由
则
以 为原点， 分别为 轴建立平面直角坐标系，
则 ,
, 所以 ，所以 ，即
则 ，
，解得 ，则
设 ，则
当 时，由 ，故所以 的最小值为：
故答案为： ；
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的坐标运算，数量积的坐标运算，解答本题的关键是根据题意建立坐标系，分别
向量 的坐标，由条件得出 ；分别表示出向量 的坐标，得
出 ，属于中档题.
24．（2021·北京海淀区·北大附中高三其他模拟）已知菱形 的边长为 ， ，
.当 时， ___________；当 取得最小值时， ___________.
【答案】
【分析】取 中点 ，以 为坐标原点可建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算可求得
；设 ，由 可表示出 ，由此得到 ，由向量数量积坐标运算可将 表示为关于 的函数，由二次函数性质可得结果.
【详解】取 中点 ，连接 ，
四边形 为菱形， ， 为等边三角形， ，
则以 为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ，
当 ，即 时，点 为 中点，即为坐标原点 ， ，
， ， ；
设 ，则 ，又 ， ，解得： ，
， ， ，
，
则当 时， 取得最小值 .故答案为： ； .
【点睛】
方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种：
（1）利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题；
（2）建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解.
25．（2021·天津和平区·耀华中学高三二模）如图，在菱形 中， ， ， ､ 分
别为 ､ 上的点， ， ，点 在线段 上，且满足
，则 ___________；若点 为线段 上一动点，则 的取值范
用为___________.
【答案】
【分析】由题意得出 分别是 的一个三等分点，设 ，然后把 用 表示
可得，再设 ，用基底 表示 ， ，然后求数量积，再由函数性质得其取值范围．
【详解】解： ， ，所以 分别是 的一个三等分点，
，
设 ，，
又 ，所以 ， ，
所以 ，
设 ， ， ，
，
，
，
因为 ，所以 ．
故答案为： ； ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查向量的线性运算，向量的数量积．解题关键是用基底 表示其他向量，然后
由向量运算的计算即可得．26．（2021·湖南高三其他模拟）在 中， 的中点为 ，设向量
（1）用 表示向量 ；
（2）若向量 满足 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据向量的线性运算可得答案．
（2）根据向量的数量积运算可得答案．
【详解】（1） ，
所以 ；
（2） ，
所以 ．
27．（2021·辽宁沈阳市·高三三模）在 中，设 ，已知
．
（1）求角A；
（2）设 的中点为 ，若__________，求
从以下两组条件中任选其一，补充在上面的问题中并作答．① ；② ．
注：如果选择两组条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） ；（2）选择见解析； ．
【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算以及两角和的余弦公式即可求解.
（2）选①，在 中与在 中，利用正弦定理可得 ，再由余弦定理即可求解；选②，根据
向量的加法运算可得 ，展开可得 ，再由余弦定理
，解方程可得 ，进而利用余弦定理即可求解.
【详解】（1）
即 ，所以 ，由于 ，则
（2）选①，设角 所对的边分别为
在 中，由正弦定理，
在 中，由正弦定理，
而 ，则 ，
又有 ，则 ，即
由余弦定理，选②，设角 所对的边分别为
由于 ，则 ，即
由余弦定理，
因此 ，整理得 ，
，则 或 ，
由于 ，则 ，因此
28．（2021·湖南长沙市·长郡中学高三一模） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量
， ，满足 .
（1）求C；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 得出等式，再用正余弦定理即可；（2）由正弦定理转化为角的关系，然后运用三角恒等变换公式即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，由正弦定理得
，所以 ，
所以 ，
因为 ，故 .
（2）由（1）知 ，由题设及正弦定理得 ，
即 ，可得 .
由于 ， ，所以 ，
故
.
【点睛】
解三角形一般需要三个条件，如果条件不齐，则只能求角或者求范围，本题属于边角不齐求角的题型.
29．（2020·山东济宁市·高三其他模拟）已知 ， ，
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若 ，求实数 的值；
（3）若 与 夹角为锐角，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3） 且 .【分析】（1）根据向量共线的坐标表示，列出方程，即可求出结果；
（2）根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出结果；
（3）根据向量夹角为锐角，列出不等式求解，再注意向量不共线，即可得出结果.
【详解】因为 ， ，
（1）若 ，则 ，解得 ；
（2）若 ，则 ，解得 ；
（3）若 与 夹角为锐角，则 ，且 与 不同向共线，即 ，所以实数 的
取值范围为 且 .
