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第六章圆章节测试
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的）
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在 中， ，
则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】连接 ，由圆周角定理得 ，由 得， ，
，在 中，由 ，计算即可得到答案．
【详解】解：连接 ，如图所示，
，
，
，
，
， ，
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在 中， ，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握
圆周角定理，垂径定理，添加适当的辅助线．
2．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 切 于点B，连接 交 于点C，
交 于点D，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 ，证明 ， ，可得 ，
从而可得 ．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 切 于点B，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选：C.
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【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌
握基本图形的性质是解本题的关键．
3．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在 中，若 ， ，则扇形
(阴影部分)的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理求得 ，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：B.
【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理
是解题的关键．
4．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形 内接于 ，连接 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可．
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【详解】∵ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的
关键．
5．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以
为圆心， 为半径的弧恰好与 相切，切点为 ．若 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作 延长线于 点，连接 ，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别
利用勾股定理求解在 和 ，最终得到 ，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作 延长线于 点，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形， ， ，
∴ 为 的切线，
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由题意， 为 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合
性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
6．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在 中， ，点 在斜边 上，
以 为直径的半圆 与 相切于点 ，与 相交于点 ，连接 ．若 ，
，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
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【答案】B
【分析】连接 ， ，首先根据勾股定理求出 ，然后证明出
，利用相似三角形的性质得到 ， ，证明出 ，
利用相似三角形的性质求出 ．
【详解】如图所示，连接 ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵以 为直径的半圆 与 相切于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴解得 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆与三角形综合题，切线的性质定理，相似三角形的性质和判定，勾
股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为 的三个等圆构
成，且三个等圆 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分
的面积即可，如图，连接 ，阴影 的面积＝扇形 的面积，据此即
可解答.
【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；
如图，连接 ，则 ， 是等边三角形，
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∴ ，弓形 的面积相等，
∴阴影 的面积＝扇形 的面积 ，
∴图中三个阴影部分的面积之和 ；
故选：C.
【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关
键.
8．（2023·云南·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在 中，弦 相交于点P，若
，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理，可以得到 的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出
的度数．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出 的度数．
10．（2021·山东枣庄市·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧 ，再分别以E、F为圆心，
1为半径作圆弧 、 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π
【答案】B
【分析】
根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆（扇形）的面积减去
以1为半径的半圆（扇形）的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的
四分之一个圆（扇形）的面积，本题得以解决．
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【详解】
解：由题意可得，
阴影部分的面积是： •π×22﹣ ﹣2（1×1﹣ •π×12）＝π﹣2，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查运用正方形的性质，圆的面积公式（或扇形的面积公式），正方形的面积公
式计算不规则几何图形的面积，解题的关键是理解题意，观察图形，合理分割，转化为规
则图形的面积和差进行计算．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 是 的直径，点D，M分别是弦 ，
弧 的中点， ，则 的长是________．
【答案】4
【分析】根据圆周角定理得出 ，再由勾股定理确定 ，半径为 ，利用
垂径定理确定 ，且 ，再由勾股定理求解即可．
【详解】解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点D，M分别是弦 ，弧 的中点，
∴ ，且 ，
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∴ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用
这些知识点是解题关键．
12.（2023·重庆·统考中考真题）如图，在矩形 中， ， ，E为 的中
点，连接 ，以E为圆心， 长为半径画弧，分别与 交于点M，N，则图
中阴影部分的面积为________．（结果保留 ）
【答案】
【分析】利用矩形的性质求得 ，进而可得
，然后根据 解答即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，E为 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面
积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为 的扇形面积是解题关键．
13．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图， 是 的直径， 切 于点A， 交
于点 ，连接 ，若 ，则 __________ ．
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【答案】34
【分析】首先根据等边对等角得到 ，然后利用外角的性质得到
，利用切线的性质得到 ，最后利用三角形内角和定
理求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 切 于点A，
∴ ，
∴ ．
故答案为：34．
【点睛】此题考查了切线的性质和三角形的外角的性质，三角形内角和定理等知识，解题
的关键是熟练掌握以上知识点．
14．（2023·四川广安·统考中考真题）如图， 内接于 ，圆的半径为7，
，则弦 的长度为___________．
【答案】
【分析】连接 ，过点 作 于点 ，先根据圆周角定理可得
，再根据等腰三角形的三线合一可得 ， ，然
后解直角三角形可得 的长，由此即可得．
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【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于点 ，
，
，
，
， ，
∵圆的半径为7，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周
角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
15．（2023·重庆·统考中考真题）如图， 是矩形 的外接圆，若 ，
则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留 ）
【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到 ，再根据圆的面积及矩形的
性质即可解答．
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【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ 是 的直径，
∵ ，
∴ ，
∴ 的半径为 ，
∴ 的面积为 ，矩形的面积为 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是
解题的关键．
16．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图， 分别与 相切于 两点，且
．若点 是 上异于点 的一点，则 的大小为___________．
【答案】 或
【分析】根据切线的性质得到 ，根据四边形内角和为 ，得出
，然后根据圆周角定理即可求解．
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【详解】解：如图所示，连接 ，当点 在优弧 上时，
∵ 分别与 相切于 两点
∴ ，
∵ ．
∴
∵ ，
∴ ，
当点 在 上时，
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和，熟练掌握切线的性质与圆
周角定理是解题的关键．
17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，四边形 内接于圆 ，若 ，则
的度数是________．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答．
【详解】解：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题
的关键．
18．（2023·浙江温州·统考中考真题）若扇形的圆心角为 ，半径为 ，则它的弧长为
___________．
【答案】
【分析】根据弧长公式 即可求解．
【详解】解：扇形的圆心角为 ，半径为 ，
∴它的弧长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
19．（2023·河南·统考中考真题）如图， 与 相切于点A， 交 于点B，点C在
上，且 ．若 ， ，则 的长为______．
【答案】
【分析】连接 ，证明 ，设 ，则 ，再证
明 ，列出比例式计算即可．
【详解】如图，连接 ，
∵ 与 相切于点A，
∴ ；
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∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
解得 ，
故 的长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判
断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
20．（2023·湖南·统考中考真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示
的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________
个．
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【答案】10
【分析】先求出正五边形的外角为 ，则 ，进而得出 ，即可求
解．
【详解】解：根据题意可得：
∵正五边形的一个外角 ，
∴ ，
∴ ，
∴共需要正五边形的个数 （个），
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的
外角的求法．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点 在第一象限内， 与 轴相切于点 ，
与 轴相交于点 ．连接 ，过点 作 于点 ．
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(1)求证：四边形 为矩形．
(2)已知 的半径为4， ，求弦 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．
（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵ 与 轴相切于点 ，
∴ 轴．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）如图，连接 ．
四边形 是矩形，
．
在 中， ，
．
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点 为圆心， ，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理
是解题的关键．
22．（2023·四川南充·统考中考真题）如图， 与 相切于点A，半径 ，
与 相交于点D，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得出 ，再由平行线的性质得出
，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）过点A作 ，过点C作 的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角
三角形的性质得出 ，再由正切函数确定 ， ，再由正方
形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
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∵ 与 相切于点A，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）过点A作 ，过点C作 交 的延长线于点F，如图所示：
由（1）得 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
由（1）得 ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
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∴ 即 ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，
理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
23．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，
是 延长线上一点，连接 ，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若直径 ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，余角的性质即可求得结论；
(2)根据已知条件可知 ，再根据正切的定义和相似三角形的性质得到线段的关
系即可求得线段 的长度．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
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∴ ，
即 ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵在 中，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
又∵ ，
即 ，
解得 （取正值），
∴ ，
【点睛】本题考查了圆周角的性质，切线的判定定理，正切的定义，相似三角形的性质和
判定，找出正切的定义与相似三角形相似比的关联是解题的关键．
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24．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图， 都是 的半径，
．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据
，即可得出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明
，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，
在 中，根据勾股定理得出 ，求出 即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
（2）解：过点 作半径 于点 ，则 ，
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，
∴ ，
，
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，
熟练掌握圆周角定理．
25．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是弦， 是 上一点，
是 延长线上一点，连接 ．
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(1)求证： ；（请用两种证法解答）
(2)若 ， 的半径为3， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）证法一：连接 ，得到 ，因为 ，所以
；证法二：连接 ，可得 ，则
，根据 ，可得 ，即可得到结果；
（2）连接 ，根据角度间的关系可以证得 为直角三角形，根据勾股定理可得边
的长，进而求得结果．
【详解】（1）证法一：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
证法二：如图，连接 ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
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∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为3，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，找到角度之间的
关系是解题的关键．
26．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上，
，点 在线段 的延长线上，且 ．
(1)求证：EF与 相切；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用圆周角定理得到 ，结合已知推出 ，再证
明 ，推出 ，即可证明结论成立；
（2）设 半径为x，则 ，在 中，利用正弦函数求得半径的长，再在
中，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ 为 半径，
∴EF与 相切；
（2）解：设 半径为x，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
∴ 半径为4，则 ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定
和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
27．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 上一点过点
作 于点 ，交 于点 ，点 是 延长线上一点，连接 ， ，
．
(1)求证： 是 切线；
(2)若 ， ，求 的长．
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【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出 ，利用已知条件进行等
量转换即可求出 ，最后利用 可证明 ，从而证
明 是 切线．
（2）根据互余的两个角相等，利用 可求出 ，设参数表示出 和
，再根据勾股定理用参数表示出 和 ，最后利用 即可求出参数的值，从
而求出 长度，即可求 的长．
【详解】（1）解：连接 ， ，如图所示，
， 为 的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是 切线．
（2）解：连接 ，如图所示，
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由（1）得， ，
，
，
．
，
．
设 则 ，
在 中， ，
．
在 中， ．
，
，
．
．
，
．
．
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，
解题的关键在于利用参数表达线段长度．
28．（2023·天津·统考中考真题）在 中，半径 垂直于弦 ，垂足为D，
，E为弦 所对的优弧上一点．
(1)如图①，求 和 的大小；
(2)如图②， 与 相交于点F， ，过点E作 的切线，与 的延长线相交于
点G，若 ，求 的长．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据半径 垂直于弦 ，可以得到 ，从而得到 ，
结合已知条件 即可得到 ，根据 即可求
出 ；
（2）根据 ，结合 ，推算出 ，进一步推算出
，在 中， ，再根据
即可得到答案．
【详解】（1）解：在 中，半径 垂直于弦 ，
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∴ ，得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图，连接 ．
同（1）得 ．
∵在 中， ，
∴ ．
∴ ．
又 ，
∴ ．
∵ 与 相切于点E，
∴ ，即 ．
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关
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知识．
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