FY24暑假初三A12B09二次函数的顶点式与一般式教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初三_志高_教师版PDF

A12/B09 二次函数的顶点式与一般式 考情链接 1. 本次任务由两个部分构成 （1）二次函数的顶点式 （2）二次函数的一般式 2. 考情分析 （1）二次函数的顶点式和一般式，属于图形与几何部分，占中考考分值约15%. （2）二次函数的顶点式和一般式，以选择和填空题为主，会与相似结合在解答题中进行考 察. （3）对应教材：初三上册，第二十六章：二次函数，26.1二次函数的概念 26.3二次函数 y=ax2 +bx+c的图像. （4）本讲首先讲解二次函数的顶点式和一般式，二次函数 1 y = a x 2 + b x + c 的图像的研究， 需要利用配方法的方式对ax2 +bx+c进行变形，从而利用 y = a ( x + m ) 2 + k 的图像特征研 究y=ax2 +bx+c的图像特征，继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系． 环节 需要时间 作业讲解及复习 15分钟 切片1：二次函数的顶点式 35分钟 切片2：二次函数的一般式 50分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟知识加油站 1——二次函数的顶点式【建议时长：35分钟】 考点一：二次函数 2 y = a ( x + m ) 2 + k 的平移 知识笔记 1 二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k 的平移 二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k （其中a、m、k是常数，且 a  0 ）的图像可以通过将抛物线 y = a x 2 进行两次平移得到: ______________________________________________________________________________. 【填空答案】 先向左（ m  0 时）或向右（ m  0 时）平移 m 个单位，再向上（k0时）或向下（k0时） 平移 k 个单位． 例题1: （1）（★★☆☆☆）（2023•长宁区一模）将抛物线 y = − x 2 + 4 向右平移1个单位，那么所得 新抛物线的表达式为 ( ) A．y=−(x−1)2 +4 B．y=−(x+1)2 +4 C．y=−x2 +5 D．y=−x2 +3 （2）（★★☆☆☆）（2023•徐汇区一模）将抛物线 y = − 1 2 x 2 经过下列平移能得到抛物线 y = − 1 2 ( x + 1 ) 2 − 3 的是 ( ) A．向右平移1个单位，向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，向下平移3个单位 C．向右平移1个单位，向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，向上平移3个单位 【常规讲解】 （1）解：抛物线y=−x2 +4向右平移1个单位向右平移1个单位所得抛物线的解析式为： y = − ( x − 1 ) 2 + 4 ． 故选： A ．1 1 （2）解：将抛物线y=− x2向左平移1个单位，向下3个单位得到抛物线y=− (x+1)2 −3． 2 2 故选： 3 B ． 练习1:【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）（2023•青浦区一模）将抛物线y=x2向左平移1个单位后的抛物线表达 式为_________． （2）（★★☆☆☆）（2023•虹口区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2 +2x沿 着 y 轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为___________． 【常规讲解】 （1）解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y = x 2 向左平移 1 个单位，所得函数解析式 为： y = ( x + 1 ) 2 ． 故答案为： y = ( x + 1 ) 2 ． （2）解：将抛物线 y=x2 +2x=(x+1)2 −1沿着 y轴向下平移 2 个单位得函数解析式为 y = ( x + 1 ) 2 − 3 ， 故答案为： y = ( x + 1 ) 2 − 3 ． 考点二：二次函数 y = a ( x + m ) 2 + k 的性质 知识笔记2 二次函数y=a(x+m)2 +k的性质 抛物线 y = a ( x + m ) 2 + k 对称轴是___________； 抛物线的顶点坐标是___________； 当___________时，开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当___________时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【填空答案】 直线x = − m ；（ − m ，k）；a0；a0例题2: （1）（★★☆☆☆）二次函数 4 y = a ( x + m ) 2 + k 的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是 ( ) A．m0， k  0 B． m  0 ， k  0 C． m  0 ， k  0 D． m  0 ， k  0 （2）（★★☆☆☆）（2023•虹口区期末）如果点A(2,1)在抛物线y=(x−1)2 +m上，那么 m 的值是 ． （3）（★★★☆☆）（2024•浦东新区二模）沿着 x 轴的正方向看，如果抛物线y=(k−1)x2 +1 在 y 轴左侧的部分是上升的，那么 k 的取值范围是 ． （4）（★★☆☆☆）（2022•浦东新区三林中学期末）若点 A ( − 3 , y 1 ) 、 B ( 0 , y 2 ) 是二次函数 y = − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 图象上的两点，那么 y 1 与 y 2 的大小关系是_________（填 y 1  y 2 、 y 1 = y 2 或 y 1  y 2 ) ． 【常规讲解】 （1）解： 二次函数y=a(x+m)2 +k  顶点为(−m,k)， 顶点在第四象限，  − m  0 ， k  0 ，  m  0 ，k0， 故选： A ． （2）解： 点A(2,1)在抛物线 y = ( x − 1 ) 2 + m 上， 1=(2−1)2 +m， 解得m=0， 故答案为：0． （3）解： 抛物线y=(k−1)x2 +1在y轴左侧的部分是上升的， 抛物线开口向下，5  k − 1  0 ， 解得k1， 故答案为： k  1 ． （4）解：当 x = − 3 时， y 1 = − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 = − 2 9 ； 当 x = 0 时， y 2 = − 2 ( x − 1 ) 2 + 3 = 1 ； − 2 9  1 ，  y 1  y 2 ， 故答案为：y  y ． 1 2 练习2: 【学习框10】 3 （1）（★★☆☆☆）（2020•徐汇区期末）已知二次函数y=a(x+ )2 −1的图象在直线 2 x = − 3 2 的左侧部分是下降的，那么 a 的取值范围是 ． （2）（★★☆☆☆）（2020•宝山区二模）若抛物线 y = ( x − m ) 2 + ( m + 1 ) 的顶点在第二象限， 则 m 的取值范围为 ． （3）（★★☆☆☆）（2022•杨浦区一模）若点 A ( − 3 , y 1 ) 、 B ( 0 , y 2 ) 是二次函数 y = 2 ( x − 1 ) 2 − 1 图象上的两点，那么 y 1 与 y 2 的大小关系是_______（填 y 1  y 2 、y = y 或 1 2 y 1  y 2 ) ． （4）（★★☆☆☆）（2023•虹口区期末）已知抛物线 y = (1 − a ) x 2 + 3 开口向下，那么 a 的取 值范围是 ． 【常规讲解】 3 （1）解： 二次函数y=a(x+ )2 −1， 2  3 该函数的对称轴为直线x=− ， 2 二次函数 y = a ( x + 3 2 ) 2 − 1 的图象在直线 x = − 3 2 的左侧部分是下降的， a0， 故答案为：a0 （2）解： y=(x−m)2 +(m+1)，6  顶点为 ( m , m + 1 ) ， 顶点在第二象限，  m  0 ，m+10， −1m0， 故答案为 − 1  m  0 ． （3）解： 点A(−3,y )、 1 B ( 0 , y 2 ) 是二次函数 y = 2 ( x − 1 ) 2 − 1 图象上的两点，  y 1 = 2 ( x − 1 ) 2 − 1 = 2 ( − 3 − 1 ) 2 − 1 = 3 1 ； y 2 = 2 ( x − 1 ) 2 − 1 = 2 ( 0 − 1 ) 2 − 1 = 1 ， y  y ． 1 2 故答案为 y 1  y 2 ． （4）解： 抛物线 y = (1 − a ) x 2 + 3 的开口向下， 1−a0，解得，a1． 故答案为： a  1 ． 例题3: （1）（★★★☆☆）（2020•普陀区中远实验期中）将抛物线 y = 2 x 2 先向下平移 3 个单位， 再向右平移 m ( m  0 ) 个单位，所得新抛物线经过点 (1 , 5 ) ，求新抛物线的表达式及新抛物线与 y 轴交点的坐标． （2）（★★★☆☆）（2023•金山区一模）如图，已知抛物线y=a(x−2)2 −4(a0)与 x 轴交 于原点 O 与点 A ，顶点为点 B ． ① 求抛物线的表达式以及点A的坐标； ② 已知点 P ( 2 ， m ) ( m  0 ) ，若  P A B 的面积为6，求点 P 的坐标．【常规讲解】 （1）解：① 平移后，设新抛物线的表达式为 7 y = 2 ( x − m ) 2 − 3 ，  新抛物线经过点 (1 , 5 ) ，  将 x = 1 ，y=5代入： 2 (1 − m ) 2 − 3 = 5 ，  (1 − m ) 2 = 4 ，  1 − m =  2 ，  m 1 = − 1 ， m 2 = 3 ． m0，  m = − 1 （舍去），得到 m = 3 ．  新抛物线的表达式为y=2(x−3)2 −3． ② 与 y 轴的交点坐标，  设交点为 ( 0 , y ) ，  将 x = 0 代入到新抛物线中，得到： y = 1 5 ，  与 y 轴的交点坐标为 ( 0 ,1 5 ) ． （2）解：① 抛物线y=a(x−2)2 −4(a0)与 x 轴交于原点 O ，  0 = a ( 0 − 2 ) 2 − 4 ， 解得 a = 1 ，  抛物线的表达式为y=(x−2)2 −4， 当 y = 0 时， 0 = ( x − 2 ) 2 − 4 ， 解得 x 1 = 0 ， x 2 = 4 ， 点A的坐标为(4,0)； ② y=(x−2)2 −4，顶点为 B ，  点 B 的坐标为(2,−4)， 点P(2，m)(m0)，PAB的面积为6，点A(4,0)， [m−(−4)](4−2)  =6， 2 解得 m = 2 ， 点P的坐标为(2,2)． 【拓展讲解1】→全真战场关卡二练习5（二次函数沿着非坐标轴方向平移问题）【拓展讲解2】→全真战场关卡二练习6（二次函数的翻折问题） 练习3: 【学习框12】 （1）（★★★☆☆）（2015•普陀区一模）将抛物线 8 y = 1 2 x 2 先向上平移 2个单位，再向左平 移m(m0)个单位，所得新抛物线经过点(−1,4)，求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交 点的坐标． （2*）（★★★☆☆）如图，已知二次函数y=(x+m)2 +k 的图像经过 x 轴上的点 A（1，0） 和点B（3，0），且与y轴相交于点C．求此二次函数的解析式及顶点P的坐标. 【拓展讲解】可以追问一下学生  C P B 的 s in 值. 【常规讲解】 （1）解：由题意可得： y = 1 2 ( x + m ) 2 + 2 ，代入 ( − 1 , 4 ) ， 解得：m =3，m =−1（舍去）， 1 2 故新抛物线的解析式为： y = 1 2 ( x + 3 ) 2 + 2 ， 当 x = 0 时， y = 1 3 2 ，即与 y 轴交点坐标为： ( 0 , 1 3 2 ) ． （2）把A（1，0）和点B（3，0）， 代入y=(x+m)2 +k 得：  ( ( 1 3 + + m m ) ) 2 2 + + k k = = 0 0 m=−2 ，解得 ， k =−1 ∴y=(x−2)2 −1，顶点 P ( 2 ， − 1 ) ． 【拓展讲解答案】由y=(x−2)2 −1得C(0,3) ，∴ P B 2 = 2 ，BC2 =18， P C 2 = 2 0 y C O A B x P ， BC 3 2 3 10 ∵PB2 +BC2 =PC2，∴CBP=90，∴sinCPB= = = ． PC 2 5 10知识加油站 2 二次函数的一般式【推荐时长50分钟】 考点三：二次函数一般式的平移 知识笔记3 二次函数 9 y = a x 2 + b x + c 1. 二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图像称为抛物线 y = a x 2 + b x + c ，这个函数的解析式就是这 条抛物线的表达式． 2. 任意一个二次函数 y = a x 2 + b x + c （其中a、b、c是常数，且a0）都可以运用配方 法，把它的解析式化为 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式． 对 y = a x 2 + b x + c 配方得：_____________________． 由此可知： 抛物线 y = a x 2 + b x + c （其中a、b、c是常数，且 a  0 ）的对称轴是直线 x = − b 2 a ， 顶点坐标是__________________， 【填空答案】 y = a  x + b 2 a  2 + 4 a c 4 − a b 2 ；（ − b 2 a ， 4 a c 4 − a b 2 ） 例题4: （1）（★★☆☆☆）（2019•静安区一模）如果将抛物线 y = x 2 − 2 平移，使平移后的抛物线与 抛物线 y = x 2 − 8 x + 9 重合，那么它平移的过程可以是 ( ) A．向右平移4个单位，向上平移11个单位 B．向左平移4个单位，向上平移11个单位 C．向左平移4个单位，向上平移5个单位 D．向右平移4个单位，向下平移5个单位（2）（★★★☆☆）已知抛物线 10 c : y = x 2 + 2 x − 3 ，将抛物线 c 平移得到抛物线 c  ，如果两条 抛物线，关于直线 x = 1 对称，那么下列说法正确的是( ) A．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 5 2 个单位得到抛物线 c  B．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移4个单位得到抛物线 c  C．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移 7 2 个单位得到抛物线 c  D．将抛物线 c 沿 x 轴向右平移6个单位得到抛物线 c  【常规讲解】 （1）解： 抛物线y=x2 −8x+9=(x−4)2 −7的顶点坐标为 ( 4 , − 7 ) ，抛物线 y = x 2 − 2 的顶 点坐标为 ( 0 , − 2 ) ，  顶点由 ( 0 , − 2 ) 到 ( 4 , − 7 ) 需要向右平移4个单位再向下平移5个单位． 故选： D ． （2）解： 抛物线 C : y = x 2 + 2 x − 3 = ( x + 1 ) 2 − 4 ，  抛物线对称轴为x=−1．  y 抛物线与 轴的交点为 A ( 0 , − 3 ) ． 则与 A 点以对称轴对称的点是 B ( 2 , − 3 ) ． 若将抛物线 C 平移到 C  ，并且 C ， C  关于直线 x = 1 对称，就是要将B点平移后以对称轴 x=1与A点对称． 则B点平移后坐标应为 ( 4 , − 3 ) ．． 因此将抛物线C向右平移4个单位． 故选： B ． 练习4: 【学习框14】 （1）（★★☆☆☆）（2020•金山区期末）如果将抛物线y=x2 +4x+1平移，使它与抛物线 y = x 2 + 1 重合，那么平移的方式可以是( ) A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位 B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位 C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位 D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位（2）（★★☆☆☆）用配方法把下列函数解析式化为 11 y = a ( x + m ) 2 + k 的形式，并指出每个函 数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标． ①y=2x2 +4x+5； ②y=1−3x−2x2． 【常规讲解】 （1）解： 抛物线 y = x 2 + 4 x + 1 = ( x + 2 ) 2 − 3 的顶点坐标为 ( − 2 , − 3 ) ，抛物线 y = x 2 + 1 的顶 点坐标为 ( 0 ,1 ) ，  顶点由 ( − 2 , − 3 ) 到(0,1)需要向右平移2个单位再向上平移4个单位． 故选：C． （2）① y = 2 ( x + 1 ) 2 + 3 ，开口向上，对称轴直线 x = − 1 ，顶点坐标 ( − 1 ， 3 ) ； ② y = − 2  x + 3 4  2 + 1 7 8 ，开口向下，对称轴直线 x = − 3 4  3 17 ，顶点坐标− ， ．  4 8  考点四：二次函数一般式的性质 知识笔记4 二次函数 y = a x 2 + b x + c 的性质 当 a  0 时，抛物线 y = a x 2 + b x + c 开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即 直线 x = − b 2 a ）左侧的部分是___________的，在对称轴右侧的部分是___________的； 当 a  0 时，抛物线 y = a x 2 + b x + c 开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即 直线 x = − b 2 a ）左侧的部分是___________的，在对称轴右侧的部分是___________的． 【填空答案】 下降；上升；上升；下降 例题5: （1）（★★☆☆☆）（2023•徐汇区一模）已知点A(−3,m)、B(−2,n)在抛物线y=−x2 −2x+4 上，则m____n（填“”、“ =”或“” ) ．（2）（★★☆☆☆）（2023•长宁区一模）已知抛物线y=ax2 −2ax+2(a0)经过点(−1,y )， 1 12 ( 2 , y 2 ) ，试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1 _____ y 2 （填“  ”，“  ”或“ = ” ) ． （3）（★★★☆☆）（2023•长宁区期末）二次函数 f ( x ) = a x 2 + b x + c 图象上部分点的坐标满 足下表：那么 f ( − 5 ) = ． x  − 3 − 2 − 1 0 1  f ( x )  − 3 − 2 − 3 − 6 − 1 1  （4）（★★★★☆）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图象如图所示，其对称轴为直线 x = 1 ， 现有下列结论：① b − 2 a = 0 ；② a + b  n ( a n + b ) ( n  1 ) ；③ 2 c  3 b ；④b2 −4a2 4ac．其中 正确的结论是_________（填序号）． （5）（★★★★☆）二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象如图所示，其对称轴为直线 x = − 1 ， 下列结论：① a b c  0 ；② b 2  4 a c ；③ 4 a − 2 b + c  0 ；④ 2 a = b ；⑤ 3 a + c  0 ．其中，正 确的是___________ 【常规讲解】 （1）解： 抛物线 y = − x 2 − 2 x + 4 b 的对称轴是直线x=− =−1，a=−10， 2a  抛物线在对称轴是直线x=−1左侧时，图象上升， y 随x的增大而增大， −3−2−1，  m  n ． 故答案为：．（2）解： 13 a  0 ，  抛物线开口向上， y = a x 2 − 2 a x + 2 ，  −2a 抛物线对称轴为直线x=− =1， 2a 1 − ( − 1 )  2 − 1 ，  y 1  y 2 ， 故答案为： （3）解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线x=−2， 所以 x = − 5 和 x = 1 时的函数值相等， 即当x=−5时，y的值为−11． 故答案为： − 1 1 ． （4）解：① 对称轴为直线 x = − b 2 a = 1 ，  b = − 2 a ， 2a+b=0，故①错误； ②由图象可知，当 x = 1 时，函数值最大值为a+b+c，  x = n ( n  1 ) 时的函数值小于 x = 1 时的函数值， 即：a+b+cn(an+b)+c(n1)，  a + b  n ( a n + b ) ( n  1 ) ，故②正确； ③由图象可知，当 x = 3 时， y = 9 a + 3 b + c  0 ， b = − 2 a ，  9 a + 3 b + c = − 3 b 2 + c  0 ，即 c  3 b 2 ，  2 c  3 b ，故③正确； ④ b = − 2 a ，  b 2 = 4 a 2 ，  b 2 − 4 a 2 = 0 ， 抛物线开口向下，与 y 轴交于正半轴， a0，c0， 4ac0=b2 −4a2，故④正确；综上，正确的是②③④； 故答案为：②③④． （5）解： 抛物线开口向上，交 14 y 轴的负半轴，  a  0 ， c  0 ， 抛物线的对称轴为直线 x = − b 2 a = − 1 ，  b = 2 a  0 ，  a b c  0 ，所以①错误； 抛物线与 x 轴有2个交点，  △ = b 2 − 4 a c  0 ，  b 2  4 a c ，所以②正确； x = − 2 时， y  0 ，  4 a − 2 b + c  0 ，所以③正确； 抛物线的对称轴为直线 x = − b 2 a = − 1 ， b=2a，所以④正确； x = 1 时， y  0 ，  a + b + c  0 ， b = 2 a ，  a + 2 a + c  0 ，即3a+c0，所以⑤正确． 故答案为：②③④⑤． 【拓展讲解1】→全真战场关卡二练习7（二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的性质） 【拓展讲解2】→全真战场关卡二练习8（二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的性质） 【教学建议】对于例2（3）、（4）这类题掌握比较弱的同学可以试着做下练习7,8巩固提升 一下 练习5: 【学习框16】 （1）（★★☆☆☆）（2022•青浦区青浦一中期末）已知点 A(0,y ) 、 1 B ( − 1 , y 2 ) 在抛物线 y=x2 −2x+c(c为常数）上，则y ____y （填“”、“ =”或“” )． 1 2（2）（★★☆☆☆）（2022•普陀区曹杨二中期中）已知抛物线y=x2 −4x+c经过点A(−1,y ) 1 和 15 B (1 , y 2 ) ，比较 y 1 与 y 2 的大小： y 1 ____ y 2 （选择“  ”或“  ”或“=”填入空格）． （3）（★★★☆☆）（2023•普陀区期末）已知二次函数 y = x 2 + 3 x + m − 2 的图象与 y 轴的交 点在正半轴上，那么 m 的取值范围是 ． （4）（★★★★☆）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象如图所示．则有以下5个结论： ① abc0 ；② b 2  4 a c ；③ b=−2a ；④ a−b+c0 ；⑤对于任意实数 m ，总有 a m 2 + b m a + b ．其中正确的结论是________．（填序号） （5）（★★★★☆）如图，二次函数 y = a x 2 + b x + c 的对称轴为 x = 1 ，给出下列结论：① a b c  0 ； ②4a+2b+c0；③ 3 a + c  0 ；④ a + b  a m 2 + b m ( m 为任意实数）．其中错误的序号是 ________． 【常规讲解】 （1）解： y=x2 −2x+c，  抛物线的对称轴为直线 x = − b 2 a = 1 ， a=10， 抛物线开口向上，则当x1时， y 随x的增大而减小， −101，y  y ， 1 2故答案为： 16  ． （2）解： 抛物线 y = x 2 − 2 x + c 经过点 A ( − 1 , y 1 ) 和B(1,y )， 2  y 1 = ( − 1 ) 2 − 2  ( − 1 ) + c = 3 + c ， y 2 = 1 2 − 4  1 + c = − 3 + c ， y 1 − y 2 = 6  0 ，  y 1  y 2 ， 故答案是：  ． （3）解：由题知， 将 x = 0 代入二次函数表达式得， y = m − 2 ． 又因为二次函数 y = x 2 + 3 x + m − 2 的图象与 y 轴的交点在正半轴上， 所以 m − 2  0 ， 解得 m  2 ． 故答案为： m  2 ． （4）解： 抛物线开口向下，抛物线与 y 轴交于正半轴，  a  0 ， c  0 ， 对称轴为 x = 1 ，  − b 2 a = 1 ，  b = − 2 a ，  b  0 ，  a b c  0 ，  ①正确． 抛物线与 x 轴有两个交点，  △ = b 2 − 4 a c  0 ，  b 2  4 a c ， ②错误． b=−2a，  ③正确． 当x=−1时， y = 0 ， a−b+c=0， ④错误． 当x=1时， y 有最大值为a+b+c，17  对于任意实数 m ，总有am2 +bm+c a+b+c，  对于任意实数 m ，总有am2 +bm a+b．  ⑤正确． 故答案为：①③⑤． （5）解： 抛物线开口向上，  a  0 ， b 抛物线对称轴为直线x=− =1， 2a  b = − 2 a  0 ， 抛物线与 y 轴交点在 x 轴下方， c0，  a b c  0 ，  ①正确． 由图象可得 x = 2 时， y = 4 a + 2 b + c  0 ，  ②正确； x = − 1 时， y = a − b + c = 3 a + c  0 ，  ③错误． 由图象可得 x = 1 时，函数取最小值，  a + b + c a m 2 + b m + c ，即 a + b a m 2 + b m ，④错误． 综上，错误的有③④． 故答案为：③④． 例题6: （★★★☆☆）（2023•黄浦区期末）已知抛物线 y = x 2 + 2 x + 3 的顶点为 A ，它与 y 轴的交点 为B． （1）求线段 A B 的长； （2）平移该抛物线，使其顶点在 y 轴上，且与 x 轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物 线的表达式． 【常规讲解】 解：（1） y=x2 +2x+3=(x+1)2 +2，当x=0时， y = x 2 + 2 x + 3 = 3 ， A点的坐标为(1,2)，B点的坐标为(0,3)， AB= (1−0)2 +(2−3)2 = 2 ； （2）设平移后的抛物线为y=x2 +k．抛物线的对称轴是直线 18 x = 0 ，平移后与 x 轴的两个交点之间的距离是4，  平移后的抛物线与 x 轴的交点交点为 ( − 2 , 0 ) ， ( 2 , 0 ) ，  2 2 + k = 0 ，即 k = − 4 ，  平移后抛物线的解析式为： y = x 2 − 4 ． 练习6: 【学习框18】 （★★★☆☆）（2022•青浦区校级月考）已知抛物线 y = x 2 + m x + 3 的对称轴为 x = − 2 ． （1）求m的值； （2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与 x 轴的交点坐标． 【常规讲解】 解：（1）由题意，得 − m 2 = − 2 ，  m = 4 ． （2）由（1）知， m = 4 ， 此抛物线的表达式为y=x2 +4x+3=(x+2)2 −1， 向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为 y = ( x − 3 ) 2 − 1 ， 即 y = x 2 − 6 x + 8 ． 当 y = 0 时， x 1 = 2 ， x 2 = 4 它与 x 轴的交点坐标为(2，0)(4，0)．全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）（2020 •崇明区一模）函数 19 y = 2 x 2 + 4 x − 5 的图象与 y 轴的交点的坐标为 _______． （2）（★★☆☆☆）（2020•奉贤区一模）如果二次函数 y = m x 2 + 2 x + m − 1 的图象经过点 P (1 , 2 ) ， 那么 m 的值为_______． 【常规讲解】 （1）解： y = 2 x 2 + 4 x − 5 ，  当 x = 0 时， y = − 5 ， 故答案为： ( 0 , − 5 ) ． （2）解： 二次函数 y = m x 2 + 2 x + m − 1 的图象经过点 P (1 , 2 ) ，  m + 2 + m − 1 = 2 ， 解得 m = 1 2 ， 故答案为： 1 2 ． 练习2: （1）（★★☆☆☆）（2020•静安区一模）将抛物线 y = 2 ( x + 1 ) 2 − 3 平移后与抛物线 y = 2 x 2 重 合，那么平移的方法可以是 ( ) A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 （2）（★★☆☆☆）（2020•崇明区一模）如果将抛物线 y = ( x − 1 ) 2 先向左平移2个单位，再 向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为 ． 【常规讲解】（1）解： 抛物线 20 y = 2 ( x + 1 ) 2 − 3 的顶点坐标为 ( − 1 , − 3 ) ，抛物线 y = 2 x 2 的顶点坐标为 ( 0 , 0 ) ，  顶点由(−1,−3)到(0,0)需要向右平移1个单位再向上平移3个单位． 故选： A ． （2）解：将抛物线 y = ( x − 1 ) 2 先向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，那么所得的新 抛物线的解析式为： y = ( x − 1 + 2 ) 2 + 1 ，即 y = ( x + 1 ) 2 + 1 ． 故答案为 y = ( x + 1 ) 2 + 1 ． 练习3: （★★★☆☆）（2020•宝山区一模）如图所示是二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 图象的一部分， 那么下列说法中不正确的是 ( ) A． a c  0 B．抛物线的对称轴为直线 x = 1 C．a−b+c=0 D．点 ( − 2 , y 1 ) 和 ( 2 , y 2 ) 在抛物线上，则y  y 1 2 【常规讲解】解：A、 抛物线开口向上，交 y 轴的负半轴，  a  0 ， c  0 ，  a c  0 ，故A正确； B 、 抛物线经过点(−1,0)和点 ( 2 , 0 ) ， 抛物线的对称轴为直线 x = − 1 + 2 2 = 1 2 ，故B不正确； C、当x=1时， y = a − b + c = 0 ，故C正确； D 、点(−2,y )和 1 ( 2 , y 2 ) 在抛物线上， y 1  0 ，y =0， 2 y  y ，故D正确； 1 2 故选：B．练习4: （★★★☆☆）二次函数 21 y = a x 2 + b x + c 的部分对应值如下表： x … − 2 − 1 0 1 2 3 … y … − 6 1 2 − 4 − 2 1 2 − 2 − 2 1 2 − 4 … 根据表格上的信息回答问题：该二次函数的图像的开口方向________；顶点坐标为_________； 对称轴为直线x = _________；当x = 4对应的函数值y = ________． 【常规讲解】向下， ( 1 ， − 2 ) 1 ，1，−6 ． 2 观察表格可知，当 x = 0 或 2 时， y = − 2 1 2 ，根据二次函数的对称性可知对称 轴为直 0+2 线x= =1，所以顶点为 2 ( 1 , − 2 ) ， 由对称性可知 x = − 2 或 4 时，函数值一样，所以 x = 4 时， y = − 6 1 2 ， y ∵在对称轴左侧， 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减小， ∴ 抛物线开口向下． 关卡二 练习5: （★★★★☆）（2019•宝山区一模）如图，点 A 在直线 y = 3 4 x 上，如果把抛物线y=x2沿 O A 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为_________． 【常规讲解】解：如图，过点 A 作AB⊥x轴于 B ， 点 A 3 在直线y= x上， 4 O A = 5 ， OB=4，AB=3， 点A的坐标为(4,3)，22  平移后的抛物线解析式是y=(x−4)2 +3． 故答案为 y = ( x − 4 ) 2 + 3 ． 练习6: （★★★★☆）（2021•徐汇区一模）如图，已知点 A 是抛物线y=x2图象上一点，将点 A 向 下平移2个单位到点B，再把点A绕点B顺时针旋转 1 2 0  得到点 C ，如果点C也在该抛物 线上，那么点 A 的坐标是________． 【常规讲解】解：如图，延长 A B 交 x 轴于D， 过C点作 C E ⊥ A D 于E，  B A C = 1 2 0  ， EBC=180−120=60， AB=2， BC= AB=2， 3 BE=1，CE= 2= 3 ， 2 设A(m,m2)，则C( 3+m，m2 −3)，点 23 C 也在该抛物线上，  m 2 − 3 = ( 3 + m ) 2 ， 解得 m = − 3 ，  A ( − 3 ，3)， 故答案为： ( − 3 ， 3 ) ． 练习7: （★★★★☆）已知二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图象如图所示，以下结论：① a + b + c  0 ；② a − b + c  1 ；③ a b c  0 ；④ 4 a − 2 b + c  0 ；⑤8a+c0．在以上5个结论中，其中一定成 立的是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【常规讲解】解：由函数图象可得各系数的关系：a0， b  0 ，c0， 则①当 x = 1 时， y = a + b + c  0 ，正确； ②当 x = − 1 时， y = a − b + c  1 ，正确； ③abc0，正确； ④对称轴 x = − 1 ，则 x = − 2 和 x = 0 时取值相同，则 4 a − 2 b + c = 1  0 ，错误； ⑤对称轴 x = − b 2 a = − 1 ，b=2a，又x=2时，y=4a+2b+c0，代入b=2a，则 8 a + c  0 ， 正确． 故所有正确结论的序号是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤．练习8: （★★★★☆）二次函数 24 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 的图象如图所示．下列结论： ①abc0； ②2a+b=0； ③ m 为任意实数，则 a + b  a m 2 + b m ； ④a−b+c0； ⑤若 a x 21 + b x 1 = a x 2 2 + b x 2 且 x 1  x 2 ，则 x 1 + x 2 = 2 ． 其中正确的有__________． 【常规讲解】解： 抛物线图象开口向下，  a  0 ， b 抛物线对称轴为直线x=− =1， 2a  b = − 2 a  0 ，即 2 a + b = 0 ，所以②正确； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，c0，  a b c  0 ，所以①错误； 抛物线对称轴为直线x=1，  函数的最大值为 a + b + c ，  a + b + c a m 2 + b m + c ，即 a + b a m 2 + b m ，所以③错误； 抛物线与x轴的一个交点在 ( 3 , 0 ) 的左侧，而对称轴为直线x=1，  抛物线与 x 轴的另一个交点在(−1,0)的右侧，  当x=−1时， y  0 ，  a − b + c  0 ，所以④错误； a x 21 + b x 1 = a x 2 2 + b x 2 ，  ax2 +bx −ax 2 −bx =0， 1 1 2 2  a ( x 1 + x 2 ) ( x 1 − x 2 ) + b ( x 1 − x 2 ) = 0 ，  ( x 1 − x 2 ) [ a ( x 1 + x 2 ) + b ] = 0 ， x 1  x 2 ，  a ( x 1 + x 2 ) + b = 0 ，即 x 1 + x 2 = − b a ， b b=−2a， x +x =− =2，所以⑤正确， 1 2 a 综上所述，正确的有②⑤． 故答案为：②⑤．