FY24暑假初二A14证明举例1教师版_初中资料合集_2025年秋初中《789年级暑假数学讲义》含6升7衔接（学生+教师版）上海专版_初二_精进_教师版PDF

14A 证明举例 考情链接 1. 本次任务由三个部分构成 （1）命题、公理、定理 （2）证明举例 （3）证明举例动点问题 2. 考情分析 （1）添加辅助线是几何证明部分，属于图形与几何板块，占期末考分值约20%； （2）主要考察命题、定理、公理的概念，以选择题、填空为主，证明举例会结合全等三角 形的判定与性质考察，以解答题为主； （3）对应教材：八年级上册，第十九章：几何证明； （4）命题与证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、 定理的概念及举例证明进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题和举例证 明．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据， 另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础。 环节 需要时间 自主任务讲解 10分钟 切片1：命题、公理、定理 20分钟 切片2：证明举例 35分钟 切片3：证明举例动点问题 35分钟 出门测 10分钟 错题整理 10分钟 1知识加油站1——命题、公理、定理【建议时长：20分钟】 考点一：判断命题、公理、定理 知识笔记1 1. 命题 （1）______________________________叫作定义；______________________________叫作 命题；其判断为正确的命题叫作__________；其判断为错误的命题叫作__________； 数学命题通常由题设、结论两部分组成，可以写成“________________________”的形式； （2）互逆命题：在两个命题中，如果第一个名义的题设是第二个命题的结论，而第一个命 题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题叫做原命题， 则另一个命题叫做它的____________ 2. 公理 人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据． 3. 定理 （1）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他 命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理； （2）逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理， 其中一个叫做另一个的_____________； 注意：_______________________________________________________________． 【填空答案】 1.（1）能界定某个对象含义的句子；对某一件事情做出判断的句子；真命题；假命题；如 果……那么……；（2）逆命题 3. 逆定理；所有的命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理. 2例题1: （1）（★★☆☆☆）（2023•浦东新区校级期末）下列命题中，真命题是( ) A．“把两个图形叠合”是命题 B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 （2）（★★★☆☆）（2023•普陀区期末）下列命题的逆命题是假命题的是( ) A．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形 B．如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等 C．如果一个三角形的两个锐角的和为90°，那么这个三角形是直角三角形 D．如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形 （3）（★★★☆☆）（2023•黄浦区期末）下列命题中，原命题与其逆命题均为真命题的有( ) 个． ①全等三角形对应边相等； ②全等三角形对应角相等； ③等腰三角形两条腰上的高相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 （4）将下列命题改写成“如果…那么…”的形式 ①（★★☆☆☆）（2022•浦东新区期中）“两个全等三角形的周长相等” __________________________________________. ②（★★☆☆☆） “对顶角相等” __________________________________________. ③（★★☆☆☆） “等腰三角形的两个底角相等” __________________________________________. ④（★★☆☆☆） “等角对等边” __________________________________________. 3【常规讲解】 （1）解：A、“把两个图形叠合”不是命题，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、每一个命题一定有逆命题，是真命题，符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、不是每一个定理都有逆定理，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：B． （2）．解：A、如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形是等边三角形，逆命题是如 果一个三角形是等边三角形，那么这个三角形是轴对称图形，是真命题，不符合题意； B、如果两个三角形关于某个点成中心对称，那么这两个三角形全等，逆命题是如果两个三 角形全等，那么这两个三角形关于某个点成中心对称，是假命题，符合题意； C、如果一个三角形的两个锐角的和为90°，那么这个三角形是直角三角形，逆命题是如果 一个三角形是直角三角形，那么这个三角形的两个锐角的和为90°，是真命题，不符合题意； D、如果两个三角形能够互相重合，那么这两个三角形是全等三角形，逆命题是如果两个三 角形是全等三角形，那么这两个三角形能够互相重合，是真命题，不符合题意； 故选：B． （3）解：①全等三角形对应边相等，正确，为真命题；逆命题为对应边相等的三角形全等， 正确，为真命题，符合题意； ②全等三角形对应角相等，正确，为真命题；逆命题为对应角相等的三角形全等，错误，为 假命题，不符合题意； ③等腰三角形两条腰上的高相等，正确，为真命题；逆命题为两边上的高相等的三角形是等 腰三角形，正确，是真命题，符合题意； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等，正确，是真命题；逆命题为如果两个数的平方 相等，那么这两个实数也相等，错误，为假命题，不符合题意； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，截得的同旁内角的角平分线互相垂直，正确，为真命题； 逆命题为如果两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的角平分线互相垂直，那么这两条 直线平行，正确，为真命题，符合题意． 故选：B． （4）①如果两个三角形全等，那么它们的周长相等． 4②如果两个角是对顶角，那么它们相等”． ③如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等． ④在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 练习1: 【学习框8】 （1）（★★☆☆☆）（2023•普陀区期中）下列命题中，属于假命题的是( ) A．三角形的内角和等于180° B．对顶角相等 C．同位角相等 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （2）（★★★☆☆）（2023•金山区期末）下列命题的逆命题是假命题的是( ) A．如果ab=0，那么a=b=0 B．如果a…0，那么 a2 =a C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 （3）（★★★☆☆）（2023•普陀区校级期中）下面四个命题中，真命题的个数是( ) ①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等； ②有两角及一边对应相等的两个三角形全等； ③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （4）将下列命题改写成“如果…那么…”的形式 ①（★★☆☆☆）（2021•浦东新区期中）“全等三角形对应边的高相等” __________________________________________. ②（★★☆☆☆）（2021•奉贤区期中）“同角的补角相等” __________________________________________. ③（★★☆☆☆）“关于某条直线对称的两个三角形全等” __________________________________________. ④（★★☆☆☆） “两个全等三角形的面积相等” __________________________________________. 5【常规讲解】 （1）解：A．三角形的内角和等于180°，原命题是真命题，不符合题意； B．对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； C．两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是真命题，不符合题意； 故选：C． （2）解：A选项的逆命题为如果a=b=0，那么ab=0，是真命题，不符合题意； B选项的逆命题为如果 a2 =a，那么a…0，是真命题，不符合题意； C选项的逆命题为若两个角相等，则这两个角为对顶角，是假命题，符合题意； D选项的逆命题为两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意． 故选：C． （3）解：①腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等，是假命题，举反例如下： 如图1所示：AB= AC = AD，CM ⊥BD，此时等腰∆ABC和等腰∆ADC中，两腰对应对应 相等，一腰上的高CM 公用，显然∆ABC和∆ACD不全等． 故腰和腰上的高对应相等的两个等腰三角形全等，是假命题； ②有两角及一边对应相等的两个三角形全等，是真命题，理由如下： 如图2所示：在∆ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′， （ⅰ）当AB= A′B′时，可依据“ASA”判定∆ABC和△A′B′C′全等； （ⅱ）当BC =B′C′或AC = A′C′时，均可依据“AAS ”判定∆ABC和△A′B′C′全等， 6故有两角及一边对应相等的两个三角形全等，是真命题； ③有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，证明如下： 如图3所示：在∆ABC和△A′B′C′中，CE ，C′E′分别是AB，A′B′上的中线，且AB= A′B′， AC = A′C′，CE =C′E′，求证：∆ABC ≅△A′B′C′， 证明：CE，C′E′分别是AB，A′B′上的中线， 1 1 ∴AE = AB，A′E′= A′B′， 2 2 AB= A′B′， ∴AE= A′E′， 在∆ACE和△A′C′E′中， AE= A′E′  AC= A′C′，  CE=C′E′ ∴∆ACE ≅△A′C′E′(SSS)， ∴∠A=∠A′， 在∆ABC和△A′B′C′中， AB= A′B′  ∠A=∠A′ ，  AC = A′C′ ∴∆ABC ≅△A′B′C′(SAS)， 故有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等； ④有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，证明如下： 如图4所示：在∆ABC和△A′B′C′中，AB= A′B′，AC = A′C′，AF 和A′F′分别是BC，B′C′ 边上的中线，且AF = A′F′，求证：∆ABC ≅△A′B′C′， 7证明：延长AF 到H ，使AF =FH ，连接BH ，延长A′F′到H′，使A′F′=F′H′，如图5所 示： 则AH =2AF ，A′H′=2A′F′， AF 是BC边上的中线， ∴BF =CF， 在∆ACF和∆HBF 中， BF =CF  ∠AFC =∠HFB，  AF =FH ∴∆ACF ≅∆HBF(SAS)， ∴AC =BH，∠CAF =∠H ， 同理可证：△A′C′F′≅△H′B′F′(SAS)， ∴A′C′=B′H′，∠C′A′F′=∠H′， AC = A′C′， ∴BH =B′H′， 又AF = A′F′，AH =2AF ，A′H′=2A′F′， ∴AH = A′H′， 在∆ABH 和△A′B′H′中， 8AB= A′B′  BH =B′H′，  AH = A′H′ ∴∆ABH ≅△A′B′H′， ∴∠BAH =∠B′A′H′，∠H =∠H′， ∴∠BAC =∠BAH +∠CAF =∠BAH +∠H ，∠B′A′C′=∠B′A′H′+∠C′A′F′=∠B′A′H′+∠H′， ∴∠BAC =∠B′A′C′， 在∆ABC和△A′B′C′中， AB= A′B′  ∠BAC =∠B′A′C′，  AC = A′C′ ∴∆ABC ≅△A′B′C′(SAS)， 故有两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题． 综上所述：真命题的个数是3个． 故选：C （4）①如果两个三角形全等，那么它们对应边的高相等． ②如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． ③如果两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等． ④如果两个三角形全等，那么它们的面积相等． 例题2: （1）下列定理中有逆定理的是( ) A．直角三角形中没有钝角； B．互为相反数的数的绝对值相等； C．同旁内角互补，两直线平行； D．若a=b，则a2 =b2． （2）以下说法中，正确的个数是( ) ①每个命题总有逆命题； ②每个定理总有逆定理； ③假命题的逆命题是假命题； ④命题“等边三角形是中心对称图形”是真命题． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9（3）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式： 【配题说明】考查定理和命题的区别和联系． 【常规讲解】 （1）没有钝角的三角形可能为锐角三角形，A 错误；绝对值相等的数可能是相等也可能 是互为相反数，B错误；a2 =b2 ，a=±b，D错误；C选项逆命题为平行线判定定理． 故选：C． （2）解：①每个命题总有逆命题，正确； ②不一定每个定理总有逆定理，故本小题错误； ③假命题的逆命题可能是假命题，也可能是真命题，故本小题错误； ④命题“等边三角形是中心对称图形”是假命题，故本小题错误； 所以，正确的说法只有①共1个． 故选：B． （3）解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果…那么…”的形式：如果 一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形， 故答案为：如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形． 练习2: 【学习框10】 （1）下列定理中，没有逆定理的是( ) A．两直线平行，同旁内角互补 B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两内角相等的三角形是等腰三角形 （2）以下说法中正确的有（ ）个． ①逆定理一定是真命题； ②一个定理一定有逆定理； ③互逆命题一定是互逆定理； ④互逆定理一定是互逆命题． 10A．1 B．2 C．3 D．4 （3）定理“ 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 的逆定理是： ___________________________________________________________________. 【配题说明】考查定理和命题的区别和联系． 【常规讲解】 （1）解：A、其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理； B、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理； C、其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理； D、其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理． 故选：B． （2）逆定理的前提是真命题，①正确；定理对应的逆命题不一定为真命题，则没有逆 定 理，②错误；定理一定是命题，但命题不一定是定理，可知互逆定理一定是互逆命 题， 但互逆命题不一定是互逆定理，③错误，④正确； 综上，①④正确，故选B． （3）解：定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是到线段两端点距 离相等的点在线段的垂直平分线上， 故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 例题3: “两点之间线段最短”是__________．（填“定义”“公理”或“定理”) 【配题说明】考查对公理的判断． 【常规讲解】 解：“两点之间线段最短”是公理， 故答案为：公理． 练习3: 【学习框12】 下列命题中，属于公理的有（ ）． A．三角形的内角和为180° B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 11C．等腰三角形两个底角相等 D．在所有联结两点的线中，线段最短 【配题说明】考查对公理的判断． 【常规讲解】 解：公理是人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始 依据，D是公理，A、B、C都是定理． 例题4: （★★★☆☆）（2022•黄浦区月考）我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， 这个定理的逆命题也是真命题． （1）请你写出这个定理的逆命题是_______________________________________________； （2）下面我们来证明这个逆命题： 已知：如图，CD是∆ABC的中线， CD= 1 AB ． 2 求证：∆ABC为直角三角形．请你写出证明过程： 【配题说明】命题与证明 【常规讲解】 解：（1）  “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， ∴它逆命题是：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角 三角形， 故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形； （2）CD是∆ABC的中线 ∴AD=BD= 1 AB ， 2 CD= 1 AB ， 2 ∴AD=CD=BD， 12∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCB， 在∆ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB=180° ∴∠A+∠B+∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°， ∴∆ABC为直角三角形． 练习4: 【学习框14】 （1）（★★★☆☆）如图在∆AFD和∆CEB中，点A，E，F ，C在同一条直线上，有下面 四个论断：①AD=CB，②AE=CF ，③∠B=∠D，④ AD//BC．请你从中选三个作为题 设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明． （2）已知线段AC与BD相交于点O，联结AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点， 联结EF（如图所示）． ①添加条件∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC． ②分别将“∠A=∠D”记为a，“∠OEF=∠OFE”记为b，“AB=DC”记为c，添加条件a、c，以 b为结论构成命题1，添加条件b、c，以①为结论构成命题2．命题1是 __________命题，命题2是__________命题（选择“真”或“假”填入空格）． A D E O F B C 【配题说明】命题与证明 【常规讲解】 （1）解：如果AD=CB，AE=CF ，AD//BC，那么∠D=∠B． 证明如下：AD//BC， ∴∠A=∠C ， 13AE=CF， ∴AE+EF =EF+CF ， ∴AF =CE， 在∆ADF 和∆CBE中， AD=CB  ∠A=∠C，  AF =CE ∴∆ADF ≅∆CBE(SAS)， ∴∠D=∠B． （2）证明：①∵E为OB的中点，F为OC的中点（已知）， ∴OB=2OE，OC=2OF（中点的定义）． ∵∠OEF=∠OFE（已知）， ∴OE=OF（等角对等边）． ∴OB=OC（等量代换）． 在△AOB与△DOC中， ∠A=∠D（已知），∠AOB=∠DOC（对顶角相等），OB=OC（已证）， ∴△AOB≌△DOC（AAS）． ∴AB=DC（全等三角形对应边相等）． ②对于命题1，可证△AOB≌△DOC得到OB=OC，再得OE=OF，从而能得到∠OEF=∠ OFE，故其是真命题； 对于命题2，由所给的条件不能证明△AOB≌△DOC，因此其是假命题． 14知识加油站2——证明举例【建议时长：35分钟】 考点二：证明举例方法 知识笔记2 证明举例的一般方法 （1）________________________________________； （2）________________________________________； （3）________________________________________. 【填空答案】 （1）利用平行线的判定和性质证明 （2）利用角平分线的性质证明. （3）利用全等三角形得出结论证明； 例题5: （1）（★★★☆☆）如图，在∆ABC中，AB=10，AC =8，∠ABC、∠ACB的平分线相交 于点O，MN 过点O，且MN //BC ，分别交AB、AC于点M、N．则∆AMN的周长_______． （2）（★★★☆☆）（2022•虹口区上海外国语大学附中月考）如图，三个边长均为2的正方形 重叠在一起， 、 是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______． O O 1 2 15（3）（★★★☆☆）（2023•浦东新区期中）如图，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF =180°， EF //AB． ①求证：CE//DF． ②∠DFE 的角平分线FG交AB于点G ，过点F 作FM ⊥FG交CE 的延长线于点M ．若 ∠CMF =55°，再求∠CDF 的度数． 【配题说明】平行线与角平分线综合 【常规讲解】 （1）解：在∆ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠ABO=∠OBC， MN //BC， ∴∠MOB=∠OBC， ∴∠ABO=∠MOB， ∴BM =OM ， 同理CN =ON ， ∴∆AMN 的周长是： AM +NM + AN = AM +OM +ON + AN = AM +BM +CN + AN = AB+ AC =10+8=18． 故答案为：18． （2）解：连接 、 ，如图所示： OB OC 1 1 三个边长均为2的正方形重叠在一起， O 、 O 是其中两个正方形的中心， 1 2 16∴∠BOF +∠FOC =90°，∠FOC+∠COG=90°， 1 1 1 1 ∴∠BOF =∠COG ， 1 1 在正方形ABCD中，∠OBF =∠OCG=45°， OB=∠OC ， 1 1 1 1 在△ 和△ 中， OBF OCG 1 1 ∠BOF =COG  1 1 BO =CO ， 1 1  ∠OBF =∠OCG 1 1 ∴△ OBF ≅ △ OCG(ASA) ， 1 1 ∴S =S ， O1BF O1CG ∴正方形ABCD中阴影部分的面积是1 S = 1 ×2×2=1 ， 4 正方形ABCD 4 同理可得另一个正方形中阴影部分的面积也是1， ∴总的阴影部分的面积是1+1=2， 故答案为：2． （3）①证明：∠ACE+∠BDF =180°，∠ACE+∠BCE =180°， ∴∠BDF =∠BCE ， ∴CE//DF ； ②解：CE//DF ， 即CM //DF ， ∴∠CMF +∠DFM =180°， ∠CMF =55°， ∴∠DFM =125°， FM ⊥FG， ∴∠GFM =90°， ∴∠DFG=∠DFM −∠GFM =125°−90°=35°， FG是∠DFE的角平分线， ∴∠DFE=2∠DFG=70°， EF //AB， ∴∠CDF +∠DFE =180°， ∴∠CDF =110°． 17练习5: 【学习框16】 （1）（★★★☆☆）如图，在∆ABC中，BC=7cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平 分线，且PD//AB，PE//AC，则∆PDE的周长是_______．cm． （2）（★★★☆☆）已知：如图，EF //CD，∠1+∠2=180°． ①判断GD与CA的位置关系，并说明理由． ②若DG平分∠CDB，若∠ACD=40°，求∠A的度数． 【配题说明】角平分线和平行线的性质 【常规讲解】 （1）解：BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE， PD//AB，PE//AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE， ∴BD=PD，CE=PE， ∴∆PDE的周长=PD+DE+PE =BD+DE+EC =BC =7cm． 即∆PDE的周长是7cm． 故答案为：7． （2）解：①GD//CA． 理由：EF //CD， ∴∠1+∠ACD=180°， 18又∠1+∠2=180°， ∴∠ACD=∠2， ∴GD//CA； ②GD//CA， ∴∠2=∠ACD=40°， DG平分∠CDB， ∴∠BDG=∠2=40°， GD//CA， ∴∠A=∠BDG=40°． 例题6: （★★★☆☆）（2022•徐汇区西南模范中学期末）如图，∆ABC 中，D为BC 边上一点， BE ⊥ AD，交AD的延长线于点E，CF ⊥ AD于F ，BE=CF． （1）求证：点D为BC的中点； （2）若BC =2AC，求证：AF =ED． 【配题说明】全等三角形的证明 【常规讲解】 证明：（1）BE⊥ AD的延长线于E，CF ⊥ AD于F ， ∴∠CFD=∠BED=90°， 在∆BED和∆CFD中， ∠CFD=∠BED=90°  ∠CDF =∠BDE ，  BE =CF ∴∆CDF ≅∆BDE(AAS) ∴CD=BD． ∴D为BC的中点； 19（2）BC =2AC ，CD=DB， ∴CA=CD， CF ⊥ AD， ∴AD=DF， ∆CDF ≅∆BDE， ∴DF =DE， ∴AF =DE． 练习6: 【学习框18】 （★★★☆☆）如图，在Rt∆ABC与Rt∆ADE中，∠C =∠E=90°，BC =DE，BC与DE交 于点F ，且∠BAE=∠DAC ， 求证：（1）∠B=∠D； （2）BF =DF ． 【配题说明】全等三角形的证明 【常规讲解】 证明：（1）∠BAE =∠DAC， ∴∠BAE+∠EAC =∠DAC+∠EAC， ∴∠BAC =∠DAE， 在∆ABC 和∆ADE中， ∠C =∠E  ∠BAC =∠DAE，  BC =DE ∴∆ABC ≅∆ADE(AAS)， ∴∠B=∠D； （2）如图，连接BD， ∆ABC ≅∆ADE， 20∴AB= AD，∠ABC =∠ADE， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABD−∠ABC =∠ADB−∠ADE， ∴∠FBD=∠FDB， ∴BF =DF． 21例题7: （★★★★☆）（2022•嘉定区上海外国语实验学校期末）在∆ABC中，∠B=∠C ，点D在BC 边上，∠BAD=50°（如图1)． （1）若E在∆ABC的AC边上，且∠ADE=∠B，求∠EDC的度数； （2）若∠B=30°，E在∆ABC的AC边上，∆ADE是等腰三角形，求∠EDC的度数；（简写 主要常规讲解过程即可）； （3）若AD将∆ABC分割成的两个三角形中有一个是等腰三角形，求∠B的度数．（直接写 出答案）． 【配题说明】考察外角的应用，等腰三角形的分类讨论 【常规讲解】 解：（1）∠ADC是∆ABD的外角， ∴∠ADC =∠B+∠BAD， ∠ADC =∠ADE+∠EDC ，且∠ADE=∠B，∠BAD=50°， ∴∠EDC =∠BAD=50°． 即∠EDC的度数为50°； （2）∠B=CC′=30°， ∴∠BAC =180°−(∠B+∠C)=120°． ∠BAD=50°， ∴∠DAC =∠BAC−∠BAD=70°， ∠ADC是∆ABD的外角， ∴∠ADC =∠B+∠BAD=80°， 22∆ADE是等腰三角形， 若AE =DE ，则∠ADE =∠DAC =70°， ∴∠EDC =∠ADC−∠ADE=10°． 若AD=DE，则∠AED=∠DAC， ∴∠ADE =180°−2∠DAC =40°， ∴∠EDC =∠ADC−∠ADE =40°． 若AD= AE，则∠ADE=∠AED=(180°−70°)÷2=55°， ∴∠EDC =80°−55°=25°． 即∠EDC的度数为10°或40°或25°； （3）若∆ABD为等腰三角形，则只能AD=BD， ∴∠B=∠BAD=50°． 若∆ACD为等腰三角形，则只能AD=CD或AC =DC， 180°−∠BAD 130 180°−2∠BAD 80 ∴∠B=∠C =∠CAD= =( )°或∠B=∠C = =( )°， 3 3 3 3 130 80 ∴∠B的度数为50°或( )°或( )°． 3 3 23练习7: 【学习框20】 （★★★★☆）如图，在∆ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点（不与端点重合），连 接DE，∠AED=∠B，DF平分∠BDE交射线BC于点F ，连接EF ． （1）若∠C =50°，求∠BDE的度数； （2）若∠ACB=∠DFE． ①求证：∠FED=∠FDE； ②延长FD至点G ，连接EG，若∠A=2∠G，5∠FED−3∠DEG=180°，求∠G与∠C之间 的数量关系． 【配题说明】角平分线的性质，外角的性质 【常规讲解】 （1）解：方法一：在∆ABC中，∠A+∠B+∠C =180°， 在∆ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠AED=∠B， ∴∠C =∠ADE， ∠ADE+∠BDE=180°， ∴∠C+∠BDE=180°， ∠C =50°， ∴∠BDE=130°； 方法二：∠AED=∠B，∠CED+∠AED=180°， ∴∠CED+∠B=180°， 在四边形BCED中，∠B+∠C+∠CED+∠BDE =360°， ∴∠C+∠BDE=180°， ∠C =50°， ∴∠BDE=130°； 方法三：∠BDE =∠A+∠AED，∠AED=∠B， 24∴∠BDE =∠A+∠B， 在∆ABC中，∠C+∠B+∠A=180°，∠C =50°， ∴∠BDE =∠A+∠B=130°； （2）①证明：由（1）得，∠C+∠BDE=180°， 即∠C+∠FDB+∠FDE =180°， 又在∆FDE中，∠DFE+∠FED+∠FDE=180°， ∠C =∠DEFE， ∴∠FDB=∠FED， DF 平分∠BDE， 1 ∴∠FDB=∠FDE = ∠BDE， 2 ∴∠FED=∠FDE； 1 ②解：∠BDE =∠A+∠AED，∠FDE=∠G+∠GED，∠A=2∠G，∠FDE = ∠BDE， 2 1 ∴∠GED= ∠AED， 2 设∠GDE =x，∠FED= y， 则∠FDE=∠FDB= y，∠G= y−x， ∴∠C =180°−2y， 5∠FED−3∠DEG=180°， ∴5y−3x=180°， ∴3y−3x=180°−2y， 即∠C =3y−3x， ∴∠C =3∠G． 25知识加油站3——证明举例动点问题【建议时长：60分钟】 考点三：证明举例动点问题 知识笔记3 动点问题 “动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段上运动的一类开放性题目解 决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 例题8: （★★★★☆）（2022•杨浦区期中）已知∆ABC，∠ACB=90°，AC =BC =4，D是射线CB 上一点，联结AD，将AD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，联结BE 交射线AC 于点F ． （1）如图1，当点D与点C重合时，求AF 的长； （2）如图2，当点D在线段BC上时，联结CE ，在点D的运动过程中，请问∆AEC 的面积 是否会发生变化？如果不会，求出它的面积；如果会，请说明理由； （3）当BD=1时，求AF 的长． 【配题说明】线段的旋转，全等三角形的证明与三角形的面积 【常规讲解】 解：（1）将AD绕点A逆时针旋转90°， ∴AD= AE，∠DAE=90°， 点D与点C重合， ∴AC = AE， ∴BC = AC = AE， 26又∠AFE=∠BFC，∠EAF =∠BCF =90°， ∴∆BCF ≅∆EAF(AAS)， ∴AF =CF ， AC =BC =4， ∴AF =CF =2； （2）∆AEC的面积不会变化，理由如下： 如图，过点E作EH ⊥ AC于H ， 将AD绕点A逆时针旋转90°， ∴AD= AE，∠DAE=90°=∠ACB， ∴∠DAC+∠CAE =90°=∠DAC+∠ADC ， ∴∠ADC =∠CAE， ∴∆ADC ≅∆EAH(AAS)， ∴EH = AC =4， 1 ∴S = ×AC⋅EH =8； ∆ACE 2 （3）当点D在线段BC上时， BD=1，BC =4， ∴CD=3， ∆ADC ≅∆EAH ， ∴CD= AH =3， ∴CH =1， ∠EHF =∠ACB=90°，∠AFE=∠BFC，AC =EH =BC， ∴∆EFH ≅∆BFC(AAS)， 1 ∴FH =FC = ， 2 7 ∴AF = AF +FH = ； 2 27当点D在线段CB的延长线时，过点E 作EH ⊥直线AC于H ， BD=1，BC =4， ∴CD=5， 同理可证∆ACD≅∆EHA， ∴CD= AH =5， ∴CH =1， 同理可证：∆BCF ≅∆EHF ， 1 ∴FH =FC = ， 2 9 ∴AF = AC+FC = ， 2 7 9 综上所述：AF 的长为 或 ． 2 2 练习8: 【学习框22】 （★★★★☆）如图，在等边∆ABC中，AM 为BC边上的中线，动点D在直线AM 上时，以 CD为边在CD的下方作等边∆CDE，联结BE ． （1）∠CAM =__________度； （2）当点D在线段AM 上时，求证：∆ADC ≅∆BEC； （3）当动点D在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O，试判断∠AOB的度数 是否会发生变化？请说明理由． 【配题说明】旋转模型的应用 【常规讲解】 解：（1）如图1中，∆ABC是等边三角形， ∴∠BAC =60°． 线段AM 为BC边上的中线 281 ∴∠CAM = ∠BAC， 2 ∴∠CAM =30°． 故答案为：30； （2）∆ABC与∆DEC都是等边三角形 ∴AC =BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ∴∠ACD=∠BCE． 在∆ADC和∆BEC中 AC =BC  ∠ACD=∠BCE  CD=CE ∴∆ACD≅∆BCE(SAS)． （3）∠AOB是定值，∠AOB=60°， 理由如下： ①当点D在线段AM 上时，如图1，由（2）可知∆ACD≅∆BCE，则∠CBE=∠CAD=30°， 又∠ABC =60° ∴∠CBE+∠ABC =60°+30°=90°， ∆ABC是等边三角形，线段AM 为BC边上的中线 1 1 ∴AM 平分∠BAC，即∠BAM = ∠BAC = ×60°=30° 2 2 ∴∠BOA=90°−30°=60°． ②当点D在线段AM 的延长线上时，如图2中， ∆ABC与∆DEC都是等边三角形 ∴AC =BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE 29∴∠ACD=∠BCE 在∆ACD和∆BCE中， AC =BC  ∠ACD=∠BCE，  CD=CE ∴∆ACD≅∆BCE(SAS) ∴∠CBE =∠CAD=30°， 同理可得：∠BAM =30°， ∴∠BOA=90°−30°=60°． ③当点D在线段MA的延长线上时， ∆ABC与∆DEC都是等边三角形 ∴AC =BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60° ∴∠ACD+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60° ∴∠ACD=∠BCE 在∆ACD和∆BCE中， AC =BC  ∠ACD=∠BCE，  CD=CE ∴∆ACD≅∆BCE(SAS) ∴∠CBE =∠CAD 同理可得：∠CAM =30° ∴∠CBE=∠CAD=150° ∴∠CBO=30°，∠BAM =30°， ∴∠BOA=90°−30°=60°． 综上，当动点D在直线AM 上时，∠AOB是定值，∠AOB=60°． 30全真战场 教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成 关卡一 练习1: （1）（★★☆☆☆）（2022•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是( ) A．等边三角形的三个内角都等于60° B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等 C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等 D．相等的两个角是对顶角 【常规讲解】 解：A、逆命题为三个内角都等于60°的三角形为等腰三角形，正确，是真命题，不符合题 意； B、逆命题为对应角相等的两个三角形全等，错误，为假命题，符合题意； C、逆命题为三边对应相等的两个三角形全等，正确，为真命题，不符合题意； D、逆命题为对顶角相等，正确，为真命题，不符合题意， 故选：B． （2）（★★☆☆☆）下列说法中，正确的有( ) ①两边及一内角相等的两个三角形全等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③等腰三角形两腰上的高相等； ④等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【常规讲解】 解：两边及夹角对应相等的两个三角形全等， 故①错误，不符合题意； 等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合， 故②错误，不符合题意； 等腰三角形两腰上的高相等， 故③正确，符合题意； 31等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等， 故④正确，符合题意； 综上，说法正确的有2个， 故选：B． 练习2: （★★★☆☆）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如 果…那么…”的形式，再指出命题的条件和结论． ①同号两数的和一定不是负数； ②若x=2，则1−5x=0； ③延长线段AB至C，使B是AC的中点； ④互为倒数的两个数的积为1． 【常规讲解】 解：①同号两数的和一定不是负数是命题，改写为：如果两个数是同号，那么这两个数的和 一定不是负数，条件是：两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数； ②若x=2，则1−5x=0是命题，改写为：如果x=2，那么1−5x=0，条件是x=2，结论 是1−5x=0； ③延长线段AB至C，使B是AC的中点不是命题； ④互为倒数的两个数的积为1是命题，改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为 1，条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1． 练习3: （★★★☆☆）如图，∆ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACG的平分线交于点D，过点 D作BC的平行线交AB于E，交AC于F ．试判断EF 与BE ，CF 之间的关系，并说明理 由． 【常规讲解】 解：EF =BE−CF． 32证明：BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC． 又ED//BC，∴∠EDB=∠DBC； ∴∠ABD=∠EDB，∴BE=ED； 同理可证：CF =FD； EF =ED−FD， ∴EF =BE−CF ． 练习4: （★★★☆☆）判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反 例） （1）若 a2 =3，则a=3； （2）如图，已知BE ⊥ AD，CF ⊥ AD，垂足分别为点E，F ，且BE=CF．则AD是∆ABC 的中线． 【常规讲解】 （1）解：是假命题， 当a=−3时， a2 =3，但a≠3，所以命题（1）是假命题； （2）是真命题， 证明：BE⊥ AD，CF ⊥ AD， ∴∠DFC =∠DEB=90°， 在∆BED和∆CFD中， ∠2=∠1  ∠DFC =∠DEB，  CF =BE ∴∆BED≅∆CFD(AAS) ∴BD=CD， ∴AD是∆ABC的中线， ∴所以命题（2）是真命题． 33关卡二 练习5: （★★★★☆）如图，在∆ABC 中，BE ，CE ，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∠ACF ，AB//CD， 下 列 结 论 ：① ∠BDC =∠BAC ； ② ∠BEC =90°+∠ABD ； ③ ∠CAB=∠CBA ； ④ ∠ADB+∠ABC =90°，其中正确的为( ) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【常规讲解】 解：CD平分∠ACF ，∠ACF =∠ABC+∠BAC， 1 1 1 ∴∠ACD=∠DCF = ∠ACF = ∠ABC+ ∠BAC． 2 2 2 1 ∠DCF =∠DBC+∠BDC = ∠ABC+∠BDC， 2 1 ∴ ∠BAC =∠BDC，即∠BAC =2∠BDC，①错误； 2 CE平分∠ACB， 1 ∴∠ACE= ∠ACB， 2 ∠ACB+∠ACF =180°， ∴∠ACE+∠ACD=90°，即∠ECD=90°， ∴∠BEC =∠ECD+∠CDB=90°+∠CDB， CD//AB， ∴∠CDB=∠ABD， ∴∠BEC =90°+∠ABD，故②正确； BD平分∠CBA， ∴∠CBA=2∠ABD=2∠CDB， ∠BAC =2∠BDC， ∴∠CAB=∠CBA，故③正确； BD平分∠ABC，CD平分∠ACF ， ∴AD为∆ABC外角∠MAC的平分线， 34∴∠MAC =2∠MAD， ∠MAC =∠ABC+∠ACB，∠MAD=∠ABD+∠ADB，∠ABC =2∠ABD， ∴∠ACB=2∠ADB， ∴∠ADB=∠ACE， CD//AB， ∴∠ABC =∠DCF =∠ACD， ∠ACE+∠ACD=90°， ∴∠ADB+∠ABC =90°，故④正确． 故选：C． 练习6: （★★★★☆）（2021•普陀区期末）已知：如图，在∆ABC 中，∠C =90°，AC =BC =4，点 M 是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM =BN ，连接 MN 交边AB于点P． （1）求证：MP= NP； （2）若设AM =x，BP= y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当∆BPN 是等腰三角形时，求AM 的长． 【配题说明】几何与函数解析式，等腰三角形与长度的关系 【常规讲解】 （1）证明：过点M 作MD//BC交AB于点D， MD//BC ， ∴∠MDP=∠NBP， AC =BC，∠C =90°， 35∴∠A=∠ABC =45°， MD//BC ， ∴∠ADM =∠ABC =45°， ∴∠ADM =∠A， ∴AM =DM ． AM =BN， ∴BN =DM ， 在∆MDP和∆NBP中 ∠MDP=∠NBP  ∠MPD=∠NPB，  DM =BN ∴∆MDP≅∆NBP， ∴MP=NP． （2）解：在Rt∆ABC中， ∠C =90°，AC =BC =4， ∴ AB=4 2． MD//BC ， ∴∠AMD=∠C =90°． 在Rt∆ADM中，AM =DM =x， ∴ AD= 2x． ∆MDP≅∆NBP， ∴DP=BP= y， AD+DP+PB= AB， ∴ 2x+ y+ y=4 2， 2 ∴所求的函数解析式为y=− x+2 2 ， 2 定义域为0