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重难点突破 06 开放探究与新定义问题
目 录
题型01 新定义问题
类型一 新定义问题-数、式、方程
类型二 新定义问题-函数
类型三 新定义问题-图形的性质与变化
题型02 方法迁移题型
题型03 归纳概括问题
题型04 探究实践类问题
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【命题趋势】开放探究与新定义问题是近年中考数学的热点问题．开放探究（阅读理解）问题通常不会单
独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，
又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力． 新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有
学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行
运算、推理、迁移的一种题型．一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新
知识；（3）定义新概念．这类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时
需要将新定义的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题．
题型 01 新定义问题
类型一 新定义问题-数、式、方程
1．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有
两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
1 1 1 1
A．k>− B．k<− C．k>− 且k≠0 D．k≥− 且k≠0
4 4 4 4
2．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“ ”为a⊗b=b2−ab，例如
3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k⊗−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
1 1
3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b= + ．若
a b
2x+1
(x+1)⊗x= ，则x的值为 ．
x
4．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=¿，例如：
3※1=3−1=2，5※4=5+4−6=3．根据上面的材料，请完成下列问题：
(1)4※3=___________，(−1)※(−3)=___________；
(2)若(3x+2)※(x−1)=5，求x的值．
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类型二 新定义问题-函数
5．（2023·山东济南·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，对于点 ，当点 满足
P(x ,y ) Q(x ,y )
1 1 2 2
时，称点 是点 的“倍增点”，已知点 ，有下列结论：
2(x +x )= y + y Q(x ,y ) P(x ,y ) P (1,0)
1 2 1 2 2 2 1 1 1
①点Q (3,8)，Q (−2,−2)都是点P 的“倍增点”；
1 2 1
②若直线y=x+2上的点A是点P 的“倍增点”，则点A的坐标为(2,4)；
1
③抛物线y=x2−2x−3上存在两个点是点P 的“倍增点”；
1
4√5
④若点B是点P 的“倍增点”，则P B的最小值是 ．
1 1 5
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023·江苏盐城·中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴
上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y=x2−1；②y=x2−x，其中，_________为函数y=x−1的轴点函数．（填
序号）
【尝试应用】
（2）函数y=x+c（c为常数，c>0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交
1
点为点B.若OB= OA，求b的值．
4
【拓展延伸】
1
（3）如图，函数y= x+t（t为常数，t>0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上
2
取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函
1
数y= x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．
2
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7．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点
C给出如下定义：
若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
(1)如图，点 ， ( √2 √2)， (√2 √2)
A(−1,0) B − , B ,−
1 2 2 2 2 2
①在点 ， ， 中，弦 的“关联点”是______．
C (−1,1) C (−√2,0) C (0,√2) AB
1 2 3 1
②若点C是弦AB 的“关联点”，直接写出OC的长；
2
(2)已知点 ， (6√5 )．对于线段 上一点S，存在 的弦 ，使得点S是弦 的“关联
M(0,3) N ,0 MN ⊙O PQ PQ
5
点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形
M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．
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(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A(−1,2)，B(−1,−1)，C(3,−1)，D(3,2)，在点M (1,1)，
1
M (2,2)，M (3,3)中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
2 3
k
(2)点G(2,2)是反比例函数y = 图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标
1 x
是___________，直线GH的解析式是y =___________．当y >y 时，x的取值范围是___________．
2 1 2
1 9
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=− x2+x+ 上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，
2 2
AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
类型三 新定义问题-图形的性质与变化
9．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin(45°+30°)=
√2 √3 √2 1 √6+√2
× + × = ，则sin15°的值为 ．
2 2 2 2 4
10．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
定义：将宽与长的比值为√22n+1−1（ 为正整数）的矩形称为 阶奇妙矩形．
n n
2n
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长
(CD)的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
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第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边
AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长
与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
11．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻
等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为
邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符
合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作
BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
12．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点
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P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点
P'，点P'关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．
(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．
①在图中画出点Q；
1
②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT= OM;
2
1
(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t( PD），小华把
一根长为28m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点
C，求AP的长．
15．（2022·湖北黄石·中考真题）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程 ，如果我们把 看作一个整体，然后设 ，则原方程可化为
(x2) 2 −13x2+36=0 x2 y=x2
y2−13 y+36=0，经过运算，原方程的解为x =±2，x =±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫
1,2 3,4
做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，显然m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等
的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：
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方程x4−5x2+6=0的解为_______________________；
(2)间接应用：
已知实数a，b满足：2a4−7a2+1=0，2b4−7b2+1=0且a≠b，求a4+b4的值；
(3)拓展应用：
1 1 1
已知实数x，y满足： + =7，n2−n=7且n>0，求 +n2 的值．
m4 m2 m4
16．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式x2−x−6<0的解集？
通过思考，小丽得到以下3种方法：
方法1 方程x2−x−6=0的两根为x =−2，x =3，可得函数y=x2−x−6的图像与x轴的两个交点横坐
1 2
标为−2、3，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式x2−x−6<0的解
集．
方法2 不等式x2−x−6<0可变形为x20时，不等式变为x−1< ；当x<0时，不等式变为x−1>
x x
6
．问题转化为研究函数y=x−1与y= 的图像关系…
x
任务：
(1)不等式x2−x−6<0的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
17．【12345模型】（2023·四川凉山·中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
1
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα= ，则
2
1
tanβ= ．
3
1
证明：设BE=k，∵tanα= ，∴AB=2k，
2
易证△AEB≌△EFC(AAS)
∴EC=2k,CF=k，
∴FD=k,AD=3k
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DF k 1
∴tanβ= = = ，
AD 3k 3
1 1
若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
2 3
1 1
同理：若α+β=45°时，当tanα= ，则tanβ= ．
3 2
根据上述材料，完成下列问题：
m
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺
x
时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知
OA=5．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
题型 03 归纳概括问题
18．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：
32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8×3,92−72=8×4,⋯
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(1)写出192−172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
19．【中点四边形模型】（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细
阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接
E,F,G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁
(Varingnon，Pierre1654－1722)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．
①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：
证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DM⊥AC于点M，交HG于点N．
1
∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HG= AC．（依据1）
2
DN DG 1
∴ = ．∵DG=GC，∴DN=NM= DM．
NM GC 2
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．
∵HG∥AC，即HG∥PQ，
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1
∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴S =HG⋅MN= HG⋅DM．
▱HPQG 2
1 1
∵S = AC⋅DM=HG⋅DM，∴S = S ．同理，…
△ADC 2 ▱HPQG 2 △ADC
任务：
(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．
依据2是指：_____________．
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形
EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）
(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长
度的关系，并证明你的结论．
20．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线l ∥l ，△ABC与△DBC的面积相等吗？为什么？
1 2
解：相等．理由如下：
1 1
设l 与l 之间的距离为h，则S = BC⋅h，S = BC⋅h．
1 2 △ABC 2 △DBC 2
∴S =S ．
△ABC △DBC
【探究】
(1)如图②，当点 在 ， 之间时，设点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则S h．
D l l A D l h h' △ABC =
1 2 2 S h'
△DBC
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证明：∵S
△ABC
(2)如图③，当点 在 ， 之间时，连接 并延长交 于点 ，则S AM．
D l l AD l M △ABC =
1 2 2 S DM
△DBC
证明：过点A作AE⊥BM，垂足为E，过点D作DF⊥BM，垂足为F，则∠AEM=∠DFM=90°，
∴AE∥ ．
∴△AEM∽ ．
AE AM
∴ = ．
DF DM
由【探究】（1）可知S ，
△ABC =
S
△DBC
∴S AM．
△ABC =
S DM
△DBC
(3)如图④，当点D在l 下方时，连接AD交l 于点E．若点A，E，D所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
2 2
S 的值为 ．
△ABC
S
△DBC
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21．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：
a b
在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： = ．
sinA sinB
证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：
在RtΔBCD中， CD=asinB
在RtΔACD中，CD=bsinA
∴asinB=bsinA
a b
∴ =
sin A sinB
根据上面的材料解决下列问题：
b c
(1)如图2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证： = ；
sinB sinC
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需
美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：
sin53°≈0.8，sin67°≈0.9)
题型 04 探究实践类问题
22．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0
