文档内容
专题 09 平面向量
考点 三年考情（2022-2024） 命题趋势
考点1：平面向量线性运
2022年新高考全国I卷数学真题
算
2022年高考全国甲卷数学（理）真题
2023年高考全国乙卷数学（文）真题
考点2：数量积运算
2022年高考全国乙卷数学（理）真题 平面向量数量积的运算、化
2024年北京高考数学真题 简、证明及数量积的应用问
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题 题，如证明垂直、距离等是
2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题 每年必考的内容，单独命题
考点3：求模问题
2023年北京高考数学真题 时，一般以选择、填空形式
2022年高考全国乙卷数学（文）真题 出现．交汇命题时，向量一
2023年高考全国甲卷数学（文）真题 般与解析几何、三角函数、
考点4：求夹角问题 2023年高考全国甲卷数学（理）真题 平面几何等相结合考查，而
2022年新高考全国II卷数学真题 此时向量作为工具出现．向
2024年上海夏季高考数学真题 量的应用是跨学科知识的一
2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题 个交汇点，务必引起重视．
考点5：平行垂直问题 2022年高考全国甲卷数学（文）真题 预测命题时考查平面向量数
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题 量积的几何意义及坐标运
2024年高考全国甲卷数学（理）真题 算，同时与三角函数及解析
几何相结合的解答题也是热
2024年天津高考数学真题
点．
2023年高考全国乙卷数学（理）真题
考点6：平面向量取值与 2022年新高考北京数学高考真题
范围问题 2022年新高考天津数学高考真题
2022年新高考浙江数学高考真题
2023年天津高考数学真题考点1：平面向量线性运算
1．（2022年新高考全国I卷数学真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
考点2：数量积运算
2．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
．
【答案】
【解析】设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
3．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则
（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
4．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵ ，
又∵
9 ，
∴∴
故选：C.
5．（2024年北京高考数学真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的
（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：B.
考点3：求模问题
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B.
8．（2023年北京高考数学真题）已知向量 满足 ，则 （ ）A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
故选：D
考点4：求夹角问题
10．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】 , ,即 ,解得 ,
故选：C
考点5：平行垂直问题
13．（2024年上海夏季高考数学真题））已知 ，且 ，则 的值为 ．
【答案】15
【解析】 ， ，解得 ．
故答案为：15．
14．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D【解析】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.
15．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知向量 ．若 ，则
．
【答案】 /
【解析】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
16．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
17．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.考点6：平面向量取值与范围问题
18．（2024年天津高考数学真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
【答案】
【解析】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB
与 交于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，
，则当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
20．（2022年新高考北京数学高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D21．（2022年新高考天津数学高考真题）在 中， ，D是AC中点， ，试用
表示 为 ，若 ，则 的最大值为
【答案】
【解析】方法一：
， ，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
， ，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
22．（2022年新高考浙江数学高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 , ，设
,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
23．（2023年天津高考数学真题）在 中， ， ，记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
