文档内容
专题 1-1 基本不等式归类
目录
题型01 公式基础..................................................................................................................................................................1
题型02 基础模型：倒数型..................................................................................................................................................3
题型03 常数代换型..............................................................................................................................................................6
.题型04 积与和型.................................................................................................................................................................8
题型05 积与和互化解不等式型..........................................................................................................................................9
题型06 构造分母和定型....................................................................................................................................................10
题型07 凑配系数构造分母和定型....................................................................................................................................12
题型08 换元构造分母和定型............................................................................................................................................14
题型09 分子与分母互消型................................................................................................................................................16
题型10 “1”代换综合型....................................................................................................................................................18
题型11 分子消去型............................................................................................................................................................20
题型12 消元型....................................................................................................................................................................21
题型13 齐次化构造型........................................................................................................................................................23
题型14 三角换元构造型....................................................................................................................................................25
题型15 因式分解双换元型................................................................................................................................................27
题型16 配方型....................................................................................................................................................................28
高考练场..............................................................................................................................................................................30
题型 01 公式基础
【解题攻略】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1） “一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有 ，即可确定C的正
误.
【详解】A：当 时，有 ，故不等式不一定成立，故A错误；
B：当 ，即 时，有 ，故不等式不一定成立，故B错误；
C： 恒成立，故C正确；
D：当 时，有 ，故不等式不一定成立，故D错误；故选：C
【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不
等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D． 2
【答案】D
【分析】当 时，可判断A；当 时，可判断B；当 时，可判断C；利用均值不等式，可
判断D.
【详解】选项A：当 时， ， ，不成立，故A错误；
选项B：当 时， ， ，不成立，故B错误；
选项C：当 时， ，不成立，故C错误；
选项D：由 有意义，故 ，因此
由均值不等式， ，当且仅当 ，即 时等号成立
故D正确
故选：D
【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（ ）
A．x＋ (x>0)的最小值是2 B． 的最小值是2
C． 的最小值是 D．若x>0，则2－3x－ 的最大值是2－4
【答案】B
【解析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当 时， ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
对于B， ，
但 ，所以等号不成立，所以 ，故B错误；
对于C， ，当 时，等号成立，故C正确；
对于D， ，
当且仅当 时，等号成立，故D正确.
故选：B.
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则B．若x＞0，y＞0，则
C．若x＜0，则
D．若x＜0，则
【答案】D
【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可．
【详解】∵ 可能为负数，如 时， ，∴A错误；
∵ 可能为负数，如 时， ，∴B错误；
∵ ，如 时， ，∴C错误；
∵ ， ， ，∴ ，当且仅当 ，即 等号成立，∴D正确．
故选：D．
【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是 的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式，对选项中依次进行求解判断，特别要注意基本不等式成立的条件“一正、二定、
三相等”.
【详解】对于选项A， ，当 时， ，即最小值不是 ，故选项A不符合题意；
对于选项B， ，当 时， ，当且仅当 时取等号，即最小值是2，故选项B不符合题意；
对于选项C， ，令 ，则 ， 在 上单调递增，当
时，最小值为 ，故选项C不符合题意；
对于选项D， ，当且仅当 时取等号，即最小值是 ，故选项D符合题意；
故选：D.
.
题型 02 基础模型：倒数型
【解题攻略】
倒数型：
，或者
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如 ，
【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知 且 ，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数
的单调性去求 的取值范围即可解决
【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 ，令 ，则
，
又 在 单调递增，在 单调递减
， ，
则 ，即
故选：C
【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知 的面积为 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.
【详解】解： ，又 ，
= = ，当且仅当 时，等号成立.
故选：B.
【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知 ，则 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 ，根据基本不等式得 ，根据 ， ，
构造对勾函数，然后利用对勾函数的单调性判断最值.
【详解】因为 ，当且仅当 时取等号，因为 ，所以 ， ，
令 ，根据对勾函数的单调性可知，
当 时，函数取得最小值 ，当 或 时，函数取得最大值 ，
故 ，所以 ，即 ，
同理 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先化简函数为 ，再进行换元 ，结合t的范围，根据对勾函数的单
调性求 的最小值即得结果.
【详解】因为 ，定义域为 .
令 ，所以 ， ，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立.
故根据对勾函数 在 上单调递减，可知 在 上递减，
所以 时， ，此时 ，故函数 的最小值为 .故选：C.
【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若 (x, )
最大值记为 ,则 的最小值为
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ,设 , ,则
,由对勾函数可得 在 上单调递增,则 ,讨论 与 的大小关系,
进而求解即可
【详解】设 ,因为 ,所以 ,
设 , ,由对勾函数的性质可知 在 上单调递增,所以 ,即 ,因为 (x, )最大值记为
,
所以当 ,即 , ；当 ,即 , ,所以 的最小值为
故选:D
.
题型 03 常数代换型
【解题攻略】
利用常数 代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多
称之为“1”的代换
（1）条件和结论有“分子分母”特征；
（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件
结构形式：
（1） 求
（2） 求
【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知 ， ， 是正实数，且 ，则 最小值
为 .
【答案】
【分析】由于 ， ， 是正实数，且 ，所以先结合基本不等式“1”的代换求 的最小值，
得 ，则 ，再根据基本不等式凑项法求 的最小值，即可求得
的最小值.
【详解】解： ，由于 ， ， 是正实数，且 ，
所以
，当且仅当 ，即 ，所以
时等号成立，
则 的最小值为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，则 最小值为 .故答案为： .
【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数 满足 ，则
的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【答案】B
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：正实数 满足 ，
则 ， ，
即： ，当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最小值为11.故选：B.
【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知 ， ， ，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】将 化为 后与 相乘，化简后再利用基本不等式求解.
【详解】由题意得： ， ， ，所以得： ，
所以：
当且仅当 时，即 时取等号.
故最小值为： .故答案为： .
【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数 满足 ，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】由题知 ，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数 满足 ，
所以， ，
所以， ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以， 的最小值为 .故答案为：【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知 ， ，且 ，则 取得最小值时 的
值是 .
【答案】 /
【分析】变换 ，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.故答案为：
题型 04 积与和型
【解题攻略】
积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如 ，可以通过同除ab，化为 构造“1”的代换求解
【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知 ， ，且 ，则当 取得最小值时，
（ ）
A．16 B．6 C．18 D．12
【答案】B
【分析】根据已知条件可得 ，将 展开利用基本不等式即可求解.
【详解】因为 ， ， 所以
所以 ．
当且仅当 即 时取等号，所以当 取得最小值时， 故选：B.
【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知 ， ，且 ，则 的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件变形可得 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可
求得 的最小值.
【详解】因为 ， ，且 ，则 ，可得 ，
所以， ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值是 .故选：C.
【变式1-1】（2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知 ， 且 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将已知等式变形为 ，将 与 相乘，展开后利用基本不等式可求得 的
最小值.
【详解】因为 ， 且 ，则 ，可得 ，
所以， ，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .故选：C.
【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．18 B．15 C．20 D．13
【答案】A
【分析】变形条件为 ，利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解.
【详解】由题意可得 ，
则 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故选：A
【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【详解】根据题意， ，
∴ ，当且仅当 且 时等号成
立，
∴ 的最小值为 ，故选：D．
题型 05 积与和互化解不等式型
【解题攻略】
积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。
形形如 求 型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数 、 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可得出关于 的不等式，即可解得 的最大值.
【详解】由题意得 ，
得 ，即 ，当且仅当 时，等号成立.
因此， 的最大值为为 .
故选：C.
【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】先化简把 单独放在一侧,再应用重要不等式把未知数都转化为 ,计算求解即可.
【详解】 可变形为 ，因为 ，所以 ，
解得 ，当且仅当 时， 取到最大值4.故选: D．
【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用 ，可求 的最大值．
【详解】 曲线 ， ，
又 ，当且仅当 时取等号， ，
， ， ， 的最大值为 ．故选： ．
【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设 ， ， ，则ab的最小值是
（ ）
A．4 B．9 C．16 D．25
【答案】D
【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.
【详解】∵ ， ，∴ ，
令 ，则 ，即 ，解得 ，
∴ ，当且仅当 时，等号成立.
故选：D
【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若 ，且 ，则 的取值范
围（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简整理式子可得 ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由 ，且 ，则 ，即 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .故选：D
题型 06 构造分母和定型
【解题攻略】
对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用
“1”的代换来求解。
【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数 满足 ，
则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意 为正数， ，
所以
，
当且仅当 ，
， 时等号成立.故答案为：
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ，那么 的最小值为
（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】由题意可得 ，再由基本不等式求解即可求出答案.
【详解】因为 ， ， ，
则.
当且仅当 即 时取等.故选：C.
【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数 ，且 ，则 的最
小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.
【详解】 ，等式 恒成立， ，
由于 ，所以 ， ，
，
当且仅当 时，即 时取等号.
， ，故 的最小值为1.
故选： .
【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由题可得， ，则 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时，取得等号，故选:C.
【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数 ， 满足 ，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】由 ，结合基本不等式求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 为正实数，所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，即
时等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故答案为： .
题型 07 凑配系数构造分母和定型
【解题攻略】
对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求 型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”
的代换来求解。
其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。
【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
.
【答案】12
【分析】 ，展开后利用基本不等式可求．
【详解】∵ ， ，且 ，
∴
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为12．故答案为：12．
【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知 且 ，若 恒成立，则
实数 的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意得 ，利用基本不等式“1”的代换求出 的最小值，即
可得解.【详解】因为 且 ，若 恒成立，则 ，
又
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 ，即实数 的取值范围是 ．故答案为： ．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 且 ，若 恒
成立，则实数 的范围是 ．
【答案】
【分析】依题意可得 ，利用乘“1”法及基本不等式求出 的最小值，即可
得解.
【详解】因为 ， 且 ，若 恒成立，
则 ，又
，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
，即实数 的取值范围是 ．故答案为： ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数 满足 ，则 的最小
值为 .
【答案】 /
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意 为正数， ，
所以
，
当且仅当 ，
， 时等号成立.故答案为：【变式1-3】（2021·三课时练习）已知 ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】首先利用“1”的等价变形， ，再利用基本不等式求最小
值.
【详解】 ，
，
当且仅当 ，即 ，解得 是等号成立，
所以 的最小值是
题型 08 换元构造分母和定型
【解题攻略】
换元型构造分母和定型：
形如 型，则可以 通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。
【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足 ，则
的小值为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法可得出 ，与 相乘，展开后利用基本
不等式可求得 的最小值.
【详解】设 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
，当且仅当 时，即 等号成立，
则 的小值为 .故答案为：9.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 且 ，则 的最小值为
.
【答案】
【分析】令 ， ，将已知条件简化为 ；将 用 表示，分离常数，再使用
“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．
【详解】解：令 ， ，因为 ，所以 ，
则 ， ，所以 ,
所以
，
当且仅当 ，即 ， ，即 时取“ ”，
所以 的最小值为 .故答案为： .
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 的最小值是
.
【答案】
【分析】将 用 与 表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解.
【详解】设 ，
由对应系数相等得 ，得 所以
整理得 即
所以
.经验证当 时，等号可取到.故答案为：
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数 满足 ，则 的最小值为.
【答案】
【分析】换元 后可得 ，再由 及“1”的技巧化简，利用均值不等
式求解.
【详解】令 ，则 ，
即 ，
，
当且仅当 ，即 时，解得 时等号成立，故 的最小值为 .
故答案为：
题型 09 分子与分母互消型
【解题攻略】
满足 一般情况下可以通过“万能K法”转化求解
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值
【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是 .
【答案】
【分析】设 ，则 ，计算 利用基本不等式可得最小值，即可得 的
最小值，解不等式可得 的最小值，即 的最小值.
【详解】因为 ， 则 ，
设 ，则 ，
由 ，
当且仅当 即 时等号成立，
由 即 ，解得： 或 （舍）
所以 ， 的最小值是 ，故答案为： .
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数 ， 满足 ，则 的最大值是
.【答案】
【分析】设 ，则 ，同时根据 均为正数确定 的取值范围，利用基本不等式可求得
，解不等式可求得结果.
【详解】设 ，则 ，
均为正数， ，解得： ；
则 （当且仅当 ，即 时取等号），
又 ， 当 ， 时， 取得最小值 ；
，即 ，解得： ，满足 ，
的最大值为 .故答案为：9
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知 为正数，且 ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】等式化为 ，两边平方，令 ，由基本不等式可得 ，即可
求出.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，令 ，
则 ，而 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ，所以 的最大值为8.
故答案为： ．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】设 ，将 变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的
形式，再利用基本不等式即可求解.
【详解】解：设 ，则 ，∴
∴ 整理得： ，由 得，当且仅当 时取“=”.∴ ，
解得 或 （舍去）,即当 时， 取得最小值8，故选：A.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．1 C．2 D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为 ，所以 ,所以 ，
即 所以 ，解得 ，
当且仅当 ，解得 或 时等号成立，
所以当 时 有最大值为9.故选:D.
题型 10 “1”代换综合型
【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知 且 ，则 的最小值
等于 .
【答案】 /
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】因为 且 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 ，等号成立，
故 的最小值等于 .
故答案为： .
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数 ， 满足等式 ，
， ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】【分析】由题意可得： ，由已知可得 代入
整理，再利用基本不等式求 的最小值，再解不等式即可求解.
【详解】由题意可得： ，
因为 ，所以 ，即
，当且仅当 即 时等号成立，
，所以 ，即 ，所以 ，解得：
，所以实数 的取值范围为： ，故答案为： .
【变式1-1】（2020上·上海徐汇·高三上海中学校考）已知实数 满足 且 ，若
，则 的最小值是
【答案】
【解析】将 变形为 ，再根据“ ”的妙用结合基本不等式求解出 的最
小值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，取等号时 ，即 ，
所以 的最小值为 ，故答案为： .
【变式1-2】（2020·江苏苏州·吴江盛泽中学模拟预测）已知 ，且 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【详解】由基本不等式可得： ≤ ，即 ≤4，当且仅当 时，取“ ”．
又因为 ≥8.
当且仅当 时，取“ ”．
所以 ≥ ≥ .
当且仅当 时，取“ ”．
所以 的最小值为 .
题型 11 分子消去型
【解题攻略】
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转
化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
【典例1-1】（2020·江苏省震泽中学高三阶段练习）若 ， ， ，则 的最小
值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，结合基本不等式即可求出答案.
【详解】解： ，
因为 ， ，所以 ，
当且仅当 ，即 ，即 或 时，取等号，
所以 的最小值为 .故选：A.
【典例1-2】（2022秋·辽宁沈阳·高三校联考阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.
【详解】因为 ， ， ．所以 ，当
且仅当 时，等号成立．故选：B.
【变式1-1】（2022春·广东韶关·高三校考阶段练习）已知a，b为正实数，且 ，则 的最小
值为（ ）A．1 B．6 C．7 D．
【答案】B
【分析】利用已知条件 将原式化为可以使用基本不等式的形式即可.
【详解】由已知条件得， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
∴ 的最小值为6；故选：B.
【变式1-2】（2023春·重庆·高三校联考期中）已知点 在线段 上（不含端点）， 是直线 外一点，
且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据向量共线定理推论得 ，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为
因为点 在线段 上（不含端点），所以
当且仅当 时取等号，故选：B
【变式1-3】（2022春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考期中）已知正实数 满足 ，则
的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【答案】B
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：正实数 满足 ，则 ，
，即： ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最小值为11.故选：B.
题型 12 消元型
【解题攻略】
消元型：
对于双变量型不等式求最值，如果不符合常见的转化方法，可以通过反解代入消元，转化为单变量型
不等式求最值。
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）若正实数x，y满足x＋2y＋xy＝7，则x＋y的最小值为（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】由 ，得 ， ，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为x＋2y＋xy＝7，所以 ，所以 ．
因为 ，则 所以 ，
当且仅当 ，即x＝1，y＝2时，等号成立，
所以x＋y的最小值为3．故选：D
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，用含x的式子表示 ，再运用基本不等式求解作答.
【详解】因为 ，则 ，
于是得 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取最小值14.故选：A
【变式1-1】（2023秋·海南海口·高三校考开学考试）已知正实数a，b满足 ，则 的最
小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【分析】根据 变形得 ，进而转化为 ，
用凑配方式得出 ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 取等号.
故选：B.
【变式1-2】（2023春·河北承德·高三河北省隆化存瑞中学校考阶段练习）若 ，且
，则 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】由已知得 ，代入 ，然后由基本不等式得最小值．
【详解】因为 ，所以 ，，当且仅当 时，等号成立．
故答案为：3．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数 、 满足 ，则 的最小值是
.
【答案】 /
【分析】由已知可得出 且 ，化简代数式 ，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数 、 满足 ，则 ，由 可得 ，
所以，
.
当且仅当 时，等号成立.因此， 的最小值是 .
故答案为： .
题型 13 齐次化构造型
【解题攻略】
齐次化构造型：
一般情况下，分式分子分母含有 等，满足齐次型，则可以通过分子分母同除法，构造单变量
型来转化计算求解
【典例1-1】（2023春·天津河西·高二统考期末）已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，化二元变量问题为一元变量，结合基本不等式处理.
【详解】 ，设 ，则 .
于是 ，
令 ，则 ，当 ，即 ，也即 时， 取到最小值 .故选：C
【典例1-2】（2022秋·湖北黄石·高一期中）已知x，y为正实数，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】将原式变形 ，换元设 ，然后利用基本不等式可求得结果.
【详解】由题得 ，设 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号．所以 的最小值为6．故选：C．
【变式1-1】若a，b均为正实数，则 的最大值为
A． B． C． D．2
【答案】B【详解】因为a，b均为正实数，
则 ，
当且仅当 ，且a=1取等，即a=1,b= 取等即则 的最大值为 ，故选：B．
【变式1-2】函数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】由题意得，
当且仅当 时， 取最大值,故选B.
【变式1-3】已知 ， ，则 的最大值是 ．【答案】 详解：由题得原式= ，设 ，所以原式=
，令
所以原式= .(函数在 上单调递减).故答案为：
.
【变式1-4】若实数 满足 ，且 ，则 的最大值为____
【详解】 实数x、y满足x＞y＞0，且log x+log y＝1，则xy＝2，
2 2
则 ，
当且仅当x﹣y ，即x﹣y＝2时取等号故 的最大值为 ，故答案为： ．
.
题型 14 三角换元构造型
【解题攻略】
一般情况下，复合或者能转化为 型，则可以通过三角换元（圆的参数方程型）来转
化构造，转化为三角函数辅助角为主的恒等变形来计算求解最值
【典例1-1】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设 ， ，从而表达出 ，
结合基本不等式去除最小值；
法二：采用三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.
【详解】法一：∵ ，∴可设 ， ，
∴ ，代入所求式子得， ，
当且仅当 ， 时等号成立.所以 的最小值为 .
法二：设 ， ，代入已知等式得， ，∴
，
其中 ， .∴ ，所以 的最小值为 .故选：D
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】利用均值不等式及三角换元法，即可得到结果.
【详解】
令
，等号在 时取到．
故选：A
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数 满足 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】设 ，结合三角函数定义表示 ，代入条件等式通过三角恒等变换和正弦函数性质
可求 的最小值.
【详解】设 ，则 ，则点 在单位圆上，
根据三角函数的定义，可设 ， ，则 ，
则由 可得 ，
则 ，因为由 可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
由 可得 ，
所以当 时， 取得最小值 ，即 的最小值为 ，
故答案为：
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的最小值为 .
【答案】【分析】把 整理为完全平方式，利用三角换元法可求.
【详解】因为 ，所以令 ，
解得 ，
所以
.
因为 ，所以 的最小值为 .
【变式1-3】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知实数a，b，c满足a2＋b2＝c2，c≠0，则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由a2＋b2＝c2可设a＝csinx，b＝ccosx， ＝ ＝ ，可以理解为点(2，0)与单位
圆上的点连线的斜率的范围，而两条切线的斜率为± ，则 的取值范围为 .
题型 15 因式分解双换元型
【解题攻略】
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
【典例1-1】（2022秋·浙江温州·高三校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则
的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件可得 ，令 ， ，可得 ， ， ，
进一步可得 ，最后利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】 ， ，配凑得： ，
两边同时除以4得： ，即 ，
令 ， ，则 ， ， ，
所以
（当且仅当 即 时，等号成立）.
故选：C.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法表示出 代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，则 且
，代入 中得：
当 即 时取“=”,所以最小值为1.故选：B
【变式1-1】（2021江苏高三月考）若a,b∈R，且a2+2ab−3b2=1，则a2+b2的最小值为_____
√5+1 x+3y
【详解】 由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=
4 4
x−y
，b= ，
4
x+3y x−y x2+5y2+2 2√5x2y2+2 √5+1 √5
所以a2+b2＝（ ）2+（ ）2= ≥ = ，当且仅当x2=√5，y2= 时取
4 4 8 8 4 5
√5+1
等．故答案为 ．
4
【变式1-2】（2023春·四川宜宾·高二校考阶段练习）已知 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设 ， ，从而表达出 ，
结合基本不等式去除最小值；
【详解】：∵ ，
∴可设 ， ，
∴ ，代入所求式子得，
，
当且仅当 ， 时等号成立.所以 的最小值为 .
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知 且满足 ，则 的最小值是
.【答案】
【分析】将 因式分解，令 ， ，即可求得 ， 代入
利用均值不等式即可求得最小值．
【详解】解： ，
令 ， ，
则 ， ，且 ，
所以
当且仅当 时取等号，此时 的最小值 故答案为： ．
题型 16 配方型
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知a， ，且 ，则 的最大值为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】由题知 ，进而得 ，再结合已知得 ，
即可得答案.
【详解】解： ，
则 ，当且仅当 时，“=”成立，
又a， ，所以 ，当且仅当 时，“=”成立，
所以 的最大值为 .故选：C
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于 的不等式，解不等式即可求出结果.
【详解】因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，
即 ，因为 为正实数，所以 ，因此 ，故 的最大值为 ，此时 ，故选：B.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x、y满足 ，且不等式 恒成
立，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，得出 ，进一步得到 的最小值，再根据
不等式 恒成立，得出 求出c的取值范围．
【详解】解： ， ，当且仅当 时“ ”成立，
又 不等式 恒成立， ，
的取值范围是 ．故选：B．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知a，b为非负数，且满足 ，则 的最大
值为（ ）
A．40 B． C．42 D．
【答案】D
【分析】将 表示成 的函数，利用均值不等式求出 的范围即可求解作答.
【详解】
，
又 ，当且仅当 时取“=”，则 ，
所以当 时， 的最大值为 .故选：D
【变式1-3】（2022秋·河北保定·高一校联考阶段练习）设 ， ，若 ，则 的
最大值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式可得出关于 的不等式，即可解得 的最大值.
【详解】因为 ，
所以， ，可得 ，
当且仅当 时， 取最大值 .
故答案为： .高考练场
1.（2020秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）给出下面四个推导过程：
①∵a，b为正实数，∴ ；
②∵x，y为正实数，∴ ；
③∵ ， ，∴ ；
④∵ ， ，∴ ．
其中正确的推导为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【解析】根据基本不等式的条件判断，
【详解】① ，∴ ，因此 正确；
② 时，若 ，则 ，不等式 错误；
③ 时，不等式 错误；
④ ，则 ， ，因此不等式 正确，从而不等式
正确．
故选：D．
2.（2021上·湖北武汉·高三统考）函数 在区间 上（ ）
A．有最大值为 ，最小值为0 B．有最大值为 ，最小值为0
C．有最大值为 ，无最小值 D．有最大值为 ，无最小值
【答案】A
【分析】计算 ，设 ，变换 ，根据双勾函数的性质得到函数的单调区间，计算
最值得到答案.
【详解】当 时， ，
设 ，易知 在 上单调递增，故 .
， ，当 时， ，双勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
故 ， ，
综上所述： ， ，即 ， .
故选：A.
3.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三新疆实验校考）设x，y均为正数，且 ，则 的最小值为
．
【答案】
【分析】根据基本不等式“1”的代换求解最值即可.
【详解】因为x，y均为正数，且
则
当且仅当 且 ，即
所以 的最小值为 .故答案为： .
4.（2022·山东·薛城区教育局教学研究室）已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】A
【解析】将 变形为 ，再将 变形为 ，整理后利用基本不等式可
求最小值.
【详解】因为 ，故 ，
故 ，
当且仅当 时等号成立，故 的最小值为3.故选：A.
5.（2022上·江西抚州·高三临川一中校考阶段练习）已知 ， ， ，则 的最小
值为 .
【答案】
【分析】由 ，可得 ，再根据
结合基本不等式即可得解.
【详解】解：因为 ，所以 ，
则
，当且仅当 时，取等号，所以 的最小值为 .故答案为： .
6.（2022上·湖北恩施·恩施市第一中学校考阶段练习）已知 ，且 ， ，则
的最小值为 .
【答案】 / .
【分析】由于 ， ，所以 ，化简后利用基本不
等式可求得结果.
【详解】因为 ，所以
又因为 ，所以 ，即 ，所以
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，故答案为：
7.（2023·全国·高三专题练习）若正实数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】根据题意，若 ，则
；又由 ，
则有 ，则
；当且仅当 时，
等号成立；即 的最小值是 ，故答案为 .
8.（2020·全国·高三专题练习）已知正实数 、 满足 ， ，且 ，则 的最小值
为 .
【答案】
【分析】将等式变形为 ，再将代数式 与 相乘，展开后利
用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】 ， ，则 ， ，由 得 ，
，
当且仅当 时，等号成立，因此， 的最小值为 .故答案为： .
9.（2023·全国·高三专题练习）已知 、 ，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得 ，将题中等式变形为 ，在等式两边同时乘以 ，利用基
本不等式可得出关于 的二次不等式，解此二次不等式可得出 的取值范围.
【详解】 、 ， ， ， ，
，所以 ，即
，
，解得 .当且仅当 时， ；当且仅当 时， .
因此， 的取值范围是 .故答案为： .
10.（2022·重庆·校联考模拟预测）已知 ，且 ，则 的最小值为 .
【答案】2
【分析】由为 ，转化 ，结合均值
不等式，即得解
【详解】因为 ，所以
=2，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立.故答案为：2
11.（2022秋·贵州毕节·高三统考）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据题意整理可得 ，再利用基本不等式求解即可.
【详解】由于 ， ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .故选：C．
12.（2023春·天津和平·高三统考）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】【分析】依题意可得 ，代入 利用基本不等式计算可得.
【详解】∵ ，∴ 且 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
∴ 的最小值为 .故答案为： .
13.（2023·高三单元测试）函数 的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】化简函数 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数
又由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，所以 即函数 的最大值是 .故选：C.
14.若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由 可得原不等式等价于 ，两边平方，利用均值不等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以不等式可化为 ，
设 ， ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 ，所以 ，
故答案为：15.（2023秋·全国·高三专题练习）若实数 满足 ，则 的最大值为
.
【答案】
【解析】已知条件可化为 ，故可设 ，从而目标代数式可化为
，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】由 ，得 ，设 ，其中 .
则 ，从而 ，
记 ，则 ，不妨设 ，则 ,
当且仅当 ，即 时取等号，即最大值为 .故答案为： .
