专题10-1极坐标与参数方程题型归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习

专题 10-1 极坐标与参数方程题型归类 目录 讲高考................................................................................................................................................................................1 题型全归纳.......................................................................................................................................................................3 【题型一】极坐标1：三线及三线段型.................................................................................................................3 【题型二】极坐标2：极坐标求面积型.................................................................................................................6 【题型三】极坐标3：极坐标最值型.....................................................................................................................8 【题型四】极坐标4：面积最值............................................................................................................................11 【题型五】极坐标5：极坐标求轨迹型..............................................................................................................15 【题型六】参数方程1：三等分点型...................................................................................................................18 【题型七】参数方程2：参数点型.......................................................................................................................21 【题型八】参数方程3：最值 求参.....................................................................................................................23 【题型九】参数方程4：复杂参数型最值与范围............................................................................................26 【题型十】参数方程5：取得最值时求对应点的坐标型..............................................................................29 【题型十一】参数方程6：交点求参数型.........................................................................................................32 专题训练.........................................................................................................................................................................35 讲高考 1.（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知 直线l的极坐标方程为 ． (1)写出l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可； （2）方法一：联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围 即可. 【详解】（1）因为l： ，所以 ， 又因为 ，所以化简为 ， 整理得l的直角坐标方程： （2）[方法一]：【最优解】参数方程 联立l与C的方程，即将 ， 代入 中， 可得 ， 化简为 ， 要使l与C有公共点，则 有解， 令 ，则 ，令 ， ， 对称轴为 ，开口向上， ，， ，即m的取值范围为 . [方法二]：直角坐标方程 由曲线 的参数方程为 ， 为参数，消去参数 ，可得 ， 联立 ，得 ，即 ，即有 ，即 ， 的取值范围是 ． 【整体点评】方法一：利用参数方程以及换元，转化为两个函数的图象有交点，是该题的 最优解； 方法二：通过消参转化为直线与抛物线的位置关系，再转化为二次函数在闭区间上的值域， 与方法一本质上差不多，但容易忽视 的范围限制而出错． 2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy中，曲线 C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，直线l的极坐标方程为 ． （1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 【答案】（1） ； ；（2） 【分析】（1）利用代入消元法，可求得 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原 则可得 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出 上点的坐标，根据点到直线距离公 式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由 得： ，又 整理可得 的直角坐标方程为： 又 ， 的直角坐标方程为： （2）设 上点的坐标为：则 上的点到直线 的距离 当 时， 取最小值 则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线 距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化 为三角函数的最值求解问题. 3．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知曲线 ，直线 ： （ 为参数）. （I）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （II）过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线，交 于点 ， 的最大值与最小值． 【答案】（I） ；（II）最大值为 ，最小值为 . 【详解】试题分析：（I）由椭圆的标准方程设 ，得椭圆的参数方程为 ，消去参数 即得直线的普通方程为 ；（II）关键是处理好 与 角 的关系．过点 作与 垂直的直线，垂足为 ，则在 中， ，故 将 的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点 ， 到定直线 的最大值与最小值问题处理． 试题解析：（I）曲线C的参数方程为 （ 为参数）．直线 的普通方程为 ． （II）曲线C上任意一点 到 的距离为 ．则 ．其中 为锐角，且 ． 当 时， 取到最大值，最大值为 ． 当 时， 取到最小值，最小值为 ． 题型全归纳 【题型一】极坐标1：三线及三线段型 【讲题型】例题1.在极坐标系下，曲线E的极坐标方程为： (1)以极坐标系的极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系 ，求E直角 坐标方程，并说明E的轨迹是什么图形； (2)A，B，C为曲线E上不同的三点，O为极点， ，证明： 为定值． 【答案】(1) ，轨迹为椭圆(2)证明见解析 【分析】（1）根据极坐标方程直接转化为直角坐标系方程即可，随之可判断曲线的轨迹图 形； （2）根据极坐标方程结合极径的几何意义即可证明结论. 【详解】（1）解： ，所以 ，则 所以 ，整理得： ，轨迹为椭圆. （2）解：设 ， 则 所以： . 即 为定值2. 例题2.在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，曲线 的方程为 以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 (1)求曲线 ， 的极坐标方程； (2)若 ，直线 与曲线 交于 ， 两点，与曲线 的一个交点为点 ，且 ，求 的值 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）根据曲线的直角坐标与极坐标转化公式，即可求解； （2）将 代入曲线 的极坐标方程，得 ，将 代入曲线 的极坐标方程， 得到韦达定理，并表示 ，即可求 . 【详解】（1）由 ，得 ， 所以曲线 的极坐标方程为由 ，得 ，即 ， 此即曲线 的极坐标方程； （2）将 代入 （ ），得 将 代入 ，得 ， 设 对应的参数分别是 ，则 ， ， 所以 ，解得： 【讲技巧】 极坐标基础型： 【练题型】 在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，圆 以 为圆心且与圆 外切.以 坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 的极坐标方程. (2)若射线 与圆 交于点 ，与圆 交于点 且 ，求直线 的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆 与圆 外切，求出半径，得出圆 的普通方程，再由 得出 的极坐标方程； （2）由题意得 ，所以 ，把 代入圆 的极坐标方程，结合韦达定 理求出结果. 【详解】（1）因为圆 以 为圆心且与圆 外切，所以其半径为 . 所以圆 的普通方程为 .展开得由 得圆 的极坐标方程为 （2）由题意得 所以 把 代入 得 则 是 的两个根， 所以 ，解得 所以 ， 所以 ，即直线 的斜率为 【题型二】极坐标2：极坐标求面积型 【讲题型】 例题1.如图，在极坐标系中，曲线 是以 为圆心的半圆，曲线 是以 为圆心的圆，曲线 都过极点 . (1)分别写出半圆 ，圆 的极坐标方程； (2)直线 与曲线 分别交于 两点（异于极点 ），求 的面 积. 【答案】(1) ： ， ： (2) 【分析】（1）直接利用转换关系的应用，写出极坐标方程； （2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果． 【详解】（1）曲线 是以 为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为 ， 曲线 以 为圆心的圆，转换为极坐标方程为 . 故半圆 ，圆 的极坐标方程分别为： ， （2）由（1）得： . 点 到直线 的距离 . 所以 .故 的面积为：例题2.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程； (2)若直线 ， 的极坐标方程分别为 ， ，设直线 ， 与曲 线 的交点分别为 和 ，求 的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将参数方程化为普通方程，再转化为极坐标方程即可； （2）将 ， 代入曲线 的极坐标方程解出 ，再由三角形的面积公式 求解即可. 【详解】（1）由参数方程 （ 为参数）， 消去参数可得曲线 的普通方程为 ， 把 代入 ，得 ， 所以曲线 的极坐标方程为 . （2）将 ， 代入曲线 的极坐标方程 ， 可得 ， ， 又因为 ，所以 . 【讲技巧】 极坐标中求面积： 1.直接转化为直角坐标系求解 2.在 极坐标系中，三角形底边是极坐标弦长公式求解，高，可以用极径与夹角的极角正弦求解。 【练题型】 1.在平面直角坐标系 中，伯努利双纽线C（如图）的普通方程为 ， 直线l的参数方程为 （其中 为直线l倾斜角，t为参数）． (1)以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求C和l的极坐标方程； (2)设A、B是C与x轴异于原点的交点，当 时，l与C在第一象限的交点为M，求 的面积．【答案】(1) 的极坐标方程为 ， 的极坐标方程为 (2) 【分析】（1）根据普通方程与极坐标方程的转化方法即可得到 的极坐标方程，通过消参 法可以直线 的普通方程，再将其转为极坐标方程即可； （2）首先求出 ，联立联立 , 的极坐标方程，代入 求出 ，则 得到 的值，则得到三角形面积. 【详解】（1）由 , 则 为 , 的极坐标方程为 , 由题设,应用消参法可知:直线 的普通方程为 , 则 的极坐标方程为 . （2）由题设,当 时有 ,即 , 是过原点的直线, 联立 , 有 ，且 ， 则 ,又 ,且 所以 . 2.已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，点 的极坐标为 . (1)求直线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程； (2)记 为直线 与曲线 的一个交点，其中 ，求 的面积. 【答案】(1)直线 的极坐标方程： ，曲线 的直角坐标方程 (2)12 【分析】（1）根据参数方程转化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程的知识求得正 确答案. （2）联立直线 与曲线 的直角坐标，求得 点的坐标，根据极坐标的知识求得 的 面积. 【详解】（1）由直线 的参数方程可得直线 的普通方程为 ， 将 代入得 ， 故直线 的极坐标方程为 . 而曲线 ，即 ，则 ， 故曲线 的直角坐标方程为 . （2）由 ,可得 或 ,因为 ，所以点 ，转化为极坐标为 . 由于点 的极坐标为 ，故 的面积 . 【题型三】极坐标3：极坐标最值型 【讲题型】 例题1.．数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线 ，（ ）的形状如心形（如图），我们称这类曲线为笛卡尔 心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当 时． (1)求曲线E的极坐标方程； (2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将 ， 代入曲线E，化简可得答案； （2）不妨设 ， ， ， ，则 ，结合三角函数性质求最大值即可. 【详解】（1）将 ， 代入曲线E，得 ，即 ， 所以，E的极坐标方程为 ； （2）不妨设 ， ，即 ， ， ， 而 ，故 . 例题2.在平面直角坐标系 中，直线 的直角坐标方程为 ，曲线 的参数方 程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 、曲线 的极坐标方程； (2)若射线 ： 分别交直线 ，曲线C于M、N两点（点N异于原点 О），求 的最大值. 【答案】(1)直线 ： ，曲线 ： (2) 【分析】（1）由极坐标与直角坐标互化可得 极坐标方程；将 参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标互化得到 极坐标方程； （2）将 代入 极坐标方程求得 ，利用三角恒等变换公式可将 化为 ，由三角函数值域可求得结果. 【详解】（1）直线 的直角坐标方程为 ， 根据 转换为极坐标方程为 ； 曲线 的参数方程 （ 为参数），转换为普通方程为 ， 即 ，根据 转换为极坐标方程为 ； （2）∵射线 ： 分别交直线 ，曲线C于M，N两点（点N异于原 点O）， ∴联立 ，得 ，联立 ，得 ， ∴ ，故 的最大值为 . 【练题型】 1.在直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 （其中 为参数），以 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)射线 ： 与曲线 ， 分别交于点A，B（均异于极点），当 时，求 的最小值. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）先消去参数得到 的普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式将 转 化成直角坐标方程即可； （2）根据 的定义计算 ，化简计算可得 ，再利用 即 得结果. 【详解】（1）曲线 的参数方程为 （其中 为参数），消参可得普通方程为 ， 由 可得 ，因为 ，所以曲线 的直角坐标方程 整理得 （2）曲线 根据 可得对应的极坐标方程为 整理得 ， 联立 ，得 ， 联立 ，得 ， 因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以当 时， 有最小值，该值为 2.在极坐标系 中，若点A为曲线 ： 上一动点，点B在射线AO 上，且满足 ，记动点B的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的极坐标方程； (2)若过极点的直线 交曲线C和曲线 分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求 的最大值． 【答案】(1) 或 (2)3 【分析】（1）当点B在线段AO上时，可得到 或 ；当点B不在线段AO 上时，设 ，采用相关点法可求得点B的轨迹，再综合两种情况可得结论． （2）当曲线C为 ，此时点P，Q重合，不合题意；曲线C为 ， 设直线 ： ，与曲线C和曲线 的极坐标方程联立可得 ， ，由此用 表示出 ， 结合正弦型函数值域求法和 的单调性可求得最大值． 【详解】（1）当点B在线段AO上时，由 ，得 或 ． 当点B不在线段AO上时，设 ，则 ， 所以 ，所以 ． 综上所述，曲线C的极坐标方程为 或 ．（2）若曲线C为 ，此时点P，Q重合，不合题意． 若曲线C为 ，设直线 ： ． 由 ，得 ；由 ，得 ． 因为M是线段PQ的中点，所以 ． 因为 ，所以 ．记 ，则 ． 又 在 上单调递减， ，故当 时， 取最大值为3． 【题型四】极坐标4：面积最值 【讲题型】 例题1.如图，在极坐标系中，曲线 是以 为圆心的半圆，曲线 是以 为 圆心的圆，曲线 、 都过极点O． (1)分别写出半圆 和圆 的极坐标方程； (2)直线 与曲线 、 分别交于M、N两点（异于极点O），P为 上的动 点，求 面积的最大值． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）先求出曲线 、 的直角坐标方程，再根据直角坐标转化为极坐标方程即 可； （2）通过联立极坐标方程，即可求得M、N两点的极坐标，进而求得 的长度，若求 面积最大值，只需求点 到直线 距离最大，即过 圆心做垂直于 的线反向延长交 的点为 ，通过直角三角形中边与角的关系，求得圆心到直线距离，进而求得高的最大 值，即三角形面积最大值. 【详解】（1）解：因为曲线 是以 为圆心的半圆，且过极点O，所以半径为2， 故曲线 的直角坐标方程为： ， ， 即 ，将 代入化简可得： ， 由 ，即 ，即 ，即 ，故 ， 所以 的极坐标方程为 ；因为曲线 是以 为圆心的圆，且过极点O，所以圆心为 ，半径为1， 故 的直角坐标方程为： ，即 ，将 代入可得： 圆 的极坐标方程为 ； （2）因为M、N是直线 与曲线 、 的两个交点，不妨设 ， 由（1）得 ： ， ： ， 所以 ，所以 ， 若 面积最大，只需P点到直线MN的距离最大，因为P在 上， 所以当P点为过 且与直线MN垂直的直线与圆 的一个交点时，距离最大，如图所示： 设 与直线MN垂直于点H，因为 ， 所以 ，在 中， ， 所以点P到直线MN的最大距离为 ， 所以 面积的最大值为 ． 例题2.如图，在极坐标系 中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 所在圆 的圆心分别为 ，M是半圆弧 上的一个动点. (1)若点A是圆O与极轴的交点，求 的最大值； (2)若点N是射线 与圆O的交点，求 面积的取值范围. 【答案】(1) (2)【分析】（1）根据题意，得到半圆弧 的直角坐标方程，从而可得 的最大值； （2）根据题意，表示出 ，结合三角形的面积公式，即可得到 ，再根据三 角恒等变换公式化简，即可得到结果. 【详解】（1）由题知，半圆弧 的极坐标方程为: ， 化为直角坐标方程为: ，其圆心为 ，半径为 ， 由题可知 ，所以 （2） 由题知 ， ， ， 所以 因为 ，所以 ， 即 ，所以 【练题型】 1.在平面直角坐标系 中，已知曲线T的参数方程为 （ 为参数）， 以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线T经过点 . (1)求曲线T的极坐标方程. (2)若直线 和直线 分别与曲线T相交于A，C和B，D两点，求四边形 的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由曲线T的参数方程得曲线T的直角坐标方程，代入点M的直角坐标，可 求得参数，进而由公式法化为极坐标方程； （2）由极坐标方程组结合韦达定理表示弦长 ，说明 讨论最值 即可 【详解】（1）极坐标 的直角坐标为 ， 由曲线T的参数方程得曲线T的直角坐标方程为 ，代入 可解得 ， ∴曲线T的直角坐标方程为 ，则曲线T的极坐标方程为 ；（2）设交点 ， 由 得 ∴ ， 同理可得，令 代替 ，则 . 由直线 和直线 相交可得 ， ∴ ，当 时，取 得最小值 . 2.在直角坐标系 中，已知曲线 ： （ 为参数）.经伸缩变换 后的曲线为 ，以原点О为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 的极坐标方程； (2)M，N是曲线 上的两点，且 ，求 面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据伸缩变换求出 的普通方程，再根据根据极坐标与直角坐标转化的公 式转化为极坐标方程 （2） 转化为极角的关系，用三角函数解决. 【详解】（1） 为参数 ，经过伸缩变换 即 为参数 ，所以 为参数 ，根据极坐标与直角坐标转化的公式 ，可得 （2）由（1）知曲线 的普通方程为 且极坐标方程为 ，设 的 极坐标为 ， 则 的极坐标为 ， ，又因为 ，所以 ， 面积的取值范围为 【题型五】极坐标5：极坐标求轨迹型 【讲题型】 例题1.如图，在极坐标系Ox中，点 ，曲线M是以OA为直径， 为圆心的半圆， 点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形． (1)当 时，求B，C两点的极坐标； (2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程． 【答案】(1)点B的极坐标为 ，点C的极坐标为 (2) 【分析】（1）连接 ，可得到 ，通过数据可得到 ，即可得到点 B的极坐标，再算出 ，即可得到点C的极坐标； （2）设 ， ，通过题意可得到 ，通过求出曲线M的极坐标方程 即可得到点B的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案 【详解】（1）连接 ，因为 是直径，所以 ， 在 中， ， ， ∴ ，∴点B的极坐标为 ， 在正方形OBCD中， ， ，∴点C的极坐标为；（2）设 ， ，且 ①， 由题意可得 的直角坐标为 ，所以曲线M的普通方程为 即 将 代入曲线M的普通方程得极坐标方程为 ， 当 时，O，B两点重合，不合题意， ∴点B的极坐标方程为 ， 将①式代入得点D的极坐标方程为 例题2.如图，在极坐标系Ox中，圆O的半径为2，半径均为1的两个半圆弧 ， 所在 圆的圆心分别为 ， ，M是半圆弧 上的一个动点． (1)当 时，求点M的极坐标； (2)以O为坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴， 的方向为y轴正方向建立平面直角坐标 系．若点N为线段 的中点，求点N的轨迹方程． 【答案】(1) (2) （ 为参数，且 ） 【分析】（1）由题意得到点M的极角为 ，在 中，利用正弦定理列出方程，求 得 的长，即可求解； （2）求得 的参数方程为 ，结合线段 的中点N的坐标为 ，利用中 点坐标公式，即可求解. （1） 解：由 ， ，可得点M的极角为 ． 在等腰 中，由正弦定理得 ，即 ．所以 ，所以点M的极坐标为 ． （2） 解：由题意，在直角坐标系中，点M在以 为圆心，1为半径的半圆弧 上， 其参数方程为 （ 为参数，且 ）．设线段 的中点N的坐标为 ， 又由点 ， ，根据中点坐标公式可得 ， 所以点N的轨迹方程为 （ 为参数，且 ）． 【练题型】 1.在极坐标系下，设点 为曲线 ： 在极轴 上方的一点，且 ，以极 点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系 ． (1)求曲线 的参数方程； (2)以 为直角顶点， 为一条直角边作等腰直角三角形 在 的右下方 ，求点 轨迹的极坐标方程． 【答案】(1) ， 其中 为参数 ；(2) ， 【分析】 先将曲线 的极坐标方程化成直角坐标系中的方程，再利用圆的参数方程即可 得解； 使用代入法求轨迹方程,设 为 ，设 为 ，再根据题意可得 两点坐标的 关系 ，代入 ，从而得点 轨迹的极坐标方程． 【详解】（1） 曲线 ： ， ， ， ， 在直角坐标系中，曲线 是以 为圆心， 为半径的圆， 曲线 的参数方程为 ， 其中 为参数 ； （2）设 为 ，则 ，且 ，设 为 ，则根据题意可得： ， ，又 ，且 ， ， ， ， ，点 轨迹的极坐标方程为 ， ． 2.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的直角坐标方程； (2)若 是 上一动点， ，作线段 的中垂线交直线 于点 ，求点 的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的互化公式直接求解即可； （2）由题知点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线，再求其方程即可. 【详解】（1）解：因为曲线 的极坐标方程为 ， ， 所以， ，即 ， 所以，曲线 的直角坐标方程为 （2）解：因为 ， 所以其直角坐标为 所以 为圆 的圆心，圆 的半径为 ， 如图， ， 所以，点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线，记为 所以，焦距 ， ， ， 因为 中点为 ，即曲线 的对称中心为 ， 所以，点 的轨迹方程 ,即 .【题型六】参数方程1：三等分点型 【讲题型】 例题1.已知 的极坐标方程为 ，以极点O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建 立平面直角坐标系， (1)求 的直角坐标方程， (2)过 作直线l交圆 于P，Q两点，且 ，求直线l的斜率． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解； （2）设直线的倾斜角为 ，则直线的参数方程为 （t为参数），代入圆 方程中化简，利用根与系数的关系，结合已知和参数的几何意义即可求解. 【详解】（1）解：因为 的极坐标方程为： ，且 ， 所以 ， ，故 的直角坐标方程为 . （2）解：设直线的倾斜角为 ， 则直线的参数方程为 （t为参数）， 与 联立，得 ． 点P对应的参数为 ，点Q对应的参数为 ， 则 ，因为 ，所以 ， 联立可得 ，解得： ， 所以直线的斜率为 或 . 例题2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原 点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程： (2)在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点，若点 恰为线段 AB的一个三等分点，求正数m的值． 【答案】(1)l： ，C： (2) 【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，利用 可得曲线的直角坐标方程； （2）把直线转化为标准形式，再用几何意义求解即可 （1）直线l的参数方程为 （t为参数），转换为普通方程为 ；曲线C的极坐标方程为 ，根据 ， 转换为直角坐标方程为 ； （2） 将直线l的方程转换为参数方程为 （n为参数），代入 ； 得到 ；所以 ； ；由于点 恰为线段AB 的一个三等分点，不妨设 ，由 ， ，得 ； 又 ，解得 ． 【讲技巧】 直线参数方程，涉及到线段时，有以下基本公式 【练题型】 1.在直角坐标系 中，点 ，曲线C的参数方程为 （ 为参数）， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为 ． (1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)设点M为C上的动点，点P满足 ，写出P的轨迹 的参数方程，并判断l与 是否有公共点． 【答案】(1) ， ：(2) ，（ 为参数），直线l与圆 没有公共点。 【分析】（1）根据消参法可得曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标之间的转化公 式可得直线的直角坐标方程. （2）设 ，设 ，根据 ，即可求得P的轨迹 的参数方 程，表示圆，计算圆心到直线的距离，即可判断断l与 是否有公共点． 【详解】（1）因为曲线C的参数方程为 ( 为参数)， 所以 ，即曲线C的普通方程为： ， 因为 ，由 ，可得l的方程为： . （2）设 ，设 ， 因为 ， 所以 ， 则 ，（ 为参数），故P的轨迹 的参数方程为 ，（ 为参数）， 所以曲线 为以 为圆心，半径为4的圆，而圆心 到直线l的距离为 ， 因为 ，所以直线l与圆 相离，故直线l与圆 没有公共点. 2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 . (1)写出直线l的直角坐标方程； (2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足 ，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的差角公式，整理直线方程，根据极坐标与直角坐标的转换公 式，可得答案； （2）将参数方程整理为普通方程，求得 ，由题意，建立方程，将问题转化为直线与圆 的位置问题，可得答案. 【详解】（1）∵ ，∴ ， 即 .又∵ ， ， ∴ ，即直线l的直角坐标方程为 ； （2）由 ，且 ，则曲线C的普通方程为 ， 其与x轴的交点分别为 ， . 设点 ，由 ，得 ， 即 ， ∴ ，它表示圆心为 ，半径为 的圆. ∵点 既在直线l上，又在圆E上，∴ ，即 ， ∴ ，即实数m的取值范围为 . 【题型七】参数方程2：参数点型 【讲题型】 例题1.已知直线 过点 且倾斜角为150°，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 . (1)求圆C的直角坐标方程； (2)点 是直线 与圆面 的公共点，求 的取值范围. 【答案】(1) (2)【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式直接求解即可， （2）设 ，圆C的圆心为 ，半径为2，将直线 的参数方程代入 得 ，而直线 过圆心 ，圆C的半径为2，从而可求出范围 (1)由 ，得 ， 所以 ，即 (2)由（1）得圆C的圆心为 ，半径为2， 因为直线 过点 且倾斜角为150°， 所以直线 的参数方程为 ，即 ，（ 为参数） 设 ，则 ， 因为直线 过圆心 ，圆C的半径为2，点 是直线 与圆面 的公共点， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 例题2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（t为参数）． (1)求C的直角坐标方程； (2)点 是曲线C上在第一象限内的一动点，求 的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）消去参数，求出普通方程，注意 ；（2）设出点P的三角函数坐标， 其中 ，利用三角函数的运算得到 ，结合单调性，求出最 小值. (1)由题可知 ， ，所以 因为 ．因为 ， 所以C的直角坐标方程为 ． (2)点P（x，y） 是曲线C上在第一象限内的一动点， 令 ， ， ， 则 ，因为上式在 上单调递减，故当 时，取得最小值 ． 【练题型】 1.在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 的参数方程为 为参数). (Ⅰ)求曲线 的极坐标方程； (Ⅱ)若曲线 向左平移一个单位,再经过伸缩变换 得到曲线 ，设 为曲线 上任一点，求 的最小值，并求相应点M的直角坐标. 【答案】（I） ;（Ⅱ） ， 的坐标为 或 . 【详解】试题分析：（I）消参得曲线 的普通方程为 曲线 的极坐标方 程为 ；（Ⅱ）利用变换公式求得曲线 的直角坐标方程为 ，再利用 参数法结合三角函数求得最值及相应坐标. 试题解析： （I）由 （ 为参数）得曲线 的普通方程为 得曲线 的极坐标方程为 . （Ⅱ） ，向左平移一个单位再经过伸缩变换 得到曲线 的直角坐标 方程为 ，设 ，则 当 时， 的最小值为 ， 此时点 的坐标为 或 . 2.已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ，以 为极点， 轴非负半轴 为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的直角坐标方程和椭圆 的参数方程； (2)设 为椭圆 上任意一点，求 的最大值. 【答案】(1)直线 的直角坐标方程为 ，椭圆 的参数方程为 为 参数）；(2)9. 【详解】试题分析：（1）根据题意，由参数方程的定义可得椭圆的参数方程，对直线 的 极坐标方程利用两角和的正弦展开，将 ， 代入可得直线 的普通方程； （2）根据题意，设 ，进而分析可得，由三角函数的性质分析可得答案. 试题解析：(1)由 ，得 ， 将 代入，得直线 的直角坐标方程为 . 椭圆 的参数方程为 为参数）. (2)因为点 在椭圆 上，所以设 ， 则 ， 当且仅当 时，取等号，所以 . 【题型八】参数方程3：最值 求参 【讲题型】 例题1.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ，直线 的参数方 程为 . (1)若 ，求 与 的交点坐标； (2)若 时，曲线 上的点到 距离的最大值为 ，求 . 【答案】(1) ， (2)8 【分析】（1）将曲线 化为标准方程，直线 的参数方程化为一般方程，联立方程可以求 得交点坐标. （2）曲线 上的点可以表示成 ，应用点到直线的距离公式可以表示出 到 直线 的距离，再结合距离最大值为 进行分析，即可求出 的值. (1)曲线 的普通方程为 .当 时，直线 的普通方程为 . 由 解得 或 从而 与 的交点坐标为 ， . (2)直线 的普通方程为 ， 故 上的点 到 的距离为 . 当 时， 的最大值为 .由题设得 ，所以 . 例题2.在直角坐标系中，直线l的参数方程为 （t为参数）.以直角坐标系的原点 O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，曲线S的极坐标方程为 .(1)①求直线l的普通方程； ②当曲线S过极坐标系中的点 时，求曲线S的直角坐标方程. (2)若直线l与曲线S交于A、B两点，定点 ，且 .求m的值. 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】(1)①两式相加消去参数t即可；②将点 代入，求出 ，再化成直 角坐标方程； (2) 将曲线S的极坐标方程为化为直角坐标方程,再将直线的参数方程化成标准形式，联立 可得 ，求解即可. (1) 解：①两式相加消去参数t，得直线l的普通方程为 ②将 ， 代入 ，得 ，∴ ，得 ∴曲线S的极坐标方程为 ，将 ， 代入， 得曲线S的直角坐标方程为 . (2)将曲线S的极坐标方程为 化为直角坐标方程为 . 将直线l的参数方程 （t为参数）转化成标准形式为 将此式代入 整理得 由 .解 得 或 设A、B在直线l上对应的参数分别是 、 ，则 ， 由 ， ∵ ∴ ， 整理得 （*）当 时由（*）得 或 ， 当 时由（*）得 （舍去）故 . 【练题型】 1.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数）.以坐标原点为 极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， (1)求曲线 的直角坐标方程， (2)设A，B分别在曲线 上运动，若 的最小值是1，求m的值. 【答案】(1) ， (2) 或【分析】（1）利用三角消参得到曲线 的直角坐标方程；利用 得到 的直角坐标方程； （2）利用几何法表示出最值，解得 或 . (1)由 消去参数，得 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 由 ，整理得 ， 而 ， 所以 ，即 的直角坐标方程为 . (2) 由（1）知曲线 是圆心为 ，半径 的圆， 则圆心 到直线 的距离为 . 所以 ，解得 或 . 2.在平面直角坐标系中，已知直线l： ．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 ． (1)求直线l的极坐标方程和圆C的一个参数方程； (2)若直线l与圆C交于A，B两点，且 ，求m的值． 【答案】(1) ， ； (2) . 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标转化公式即可求出直线极坐标方程，由极坐标与直角 坐标转化公式可得圆的直角坐标方程，再转化为参数方程即可； （2）求出圆心到直线的距离，再由半径、半弦长、弦心距间的关系列出方程求解即可. (1) 将 代入 得： 即直线l的极坐标方程为 . 由圆C的极坐标方程为 可得： 故圆C的参数方程为 . (2) 点 到直线l： 的距离 ，则 . 【题型九】参数方程4：复杂参数型最值与范围 【讲题型】 例题1.在平面直角坐标系xOy中有一点 ，圆C的方程为 点 为C上的动点，M为PQ的中点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建 立极坐标系. (1)求点M的轨迹 的极坐标方程； (2)设点N的直角坐标为 ，若直线l经过点N且与曲线 交于点E，F，弦EF的中点 为D，求 的最大值. 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）设出 ，由 结合 即可求出点M的轨 迹 的直角坐标方程，再由公式法转化为极坐标方程即可； （2）先写出直线l的参数方程，由直线l与曲线 交于点E，F求出倾斜角的范围，将参 数方程代入 的直角坐标方程，由参数的几何意义表示出 ，再由倾斜角的范围 求出最大值即可. (1) 因为圆C的方程为 ，且点Q为C上的动点，所以点 满足 .设 ， 因为M为PO的中点，所以 ，即有 ，所以 ， 整理得 的轨迹方程为 ，又 ，则点M的轨迹 的极坐标方程为 ； (2)直线l过点 ，设直线l的参数方程为 （ 为参数）， 为直线l的倾 斜角，如图，当直线l与 相切于 点时， 易得 ， ，由直线l与曲线 交于点E，F可得 ，将直线l的参数方 程代入 的直角坐标方程 得 ，设E，F对应的参数为 ，则D对应的参数为 ，所以 ， ， 故 ，即当 时， 的最大值为 . 例题2.在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以 坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . (1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； (2)设点 ，直线 与曲线 的交点为 ， ，求 的值. 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）直接消去参数，将直线 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线 的 极坐标方程转化为直角坐标方程 （2）将直线的参数方程代入曲线 的普通方程，得到 ，得到 ，化简 ，代入韦达定理， 即可得到答案 (1) 直线 的参数方程为 （ 为参数），消去参数 可得 的普通方程为 . 曲线 的极坐标方程为 ，即 ，根据 ，可 得 . ∴曲线 的直角坐标方程为 (2)在直线 的参数方程 （ 为参数）中，设点 ， 对应的参数分别为 ， ，将直线 的参数方程 （ 为参数），代入 ，得 ， ∴ ， .∴ 【练题型】 1.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点A 的极坐标为 ，将点A按逆时针方向旋转 得到点B，按顺时针方向转 得到点 C． (1)求点B和点C的极坐标，并求点B和点C的直角坐标； (2)设P为坐标系中的任意一点，求 的最小值． 【答案】(1)点B和点C的极坐标分别为 ， ，点B和点C的直角坐标分别为 ， (2)15 【分析】（1）根据极坐标的定义求出点B和点C的极坐标，再利用极坐标与直角坐标的 互化公式可求出其直角坐标， （2）设P的直角坐标为 ，然后表示出 ，化简配方后可得结果 (1) 由极坐标的定义可得点B和点C的极坐标分别为 ， ， 则点B和点C的直角坐标分别为 ， ． (2)因为A的极坐标为 ，所以A的直角坐标为 ． 设P的直角坐标为 ，则 ，当 ， 时， 取得最小值，且最小值为 15． 2.已知曲线 ，直线 为参数)． （Ⅰ）写出曲线 的参数方程，直线 的普通方程； （Ⅱ）过曲线 上任意一点 作与直线 夹角为 的直线，交 于点 ，求 的最大值 与最小值． 【答案】（Ⅰ） ， 为参数， ；（Ⅱ）最小值为 ，最大值 为 ． 【分析】（Ⅰ）由椭圆方程可得椭圆的参数形式，消参数 可得直线 的普通方程；（Ⅱ） 由与直线 夹角为 的直线过点 可得 的值为 到直线 的距离的2倍，再由点到直线的距离公式及三角函数的取值范围可得 的最值 【详解】解：（Ⅰ）若 ，则曲线 ， 为参数 由题意，消参数 可得直线 的普通方程： ； （Ⅱ）∵ 是曲线C上任意一点，且过P作与直线 夹角为 的直线，易知 是点 到 直线 的距离的两倍 ∴ ，其中 即可知： 的最小值为 ，最大值为 【题型十】参数方程5：取得最值时求对应点的坐标型 【讲题型】 例题1.在平面直角坐标系xOy中，曲线 方程为： （t为参数），以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为： (1)求曲线 的直角坐标方程； (2)已知点P、点Q分别是曲线 和 上的动点，求 的最小值以及取得最小值时P点 坐标． 【答案】(1) ；(2)最小值 ， . 【分析】（1）由极坐标方程，应用公式法得到直角坐标方程； （2）设 ，利用点线距离公式及对勾函数的性质求 最小值，并确定P 点坐标． (1) 由 ，而 ， 所以 的直角坐标方程为 . (2) 设 ，则P到 的距离为： ， ∵ 或 ，则 ， ∴ ，即 ，此时 则 . 例题2.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，以坐标原点为极 点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0． (1)求l的普通方程和C的参数方程； (2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．【答案】(1) ； (α为参数)． (2)点M到直线l距离的最大值为 +1，此时点M的坐标为 ． 【分析】（1）利用消元法求出l的普通方程；先求出C的普通方程，再化为参数方程； （2）利用参数方程求出点M到直线l距离的最大值，进而得到点M的坐标. (1) 因为直线l的参数方程为 (t为参数)，两式相加消去t可得： ； 因为 ，所以ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0可化为： ，化为参数 方程为： (α为参数). (2)可设 ，则点M到直线l的距离为： 所以 ，当且仅当 ，即 时取得， 此时 ，所以 . 所以点M到直线l距离的最大值为 +1，此时点M的坐标为 ． 【讲技巧】 参数方程最值时求对应点的坐标，实际上就是三角函数辅助角的知识点： 【练题型】 1.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线 的普通方程和直线 的直角坐标方程； (2)设点 在曲线 上，点 在直线 上，求 的最小值及此时点 的坐标． 【答案】(1) ； .(2) ，点 的坐标为 . 【分析】（1）根据消参法可得曲线 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的转化公式可得 直线 的直角坐标方程； （2）设点 的坐标为 ，利用点到直线的距离公式可表示点 到直线 的 距离，结合三角函数的性质可求得答案. （1） 由曲线 的参数方程 （ 为参数），得 ， ， 所以曲线 的普通方程为 ． 由直线 的极坐标方程 ，得 ． 将 ， 代入上式，得直线 的直角坐标方程为 ． （2） 由题意，可设点 的坐标为 ， ， 则点 到直线 的距离 ． 当 时， ，所以 ，此时点 的坐标为 ． x3x 2.在直角坐标系 中，曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，以原点O y y C 2  π 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：sin 2 2.  6 (1)写出曲线C 的参数方程和直线l的直角坐标方程； 2 (2)已知点P为曲线C 上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的 2 直角坐标. x3cos, 【答案】(1) （ 为参数）， (2)最小值 ，此时点P的 ysin,  x 3y4 2 0 2 2 3  3 3 1 坐标为 ,  2 2   【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程 互化公式进行求解， （2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解 xcos, 【详解】（1）由题意，曲线 的参数方程为 （ 为参数），经过伸缩变换 C 1 ysin,  x3x  ， y yx3cos,  π 曲线 的参数方程为 （ 为参数），由sin 2 2得： C ysin,   6 2  3 1   sin cos2 2，   2 2   化为直角坐标方程为x 3y4 2 0 （2）设P(3cos,sin),[0,2π)，点P到直线l的距离为  π 2 3sin 4 2 |3cos 3sin4 2|  3 ， d   2 2  π π 3π 当sin 1时，即  ，得 7π 时，点P到直线l的距离d取到最小值  3 3 2 6 2 2 3，  3 3 1 此时，点P的坐标为 , . 2 2   【题型十一】参数方程6：交点求参数型 【讲题型】  3 x2a t  2 例题1.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以 为  1 y t xOy l  2 t O 4 极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2  . x C 13sin2 (1)求直线l和曲线C的直角坐标方程；  x x (2)若曲线 经过伸缩变换 2得到曲线 ，若直线 与与曲线 有公共点，试求 的取 C  y y C l C a 值范围. x2 【答案】(1) l:x 3y2a0 ， 4 y2 1(2)1,1 4 【分析】（1）消去参数 即可得直线的方程， 2  可整理为 t 13sin2 2cos242sin24，从而得到曲线C的直角坐标方程； x2x x2 （2）由已知可推得 ，代入 y2 1可得，曲线 的方程是 ，该方程表 y y 4 C x2y2 1 示的轨迹为圆，根据直线与圆的位置关系即可得到a的取值范围.  3 x2a t  2 【详解】（1）由题 （ 为参数），消去参数 得直线 ；  1 y t  2 t t l:x 3y2a0 4 4 2  ，即2  ，即 ， 13sin2 cos24sin2 2cos242sin24x2 化为直角坐标方程可得， ，即 y2 1， x24y2 4 4 x2 即曲线 的直角坐标方程为 y2 1. C 4  x x （2）由 2得x2x ，又x2 ，所以2x2 ，即 ，  y y  y y 4 y2 1 4 y2 1 x2 y2 1 所以曲线C的方程是x2y2 1，轨迹为圆，圆心为 0,0 ，半径为1， 则直线l与与曲线C有公共点，需满足圆心 0,0 到直线l:x 3y2a0的距离d 1，即 2a d  1 ，即 ， 12( 3)2 a 1 解得1a1.所以a的取值范围是 1,1 . xcos2 例题2.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 y2sin   π 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为cos m．  6 (1)写出曲线C和直线l的直角坐标方程； (2)若m0，且直线l与曲线C没有公共点，求m的取值范围． y2 【答案】(1)曲线C的直角坐标方程为x 11x1；直线l的直角坐标方程为 2 7 3  ；(2)  , . 3xy2m0  12  【分析】（1）结合余弦的二倍角公式消去参数，可得曲线C的直角坐标方程，将直线l 的极坐标方程化简后利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得直线l的直角坐标方程； （2）将曲线C的参数方程代入到直线l的直角坐标方程化简得 2 3sin22sin2m 30，则由题意得2m2 3sin22sin 3无解，令sina， f a2 3a22a 3 1a1 ，利用二次函数的性质求出 f a 的最值，再结合m0 可求得结果. y y2 【详解】（1）由题知，sin ，又 ，所以x12sin21 ， 2 cos212sin2 2 y2 即曲线C的直角坐标方程为x 11x1．因为直线l的极坐标方程为 2   cos m，  6 3 1 所以 cos sinm0，又因为 ， 2 2 sin y cosx 3 1 所以直线l的直角坐标方程为 x ym0，即 ． 2 2 3xy2m0 xcos2 （2）联立l与C的方程，将 代人 中， y2sin 3xy2m0 可得2 3sin22sin2m 30，要使l与C没有公共点，则 2m2 3sin22sin 3无解．3 令 ， f a2 3a22a 3 1a1，其对称轴为a ，开口向下， sina 6  3 7 3 所以 f a max  f    6     6 ， f a  f 12 3 ．因为 m0 ，所以2m 7 6 3 ， min 7 3  即m 7 3 ，所以m的取值范围为  , ． 12 12   【练题型】 xtcossin 1.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）以 xOy C  ytcossin  t0 O   为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为sin 2 2 0. x l  4 (1)若t1，写出曲线C普通方程和直线l的直角坐标方程； (2)若l与C恰一个公共点，求t的值. 【答案】(1)x2 y2 2，xy40(2)t 2或t 2 【分析】（1）消参法求曲线方程，根据xcos,ysin可得l方程； （2）曲线C是一个圆，直线与圆只有一个交点即圆心到直线的距离为半径可求得t. xcossin 【详解】（1）若 ，则曲线 的参数方程为 （ 为参数， ） t1 C ycossin  t0 2cosxy  ，两式平方相加，消参数 得曲线 的普通方程为 ， 2sin yx  C x2 y2 2  π 由sin 2 2 0化简得 ∵ ， ，  4 cossin40 xcos ysin ∴直线l的直角坐标方程为xy40. xtcossin （2）曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）， C  ytcossin  t0 普通方程为x2y2 2t2是圆心在原点，半径为 2t 的圆， 若l与C恰一个公共点，即直线与圆相切， 4 原点到直线 的距离为d   2 t ，解得 或 . xy40 2 t 2 t 2 x 3cos 2.在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （θ为参数， ），以坐 xOy ysin 0 标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为  π 2 sin  m.  4 2 (1)求直线l的直角坐标方程； (2)若l与C有公共点，求m的取值范围. 【答案】(1)xym0(2) 3m2 2 2 2 【分析】（1）展开方程为 sin cos m，根据 ， ， 2 2 2 sin y cos x 代入即可求解；  π （2）联立 与C的方程可得2sin m0，转化交点问题为方程有解问题，根据 范 l  3  π 围求得2sin 范围，即可求解.  3  π 2 【详解】（1）因直线 的极坐标方程为：sin  m， l  4 2 2 2 2 所以 sin cos m，又因为 ， ， 2 2 2 sin y cos x 2 2 2 所以直线 的直角坐标方程为 x y m，即 . l 2 2 2 xym0 x 3cos （2）联立 与C的方程，即将 （ 为参数， ）代入 的直角坐标方程 l ysin  0π l xym0中，  π 可得 ，即2sin m0.要使 与 有公共点，则 3cossinm0  3 l C   2sin m0π 有解，  3 π π 4π 3  π 因为 ，所以   ，所以 sin 1， 0π 3 3 3 2  3  π 所以 32sin 2 所以 .  3  3m2  x 2 2t, 1．在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 xOy l y 2t t O 为极点，x轴为正半轴建立极坐标，椭圆C的极坐标方程为2cos222sin24，其右 焦点为F ，直线l与椭圆C交于A,B两点. (1)求|FA||FB|的值； (2)若点P是椭圆上任意一点，求 PAB的面积最大值. 8 4( 31) 【答案】(1) (2) 3 3 【分析】（1）根据极坐标方程可得椭圆C的标准方程，又直线l经过点椭圆焦点F ，将直 线参数方程代入椭圆方程，得坐标关系，即可得|FA||FB|的值； （2）设点P坐标为(2cos, 2sin)，直线l的直角坐标方程为xy 2 0，由点到直线 的距离，结合三角函数的图象性质求得距离最大值，即可求得 PAB的面积最大值. x2 y2 【详解】（1）由 得椭圆 的方程为  1，其焦点 坐标为 2cos222sin24 C 4 2 F ( 2,0)，  x 2 2t 由题意得直线 经过点 ，其参数方程为 （ 为参数）， l F y 2t t 2 1 代入椭圆 的方程整理得 ，所以t t  ,tt  ， C 3t22t10 1 2 3 12 3所以 FA  FB   x  2 2 y2   x  2 2 y2 2t 2t 2t t 2 t t 24tt 2 4 .4 1  8 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 12 9 3 3 x2 y2 （2）由椭圆方程  1，可设点P坐标为 ， 4 2 (2cos, 2sin) 又直线l的直角坐标方程为xy 2 0， |2cos 2sin 2| | 6cos() 2| 2 ∴点P到直线l的距离d   ，其中tanφ ， 2 2 2 1 8 所以 ，因为S  |AB|d,|AB||FA||FB| ， d  31 △PAB 2 3 max 4( 31) 所以 的面积最大值为 . PAB 3   x 3(sincos) 2．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数）， xOy y 2(sincos)  以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为  π 2 cos  ．  4 2 (1)求直线l和曲线C的直角坐标方程； 12 1 (2)从原点 引一条射线分别交曲线 和直线 于 两点，求  的最大值． O C l M,N |OM |2 |ON |2 x2 y2 【答案】(1)直线 的直角坐标方程为： ，曲线 的直角坐标方程为：  1. l xy10 C 6 4 7 5 (2) 2 【分析】（1）消去参数可得曲线C的直角坐标方程；利用两角和的余弦公式和 cosx，sin y可得直线l的直角坐标方程； （2）设射线方程为（0,0π），将曲线C的直角坐标方程化为极坐标方程， 并将代入可得|OM |，将代入cossin10可得|ON|，再利用辅助角公式 12 1 可求出  的最大值. |OM |2 |ON |2  x 3(sincos) x2 y2 【详解】（1）由 ，得  (sincos)2(sincos)2 ， y 2(sincos) 3 2 2 x2 y2 即  1, 6 4 x2 y2 所以曲线 的直角坐标方程为：  1. C 6 4  π 2 π π 2 由cos  ，得coscos sinsin  ，  4 2 4 4 2 2 2 2 得 cos sin ，即 ， 2 2 2 cossin10 将cosx，sin y代入得xy10， 所以直线l的直角坐标方程为：xy10.x2 y2 综上所述：直线 的直角坐标方程为： ，曲线 的直角坐标方程为：  1. l xy10 C 6 4 （2）设射线方程为（0,0π）， x2 y2 2cos2 2sin2 将 ， 代入  1，得  1， cosx sin y 6 4 6 4 1 cos2 sin2 得   ， 2 6 4 1 cos2 sin2 1 cos2 sin2 1 cos2 sin2 将 代入   ，得   ，得   ，  2 6 4 2 6 4 |OM |2 6 4  π 2 1 π 由cos  ，得  2cos( )，  4 2  4 1 π 1 π π 5π 将  代入   2cos( 4 )，得   2cos( 4 )([0, 4 )  ( 4 ,2π))，，得 1 π 12 1 π 2cos2( )，所以  2cos23sin22cos2( ) |ON|2 4 |OM |2 |ON |2 4 2 2 2cos23sin22(cos sin )2 2 2 2cos23sin2(cossin)2 2cos23sin2cos22sincossin23sin2sin2 1cos2 1 7 5 5 2 5 7 3 sin2 cos2sin2  (cos2 sin2 ) 2 2 2 2 5 5 2 5 7 2 5 5  cos(2) （其中sin ，cos ， ）， 2 2 5 5 tan2 π 5π π 5π 因为[0, )  ( ,2π)，所以2[0, )  ( ,4π)， 4 4 2 2 π π π 又 (0, )，所以2( , )  (2π,4π)，  2 2 2 3  2 5 5 所以当 时，即 ，即 π （其中sin ，cos ， cos(2)1 2 3π 2 2 5 5 12 1 7 5 ）时，  取得最大值 . tan2 |OM |2 |ON |2 2 x2tcos, 3．面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t为参数， ）， xOy C ytsin, 0π 1 x1sin2, 曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴正 C  y2sincos,  O x 2 半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 的极坐标方程； 2 (2)若点P2,0 ，直线C 与曲线C x0 交于A，B两点，且 PA 2 PB ，求直线C 的普 1 2 1 通方程． 【答案】(1)sin24cos，cos0,2 (2)2xy40或2xy40 【分析】（1）根据参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化公式互化求解 即可； （2）根据直线参数方程几何意义求解即可. x1sin2, 【详解】（1）因为曲线 的参数方程为 （ 为参数）， C  y2sincos,  2所以消去参数得曲线C 的普通方程为y2 4x，x0,2 ， 2 所以，由xcos,ysin得2sin24cos，即sin24cos，cos0,2 ， 所以，曲线C 的极坐标方程为sin24cos，cos0,2 . 2 x2tcos, （2）根据题意，将 代入 得 ， ytsin, y2 4x t2sin24tcos80 设A，B两点对应的参数分别为t ,t ， 1 2 则sin20,16cos232sin21616sin20. 4cos 8 所以，t t  ,tt  . 1 2 sin2 12 sin2 因为 PA 2 PB ，所以，|t |2|t |， 1 2 8 又因为tt  0，所以 ， 12 sin2 t 2t 1 2 2 所以t  ， 2 sin 2 4cos 所以，当t  时，代入t t  得 ，此时 的普通方程 ， 2 sin 1 2 sin2 tan=- 2 C 1 y2(x2) 即2xy40； 2 4cos 当t  时，代入t t  得 ，此时 的普通方程 ，即 2 sin 1 2 sin2 tan2 C y2(x2) 1 2xy40； 所以，直线C 的普通方程为2xy40或2xy40 1  2sin2 x1 ,  cos2sin2 4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （α为参数），  2sincos y  cos2sin2 π 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 R. l 6 (1)求C的普通方程与l的直角坐标方程； (2)求l与C交点的极坐标. 3  π 【答案】(1)C的普通方程为 ， 的直角坐标方程为y x；(2)2, ， x22y2 1 l 3  6  7π 2, .  6  【分析】（1）结合三角函数恒等变换消去参数可得C的普通方程，利用 xcos,ysin将极坐标方程转化为普通方程； （2）联立方程组求交点的直角坐标，再将其转化为极坐标.  2sin2  1   x1 cos2sin2 ,   x cos2 ①, 【详解】（1）因为 所以  2sincos  2 y , y tan2②,  cos2sin2  2 1 sin22 得x22y2   1,.. ①22②2 cos22 cos22π 3 sin 3 3 3 由 ，得tan ,  ,sin cos，所以sin cos，所以 6 3 cos 3 3 3 3 y x, 3 3 所以C的普通方程为 ，l的直角坐标方程为y x. x22y2 1 3 x22y2 1  （2）联立 3 得 x 3或 x 3，所以l与C交点的直角坐标分别为 ，   y 3 x  y1  y1  3,1       3,1 ，设点 3,1 的极坐标为,，0，0,2π， 1 1 1 1 3 1 π 则 ，cos  ,sin  ，所以 ， ，  312 1 2 1 2 2 1 6 1 1  π  7π 所以点 3,1 的极坐标为2, ，同理可得点  3,1 的极坐标为2, ，  6  6   π  7π 故 与 交点的极坐标为2, ，2, . l C  6  6  5．在直角坐标系xOy中，已知直线l的方程为 2x 2y10，曲线C的参数方程为  1 x  cos（α为参数）．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．  ytan (1)求直线l的极坐标方程和曲线C的普通方程； (2)设直线ykxk 0 与曲线C相交于点A，B，与直线l相交于点C，求 1 1 1   的最大值． |OA|2 |OB|2 |OC|2 【答案】(1)直线l的极坐标方程： 2cos 2sin10，曲线C的普通方程： x2y2 1 (2)2 24. xcos 【分析】（1）利用公式 、 以及消参的方法求解. ysin sin2cos21 （2）利用方程联立、两点间的距离公式、换元法以及函数进行计算求解. xcos 【详解】（1）因为直线l的方程为 ， ， 2x 2y10 ysin 所以直线l的极坐标方程： 2cos 2sin10，  1  sin2cos2 x x2  1tan2 曲线C的参数方程为 cos，所以 cos2 ，  ytan  ytan 消去参数有：x2 1y2，所以曲线C的普通方程：x2y2 1. （2）因为直线ykxk 0 与曲线C相交于点A，B，由(1)有：曲线Cx2y2 1， x2y2 1 1 k2 由  ykx ，得 k21  x210 ，解得x2  1k2 ，y2  1k2 ， 1 1 1k2 所以 OA2 OB2 ， 4  k21  0 ，解得 0k 1 ，所以 OA2  OB2  1k2 ， 2x 2y10 又直线 与与直线l相交于点C，由 得， ykxk 0  ykx x2  1 y2  k2 1 41k2 k 1 ， 21k2 ， 21k2 ，所以 OC2  1k2 ， 1 1 1 2  1k2 41k2 2  1k2 4k4 4k1 所以      2 ， |OA|2 |OB|2 |OC|2 1k2 1k2 1k2 1k2 4k1 4t 4   令 由 有： ，所以 1k2 t222t 2 ， t 2 t k1, 0k 1 1t2 t 4   4，2 22 因为 ，所以 t 2 2 2，3 ，所以 t 2 2 , 1t2 t  t 所以2 4k1   6，2 24，所以 1  1  1 的最大值为 1k2  |OA|2 |OB|2 |OC|2 2 24. xcossin 6．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以O xOy ycossin   π 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos  3．  6 (1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；  (2)P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若APB ，求点P横 3 坐标的取值范围． 3 5 3 5 【答案】(1) ； (2) ,  x2 y2 2 3xy2 30  2 2  【分析】（1）把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公 式可求直线l的直角坐标方程; （2）设P(x, 3x2 3)，由题意可得|OP|2|OA|，计算可求点P横坐标的取值范围. xcossin 【详解】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数）， C ycossin  可得x2y2 cos22sincossin2cos22sincossin22  π π π 由cos  3,得coscos sinsin  3,  6 6 6 3 1  x y 3,即 , 2 2 3xy2 30 曲线C的普通方程为x2 y2 2,直线l的直角坐标方程为 3xy2 30 （2）设P(x, 3x2 3),连接OA,OB，易得OA AP,OBBP， π π 若APB ,则APO ， 3 61 |OA| 1 sinAPO ,在 中，  ， 2 Rt△OAP |OP| 2 |OP|2|OA|2 2,  x2( 3x2 3)2 2 2,两边平方得4x212x40, 3 5 3 5 解得 x , 2 2 3 5 3 5 点 横坐标的取值范围为 ,  2 2  P  