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专题 11 极坐标与参数方程
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】极坐标方程的概念
(1)、极坐标系
如图所示,在平面内取一个定点 ,叫做极点,自极点 引一条射线 ,叫做极轴;再选定一个长度单位,
一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面
直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平
面坐标系.
(2)、极坐标
设M是平面内一点,极点 与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ;以极轴 为始边,射线 为终
边的角 叫做点M的极角,记为 .有序数对 叫做点M的极坐标,记作 .
一般地,不作特殊说明时,我们认为 可取任意实数.
特别地,当点 在极点时,它的极坐标为(0, )( ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无
数种表示.
如果规定 ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 表示;同时,极坐标
表示的点也是唯一确定的.
常见圆与直线的极坐标方程
曲线 图形 极坐标方程
圆心在极点,半径为
的圆圆心为 ,半径为
的圆
圆心为 ,半径
为 的圆
过极点,倾斜角为 (1)
的直线
(2)
过点 ,与极轴垂
直的直线
过点 ,与极轴
平行的直线
【考点2】极坐标与直角坐标的互化
(1)、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长
度单位,如图所示:
(2)、互化公式:设 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ,极坐标是 ( ),于是
极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点 直角坐标 极坐标互化公式
在一般情况下,由 确定角时,可根据点 所在的象限最小正角.
【考点3】直角的参数方程
直线参数方程中 的几何意义的应用：
表示直线上任意一点到定点 的距离.
直线参数方程 （ 为参数），椭圆方程 ，相交于 两点，直
线上定点
将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于 的一元二次方程，则：
(1)
若 为 的中点，则
【考点4】曲线的参数方程
1．圆的参数方程
如图所示，设圆 的半径为 ，点 从初始位置 出发，按逆时针方向在圆 上作匀速圆周运动，
设 ，则 。
这就是圆心在原点 ，半径为 的圆的参数方程，其中 的几何意义是 转过的角度。
圆心为 ，半径为 的圆的普通方程是 ，
它的参数方程为： 。
2．椭圆的参数方程
以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为 其参数方程为
， 其 中 参 数 称 为 离 心 角 ； 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是
其参数方程为 其中参数 仍为离心角，通常规定参数
的范围为 ∈[0，2 ）。
【名师提醒】：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在 到 的范围内），在其
他任何一点，两个角的数值都不相等。但当 时，相应地也有 ，在其他象限内类似。
3．双曲线的参数方程（了解）
以坐标原点 为中心，焦点在 轴上的双曲线的标准议程为 其参数方程为
，其中
焦 点 在 轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是 其 参 数 方 程 为
以上参数 都是双曲线上任意一点的离心角。
4．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线 的参数方程为
三、考点解密
题型一:函数平移问题与极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化
例1．（江西省2022-2023学年高三上学期11月阶段联考检测数学试题（理））在直角坐标系 中，曲
线 经过伸缩变换 后得到曲线 ，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，直线l的极坐标方程为： .
(1)写出曲线 的参数方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点P为曲线 上一动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出取最小值时点P的直角坐标.【变式训练1-1】、（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系 中，曲线 ： 经过伸缩变换
后得到曲线 ，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为：
．
(1)写出曲线 的参数方程和直线 的直角坐标方程；
(2)在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最小并求出最小值．题型二:直线的参数方程的应用
例2．（2022·四川·宜宾市叙州区第二中学校模拟预测（理））在平面直角坐标 中，曲线 的参数方程
为 （ 为参数， ），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 的普通方程和极坐标方程；
(2)在平面直角坐标 中，若过点 且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，求证：
成等差数列．【变式训练2-1】、（2022·河南·一模（理））在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （
为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数）．
(1)求直线 与曲线 的普通方程，并说明 是什么曲线？
(2)设M，N是直线 与曲线 的公共点，点 的坐标为 ，求 的值．题型三:圆或椭圆的参数方程的应用
例3．（2022·青海·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为
参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是
.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值，并求此时点P的坐标.【变式训练3-1】、（2022·四川·模拟预测（理））在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为
（ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极
坐标为 ，直线l的极坐标方程为 ．
(1)求点M的直角坐标和直线l的直角坐标方程；
(2)若N为曲线C上的动点，求 的中点P到直线l的距离的最小值及此时点P的极坐标．题型四:极坐标方程的应用
例4．（2022·全国·安阳市第二中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标
方程为 ．
(1)求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求 的值．【变式训练4-1】、（2022·四川资阳·一模（理））下图所示形如花瓣的曲线 称为四叶玫瑰线，并在极坐
标系中，其极坐标方程为 ．
(1)若射线 ： 与 相交于异于极点 的点 ， 与极轴的交点为 ，求 ；
(2)若 ， 为 上的两点，且 ，求 面积 的最大值．四、分层训练
A组 基础巩固
1．（2007·全国·高考真题（理））设曲线C的方程是 ，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s
单位长度后得曲线 ．
(1)写出曲线 的方程；
(2)证明：曲线C与 关于点 对称；
(3)如果曲线C与 有且仅有一个公共点，证明： 且 ．
2．（2022·四川·阆中中学高三阶段练习（文））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
为参数）， 是 上的动点， 点满足 点的轨迹为曲线 .
(1)求 的参数方程；
(2)在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点的交点为 ，与 的异
于极点的交点为 ，求 .3．（2021·陕西汉中·高二期末（理））在平面直角坐标系xOy中，曲线 的方程为 ，点P
为曲线 上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线 ，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系.
(1)求曲线 的极坐标方程；
(2)若点M，N分别是曲线 和 上的点，且 ，证明： 为定值.
4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立
极坐标系（取相同的单位长度），曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为
（ 为参数），曲线 ， 相交于 、 两点，曲线 经过伸缩变换 后得到曲线 .
(1)求曲线 的普通方程和线段 的长度；
(2)设点 是曲线 上的一个动点，求 的面积的最小值．5．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ ，
t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l交于A，B两点，求 的值．
6．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（文））在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （
为参数， ），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
(1)求曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线 相交于 ， 两点，若 ，求 的值．7．（2022·四川·盐亭中学模拟预测（理））已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （
为参数），直线 经过定点 ，倾斜角为 .
(1)写出直线 的参数方程和曲线 的标准方程；
(2)设直线 与曲线 相交于 , 两点，求 的值.
8．（2022·四川省巴中中学模拟预测（文））在直角坐标系 中，直线 经过点 ，倾斜角为 ．
以坐标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线 相交于A， 两点，求 的值．9．（2022·广西桂林·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0．
(1)求l的普通方程和C的参数方程；
(2)已知点M是曲线C上任一点，求点M到直线l距离的最大值，并求出此时点M的坐标．
10．（2022·江西萍乡·三模（文））在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为
参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若点 为曲线 上任意一点，求点 到直线 距离的最小值．B组 能力提升
11．（2022·内蒙古·满洲里市教育研修中心三模（文））在直角坐标系 中，圆C的方程为：
，如图， 为圆 上任意一点.
(1)以直线 的倾斜角 为参数，写出圆C的参数方程；
(2)设点 的坐标为 ，求 的最大值.12．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学三模（理））如图，某“京剧脸谱”的轮廓曲线 由曲线 和 围成．
在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数，且 )，以坐标原点为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 ．
(1)求 的普通方程和 的直角坐标方程；
(2)已知曲线 与 轴、 轴的正半轴分别交于A、B两点，求曲线 上任意一点到直线 的距离的最大
值．13．（2022·河南商丘·三模（理））在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若直线 与 轴、 轴的交点分别为 ， 两点， 为曲线 上的任意一点，求 的面积的最小值．
14．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 .
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若点M，N分别为曲线C和直线l上的动点，求 的最小值.15．（2022·四川雅安·模拟预测（理））数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线
的形状如心形（如图），称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当 时，
(1)求E的极坐标方程；
(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且 ，求 的面积的最大值．
16．（2022·广西·模拟预测（文））在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为
（ 为参数）．以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的参数为
（ 为参数）．
(1)求曲线 和直线 的直角坐标方程；
(2)过原点 引一条射线分别交曲线 和直线 于 、 两点，求 的最大值．17．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐
标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 .
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)若点 ，直线l交曲线C于P，Q两点，求 的值.
18．（2022·河南安阳·模拟预测（理））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 ．
(1)写出C的普通方程和一个参数方程；
(2)若直线 和 分别与C交于与O不重合的点A，B，求 ．19．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 ，
（ 为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为
，将射线l绕点逆时针旋转 后，得到射线 ，若射线l， 分别与曲线C相交于点
A，点B．
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)求 的最小值．
20．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半
轴为极轴建立极坐标系.图中的心型曲线 的极坐标方程为 ，M为曲线 上一
动点，曲线 的参数方程为 （t为参数， ）
(1)若 与 交于A，O，B三点，求 的值；
(2)射线OM逆时针旋转 后与 交于点N，求 取最大值时点M的极坐标.21．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（t为参数且 ），曲线 与x轴，y轴分别交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求A，B两点的直角坐标及曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线 ：交于P，Q两点，求 的值．22．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两
个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图，在极坐标系 中，曲边三
角形 为勒洛三角形，且 ， ，以极点O为直角坐标原点，极轴 为x轴正半轴建立
平面直角坐标系 ，曲线 的参数方程为 （t为参数）．
(1)求 的极坐标方程和 所在圆 的直角坐标方程；
(2)已知点M的直角坐标为 ，曲线 和圆 相交于A，B两点，求 ．C组 真题实战练
23．（2019·全国·高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
24．（2020·全国·高考真题（理））已知曲线C ，C 的参数方程分别为C ： （θ为参数），
1 2 1
C ： （t为参数）.
2
（1）将C ，C 的参数方程化为普通方程；
1 2
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C ，C 的交点为P，求圆心在极轴上，且经
1 2
过极点和P的圆的极坐标方程.25．（2019·全国·高考真题（理））如图，在极坐标系 中， ， ， ， ，
弧 ， ， 所在圆的圆心分别是 ， ， ，曲线 是弧 ，曲线 是弧 ，曲线
是弧 .
（1）分别写出 ， ， 的极坐标方程；
（2）曲线 由 ， ， 构成，若点 在 上，且 ，求 的极坐标.
26．（2020·全国·高考真题（文））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (t为参数且
t≠1)，C与坐标轴交于A，B两点.
（1）求| |：
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.27．（2017·全国·高考真题（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （θ为参数），
直线l的参数方程为
．
（1）若 ，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为 ，求 ．
28．（2022·全国·高考真题（文））在直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 ，（t为参
数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
．
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．29．（2017·全国·高考真题（理））在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1） 为曲线 上的动点，点 在线段 上，且满足 ，求点 的轨迹 的直角坐标方程；
（2）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值．
