文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题12 数列的基本运算（讲）
真题体验 感悟高考
1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距
离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D2．（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即
可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
3.（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的性质
计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1. 等差(等比)数列的定义、通项公式及求和公式是高考的基础考点与高频考点.以小题居多，属于容易题.
2. 数列求和方法中的公式法、错位相减法、裂项相消法及分组求和法是高考的高频考点，以小题或解答题形
式出现，难易程度有些起伏，从趋势看，与不等式等相结合，其难度有所增大，总体属于中档题.涉及数列的
通项、递推与不等式相结合的客观题有所增加.
（二）本专题考向展示
考点突破 典例分析
考向一 等差数列、等比数列的基本运算
【核心知识】
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)
(1)等差数列的通项公式：a＝a＋(n－1)d；
n 1
(2)等比数列的通项公式：a＝a·qn－1.
n 1
(3)等差数列的求和公式： ；
(4)等比数列的求和公式：
【典例分析】
典例1.（2021·北京·统考高考真题）已知 是各项均为整数的递增数列，且 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到 的最大值．
【详解】若要使n尽可能的大，则 ，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列 是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为 ，
则 ， ，
所以 .
对于 ， ，
取数列 各项为 ( ， ,
则 ，
所以n的最大值为11．
故选：C．
典例2.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a–a=12，a–a=24，则 =（ ）
5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公
式和前 项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
典例3.（2022春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列 满足 ，前4项和 ．(1)求 的通项公式；
(2)设等比数列 满足 ，求 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题干条件分别求出公差d和首项 ，再代入公式即可；
（2）由（1）求得的数列 的通项公式计算 和 ，进而得到数列 的首项 和公比 ，最后代入等比数
列前n项和公式即可.
【详解】（1）设等差数列 的通项公式为 ，
由题可知， ，所以 .
又 ，
所以 .
故 的通项公式为 .
（2）由（1）知， ，
于是等比数列 的公比为 ，
则等比数列 的通项公式为 ，
的前 项和为 .
【规律方法】
等差数列、等比数列问题的求解策略
(1)抓住基本量，首项 、公差d或公比q.
(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为 (a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为的形式的数列为等比数列．
(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相
关计算．
考向二 等差(等比)数列的性质
【核心知识】
1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有a ＋a＝a＋a＝2a，对于等比
m n p q k
数列有 .
2．前n项和的性质：
(1)对于等差数列有S ，S －S ，S －S ，…成等差数列；对于等比数列有S ，S －S ，S －S ，…成等比
m 2m m 3m 2m m 2m m 3m 2m
数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
(2)对于等差数列，有S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
【典例分析】
典例4.（2020·浙江·统考高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b=S，
1 2
bn+=S2n+–Sn， ，下列等式不可能成立的是（ ）
1 2 2
A．2a=a+a B．2b=b+b C． D．
4 2 6 4 2 6
【答案】D
【分析】根据题意可得， ，而 ，即可表示出题中 ，再结
合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得，
，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
故选：D.
典例5.（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知 为正项递增等比数列 的前n项和，若
，则 ___________．
【答案】
【分析】根据等比数列的概念可得 和 的值，直接根据等比数列前 项和以及通项公式即可得结果.
【详解】由 ，所以 ， ，
所以 ，解得 或 （舍），易知 ，
所以 ，
故 ．
故答案为： .
典例6.（天津市河东区2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知数列 满足，则 等于____．
【答案】7
【分析】由 ，
变形 得出数列 为等差数列，
再结合等差数列的性质求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以数列 为等差数列，
由
所以 ，
即 ，
由等差数列的性质有： ，
所以 .
故答案为：7.
【总结提升】
等差、等比数列的性质问题的求解策略
(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．
(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
考向三 等差(等比)数列的探索与证明
【核心知识】
等差数列 等比数列
定义法 a －a＝d ＝q(q≠0)
n＋1 n
通项法 a＝a＋(n－1)d a＝a·qn－1
n 1 n 1
中项法 2a＝a ＋a (n≥2) a＝a a
n n－1 n＋1 n－1 n＋1(n≥2，a≠0)
n
S＝kqn－k
n
前n项和法 S＝an2＋bn(a，b为常数)
n
(k≠0，q≠0,1)
证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．
特别提醒：a＝a a (n≥2，n∈N*)是{a}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，
n－1 n＋1 n
要注意各项不为0.
【典例分析】
典例7.（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【分析】由递推公式找到对应的不动点方程，巧用“不动点法”求数列的通项公式.
【详解】求不动点，设 ，令 得： ，解得： 或 ；
因为 ，所以 ，化简得： ①， ，化简得：
②，用式①除以式②可得： ，又 ，所以 是首项为 ，公
比为 的等比数列，故 ，从而 .
故答案为：
典例8.（2023·全国·高三专题练习）数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形
如 （ ，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5
个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设： （ 1，2，3，…）， 为常数， 表
示数列 的前 项和，若 ，则 ______.【答案】
【分析】根据对数定义可得 ，再结合等差数列的前 项和公式求 ，进而求 .
【详解】∵ ，则 ,显然
∴数列 以首项为 ，公差为1的等差数列
又∵ ，即 则
∴
故答案为： .
典例9.（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，最
终得证.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，∴
∴ 是等差数列.
【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
典例10.（2019年高考全国II卷理）已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0， ，
n n 1 1
.
（I）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；
n n n n
（II）求{a}和{b}的通项公式.
n n
【答案】（I）见解析；（2） ， .
【解析】（1）由题设得 ，即 ．
又因为a+b=l，所以 是首项为1，公比为 的等比数列．
1 1
由题设得 ，即 ．
又因为a–b=l，所以 是首项为1，公差为2的等差数列．
1 1
（2）由（1）知， ， ．
所以 ，
．
典例11.（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中）已知数列 满足 ， ， 是公差为1的
等差数列.(1)证明： 是等比数列；
(2)求 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】(1)根据等差数列的定义求出数列 的通项公式，可得 ，等式两边同时加n，
则 ，结合等比数列的定义即可证明；
(2)由(1)和等比数列的通项公式可得 ，利用分组求和法即可求解.
【详解】（1）因为 是公差为1的等差数列， ，
所以 ，
即 ，等式两边同时加n，
得 ，又 ，
所以 是以2为首项，2为公比的等比数列；
（2）由(1)知， ，所以 ，
所以
典例12.（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， ，.
(1)证明： 是等差数列；
(2)求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)250
【分析】（1）令 、 、 、 、 代入 求出 ， ，
， ，判断可得答案；
（2）由（1）判断出数列 的偶数项是公差为 首项为 的等差数列，奇数项是公差为 首项为 的等差数
列，分别求 ， ，再求和可得答案.
【详解】（1）知数列 的前 项和为 ， ，
令 代入 得 ，又 ，
解得 ，
所以 ，
，
，
，
，
以上各式相加得 ，
所以 ，两式相减得
，所以 ，
从而 ， ，
所以 ，
则数列 是公差为 首项为 的等差数列；
（2）因为 ，所以 ， ，
，数列 是公差为 首项为 的等差数列，
由（1）数列 是公差为 首项为 的等差数列，
即数列 的偶数项是公差为 首项为 的等差数列，奇数项是公差为 首项为 的等差数列，
因为 中共有50个奇数项50个偶数项，
所以 ，
，
因此 .
【规律方法】
判断数列是不是等差(等比)数列的策略
（1）将所给的关系式进行变形、转化以便利用等差(等比)数列的定义进行判断；
（2）若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可.
