文档内容
专题 12 运用空间向量研究立体几何问题（1）
1、（2023年全国甲卷数学（理））在三棱柱 中， ， 底面ABC， ，
到平面 的距离为1．
(1)求证： ；
(2)若直线 与 距离为2，求 与平面 所成角的正弦值．
2、（2023年新课标全国Ⅰ卷）如图，在正四棱柱 中， ．点 分
别在棱 , 上， ．(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．3、（2023年新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥 中， ， ，
，E为BC的中点．(1)证明： ；
(2)点F满足 ，求二面角 的正弦值．
4、（2023年全国乙卷数学(理)（文））如图，在三棱锥 中， ， ， ，
，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O， ，点F在AC上， .
(1)证明： 平面 ；(2)证明：平面 平面BEF；
(3)求二面角 的正弦值.
5、【2022年全国甲卷】在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面
ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=√3．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．
6、【2022年全国乙卷】如图，四面体ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角
的正弦值．
7、【2022年新高考1卷】如图，直三棱柱ABC−A B C 的体积为4，△A BC的面积为2√2．
1 1 1 1
(1)求A到平面A BC的距离；
1
(2)设D为A C的中点，A A =AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A−BD−C的正弦值．
1 1 1 1 18、【2022年新高考2卷】如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点．
(1)证明：OE//平面PAC；
(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C−AE−B的正弦值．
题组一、线面角
1-1、（2023·安徽宿州·统考一模）如图，四棱锥 中， 底面ABCD， ， ，
， ， 为棱 靠近点 的三等分点.
(1)证明： 平面 ；
(2)求 与平面 所成的角的正弦值.1-2、（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）如图，在正三棱柱 中，D为棱 上的
点，E，F，G分别为AC， ， 的中点， ．(1)求证： ；
(2)若直线FG与平面BCD所成角的正弦值为 ，求AD的长．
1-3、（2023·山西晋中·统考三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E是CD的中点，AE
与BD交于点F，G是 的重心．
(1)求证： 平面PCD；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD， 为等腰直角三角形，且 ，求直线AG与平面PBD
所成角的正弦值．题组二、面面角
2-1、（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图，在长方体 中，底面 是边长为2的正方形，
， ， 分别是 ， 的中点.(1)证明： ∥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
2-2、（2023·山西临汾·统考一模）在三棱锥 中， ， ， ，取直
线 与 的方向向量分别为 ， ，若 与 夹角为 .
(1)求证： ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值.2-3、（2023·云南红河·统考一模）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，
， ，AF⊥平面ABCD， ．
(1)求证：CD⊥平面ADF；
(2)若 ， ，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
题组三、线面角与面面角的综合
3-1、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，在直四棱柱ABCD- 中，底面ABCD为菱形，
， ，E为线段 上一点.
(1)求证： ；3-2、（2023·湖南岳阳·统考三模）如图，在三棱柱 中，D为AC的中点，AB=BC=2，
.
(1)证明： ；
(2)若 ，且满足：三棱柱 的体积为 ，二面角 的大小为60°，求二面角
的正弦值.
1、（2022·山东青岛·高三期末）如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是矩形， 底面ABCD，M为BC
中点，且 .（1）求证：面 面PDB；
（2）若两条异面直线AB与PC所成的角为45°，求面PAM与面PBC夹角的余弦值.
2、（2022·山东德州·高三期末）如图，在直三棱柱 中， ， ，点Q为BC的中点，
平面 平面 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若直线AC与平面 所成角的大小为30°，求锐二面角 的大小.
3、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是直角梯形，， ， 底面ABCD， ， ，E是PB的中点．
(1)求证：平面 平面PBC；
(2)若二面角 的余弦值为 ，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
4、（2023·湖北·校联考三模）已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱） 的各条棱
长均为2，且有 ．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱 内接于圆柱， ，平
面 平面 ．
(1)证明： 为圆柱底面的直径；
(2)若M为 中点，N为 中点，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
6、（2023·江苏南通·统考一模）如图，在 中， 是 边上的高，以 为折痕，将 折至
的位置，使得 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
