专题15几何体与球切、接、截的问题（练）解析版_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_二轮复习_备战2023年高考数学二轮复习考点精讲练（新教材·新高考）

第一篇 热点、难点突破篇 专题15几何体与球切、接、截的问题（练） 【对点演练】 一、单选题 1．（2022秋·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三 角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棱锥与球的体积公式求解， 【详解】由题意得正方形 的中心 即为外接球球心，设 ，则 ， 球 的体积为 ， 而 ，故正八面体的体积 ， 得 ， 故选：A 2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于 2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、 PB AC  11 PC  AB2 5 B、C、P满足PA＝BC＝5， ， ，则该足球的表面积为（ ）A．12π B．8π C．24π D． 【答案】D 【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R，进而求出结果． 【详解】因为PA＝BC， ， ，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四 面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示： 则该足球的表面积为四面体A-BCP外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积， 设长方体棱长为a，b，c，则有 ， ， ， 设长方体外接球半径为R，则有 ，解得 ， 所以外接球的表面积为： . 故选：D． 3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）《九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两 ABCDABCD ABCD 堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体 1 1 1 1，沿对角面 1 1分开 ADD BCC DBC （图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵 1 1，沿平面 1 分开（图2），得 D ABCD D BCC 到一个四棱锥 1 称为阳马（图3），和一个三棱锥 1 1称为鳖臑（图4）. 若鳖臑的体积为4， AB4,BC 3 D ABCD 且 ，则阳马 1 的外接球的表面积为（ ） A．27 B．29 C．31 D．33 【答案】B【分析】结合长方体的性质，由鳖臑（即三棱锥）的体积求得 ，进而求得长方体体对角线 ， 即所求外接球直径，即可求外接球表面积. 【详解】由切割过程可知， 平面 ， ， ， ∴ ，∴ . 为长方体体对角线，即为 的外接球直径， ， ∴阳马 的外接球的表面积为 . 故选：B 4.（2023·广西梧州·统考一模）在三棱锥 中，已知 平面 ， ， . 若三棱锥 的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理求出底面 的外接圆半径，将三棱锥 补成三棱柱，过底面外接圆中心作垂 线，则垂线的中点即为外接球球心，进而即可求解. 【详解】在 中，设其外接圆半径为r， 由正弦定理可得 解得 ， 三棱锥 补成三棱柱，如图设三棱锥 外接球半径为R， ， 所以球O的表面积为 故选：D 二、填空题 5．（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 且 ， .又点 ， ， 都在球 的球面上，且点 到平面 的距离为 ，则球 的体积为 ______. 【答案】 【分析】首先求 外接圆的半径，再求球 的半径，最后求球的体积. 【详解】 中，根据正弦定理 ，得 ,所以 外接圆的半径为2，又球心 到平面 的距离为 ，所以球 的半径 ， 所以球 的体积 . 故答案为： 6．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知某圆台的上、下底面面积分别为 和 ，高为2，上、 下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________． 【答案】 【分析】由题意圆台上下底面的半径分别为1和2，再分析两底面在球心同侧于异侧时两种情况，再设球的半 径为R，根据垂径定理列式求解即可. 【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有 ，即 ，即 ，即 ，方程无解； 当两底面在球心异侧时，有 ，即 ，所以 ， 即 ，则 ， ． ∴这个球的表面积是 ． 故答案为： 7．（2022秋·湖南株洲·高三校联考阶段练习）在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是边长为 的正方形， 其顶点P到底面ABCD的距离为4．该四棱锥的外接球O的半径为7，若球心O在四棱锥P－ABCD内，则顶 点P的轨迹长度为_____________． 【答案】 【分析】画出图象，判断出 点的轨迹，结合勾股定理以及圆的周长公式求得正确答案. 【详解】设正方形 的中心为 ，因为四边形ABCD是边长为 的正方形，对角线长为 ， 所以该正方形外接圆半径 ， 所以球心O到底面ABCD的距离 ， 又顶点P到底面ABCD的距离为4，点P在与底面ABCD平行的截面圆 的圆周上， 由球心O在四棱锥P－ABCD内，可得截面圆的半径 ， 故顶点P的轨迹长度为 ． 故答案为： 8.（2022·上海长宁·统考一模）已知 是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上 异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥 —ABC外接球体积的最小值为___________ 【答案】 【分析】首先根据题意建立 、 的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值. 【详解】根据题意作图如下：设底面圆半径为 ，圆柱高设为 ，则根据圆柱的侧面积为4π，可得 ，解得 .因为 以及 均为直角三角形，根据三棱锥 —ABC外接球的性质可知， 的中点 即为球心.则 ，则 ，所以外接球的半径 .三棱锥 —ABC外接球 体积为 ，所以要外接球体积最小，只需要 最小即可，又不等式可知 ，当且仅当 时，即 时成立.故三棱锥 —ABC外接球体积的最小 值为 . 故答案为： . 9．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知圆台的内切球 与圆台侧面相切的切点 位于圆台高的 处，若圆台的上底面半径为 ，则球的体积为______. 【答案】 【分析】求得圆台的高，也即求得球的直径，进而求得球的半径，从而求得球的体积. 【详解】圆台的上底面半径为 ， 由于圆台的内切球 与圆台侧面相切的切点位于圆台高的 处， 根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为 ，母线长为 ， 所以圆台的高为 ， 也即球的直径为 ，半径为 ， 所以球的体积为 .故答案为： 10．（2022·浙江·模拟预测）棱长分别为 的长方体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 ______，体积为______． 【答案】 【分析】长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的表面积和体 积公式，即得解. 【详解】由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心 即为体对角线交点， 半径为体对角线的一半，即球 的半径 ， 则球 的表面积为 ，球 的体积为 故答案为： ； 【冲刺提升】 一、单选题 1．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）如图，已知三棱柱 的底面是等腰直角三角形， 底面ABC，AC＝BC＝2， ，点D在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥D-ABC的外接球表面 积的范围为（ ）A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件确定球心位置，建立关于球的半径的表达式，从而求出半径的取值范围即可. 【详解】如下图所示： 因为 为等腰直角三角形， ，所以 的外接球的截面圆心为 的中点 ，且 ， 连接 与 的中点 ，则 ，所以 面 .设球心为 ，由球的截面性质可知， 在 上， 设 ， ，半径为 ，因为 ，所以 ， 所以 ，又 ，所以解得 .因为 ，所以 ，所以当 时，外 接球表面积最小为 ，当 时，外接球表面积最大为 .所以三棱锥D-ABC的外接球表 面积的范围为 . 故选：A 2．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）四棱锥 中，底面 是边长为 的 正方形，侧面 为正三角形，则其外接球体积最小值为（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设二面角 的大小为 ，由 得外接圆半径最大值，再由球的体积公式求解， 【详解】设二面角 的大小为 ， 中点为 ，正方形 的中心为 ， 则 ， ， ，则 ， 到底面的距离为 ， 设球心 到底面的距离为 ，而正方形的外接圆半径为 ， 则 ，而 由 得 ， ， 恒成立，故 最小值为 ， ， 即外接球体积最小值为 ， 故选：C 二、多选题 3．（2022秋·安徽·高三石室中学校联考阶段练习）已知正四棱台上､下底面的面积分别为2和8，高为 ，则下列结论正确的有（ ） A．正四棱台外接球的表面积的最小值为 B．当 时，正四棱台外接球球心在正四棱台下底面下方 C．正四棱台外接球的半径随 的增大而增大D．当 时，正四棱台存在内切球 【答案】ABD 【分析】首先根据题干得到正四棱台的上下底面的半径,再分别按照 选项的内容 研究正四棱台的外接球和内切球,即可解决. 【详解】设正四棱台上､下底面的外接圆的半径分别为 ， ，外接球的半径为 ，球心为O， 因为正四棱台的上､下底面面积分别为2和8，所以上､下底面的边长分别为 ， ， 所以 ， ，设球心O到上底面的距离为d， 则 或 ， 所以 ， 所以 ， 当 时，外接球半径最小，此时 ， 所以外接球的表面积的最小值为 ，故 正确. 易知 和 时， ，故 不正确. 当 时，所以 ， 所以外接球球心在正四棱台下底面下方，故 正确. 正四棱台内切球存在时，内切球大圆是图中梯形ABCD的内切圆，圆心 是上､下底面中心 ､ 连线的中点， ， 设圆的半径为r，则 ，由 可知 ， ， 同理 ， ，故可知 ， 在 中， ，所以 ， .故 正确.故选: . 4．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即 截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为 的正四面体沿棱的三等分点作平行 于底面的截面，得到所有棱长均为 的截角四面体，则下列说法正确的是（ ） A．该截角四面体的内切球体积 B．该截角四面体的体积为 C．该截角四面体的外接球表面积为 D． 外接圆的面积为 【答案】BD 【分析】根据内切球的直径等于正四面体高的 可求解A项，利用每个截角体积等于正四面体体积的 可求 解B项，利用勾股定理求外接球的半径可求解C项，利用勾股定理可确定 的斜边长，进而求解D项. 【详解】该四面体底面正三角形的高等于 ， 所以四面体的高 ， 由图可知，该截角四面体的内切球的直径等于 ， 所以内切球的体积等于 ，故A错误； 正四面体的体积 ， 所以剪掉一个角的体积等于 ， 所以该截角四面体的体积为 ,故B正确； 取上下底面的中心为 ,外接球的球心为 ，连接 如图， 因为截角四面体上下底面间的距离等于 ， 设外接球的半径等于 ， 因为 为边长等于 的正三角形， 所以 的高等于 ，所以 ,又因为下底面 为正六边形，所以 ， 所以 即 所以 解得 ， 所以 ，故C错误； 连接 ，则 ,所以 ， 由正四面体对棱互相垂直可知， , 所以 在直角 中， ， 所以 外接圆的面积为 ，故D正确. 故选:BD. 5．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）在棱长为2的正方体 中，点 为线段 （包含端 点）上一动点，则下列选项正确的是（ ）． A．三棱锥 的体积为定值 B．在 点运动过程中，存在某个位置使得 平面 C．截面三角形 面积的最大值为D．当三棱锥 为正三棱锥时，其内切球半径为 【答案】AC 【分析】对于A，证明 平面 ，从而可得 上所有点到平面 的距离不变，即可判断； 对于B，假设 平面BQC，从而可得 ， ，即可判断； 对于C，要使截面三角形 面积的最大，只要Q到BC的距离最大，过Q作 于F，过F作 于G，连接QG，求出 的最大值即可； 对于D，利用等体积法求解即可. 【详解】解：A. ，而 为定值． 连接 ，因为 且 ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，所以 上所有点到平面 的距离不变， 所以三棱锥 的高不变，所以 为定值，故A正确； B．若 平面BQC， 平面BQC， 则 ，又 ， 所以 ，不正确，故B错误； C．因为BC为定值，所以只要Q到BC的距离最长， 过Q作 于F，过F作 于G，连接QG， 因为 ，所以 ，又 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，则 ， 要使QG最长，只需QF最长，即Q点在 时， 最长， 此时 ，故C正确， D．当Q在A点时， 为正三棱锥， 设三棱锥 的内切球的半径为 ， 由等体积法 ， 所以 ， 所以 ，故D错误． 故选：AC. 6．（2022秋·河北邢台·高三河北南宫中学校考阶段练习）如图，在菱形 中， 为 的中点，将 沿直线 翻折到 的位置，连接 和 为 的中点，在翻折过程中， 则下列结论中正确的是（ ）A．面 面 B．线段 长度的取值范围为 C．直线 和 所成的角始终为 D．当三棱锥 的体积最大时，点 在三棱锥 外接球的外部 【答案】AC 【分析】利用线面垂直的判定可得 面 ，可判断A选项；取 中点 ，连接 ， ，结合余弦 定理，求得 ，并判断B选项；利用几何法将 与 的夹角转化为 与 的夹角，判断C选项；将 几何体还原为长方体，求得外接球半径，进而判断D选项. 【详解】A选项：连接 ，由题意在菱形 中， ， 为 的中点，所以 ，又 ，由余弦定理 ，故 ， ，所以 ，同理 ，又 ， 平面 ，故 平面 ，又 面 ，故面 面 ，故A选项正确；B选项：如图所示，取 中点 ，连接 ， ，所以 ，且 ，又因为 为 的中点， 所以 ，且 .又由A选项得 ， ，所以 且 ，所以 ， ，在 中，由余弦定理得： ，即 ，故B选项错误； C选项：由B选项得 ，所以直线 和 所成角即为 与 所成角 ，又 ，故 ，故C选项正确； D选项：当三棱锥 的体积最大时， 平面 ，由四边形 为菱形，且 ， ，故 ， ，故 在 的外接圆内，又 的外接圆在三棱锥 外接球的内部，故点 在三棱锥 外接球的内部，故D选项错误； 故选：AC 三、填空题 7．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知半径为 的球O的表面上有A，B，C，D四点，且满足 平面 ， ，则四面体 的体积最大值为_____________；若M为 的中 点，当D到平面 的距离最大时， 的面积为_____________． 【答案】 ；【分析】第一空，设 ，则满足 ，即可列出体积函数 ，由导数法 求最值. 第二空在平面 内过点D向 作垂线，垂足为H，则D到平面 的距离为 ，由 求得 ，由均值不等式可得 最大值，即可得 的各边长，从而求得面积. 【详解】第一空，设 ，球心O即为 的中点，所以 ． 四面体 的体积 ，所以 ， 令 ，得 （负值舍去），当 时， ，V单调递增：当 时， ，V 单调递减，所以当 时， ． 第二空，在平面 内过点D向 作垂线，垂足为H，则D到平面 的距离为 ． ∵ ，∴ ，∴ ,即 ． 因为 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ．此时 ，所以 的面积为 ． 故答案为： ； .8．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）在正四面体 中， 为 边的中点，过点 作该正四面体 外接球的截面，记最大的截面面积 ，最小的截面面积为 ，则 __________；若记该正四面体内切球和外 接球的体积分别为 和 ，则 __________． 【答案】 【分析】将正四面体 放置于正方体中，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．由外接球的直径等 于正方体的对角线长，求出外接球的半径，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值T、最大值S，可 得 ；用等体积法求出正四面体内切球的半径，进而得出其体积 ，再求出外接球的体积 ，即可得出 ． 【详解】将正四面体 放置于正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是正四面体的外接球，外接 球的球心O为正方体的体对角线DF的中点，设正四面体 的棱长为 ，则正方体的棱长为 ， 因为外接球的直径等于正方体的对角线长， 所以外接球的半径为 ， E为BC边的中点，过E作该正四面体外接球的截面， 当截面过球心O时，截面面积最大，最大值为 ， 当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积取最小值， 此时球心O到截面的距离为 ，可得截面圆的半径为 ， 从而截面面积的最小值为 ．所以 ； 设正四面体内切球的球心为G，半径为 ， 取底面BCD的中心H，连接AH，则AH为正四面体的高，G在AH上，H在DE上， 正四面体的每个面的面积为 ， ，正四面体的高 ， 故正四面体的体积为 ， 连接G与正四面体的4个顶点可以得到4个的正三棱锥，每个正三棱锥体积为 ，则， 所以 ，求得 ， 故正四面体内切球的体积 ， 正四面体外接球的半径为 ，外接球的体积为 ， ． 故答案为： ；27． 9．（2022·河南·统考一模）如图，在梯形ABCD中， ，将 沿 边AC翻折，使点D翻折到P点，且 ，则三棱锥 外接球的表面积是___________. 【答案】 【分析】先证明出 面 ，作出 的外心 ，过 作 ，判断出三棱锥 外接球的 球心 必在直线 上，设外接球的半径为 ，利用球的性质列方程 求出 ，即可求出三棱锥 外接球的表面积. 【详解】在梯形ABCD中， ， 所以梯形ABCD为等腰梯形， . 因为 ，所以 ，所以 ，即 .所以 ， . 因为 ,所以 ，所以 . 又 面 , 面 , , 所以 面 . 在 中， 作出其外心 如图所示： 所以 , . 过 作 ，由球的性质可知，三棱锥 外接球的球心 必在直线 上. 设外接球的半径为 ，由球的性质可得： ，即 ，解得： . 所以三棱锥 外接球的表面积为 . 故答案为： . 10．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称 之为鳖臑.如图，在鳖臑 中， 平面ABC.已知 ， ， ，请写出平面 的直角：_____________；若P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为____________.【答案】 （或 ） 【分析】证明 平面 得到 ，将 放入长方体中，计算 ，得到球的表面积. 【详解】 平面 ， 平面 ，故 ， ，故 ， ， 平面 ， 故 平面 ， 平面 ，故 ， ； 将 放入长方体中，如图所示： 外接球的半径为 ，故表面积为 . 故答案为： ； 11．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知空间四边形 的各边长及对角线 的 长度均为6，平面 平面 ，点M在 上，且 ，那么 外接球的半径为______；过 点M作四边形 外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______. 【答案】 ## 【分析】空1：根据题意结合球的性质分析可得 平面 ， 平面 ，求出 即可得球的半径；空2：根据球的截面性质可得 ，结合题意分析运算. 【详解】空1： 由题意知 和 为等边三角形，取 中点E，连 ， ，则 ， 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ， 同理可证： 平面 ， 设 外接球的球心为O，半径为R， 分别取 、 的中心 、 ，连接 ， 则 平面 ， 平面 ， ∴ ， ，则 为平行四边形， 由题意可得： ， 又∵ 平面 ， 平面 ， ∴ ， 故 ， 空2： 连 ， ∵ ， ， ，则H，O，M三点共线， ∴ ， 设过M作四边形 外接球的截面圆的半径为r，O到该截面的距离为d，则 ，即 ， ∵ ，则有： 当 时，此时截面过球心， 取到最大值 ，截面的面积最大为 ； 当 时， 取到最小值 ，截面的面积最小为 ； 故截面面积最大值和最小值之比为 .故答案为： ； . 四、解答题 12．（2022秋·安徽·高三校联考阶段练习）如图，长方体 中， 为棱 的中点. (1)求直线 被长方体 的外接球截得的线段长度； (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1) ； (2) . 【分析】（1）设 的中点为 ，根据长方体的性质结合条件可得球心 到直线 的距离，然后根据球的性质即得； （2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得. 【详解】（1）设 的中点为 ，连结 ， ABCD 则 为长方体 外接球的球心，且 平面 ， 2 6 2 OA ,OQ1,AQ OA2OQ2  ,PQ ,AP 2 由题意知， 2 2 2 ， PQ2 AQ2  AP2 AQPQ 所以 ，所以 ， 1 1 6 APd  PQAQ d  设Q到直线AP的距离为d，则2 2 ，解得 4 ， 1 6 R BD  因为外接球的半径 2 1 2 ， 3 2 2 R2d2  所以直线AP被此外接球截得的弦长为 2 ； （2）以D为原点，建立空间直角坐标系， D0,0,0,A1,0,0,C0,1,0,D 0,0,2,C 0,1,2,P0,0,1 则 1 1 ，  nx,y,z PAC 设平面 的一个法向量 ，   AC 1,1,0,AP1,0,1 因为 ， n  A  C  0 xy0 则由  n  A  P  0 ，得 xz0 ，令 x1 ，可得 n  1,1,1，  AC 1,1,2 又 1 ， 设直线 AC 1与平面 PAC 所成的角为  ，    A  C  n  1,1,21,1,1 2 sin cos AC,n  1   所以 1  A  C   n  6 3 3 ， 1 2 所以直线 AC 1 与平面PAC 所成角的正弦值为 3 .