文档内容
第一篇 热点、难点突破篇
专题17直线与圆及相关的最值问题（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知点Q在圆C： 上，点P在直线 上，则PQ的最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先将圆C变形，求出圆心与半径，再由圆到直线的最小距离求法求出值，再减去半径即可求出直线
上的点到圆的最小距离.
【详解】圆 中圆心为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离： ，
则 ，
故选：A．
2．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）圆 与圆 公共弦长为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，求出圆 的圆心到公共弦的距离，再由
公共弦长公式 求出答案即可.
【详解】联立两个圆的方程 ，
两式相减可得公共弦方程 ，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心 到公共弦的距离为 ，
公共弦长为 .
故选: .
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）抛物线 的准线被圆 所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】D
【分析】先求出抛物线 的准线方程，再求出圆心到直线 的距离，从而可得出答案.
【详解】抛物线 的准线方程为：
圆 的圆心 ，半径为
圆 的圆心 到直线 的距离为
所以直线 被圆 所截得的弦长为
故选：D
4．（2022秋·浙江宁波·高三校联考期末）若过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的
斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设斜率为 ，则直线方程为 ，圆心 到直线的距离小于等于半径 ，即可得到不等式，
解得即可.【详解】解：依题意直线 的斜率存在，设斜率为 ，则直线方程为 ，即 ，
所以圆心 到直线的距离小于等于半径 ，即 ，解得 或 ，
即 .
故选：A
5．（2023秋·北京朝阳·高三统考期末）过直线 上任意一点，总存在直线与圆 相切，则k的
最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】根据题意，设 为直线 上任意一点，判断点 与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，
根据直线与圆的位置关系，即可求得 的最大值.
【详解】设 为直线 上任意一点
因为过直线 上任意一点，总存在直线与圆 相切
所以点 在圆外或圆上，
即直线 与圆 相离或相切，
则 ，即 ，解得 ，
故 的最大值为 .
故选：A.
6．（2022·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内， 是两个定点， 是动点，若
，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A【分析】由平行四边形法则易得 ，可知 ，可判断点 的轨迹为以线段 为直径的圆.
【详解】设 为线段 的中点， .因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，当点 在点 或 时也满足 ，所以点 的轨迹为以线段 为直径的圆.
故选: A.
7．（2023秋·湖南株洲·高三校联考期末）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为
1，过点 的直线与圆 相切于点 ，则 的最小值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用向量数量积的定义得 ，再根据抛物线的定义可得 ，进
而可求解.
【详解】 ，
当 即点 为坐标原点时，取最小值，
故选:B.
二、多选题
8．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线 ，过直线上任意一点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，则有（ ）
A． 长度的最小值为B．不存在点 使得 为
C．当 最小时，直线 的方程为
D．若圆 与 轴交点为 ，则 的最小值为28
【答案】BD
【分析】由题知圆 的圆心为 ，半径为 ，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知圆 的圆心为 ，半径为 ，
对于A，因为圆心 到直线 的距离为 ，所以 ，故
，故A错误；
对于B，假设存在点 使得 为 ，如图，则 ，故在 中， ，由A选
项知 ，故矛盾，即不存在点 使得 为 ，故B正确；
对于C，由于 ,故四边形 的面积为 ，
所以， ，故当 最小时， 最小，由A选项知 ，此时
， ，即直线 的斜率为 ，由于直线 的斜率为 ，故C错误；
对于D，由题知 ，设 ，则
，当且仅当
时等号成立，故 的最小值为 ，故D正确；
故选：BD三、填空题
9．（2023·北京顺义·统考一模）已知圆 ，点A、B在圆M上，且 为 的中点，
则直线 的方程为_____________．
【答案】
【分析】根据垂径定理得到 ，根据两直线垂直时斜率的关系得到 ，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】 可整理为 ，
所以圆心为 ，根据垂径定理可得 ， ，
所以 ，直线AB的方程为 整理得 .
故答案为:
10．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知圆 ： ，直线 ： ，若当 的值发生变化
时，直线被圆 所截的弦长的最小值为________.
【答案】
【分析】首先求出直线过定点 ，再判断点 在圆内，则弦长最小值为与 垂直的弦，再根据弦长
公式计算可得.
【详解】解：因为直线 ： 恒过定点 ，圆 ： 的圆心 ，半径 ，
所以 ，所以点 在圆内，所以直线被圆 所截的弦长的最小值为 .
故答案为：
【冲刺提升】
一、单选题
1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，点 ，点 满足
，又点 在曲线 上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判断出点 两个圆的公共点，求出 ，进而求出 .
【详解】设 .
因为点 ，点 ，且 ，
所以 ，整理化简得： .
而点 在曲线 上，方程 平方后，整理为一个圆 ，所以曲线
为圆 在x轴上方部分.
则两个圆的公共弦为两圆的方程相减，整理得： .
所以 满足 ，解得： .即 .
所以 .
故选：B
2．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知 ： ，点 ，若 上总存在 ，两点使得 为等边三角形，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】 的圆心坐标为 ，半径为 ,要使 上总存在 ， 两点使得 为等边三角形，
则 上存在一点 ，使得 ,当 与 相切时， 最大，故 ，
由此可求解.
【详解】 的标准方程为 ，
圆心坐标为 ，半径为 .
因为 ，所以 .
所以 .
要使 上总存在 ， 两点使得 为等边三角形，
则 上存在一点 ，使得 ,
当 与 相切时， 最大，此时 ，
故 ，即 ，
整理得 ，解得 .
故选:B.3．（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知圆C： ，直线 为直线 上的动点，
过点 作圆 的切线 ，切点为 ， ，则 最小值为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．4
【答案】D
【分析】由于四边形 的面积为 ，从而可求出
最小值.
【详解】圆C： 的圆心为 ，半径 ，
因为四边形 的面积为 ，
所以当四边形 的面积最小时， 取得最小值，此时 最小，
此时 与直线 垂直，
因为 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 最小值为4，
故选：D
4．（2022秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，已知直线 与圆相离，点 在直线 上运动且位于第一象限，过 作圆 的两条切线，切点分别是 ，直线 与 轴､
轴分别交于 两点，且 面积的最小值为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出 点的坐标，求得直线 的方程，从而求得直线 的横纵截距，进而求得 面积
的表达式，结合基本不等式以及 面积的最小值求得 的值.
【详解】如图所示，设 ， ，则 ，
直线 与圆 相离，则 且 ，
，
以 为圆心，半径为 的圆的方程为 ，
整理得 ，
由 两式相减得直线 的方程为 ，
分别令 和 ，则 ，又 ， 的面积 ，
当且仅当 时取等号，则 .
故选：D
二、多选题
5．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）过点 的直线 与圆 交于 两点， 是
圆 上的两点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为
B． 面积的最大值为
C． 的最小值为
D． 的最大值为
【答案】ACD
【分析】应用点到直线的距离公式，三角形面积公式，二次函数求最值以及平面向量的应用逐项分析即可
【详解】设圆心 到直线 的距离为 ，
由题意得 ，
，所以 ，故A正确；的面积
，
当 时， ，故B错误；
设 的中点为 ，又 ，则 ，
即点E的轨迹为圆 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 的最小值为 .故C正确；
，
所以 的最大值为 ，
故D正确，
故选：ACD.
6．（2022·安徽黄山·统考一模）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概
念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲
线 就是一条形状优美的曲线，则（ ）
A．曲线 围成的图形的周长是
B．曲线 上的任意两点间的距离不超过4
C．曲线 围成的图形的面积是
D．若 是曲线 上任意一点，则 的最小值是
【答案】ACD【分析】去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而可作出曲线的图象，由图象即可判断各选项.
【详解】由 ，
当 ， 时， ，即 ，
表示圆心为 ，半径 的半圆；
当 ， 时， ，即 ，
表示圆心为 ，半径 的半圆；
当 ， 时， ，即 ，
表示圆心为 ，半径 的半圆；
当 ， 时， ，即 ，
表示圆心为 ，半径 的半圆.
曲线 的图象如下图所示：
由图象可知，曲线 由4个半圆组成，故其周长为 ，
围成的图形的面积为 ，故A正确、C正确；
曲线 上的任意两点间的最大距离为 ，故B错误；
圆心 到直线 的距离为 ，到直线 的距离 ，
若使 最小，则有 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
7．（2023秋·江苏·高三统考期末）过直线 上一点 作圆 的切线,切点分别为 ,则
（ ）
A．若直线 ,则
B． 的最小值为
C．直线 过定点
D．线段 的中点 的轨迹长度为
【答案】BC
【分析】根据题意设出点 坐标,求出直线 方程,若 ,则,斜率相等,进而求出直线方程,进而求出弦长即可;
根据直线 方程,求出定点即可;由 进而转化为与 的关系,即圆心到直线的距离与
半径的比值的最值,根据直线 过的定点即可得出选项B正误;由定点,弦 中点,圆心所形成的角为直角,即可
判断线段 的中点的轨迹,进而求出长度即可.
【详解】解:由题知,设 ,
因为过点 作圆 的切线,切点分别为 ,
所以 在以 为直径的圆上,
即 在 上,因为 是切点,所以 在 上,
故 是两圆的交点,
故两圆方程相减可得 所在的直线方程,
化简可得 ,
因为 在 上,
所以 ,
故直线 ;
关于选项A,
若 ,
则 ,
解得:
所以 ,
故圆心 到 的距离
所以
故选项A错误;
由 ,
即 ,
联立 ,解得: ,
所以 过定点
故选项C正确;
因为
所以
由于 过定点
所以 到 距离
记 中点为 ,
则 ,
,
故选项B正确;
因为 为线段 的中点, 且 在 上,
所以 ,
所以 点轨迹为以 为直径的圆,所以
周长为
故选项D错误.
故选:BC
三、填空题
8．（2023秋·山西·高三校联考阶段练习）已知圆 经过两点 ， ，且圆心在直线 上，
则圆 的方程为______.
【答案】
【分析】由已知可设圆心为 ，半径为 .根据题意得出 ，代入求解即可得出圆心、半径，
进而得出结果.
【详解】由已知可设圆 的圆心为 ，半径为 ，
则圆的标准方程为 .
又圆 经过两点 ， ，所以 ，
即 ，
解得 ，所以圆心 ， ，
所以，圆 的方程为 .
故答案为： .
9．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）若圆 与圆 外离，则实数 的
取值范围是______.
【答案】【分析】根据圆心距大于半径和求解即可.
【详解】解：将圆 化为标准形式得 ，故圆心为 ，半径为 ；
将圆 化为标准形式得 ，故圆心为 ，半径为 ；
因为圆 与圆 外离，
所以 ，即 ，即 ，解得 或 ，
所以，实数 的取值范围是
故答案为：
10．（2023秋·山东济南·高三统考期末）已知函数 ，所有满足 的点 中，有
且只有一个在圆 上，则圆 的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）
【答案】 ．（注：圆心到直线 的距离为半径即可）
【分析】根据题意结合函数的单调性和对称性得 ，进而可得直线 与圆 相切，即可写
出答案.
【详解】由函数 得 ，
所以 在定义域 上单调递增，
又因为 ，
所以 关于 对称，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所有满足 的点 中，有且只有一个在圆 上，
则直线 与圆 相切，假设圆心 ，所以 ，所以圆 可以是 ，
故答案为: ．（注：圆心到直线 的距离为半径即可）
11．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆 与圆 相外切，则圆 的标
准方程可以是__________ 写出一个满足题意的方程即可
【答案】 ．（答案不唯一）
【分析】根据题意易知圆 过坐标原点，圆 与圆 的切点即为坐标原点，则圆 的圆心在直线 上，且
其圆心在第一象限，可设圆 的圆心坐标为 ，则可求得圆 的半径，再根据圆的标准方程，即可求得结
果．
【详解】设经过坐标原点的圆 圆心为 ，半径为 ，则圆 方程： ，
圆 经过原点，则 ，即 ，
圆 ： 可化为 ，
则圆 圆心为 ，半径 ，
显然圆 经过坐标原点，
由题意，圆 与圆 相外切，
则圆 与圆 的切点即为坐标原点，则圆 的圆心在直线 上，且圆心在第一象限，
所以 ，可令 ，
则圆 的圆心为 ，
则点 到圆 圆心 的距离 ，
即 ，
则 ，则圆 方程： ，
故答案为：
四、解答题
12．（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆 上
点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）根据圆的几何性质可得出关于 的等式，即可解出 的值；
（2）设点 、 、 ，利用导数求出直线 、 ，进一步可求得直线 的方程，将
直线 的方程与抛物线的方程联立，求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合二次
函数的基本性质可求得 面积的最大值.
【详解】（1）[方法一]：利用二次函数性质求最小值
由题意知， ，设圆M上的点 ，则 ．
所以 ．
从而有 ．
因为 ，所以当 时， ．
又 ，解之得 ，因此 ．
[方法二]【最优解】：利用圆的几何意义求最小值抛物线 的焦点为 ， ，
所以， 与圆 上点的距离的最小值为 ，解得 ；
（2）[方法一]：切点弦方程+韦达定义判别式求弦长求面积法
抛物线 的方程为 ，即 ，对该函数求导得 ，
设点 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，即 ，
同理可知，直线 的方程为 ，
由于点 为这两条直线的公共点，则 ，
所以，点A、 的坐标满足方程 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
所以， ，
点 到直线 的距离为 ，
所以， ，
，由已知可得 ，所以，当 时， 的面积取最大值 .
[方法二]【最优解】：切点弦法+分割转化求面积+三角换元求最值
同方法一得到 ．
过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．
．
P点在圆M上，则
．
故当 时 的面积最大，最大值为 ．
[方法三]：直接设直线AB方程法
设切点A，B的坐标分别为 ， ．
设 ，联立 和抛物线C的方程得 整理得 ．
判别式 ，即 ，且 ．
抛物线C的方程为 ，即 ，有 ．
则 ，整理得 ，同理可得 ．
联立方程 可得点P的坐标为 ，即 ．将点P的坐标代入圆M的方程，得 ，整理得 ．
由弦长公式得 ．
点P到直线 的距离为 ．
所以 ，
其中 ，即 ．
当 时， ．
【整体点评】（1）方法一利用两点间距离公式求得 关于圆M上的点 的坐标的表达式，进一步转
化为关于 的表达式，利用二次函数的性质得到最小值，进而求得 的值；方法二，利用圆的性质， 与圆
上点的距离的最小值，简洁明快，为最优解；（2）方法一设点 、 、
，利用导数求得两切线方程，由切点弦方程思想得到直线 的坐标满足方程 ，然
手与抛物线方程联立，由韦达定理可得 ， ，利用弦长公式求得 的长，进而得到面积
关于 坐标的表达式，利用圆的方程转化得到关于 的二次函数最值问题；方法二，同方法一得到
， ，过P作y轴的平行线交 于Q，则 ．由 求得面
积关于 坐标的表达式，并利用三角函数换元求得面积最大值，方法灵活，计算简洁，为最优解；方
法三直接设直线 ，联立直线 和抛物线方程，利用韦达定理判别式得到 ，且．利用点 在圆 上，求得 的关系，然后利用导数求得两切线方程，解方程组求得
P的坐标 ，进而利用弦长公式和点到直线距离公式求得面积关于 的函数表达式，然后利用二次函数
的性质求得最大值；
