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专题18 抛物线中的参数及范围问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 为抛物线 上一点， 为焦点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，若 的周
长不小于30，则点 的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】如图，设点 的坐标为 ，准线 与 轴的交点为A，
则 ，
所以 的周长为 .得 ，令 ，则 ，
有 ，即 ，解得 (舍去)或 ，
所以 ，由 解得 .故选：A.
2．已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若在 轴负半轴上存在一点
，使得 为锐角，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意知 ，设直线 的方程为 ，由 ，得 ．设 ， ，
则 ， ，所以 ， ．
因为 为锐角，所以 恒成立，即 ，
整理得 ，所以 ，
而 ，所以 对于任意 恒成立，所以 ．
由 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．故选:A．
3．若抛物线 上存在不同的两点关于直线 对称，则实数p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设抛物线 上存在不同的两点 关于直线 对称，
设 所在的直线方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，其中 ，
设 ，则 ，则 ，
又因为 的中点在直线 ，可得 ，即 ，
将 代入 ，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .故选：B.
4．已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，斜率为 的直线 与 的两个交
点为 ， .若 ，则 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【解析】双曲线的标准方程是 ，其右焦点是 .所以 ， ，抛物线 是 ，
设直线方程为 ， ，由 消去 ，化简整理得 ，
因此 ，由 得， ， .
因为 ，所以 ，即 .，即 ，
解得 .代入 得到， ， 或 .故选：A．
5．在平面直角坐标系 中，若抛物线 的准线与圆 相切于点 ，直线 与
抛物线 切于点 ，点 在圆 上，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】抛物线 的准线方程为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，直线 与圆 相切，则 ，因为 ，解得 ，所以，抛物线 的方程为 ，
故抛物线 的准线与圆 相切于点 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 不相切，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 ，解得 ，不妨设点 在第一象限，则 ，则有 ，解得 ，
此时 ，即点 ，所以， ，
因为点 在圆 上，设点 ，则 ，
所以， .故选：C.
6．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于点 ，分别在点 处作 的两条切线，两
条切线交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】显然直线 的斜率存在，因此设直线 的方程为 ， ，
由 得 ，因此 ，故 .
因为 ，所以过 与 相切的直线方程分别为： 、 ，
因此由 得 ，即 ，所以
.
因为 ，所以 ，因此 ，
所以 的取值范围是 .故选:C.
7．已知点 在抛物线 上，且抛物线上存在不同的两点 ， ，使得直线 ，
的斜率 ， 满足 ，若线段 的中点为 ， 为坐标原点，则直线 的斜率的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为点 在抛物线 上，
所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 ．
设 ，则 ，直线 的方程为 ，
结合抛物线的方程 ，得 ，由 ，得 ，
设 ， ，则 ，即 ， ，
同理可得 ， ， ，于是 ，因此 ．
因为 且 ，所以 且 ，故 且 ，所以直线 的斜率的取值范围是 ．故选：C
8．已如抛物线 的焦点是 ，点 是其准线上一个动点，其中 ．过点
且斜率为 的直线 与抛物线 交于A， 两点，过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点．若 ，
则直线 的斜率 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由点 在准线上知， ， ，所以抛物线 的方程为 ．
依题意可设直线 的方程为 ，设直线 的方程为 ，斜率 ， ，
．由 消去 ，得 ，
所以由 知，判别式 ， ， ，
则 ．由 ，消去 ，得 ，
所以判别式 ， ， ，
所以 因为 ，所以 ，
结合点A， 在抛物线 上，则 ，作差得 ，点 ， 两点在抛物线 上，则 ，作差得 ，
所以 ，即 ，得 ，
即 ，所以 ，
即 ，因为 ， 即 ，所以 ，即 ，
所以 或 .故选：
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知点 ，抛物线 的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（ ）
A． 的最大值为
B． 的面积最小值为2
C．当 取到最大值时，直线AP与C相切
D．当 取到最大值时，
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，设 ，
显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为： ，
由 消去x得： ，则 ，对于A，显然 ， ，
当且仅当 时取等号，A正确；
对于B， 的面积 ，
当且仅当 时取等号，B错误；
对于C，由选项A知，当 最大时，点 ，此时直线 方程为 ，
由 消去x得： ， ，直线AP与C相切，C正确；
对于D，由选项C知，当 最大时， 轴，显然 ，
即 ， ，D错误.
故选：AC
10．已知 是抛物线 内一动点，直线 过点 且与抛物线 相交于 两点，则下列说法正
确的是（ ）
A． 时， 的最小值为
B． 的取值范围是
C．当点 是弦 的中点时，直线 的斜率为
D．当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
对于A，当 时，点 与 重合，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x并整理得 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，所以当 时， 的最小值为 ，A正确；
对于B，显然点 在直线 上，由选项A知，当 时，可得 ，
由点 在抛物线 内，知 ，所以 的取值范围是 ，B正确；
对于C，当点 是弦 的中点时，设 ， ，若 ，直线 的斜率不存在，
若 ，则直线 的斜率 ，C错误；
对于D，由选项C知，当 时，线段 的中垂线斜率为 ，方程为 ，
即 ，此直线过定点 ，当 时，线段 的中垂线为 ，过点 ，
所以线段 的中垂线恒过定点 ，即当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
，D正确.
故选：ABD
11．已知抛物线C： 的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为4
B．若 ，记 ，则C．过点 与C只有一个公共点的直线有且仅有两条
D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F
【解析】
如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作 的垂线，垂足为D、E、A，
对于A，由题意可知，抛物线C： 的焦点为 ，准线为 . 在抛物线上方，
，即最小值为M到准线 的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故
A正确；
对于B，由 ，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点 ，
则 ，此时切线斜率为 ，即抛物线上任一点P，
都有 ，故 ，所以B正确；
对于C,由于点 在C的下方，设过 与抛物线相切的直线切于点 ，由上可得
或 ，又知当 时该直线与抛物线只一个交点，故过点 与C只有一个公
共点的直线有三条，所以C不正确；
对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知 ，所以直线PQ过F，故D
正确.故选：ABD.
12．设 是抛物线 ： 上的两点， 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）
A．若直线 过抛物线的焦点 ，则 的最小值为1
B．有且只有两条直线过点 且与抛物线 只有一个公共点
C．若 ，则 为定值
D．若 ，则
【解析】根据题意，抛物线的焦点 坐标为 ， 设 .
A：若直线 经过点 ，显然其斜率存在，故设直线 为： ，
联立抛物线方程可得： ，
则 ，则
故 ，当且仅当 时取得最小值，故A正确.
B：当直线 的斜率不存在时，即 时，显然与抛物线交于一点；
当直线 的斜率存在时，不妨设其方程为 ，联立抛物线方程 可得：
，令 ，可得 或 ，
即直线 ，也与抛物线只有一个交点.
综上所述，满足过点 且与抛物线交于一点的直线有 条，故B错误；
C：若 ，显然 为定值，故C正确；
D：若 ，则 ，即 ，又
即 ，又 两点与 点不能重合，即 ，则 .
，当且仅当 ，且 时取得最小值，故D正确.
综上所述，正确的选项是：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知 是抛物线 上一点， 是抛物线的焦点，若点 满足 ，则 的
取值范围是 ．
【解析】由题可知，抛物线 的焦点坐标 ，且 ，
由于 是抛物线 上一点，则 ，
， ，
， 且 ，解得： ，
所以 的取值范围是 .
14．已知斜率为 的直线 与抛物线 交于 轴上方不同的两点 、 ，记直线 、 的
斜率分别为 、 ，则 的取值范围是 .
【解析】设点 、 ，由题意可知 ， 且 ，
所以， ，则 ，
所以，，因此， 的取值范围是 .
15．已知抛物线 方程为 ， 为其焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点，且抛物线在
、 两点处的切线分别交 轴于 、 两点，则 的取值范围为 ．
【解析】若直线 轴，则直线 为 轴，此时直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线 的斜率存在，易知点 ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，由韦达定理可得 ， ，
对函数 求导得 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
令 ，可得 ，即点 ，同理可得点 ，
，同理可得 ，
因此，
，
当且仅当 时，等号成立，故 的取值范围是 .
16．如图，已知抛物线 ，点 为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点
，且 与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则 的取值范围是 ．【解析】由题意， 的方程 ．
把 和 代入整理得 ，即 ．
设 、 的横坐标分别为 、 ，则 ， ．所以 ，
令 ，则
因为 ，所以 ，当 时，
所以 ，所以
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 的顶点在原点，焦点在直线 上．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 的直线m与焦点在x轴上的抛物线 交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，
求实数a的取值范围．
【解析】（1）当 时， ，此时焦点为 ，
即此时抛物线焦点在 轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为 ；
当 时， ，此时焦点为 ，
即此时抛物线焦点在 轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为 ；
（2）设过点 直线m的方程为 ，设直线m与抛物线的交点分别为
联立方程 消去 得 ，即 ， ；
AB的中点为 ；
；
则以线段AB为直径的圆的方程为
若原点O在以线段AB为直径的圆外，则 化简得 ，
即 或 .
18．已知抛物线 焦点为F，点 在抛物线上， .
(1)求抛物线方程；
(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且 是钝角，求直线斜率范围.
【解析】（1）由题意可得： ，解得 或 ，
故抛物线方程为 或 .
（2）抛物线 的焦点 ，设 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，
可得 ，解得 ，
此时 ，则 ，
若直线 过点 ，则 ，解得 ，若 是钝角，则 ，且 三点不共线，
∵ ，
则
，
解得 或 ，注意到 ，故直线斜率范围为 .
19．设点 在抛物线 上， 的焦点为 ． 、 为过 的两条倾斜角互补的直线，且 、
与 的另一交点分别为 、 ．已知直线 的斜率为 ．
(1)求直线 的斜率；
(2)记 、 与 轴的交点分别为 、 ．设 和 分别为 和 的面积，当 时，求
的取值范围．
【解析】（1）设点 、 、 ，则 ，
，同理可得 ， ，
因为直线 、 的倾斜角互补，则 ，
所以， ，因为 ，则 ，所以， ，
所以， ，即点 ，易知点 ，所以，直线 的斜率为 .
（2）设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
则 且 ，可得 且 ，
由韦达定理可得 ，可得 ，整理可得 ，解得 ，
所以， ，此时， ，同理可得 ，
所以， .
20．已知点 和点 之间的距离为2，抛物线 经过点N，过点M的
直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线 ， 上，且 ，
（O为坐标原点）.
(1)求直线l的倾斜角的取值范围；
(2)求 的值.
【解析】（1） ， ， ， ，
将 代入 ，解得 ， 抛物线C的方程为 ，
直线l过点 ，且与抛物线C有两个不同的交点，
直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为 ，由 得， ， 且 ，即 ，
且 ， ， ，
， ， 点E，F均在y轴上，
， 均与y轴相交， 直线l不过点 ， ，
k的取值范围为 且 且 ，
直线l的倾斜角的取值范围为 ；
（2）设 ， M，A，B三点共线， ， ，
， ， ， ，由（1）知， ， 且 ，
直线 的方程为 ，
令 得 ，同理可得， ，
.21．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 、 两点，且
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与抛物线 的另一
交点为 ， 的中点为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，
，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）设点 、 ，则 ，由（1）可得 ， ，
又因为直线 的方程为 ，将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以， ，因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ，
故 、 、 三点共线，则 ．
又由 ，知 ，
故 .
故 的取值范围为 ．
22．已知抛物线 的焦点为F，点M是抛物线的准线 上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；
(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且 ，求直线l在x轴上截距b的取值范围．
【解析】（1）因为抛物线的准线是 ，所以抛物线的焦点坐标 ，所以 ；
（2）因为点M是抛物线的准线 上的动点，设 ．
（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则 ．由 得 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 因为 ，所以 ①．
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设为k，则 ．设 ．
由 得 ，所以 ，
且 ，所以 （*），
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，得 ，因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，得 ，所以 ②，
代入（*）得， ，所以 ③，
由②得 ，所以 ④，
所以 ，所以 ，⑤
由④，⑤知 ，
综合（ⅰ）（ⅱ）知直线l在x轴上截距b的取值范围是 ．
