文档内容
专题 2-3 导数压轴小题归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................7
【题型一】公切线求参................................................................................................................................................7
【题型二】“过点”切线条数...............................................................................................................................10
【题型三】切线法解题.............................................................................................................................................13
【题型四】恒成立“同构型”求参......................................................................................................................16
【题型五】恒成立“虚根”型求参......................................................................................................................18
【题型六】恒成立“整数解”求参......................................................................................................................21
【题型七】换元求参型.............................................................................................................................................24
【题型八】选择主元求参型....................................................................................................................................27
【题型九】多参放缩型.............................................................................................................................................29
【题型十】多参韦达定理型....................................................................................................................................33
【题型十一】构造函数求参....................................................................................................................................36
【题型十二】极值点偏移型....................................................................................................................................40
专题训练.........................................................................................................................................................................44
讲高考
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而
，所以 ，即 ，所以 ，因此函数
在 上递增，在 上递减， 时取最大值，满足题意，即有
．
故选：B.
2．（2021·全国·统考高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，
结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可
以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.由此可知 .故选：D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数
函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基
础上，直观解决问题的有效方法.
3．（2019·天津·高考真题）已知 ，设函数 若关于 的不
等式 在 上恒成立，则 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒
成立，转化为 在 上恒成立．
【详解】∵ ，即 ，
（1）当 时， ，
当 时， ，
故当 时， 在 上恒成立；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
当 函数单增，当 函数单减，
故 ，所以 ．当 时， 在 上恒成立；
综上可知， 的取值范围是 ，
故选C．
【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综
合分析．
4．（·四川·高考真题）设直线l，l 分别是函数f(x)= 图象上点P，P 处的
1 2 1 2切线，l 与l 垂直相交于点P，且l，l 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值
1 2 1 2
范围是
A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)
【答案】A
【详解】试题分析：设 （不妨设 ），则由导数的
几何意义易得切线 的斜率分别为 由已知得
切线 的方程分别为 ，切线 的方程为
，即 ．分别令 得
又 与 的交点为
，
故选A．
考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
5．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值
点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性
质，对 进行分类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是
变号的.依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近
都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速
解答.
6．（2022·全国·统考高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且
）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与
函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图
象变换得到 的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可
得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，
在 上单调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ，
，即 故
，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出
“小题小做”，是该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出
即可，该法属于通性通法．
7．（2021·全国·统考高考真题）已知函数 ，函数 的图象在点
和点 的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则
取值范围是_______．
【答案】
【分析】结合导数的几何意义可得 ，结合直线方程及两点间距离公式可得， ，化简即可得解.
【详解】由题意， ，则 ，
所以点 和点 ， ,
所以 ，
所以 ，
所以 ，
同理 ,
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件 ，消去一个变量后，运算即可得解.
题型全归纳
【题型一】公切线求参
【讲题型】
例题1.若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线，则正实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线方程，再由两点的斜率公式，结合切点满足
曲线方程，运用导数求的单调区间、极值、最值即可得出a的取值范围.
【详解】设
切线： ，即
切线： ，即 ，
令
在 上单调递增，在 上单调递减，
所以
故选：A．例题2.已知直线 与曲线 和 分别相切于点 ， .有以下
命题：（1） ( 为原点)；（2） ；（3）当 时，
.则真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】先利用导数求斜率得到直线 的方程，可得出 ，分类讨论 的
符号，计算化简 并判断其符号即得命题①正确；由
结合指数与对数的互化，得到 ，即得 的范围，得命题
②错误；构造函数 ，研究其零点 ，再构造函数
并研究其范围，即得到 ，得到命题③正确.
【详解】 ， ，所以直线 的斜率 ，直线 的方程为
，即 ，同理根据 可知，直线 的方程为
，故 ，得 .
命题①中，若 ，由 可得 ，此时等式 不成立，矛盾；
时， ，因此，
若 ，则 ，有 ，此时 ；
若 ，则 ，有 ，此时 .
所以根据数量积定义知， ，即 ，故①正确；
命题②中，由 得 ，得 或 ，
故②错误；
命题③中，因为 ，由②知， ， 或 ，
故当 时，即 ，设 ，则 ，故
在 是增函数，而 ， ，故
的根 ，因为 ，故构造函数
， ，则 ，故 在 上单调递减，所以，故 ，故③正确.
故选：C.
【讲技巧】
(1)以曲线上的点(x，f(x))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x)；
0
③写出切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)，并化简．
0 0 0
(2)如果已知点(x，y)不在曲线上，则设出切点(x，y)，解方程组 得切
1 1 0 0
点(x，y)，进而确定切线方程．
0 0
【练题型】
1.．若函数 的图象与函数 的图象有公切线 ，且直线 与直
线 互相垂直，则实数 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】根据垂直性质可得 ，再求导根据导数的几何意义可得切线 的方程为
，再设函数 与直线 切于点 ，列式求解即可
【详解】由题知， ，令 ，又 ，解得 ，因为 ，所以
切线 的方程为 . ，
设函数 与直线 切于点 ，
所以 ，故 ，即 ， ，解得 或
.故选：D
2.直线 与曲线 相切，且与圆 相切，则 （ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】先由直线与曲线 求出 ，再由直线与圆相切即可求出
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，
则 ，解得 ，故切点坐标为 ，将 代入直线 中，解得 ，
所以直线方程为 ，即 ，
又 与圆 相切，
则 ，故选：B
3.．若函数 与 的图象存在公共切线，则实数a的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别设公切线与 和 的切点 ，
，根据导数的几何意义列式，再化简可得 ，再求导分析
的最大值即可
【详解】 ， ，设公切线与 的图象切于点 ，与曲
线 切于点 ，
∴ ，故 ，所以 ，
∴ ，∵ ，故 ，
设 ，则 ，
∴ 在 上递增，在 上递减，∴ ，
∴实数a的最大值为e。故选：B.
【题型二】“过点”切线条数
【讲题型】
例题1.若过点 可作曲线 三条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设切点为 ，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点 ，
转化为方程有3个根，构造函数 ，利用导数可知函数的极值，根据题意
列出不等式组求解即可.
【详解】设切点为 ，
由 ，故切线方程为 ，
因为 在切线上，所以代入切线方程得 ，
则关于t的方程有三个不同的实数根，
令 ，则 或 ，
所以当 ， 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
且 时， ， 时， ，所以只需 ，解得 故选：A
例题2.已知函数 ，若过点 存在2条直线与曲线 相切，请写出满
足条件的一个t值：______．
【答案】 ##0.5（不唯一）
【分析】先求得切线方程，根据切线过点（t，0），得到 ，令
，根据过点 存在2条直线与曲线 相切，利用导数法求解.
【详解】解：设切点坐标为 ，因为 ，所以，则 ，
所以切线方程为： ，因为切线过点（t，0）,所以 ，
即 ，令 ，则，
当 时，，当 时，，
且当 时， ，当 时， ，所以当 时，函数 取得极大
值 ，因为过点 存在2条直线与曲线 相切，
所以 ，故答案为： （不唯一）
【讲技巧】
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一
定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公
共点．
【练题型】
1.已知函数 ，过点 作 的切线，切线恰有三条，则a的取值范围是
________．
【答案】
【分析】根据切点，可得切点处的切线方程，根据两点间斜率公式可得 的表达式，构造
函数 ，利用导数处理 的单调性，根据单调性和极限值画图，
根据图像即可求解.
【详解】设切点为 ， ，所以切线斜率 ，所以
，
化简得. ，即该方程有3个解，即 与 有3个
交点．，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 ， ； ；当 ， ；
当 ， ；当 ， ，所以 的草图为.
所以要保证3个交点，即 ．故答案为: ．
2.已知函数 ，过点 作曲线 的切线，则可作切线的最
多条数是______．
【答案】3
【分析】分析可得 不是切点，设切点 ，根据导数的几何意
义，求得切线的斜率k，根据点 和点 坐标，可求得切线斜率
k，联立即可得答案.
【详解】∵点 不在函数 的图象上，∴点 不是切点，
设切点为 （ ），
由 ，可得 ，
则切线的斜率 ，
∴ ，
解得 或 或 ，故切线有3条.
故答案为：3.
3.已知函数 .过点 作曲线 两条切线，两切
线与曲线 另外的公共点分别为B、C，则 外接圆的方程为___________.
【答案】 (或
)
【分析】求f(x)的导数，设切点为 ，根据直线点斜式方程求出切线方程，将A的
坐标代入求出切点坐标，联立切线方程和y=f(x)求得B、C坐标，设△ABC外接圆方程为
，代入A、B、C三点坐标得方程组，解方程组即可得到圆的方程．【详解】∵ ，
∴
．
则 ，设y=f(x)切线的切点为 ，
则切线方程为： ，
∵切线过A(-1，0)，∴
即
当 时， ，即 ，即 ，解得
．
∴ ， ， ，
．
①当切点为A 时，切线方程为 ，
由 解得 或 ，则不妨设B(5，6)；
②当切点为(2，-3)时，切线为 ，即 ，
由 解得 或 ，则不妨设C(2，-3)；
故 ， ， ，设△ABC外接圆为 ，
则 ，解得 ，
∴所求圆的方程为 ．
故答案为： ．
【题型三】切线法解题
【讲题型】
例题1.已知过原点的直线与函数 的图像有两个公共点，则该直线斜率的取
值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】画出函数图象并分别求出 和 两段图象的切线方程，由交点个数即可求
出斜率的范围.
【详解】设过原点与 相切的于点 ，
，则斜率为 ，此切线方程为 ，
将原点带入得 ，即斜率为 ，当斜率 时函数 与过原点的直线有两个公
共点，
设过原点与 相切的于点 ，
，则斜率为 ，此切线方程为 ，
将原点带入得 ，即斜率为 ，
当斜率 时函数 与过原点的直线有两个公共点，故选：B.
例题2.已知函数 ，若 有且只有两个整数解，则k的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将问题化为 有且只有两个整数解，利用导数研究 的性质，
并画出 与 的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.
【详解】由题设， 定义域为 ，则 可得 ，
令 ，则 ，
所以 时 ，即 递增，值域为 ；
时 ，即 递减，值域为 ；
而 恒过 ，函数图象如下：要使 有且只有两个整数解，则 与 必有两个交点，
若交点的横坐标为 ，则 ，
所以 ，即 .故选：C
【点睛】关键点点睛：首先转化为 有且只有两个整数解，导数研究函数性质，
再应用数形结合法判断 、 交点横坐标范围，即可求参数范围.
【讲技巧】
涉及到交点或者零点的小题题型，函数图像通过求导，大多数属于凸凹型函数，则可以
用切线分隔（分界）思维来求解。切线，多涉及到“过点”型切线，
【练题型】
1.已知函数 ， .若 的图象与 轴有且仅有两个交点，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 的图象与 轴有且仅有两个交点，转化为函数 与 的
图象在 上有且仅有两个交点，再利用数形结合去求解实数 的取值范围.
【详解】 ， 的图象与 轴有且仅有两个交点，
等价于函数 与 的图象在 上有且仅有两个交点.
当直线 与 的图象相切时，
令 ，得 ，即切点为 ，此时 ；
当 的图象过点 时， ，
所以要使函数 与 的图象在 上有且仅有两个交点，
则需 .故选：D.
2..已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值为
___________.
【答案】8
【分析】设直线 与曲线 相切于点 ，根据导数的几何意义先
求出 ，进而得到关系 ，再由均值不等式可得出答案.
【详解】设直线 与曲线 相切于点
由函数 的导函数为 ，则
解得
所以 ，即
则
当且仅当 ，即 时取得等号.
故答案为：8
3.．对任意的 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的最小
值为__________.
【答案】 ##0.5
【分析】将问题转化为 的图象在函数 的图象上方相切,利用函
数的导数和切线的斜率的关系,求出切点坐标即可得解.
【详解】因为关于 的不等式 恒成立，
所以 的图象在函数 的图象上方相切.
当m>0时, 的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上.
由图可知当正数m最小时,直线 与 在 内相切.
对函数 求导得到 .令 ,解得
x=0.所以 ,所以切点的坐标为 ，
把点 代入 得： .故答案为： .
【题型四】恒成立“同构型”求参【讲题型】
例题1.若关于 的不等式 对于任意 恒成立.则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【分析】利用同构将不等式转化为 ，再构造函数设 ，研究函数的单
调性，求出函数的最小值，即可得到答案；
【详解】易知 ，将原不等式变形可得： ，
设 ，则 ，
例题2.已知当 时，不等式 恒成立，则正实数a的最小值为
___________.
【答案】
【分析】将问题转化为 ，设 ，根据函数的单调性求出
，令 （ ），利用导数求出其最小值，从而可求出实数a的取
值范围，进而可求得正实数a的最小值
【详解】由题意得，原不等式可变形为 ，即 ，
设 ，则当 时， 恒成立，由 ，得
，
当 时， ，当 时， ，，所以 在 上单调递减，在
上单调递增，
因为 ， ，所以 ， ，因为 在 上单调递增，所以要使
，只要 ，
两边取对数得， ，因为 ，所以 ，令 （ ），则
，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，所以正实数a的最小值为 ，故答案为：
【讲技巧】
同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结
构相同，再构造函数进行求解.
【练题型】
1.若关于 的不等式 对于任意的 恒成立，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】【分析】问题转化为 ，设 ，根据函数的单调性得到 ，设
，求出函数的最小值，求出 的取值范围即可.
【详解】由题意知， ，将原不等式变形可得 ，即
，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
当 时，原不等式显然成立；当 时， 在 上单调递增，
，设 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增， 的最小值为 ，
故 ，故答案为： .
2.已知对任意给定的 ，存在 使 成立，则实数 的取值范围为：
__________．
【答案】
【分析】通过构造新函数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解参数的取值范围
【详解】 ，
当 即 时， ，∴ 显然成立，
当 即 时，构造函数 ，∴
显然 在 上单调递增，∴
设 ，令 在 上 ， 上
∴ ∴ ，故实数m的取值范围为 .
故答案为：
3.若对任意 ，恒有 ，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式 两边同时乘以 ，等价变形为
，利用 ， ，将不等式变形为
，构造函数 ，不等式变形为
，利用导数判断函数 在 上单调递增，从而确定 在
恒成立，即 在 恒成立.构造新函数 ，利用导数求函数
的最大值，确定 的取值范围，即可.
【详解】由题意可知，不等式 变形为 .设 ，
则
.
当 时 ，即 在 上单调递减.
当 时 ，即 在 上单调递增.
则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最小值点.
所以 ，即 在 上单调递增.
若使得对任意 ，恒有 成立.
则需对任意 ，恒有 成立.
即对任意 ，恒有 成立，则 在 恒成立.
设 则 .
当 时， ，函数 在 上单调递增
当 时， ，函数 在 上单调递减
则 在 上有且只有一个极值点 ，该极值点就是 的最大值点.
所以 ，即 ，则实数 的最小值为 .故选：D
【题型五】恒成立“虚根”型求参
【讲题型】
例题1.已知当 时，关于 的方程 有唯一实数解，则 值所在
的范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，所以 ，令 ，则
，再令
因为关于 的方程 有唯一实数解，所以
，选B.
例题2.设函数 （其中 为自然对数的底数），则函数 的零点个数
为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】
利用导函数，得出函数单调性，分析函数极值与0的大小关系即可求解.
【详解】
由题 ，所以 在 单调递增，
， ，所以 的零点 ，且 ，
且当 时， ，当 时， ，
即 在 单调递减，在 单调递增，
的极小值
， ，
，
当 时， ；当 时， ；
所以共两个零点.故选：C
【讲技巧】
在研究函数时用导数求极值研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点构造等式
或者方程作分析，进行合适的等量代换或者合适的换元消元消参，考查了分析推理能
力，运算能力，综合应用能力，难度很大.
【练题型】
1.已知 ，且 时， 恒成立，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ， ，原不等式转化为 成立，利用导数研究函
数的最小值，利用最小值不小于0，可求出a的范围，从而求其最小值.
【详解】设 ， ，
下面先求 ，且 ；
当 时， ，设 ， ， 在
增，故 ，
当 时 ，故 ，满足题设；
当 时， ， ，则 使 ，
即 ，
且 在 减，在 增，则 ，
记 ，则 ， ，
在 减，由 ，即 ，知 ，即 ，
故 ，设 ，则 ，故 在 减，故 ，即 ，因此 的最小值是 .
2.当 时，不等式 有解，则实数m的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先令 ，构造导数证得在 上存在 使得 ，即 满
足题意，故排除D；再利用一次函数的单调性证得当 时， 在
上恒成立，即可排除BC，实则至此已经可以选择A选项，然而我们可以进一步证
得当 时，题设不等式也成立，由此选项A正确.
【详解】当 时，题设不等式可化为 有解，
令 ，则问题转化为 有解，
，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，故 在 上存在唯一零点 ，且 ，两边
取自然对数得 ，
所以当 时， ，即 ，故 单调递减；当 时， ，
即 ，故 单调递增；
所以 ，即在 上存在
使得 ，即 有解 ，
即 满足题意，故排除D.
由上述证明可得 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，故 在 上单调递增；
所以当 时， ，即 ，故 ，
即当 时， 在 上恒成立，显然题设不等式无解，矛盾，故排
除BC；
当 时， ，即 ，故 ，
又 ，故 ，即 至少有一解 ；
综上： ，即选项A正确.
故选：A.
3.已知函数 在 上是减函数，则a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用参变分离转化为 在 的恒成立问题，再利用导函数
研究 的最小值，结合函数同构法得到 ，结合函数单
调性，得到最小值，进而求出a的取值范围.
【详解】由题 在 上恒成立，即 在上恒成立；设 ，则有 ；令 ，得
，即 .由于 在 上是增函数，则存在
，使得 ，即 ，此时 .由于当
时， ， 在 上是减函数；当 时， ， 在 上是增
函数，所以当 时， ，则有 ，故 ，
故选：B.
【题型六】恒成立“整数解”求参
【讲题型】
例题1.设函数 ,其中 ，若存在唯一整数 ，使得 ，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
；
， 在 单调减，则 时，
；
时， ，则原题转换为存在唯一整数
，使得 ；
，令
+ 0 -
极大值
因为 为整数，则 ，而 ，则
所以 ，解得 ，即 选B.
例题2.已知函数 ，关于 的不等式 有且只有三个整数解，则
实数 的取值范围是
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
对函数求导可得 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 ，故 的最大值 ， 时
时，故在 时， ，在 时， ，所以 时，由不
等式 得 或 ，而 或 ，而 的解集
为 ，整数解有无数多个，不合题意； 时，由不等式 ，得
，解集为 ，整数解有无数多个，不合题意； 时，由不等式
得 ，所以 的解集为 无整数解．若不等式
有且只有三个整数解， 在 递增，有 递减，而 ，
，所以三个正整数为 ，而 ，综上，实数 的取值范围是
．故本题答案选 ．
【讲技巧】
不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值 或 恒成立.
涉及到不等式整数解的问题时，要充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数
解相邻整数点函数值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力
【练题型】
1.若关于 的不等式 的解集为 ，且 中只有一个整数，则实
数 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
试题分析：设 ，由题设原不等式有唯一整数解，即 在直线
下方， 递减，在 递增，故
， 恒过定点 ，结合图象得： ，即
，选Ｂ．2..已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有 ( 是自然对
数的底数)，且 ，若关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数
的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
由 得 ，即 .设
，由 得 ，从而 .判断函数 的单调
性，数形结合求实数 的取值范围.
【详解】 ，即 .
设 . ,
.由 ，得 ；由 ，得 或
，
函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，如图所示
当 时， .又 ，且
时， ，由图象可知，要使不等式 的解集中恰有两个整数，
需满足 ，即 .所以实数 的取值范围为 .故答案为： .
3.在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底
数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为 ，分别研究两个函数的性质，确定 的取值
范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小 的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由 ，
化简得： ，
设 ， ，则原不等式即为 .
若 ，则当 时， ， ，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴ .
∵ ， ，∴ .
当 ，即 时，设 ，
则 .
设 ，则 在 单调递减，所以
，所以 在 单调递减，∴
，
∴当 时， ，∴ 在 上为减函数，即
，
∴当 时，不等式 恒成立， 原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则 ，即 ，
解得 .则实数 的取值范围为 .
【题型七】换元求参型
【讲题型】
例题1.设 ， ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最
小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式 在 上恒成立，令 ，转化为
在 上恒成立，令 ，用导数法求得最大值 ，转化为 ，再令 ，得到
，求其最大值即可.
【详解】因为不等式 在 上恒成立，所以不等式
在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，令 ，
所以 ，若 ，则 ， 在 递增，当 时，
，不等式不成立，
故 ，当 时， ，当 时， ，所以当 时，
取得最大值 ，所以 ，所以
，
所以 ，令 ，则 ，所以
，
当 时 ，当 时， ，所以当 时， 取得最小值
，所以 的最小值是 故选：D
例题2.若函数f(x)＝ ax2－ex＋1在x＝x 和x＝x 两处取到极值，且 ，则实数a的取
1 2
值范围是________.
【答案】
【解析】对 求导后令 ,再根据 是导函数的两根数形结合分析两根的关系求
解.
【详解】函数 ,所以 ,
若函数 在 和 两处取到极值,则 和 是函数
的两个零点,
即是方程 ,即 的两个根,
所以函数 的图象与直线 有两个不同的交点,且交点的横坐标分别为 ,
由于 ,所以当 或 时, ；
当 时, ；故 的减区间有 和 ,增区间有 ,
且当 时, ,作出 的草图：由图可知： ,且 ,因为 ,即
,取 ,并令 ,则 所以 ,解得 ,此时
,
故 ,即实数 的取值范围是 .故答案为：
【练题型】
1.已知函数 ， ，若 ， ，且 ，则 的最大
值为______．
【答案】
【分析】通过已知条件可以将 转化为 ，即 ，所以
，令 ，通过对 求导讨论其单调性即可求出 的最
大值.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ．因为
，所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递
增，又 ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以
， ．令 ， ，所以 ，令 ，
解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减，所以 ，所以 的最大值为 ．
故答案为： .
【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值
时，要先求函数 在 内所有使 的点，再计算函数 在区间内所
有使 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
2.设正实数x，则 的值域为_____．
【答案】[0， ]．
【分析】利用换元法，原函数的值域即为函数 的值域，根据导数和函数的最值
的关系即可求出．
【详解】令lnx＝t，则x＝et，∴g（t） ，令t2＝m，m≥0，∴ ，∴h′（m） ，令h′（m）＝0，解的m＝1，
当0≤m＜1时，h′（m）＞0，函数h（m）单调递增，
当m≥1时，h′（m）＜0，函数h（m）单调递减，
∴h（m）max＝h（1） ，∵f（0）＝0，当m→+∞时，h（m）→0，
∴ 的值域为[0， ]，故答案为：[0， ]．
【题型八】选择主元求参型
【讲题型】
例题1.已知实数 、 、 满足 ， 下列命题中：① ；②
；③ ；④ 的最小值是 ，所有真命题为__________．
【答案】①②③④
【分析】
构造函数 ，利用导数分析函数 的单
调性，可得出 ， ，再由 、 、 为函数
的三个零点可判断出命题①、②、③的正误，由题中条件得出 ，
，代入 可判断出命题④的正误.
【详解】
令 ，则 . ，
， ，
如下图所示：
易知函数 的三个零点分别为 、 、 ，由于 ，由图象可知， ，
， ，则命题①、②、③正确；
由题中条件可知 ， .
因此 ，
命题④也为真命题，故答案为：①②③④.例题2..若a，b为实数，且 ， ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
构造函数 ，根据其在 单调性，得到两边含有 的不等式组，结合
的范围、基本不等式，应用导数研究 的最值，即可求 的范围.
【详解】
设 ，故 上 单调减，∴ ，
令 ，则 ，即 在 上单调减，在 上单调增，
有 ，令 ，则 ，即 在 上单调减，在
上单调增，
而 ， ，所以 ，综上，有
故答案为： .
【讲技巧】
根据等式结构构造新函数求判断，并将参数转化为函数的零点或者最值，充分利用导数
研究函数的单调性，考查函数方程等思想，
【练题型】
1.已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】由 ，先将 变形为 ，运用基本不等式可得最小值，再
求 的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.
【详解】解：因为 ， ， ，且 ，所以
。因为 ，所以
，
当且仅当 时，取等号，所以。
令 ，则 ，令 ，则
，
所以函数 在 上单调递增，所以
所以
则所求最小值为 故答案为：
2.．若a，b为实数，且 ， ，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】构造函数 ，根据其在 单调性，得到两边含有 的不等式组，
结合 的范围、基本不等式，应用导数研究 的最值，即可求 的范围.
【详解】设 ，
故 上 单调减，
∴ ，
令 ，则 ，
即 在 上单调减，在 上单调增，
有 ，
令 ，则 ，
即 在 上单调减，在 上单调增，
而 ， ，所以 ，
综上，有
故答案为： .
【点睛】本题考查了构造函数法求代数式的范围，利用导数研究函数最值，结合已知条件
求目标式的范围.
【题型九】多参放缩型【讲题型】
例题1.已知 ，若 恒成立，则 的取值范围是
_________.
【答案】
【分析】先根据导数和函数的最值的关系，以及 恒成立，可得当 时，
，代入 ，构造函数 ，
利用导数求出函数的最值即可.
【详解】∵ ，∴ ，
当 时， 恒成立，则 单调递增， 不恒成立，
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ ，∵ 恒成立，∵ ∴
，
∴ ，设
∴ ，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
∴ ，∴ ，故答案为：
例题2.已知 ，若存在实数 使不等式 成立，则m的最大
值为_______．
【答案】
【分析】画出 和 的图象，结合图象可知， 取得最大值时， 与
相切，利用导数的几何意义得答案.
【详解】依题意 ，存在实数 使不等式 成立，
， ，令 ，则存在实数
使不等式 ，成立.
和 的图象如下图所示，结合图象可知， 取得最大值时， 与
相切，
由于 和 关于直线 对称，所以 取得最大值时， 与 相
切于直线 （切点相同），如图所示. ，设切点为 ，则
斜率为 ①.，设切点为 ，则斜率 ，则 ，
，
将 代入①得 ，即 ，所以 故答案为：
【练题型】
1.已知函数 ，满足 恒成立的最大整数 为__________．
【答案】2
【分析】已知条件等价于 恒成立，临界条件为 与 有一个交
点，即两曲线相切，利用导数的几何意义，求出切点，构造函数 ，利用零点存
在性定理求出 ，利用对勾函数求出m的取值范围，从而得到答案.
【详解】函数 的定义域为 ，
结合指数，对数函数的图像变换知，
当 时， 恒成立，故考虑 的情况
等价于 ，临界条件为 与 有一个交点，
设两曲线相切，切点的横坐标为 ， ，
则利用导数的几何意义可知 ，解得： ，即
令 ，求导 ，故 单调递增，又 ，
由零点存在性定理知，存在 ，使得 ，即
，令 ，则
则 ， ，所以函数 在 上单调递减，
.
所以最大整数 为2.故答案为：2
2.已知不等式 恒成立，则 的最小值为______.
【答案】
【分析】令 ，求得 ，求得函数 的单调性与最大值，
得到 ，得到 ，设设 ，
设 ，得到 ，利用导数求得函数 最大值，即可求解.
【详解】令 ，其中 ，可得 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，无最大值，不符合题意；
当 时，令 ，即 ，解得 ，当 时，
，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减，所以当 时，函数 取得极大
值，也是最大值，
且 ，因为 恒成立，即
恒成立，
即 ，可得 恒成立，设
，
设 ，可得 ，则 ，令 ，即 ，
解得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值，也是最大值，且 ，
所以 ，即 的最小值为 .故答案为： .3.已知不等式x−3lnx＋1≥mlnx＋n（m，n∈R，且m≠−3）对任意实数x恒成立，则 的
最大值为
A、−2ln2 B、−ln2 C、1−ln2 D、2−ln2
解答：解：令f（x）＝x−3lnx＋1−mlnx−n，则f′（x）＝1−(m＋3)/x（x＞0），
若m＋3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→−∞，不合题意；
∴m＋3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m＋3，
当x∈（0，m＋3）时，f′（x）＜0，当x∈（m＋3，＋∞）时，f′（x）＞0，
∴当x＝m＋3时，f（x）有最小值，则f（m＋3）＝m＋3−3ln（m＋3）＋1−mln（m＋
3）−n≥0，
即n−3≤m＋4−（m＋3）ln（m＋3）， 令g（x）＝
当x∈（−3，−1）时，g′（x）＞0，当x∈（−1，＋∞）时，g′
（x）＜0，
∴当x＝−1时，g（x）有最大值为−ln2．即 的最大值为−ln2故选：B．
【题型十】多参韦达定理型
【讲题型】
例题1.已知函数 在区间 上有零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 为函数 的两个零点，其中 ， ，由根与系数的关系得
， .表示则 ，再运用基本不等式可得 ，令
，求导，得出在所给区间内导函数的正负，原函数的单调性，可得选项.
【详解】不妨设 为函数 的两个零点，其中 ， ，则 ，
.
则 ，
由 ， ，所以 ，可令 ，
当 ， 恒成立，所以 .
则 的最大值为 ，此时 ， ，
所以 ， 时， ， .所以 的取值范围是 .故选：
B.
例题2.已知 在 上恰有两个极值点 ， ，且 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得导函数在区间 有两个零点，根据二次函数的性质可得 ，
由根与系数的关系可得 以及 ，求出 的表达式，将 用 表示，
表示为关于 的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.
【详解】由题意得 ，令 ，得 ，
由题意知 在 上有两个根 ， ，∴ ，得
．
由根与系数的关系得 ，由求根公式得 ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ．则
，
令 ，则 ．设 ，则 ，
易知 在 上单调递增，∴ ，∴当 时，函数 为减函数，
∴ ，且 ，
∴ ，故选：D.
【讲技巧】
求导过程中，涉及到极值点等求解计算，会有对应的一元二次方程，根无法直接求（或
者计算量大），可以借助韦达定理进行消参换元，或者整体构造韦达定理形式代换。
【练题型】
1.设函数 的两个极值点分别为 ，若
恒成立，则实数 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】
由函数 有两个极值点分别为 ，可知 不单调，利用导数
求得 的范围，运用韦达定理可得 ，作差 ，再由条件，
结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数 ，通过求导，
判断单调性可得 ，即可得到 的范围.
解：∵函数 有两个极值点分别为 ， 的定义域为 ，
，令 ，其判别式 .
当 时， 在 上单调递减，不合题意.
当 时， 的两根都小于零，在 上， ，则 在
上单调递减，不合题意.
当 时， ，设 的两个根 都大于零，令
，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 分别在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的取值范围是 .则 ，
，.
若 恒成立，则 ，
，
不妨设 ，则 .又 ，
①恒成立.
记 ，
记 ， 在 上单调递增，
在 上单调递减，
且易知 .又 ，∴当 时， ；当 时，
.
故由①式可得， ，代入方程 ，
得 ，（ 在 上递增）.又 ，
∴ 的取值范围是 .故答案为： .
2.已知函数 （其中 ， ），当 时 恒
成立，则 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】将 拆分为 、 分别研究单调性，令 可得
，讨论该方程 、 情况下参数a、b、c的关系或范围，进而利用导
数求目标式的范围.
【详解】令 ，则 ，
∴ 时 ， 时 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，故 ，
若 ，则 在 上递减，在 上递增，
令 ，即 ， ，
1、 即 时，在 上 的两个零点为 ，同时它们恰好为 的零点，∴ ，即 ，又 ，则 ，
此时， ，令 ，则 ，
∴ 递减且 时 ，则 ，故 .
2、 ，即 时，在 上 ，此时只需 即 即可.
此时， ，令 ，则 ，即 在 递减，
∴ ，而 ，故 .综上，
【题型十一】构造函数求参
【讲题型】
例题1.已知定义域为 的函数 的导函数为 ，且 ，若
，则函数 的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】采用构造函数法，同乘 得 ，变形得 ，
即 ，由此可得 表达式，将 求出具体解析式，再结合导数研
究 增减性，画出大致图象，即可求解.
【详解】依题意， ，故 ，则
，即 ，故 ，令 ，
则 ，解得 ，故 ，
故 ；令 ，则 ，当 时，
，当 ， ，故 ，故当
时， ，当 时， ；作出函数 的大致图象如图所
示；观察可知， 与 有2个交点，即函数 有2个零点，
故选：B．例题2.已知奇函数 的导函数为 ，且 在 上恒有
成立，则下列不等式成立的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，由已知可得出 在 上为增函数，再根据函数的
奇偶性的定义得出 为偶函数，由此逐一判断选项可得答案.
【详解】构造函数 ，由 在 上恒有 ，
， 在 上为增函数，又由
， 为偶函数， ， ，
， ，故A错误.
偶函数 在 上为增函数， 在 上为减函数， ，
， ，
，故B正确；
， ， ，
，故C错误；
， ， ， ，故D错误.故选：
B.
【讲技巧】
1.构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：
（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘 移项
后就得到除法对应导数公式；
（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，
通过二阶导数判断一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.2.几种导数的常见构造：
对于 ，构造
若遇到 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
对于 或 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
【练题型】
1.已知函数 的导函数为 ，任意 均有 ，且 ，若函数
在 上有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，求出导数，利用 可得 ，进而可
得 ，即得 ，利用导数讨论 的变化情况，即可求出 的范围.
【详解】解：设函数 ，则 ，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
即 ， ， ，
则 在 单调递减，在 单调递增， ，
要使函数 有两个零点，等价于曲线 与 有两个交点，
，所以实数 的取值范围为 .故选:D.
2.）若定义域 的函数 满足 且 ，若 恒
成立，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件构造函数 ，再利用导数研究函数单调性，进而解决不等
式 恒成立问题即可.
【详解】函数 满足 ， ，则 ，可设 ，c为常数，故 ， ，
，故 ， ， ，
令 ， ，则 ，
时， ，故 单调递减； 时， ，故 单调递增，
在 时取得最小值 ， 恒成立，
在 成立，故 在 上递增，又 ，
所以不等式 即 ，根据单调性得 ，解得 .
故选：D.
【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数单调性，解决不等式恒成立问题，属于
难题.
3.设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，先研究函数的奇偶性，再利用导数研究函数的单调性，
然后将 转化为 ，即 ，最后求出 的取
值范围即可.
【详解】令 ， ，
因为 为奇函数，所以 ，
则函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
因为当 时， ，所以 ，
则函数 在 上单调递减，则函数 在 上是奇函数且单调递减，
又因为 等价于 ，即 ，
所以 ，且 ，所以 .故选：D.
【题型十二】极值点偏移型
【讲题型】
例题1..已知 ，若 ，且 ，则 与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
【答案】A【分析】
先求导求出 的极大值点为1，再比较 和 的大小得出 ，
再根据当 时， ， 单调递减可得 ．
【详解】
由题， ,令 则有 ，所以当 时，
当 时， ，所以,在 时 取得极大值和最大值.
又当 趋近于正无穷时, 正向趋近于0,且 ,所以,如果存在
使得 ,不失一般性令 ,则 , ，
对于任意的 ,分别取两点 、 ，
现在比较 和 的大小. ，
令分子部分为 , .
求导有 ,
当 时, ;当 时,又 ， 故单调递增且大于0.所以,在
上 是单调增函数,且 ,故 ,即 ，
因为 ， ， 在 上单调递减且 ,所以在 点的
右侧必能找到一点 ,使得 ,且 ，故 ，令
,则有 ，故选A．
例题2.已知方程 有两个不同的实数根 ， （ ），则下列不等式不成立的
是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题设，将问题转化为 与 在 上有两个交点且横坐标分别为 ，
（ ），利用导数研究 的单调区间，进而可得 且 有
，令 则 ，构造中间函数并利用导数研究单调性，进
而判断 的符号，即可确定A、B的正误；构造 ，利用导数
研究单调性，判断C、D的正误.
【详解】
由题意， ，即 与 在 上有两个交点且横坐标分别为 ，
（ ），
∵ ，而 ，
∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ 的极小值也是最小值为 ，而 ， ， ，
∴要使题设成立，则 且 有 .
令 ，则 ，∴ ，
若 且 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，即 在 上单调递减，
∴ ，
∴ 且当 时 单调递增，故在 右侧存在 ，使
，即 ，若 ，
∴ ，且 恒成立，即 ，故A、B正确；
令 且 ，则 ，即 ，
∴ ， ， 递减； ， ， 递增；
∴ ，故 单调递增，
∴ ，即 ，易知C正确，D错误；
故选：D
【练题型】
1.已知函数 有两个零点 、 ， ，则下面说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．有极小值点 ，且
【答案】C
【分析】先证明出对数平均不等式 ，由题意得
出 ，将两式作差结合对数平均不等式可判断出A、B选项的正误，利用导
数分析函数 的单调性，结合该函数的极值以及该函数有两个零点可判断出选项的
正误，求出极值点，将 中两等式相加可判断D选项的正误.
【详解】先证明对数平均不等式 .
先考虑不等式 ，设 ，
即证 ，即证 ，令 ，即证不等式 .
构造函数 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，当 ， 且 时， ；
接下来考虑不等式 ，设 ，
即证 ，即证 ，设 ，即证不等式 .
构造函数 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，
当 ， 且 时，有 .
即当 ， 且 时， .
对于C选项， ， .
①当 时， 对于任意 恒成立，此时函数 在 上单调递增，该函
数最多有一个零点；
②当 时，令 ，得 .
当 时， ，当 时， .
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以，函数 在 处取得极小值，
由于该函数有两个零点，则 ，
即 ，解得 ，C选项错误；
对于A、B选项，由于函数 有两个零点 、 ，且 ，
由于 ，则 ， ，且有 ，
则 ，两个等式两边取自然对数得 ，
两式相减得 ， ，
由对数平均不等式得 ，即 ，
， ，A、B选项都正确；
对于D选项，由C选项可知， ，
将 中两个等式相加得 ，
，即 ，D选项正确.
故选C.
2.已知 ，若 ，且 ，则 与2的关系为
A． B． C． D．大小不确定
【答案】A【分析】先求导求出 的极大值点为1，再比较 和 的大小得出
，再根据当 时， ， 单调递减可得 ．
【详解】由题， ,令 则有 ，所以当 时，
当 时， ，所以,在 时 取得极大值和最大值.
又当 趋近于正无穷时, 正向趋近于0,且 ,所以,如果存在
使得 ,不失一般性令 ,则 , ，
对于任意的 ,分别取两点 、 ，
现在比较 和 的大小. ，
令分子部分为 , .
求导有 ,
当 时, ;当 时,又 ， 故单调递增且大于0.所以,在
上 是单调增函数,且 ,故 ,即 ，
因为 ， ， 在 上单调递减且 ,所以在 点的
右侧必能找到一点 ,使得 ,且 ，故 ，令
,则有 ，故选A．
3.已知方程 有两个不同的实数根 ， （ ），则下列不等式不成立的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设，将问题转化为 与 在 上有两个交点且横坐标分别
为 ， （ ），利用导数研究 的单调区间，进而可得 且
有 ，令 则 ，构造中间函数并利用导数研
究单调性，进而判断 的符号，即可确定A、B的正误；构造
，利用导数研究单调性，判断C、D的正误.
【详解】由题意， ，即 与 在 上有两个交点且横坐标分别
为 ， （ ），
∵ ，而 ，
∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
∴ 的极小值也是最小值为 ，而 ， ， ，
∴要使题设成立，则 且 有 .
令 ，则 ，
∴ ，若 且 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，即 在 上单调递减，
∴ ，
∴ 且当 时 单调递增，故在 右侧存在 ，使
，即 ，若 ，
∴ ，且 恒成立，即 ，故A、B正确；
令 且 ，则 ，即 ，
∴ ， ， 递减； ， ， 递增；
∴ ，故 单调递增，
∴ ，即 ，易知C正确，D错误；
故选：D
练
一、单选题
1．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求导函数，函数 有两个极值点，等价于 有
两个零点，等价于函数 与 的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它
们的图象．由图可求得实数 的取值范围．
【详解】由题意， ,令 得 ，
函数 有两个极值点，等价于 有两个零点，
等价于函数 与 的图象有两个交点，
当直线 与 的图象相切时，设切点为 ，则切线方程为
，故 且 ，解得 ，
所以当 时，直线 与 的图象相切，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）,由图可知，当 时， 与的图象有两个交点．则实数 的取值范围是 ．故选：B
2．若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将原不等式转化为 进一步转化为
构造并讨论 的单调性与最值即可求解.
【详解】因为 ，所以
所以 所以 令 ，则
即 所以
令 ，令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减， ，
要使 成立，即 ，则当且仅当 ，
所以 解得 ，所以 ，故A正确； ，故B错
误；
，故C错误； ，故D错误.故选:A.
3．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【答案】D
【分析】转化为 的图象在 图象的上方，画出 的图象，
数形结合得到 ，再求出 在 的切线的斜率，得到 ，从而得到实数
的取值范围.
【详解】 在 上恒成立 在 上恒成立 的图象在图象的上方，其中 ，画出 与y=ax的图
象，如下：
要想 在 上恒成立，则 ；
令 ，则 ， ，若 为 在 的切线，则
，
故要想 在 恒成立，则 ，综上： .故选：D
4．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，原不等式可整理为 ，求导得到 的单
调性，构造函数 ，求导，根据单调性得到 ，然后分
和 两种情况解不等式即可.
【详解】不等式 可整理为 ，
令 ，定义域为 ，则原不等式可看成 ，
，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在
上单调递减， 上单调递增，
令 ，则 ，令 ，则 ，令 ，
则 ，所以 在 上单调递增， 上单调递减，且 ，所以
，即 ，即 ，
当 时， ， ，所以 ，解得 ；
当 时， ， ，所以 ，不成立；
综上可得，不等式 的解集为 .故选：D.【点睛】根据不等式形式构造新函数进而判断新函数的单调性是解题的关键.
5．函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】函数 定义域为 ，由函数 在
上不单调，则 在 上有零点，即方程 在 上有
根，所以 ，进而求解.【详解】函数 定义域为
，
由题意，函数 在 上不单调，所以 在 上
有零点，即方程 在 上有根，即方程 在 上有根，
所以 ，即 ，所以实数 的取值范围为 .故选：C.
6．函数 与函数 的图像至少有两个公共点，关于 的不等式
有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义得出 的取值范围，再求出 的最大值，进而得出
实数 的取值范围.
【详解】令 ，设直线 的方程为 ，且与 切于 ，
，则 ，显然 ，则 ，因为 ，所以
，解得 ，由对称性可知，与 相切的直线
的斜率 ，因为函数 与函数 的图像至少有两个公共点，所以
，
不等式 等价为 ，令 ，即函数 在
上单调递减，即 ，即 .故选：A7．已知函数 有且仅有一个极值点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为 与 的图象在 上只有一个交点，且交点左右
的符号不同，分类讨论 ， 与 三种情况，结合图像即可
求得结果.
【详解】由题可得，函数 的定义域为 ， ，
若函数 有且仅有一个极值点，则 在 上有且仅有一个变号零点，
令 ， ，则问题转化为函数 与 的图象在 上只有一个
交点，且交点左右 的符号不同，
①当 时， ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，符合题意；
②当 时，若函数 ， 的图象在 上只有一个交点，则函数 ，
的图象相切，
作出函数 和 的大致图象，如图1所示，数形结合可得交点左右
的符号相同，不符合题意；
③当 时，无论m为何值，函数 与 的图象在 上都有且只有一个交点，
作出函数 和 的大致图象，如图2所示，数形结合可得交点左右
的符号不同，符合题意；综上，m的取值范围为 .故选：A.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结
合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
8．已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先得到 的奇偶性及 ，再对 ， 分类讨论，结
合函数的单调性及 的正负分类讨论，求出m的取值范围.
【详解】 定义域为 ，
当 时， ，此时 无意义，故 舍去，
又 ，所以 为奇函数，
且 ，所以 在 上单调递增，
变形为 ，
画出 的图象，如图所示：其中 ，
当 时， ， ，则
根据函数在 上单调递增， ，
所以 ，即 ， 恒成立，
因为 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，只需 ，不等式两边乘以 得： ，
解得： 或 ，因为 ，所以 ；当 时， ，
当 时，则 均在函数图象右支上，
要想 ，则 ，即 在 上成立，
令 ， 恒成立，
所以 单调递增，所以 ，
故 ，但此不等式不成立，故舍.
若 ，此时 ，而当 时， ，故与题设矛盾，舍.
当 时，则 均在函数图象右支上，
要想 ，则 ，即 在 上成立，
由前述讨论可得 ，所以 ；
综上：m的取值范围是 故选：D
【点睛】导函数求解参数的取值范围，要研究函数的单调性及极值，最值情况，本题的关
键点在于 这一重要性质，再分类讨论，就迎刃而解了.
二、多选题
9．已知当 时，不等式 恒成立，则正实数 的值可以为（ ）
A．1 B． C．e D．
【答案】ABC
【分析】原不等式可变形为 ，令 则 对于
恒成立，利用导数判断 的单调性可得 ，转化为 ，令
，
利用导数求 最小值可得 的最大值即可求解.
【详解】 由题意，原不等式可变形为 ，
即 ，设 ，则当 时， 恒成立，
因为 ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ， ，因为 在 上单调递增，
所以要使 ，只需 ， 取对数，得 ，
因为 ，所以 ．令 ，因为 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
则 ，故正实数a的最小值为 ,则正实数 的值可以为 .
故选: .
10．若函数 有且仅有两个零点 ， ，则下列说法正确
的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】BC
【分析】求导，令 得到 或0，根据 有两个零点， 得到
， ，然后根据 分 和 两种情况分析 的大小即可.
【详解】 ，令 ，解得 或0，
因为 有两个零点，所以 ，因为 ，所以 ，
，整理得 ，
当 时， 的图象如下所示，，所以 ，则 ，故C正确，
D错；
当 时， 的图象如下所示，
因为 ，所以 ，则 ，故A错，B正确.
故选：BC.
11．函数 和 有相同的最大值 ，直线 与两曲线 和
恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】利用导数的性质，根据最大值的定义，结合数形结合思想、指数与对数恒等式进
行求解即可.
【详解】 ，
当 时，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，即 ；
当 时，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所
以当 时，函数 有最小值，没有最大值，不符合题意，
由 ，
当 时，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，即 ；
当 时，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时，函数 有最小值，没有最大值，不符合题意，
于是有 ，因此选项AB正确，
两个函数图象如下图所示：由数形结合思想可知：当直线 经过点 时，此时直线 与两曲线 和
恰好有三个交点，
不妨设 ，
且 ，
由 ，又 ，
又当 时， 单调递增，所以 ，
又 ，又 ，
又当 时， 单调递减，所以 ，
，
，于是有 ，所以选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用数形结合思想，结合等式 是解题的关键.
12．已知函数 有两个零点 ，且 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B． 在 上单调递减
C． D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据参变分离构造函数 ，根据 的性质，即可判断A；求导得
，结合 即可判断B；构造函数 ，利用导数
求解 的范围，即可判断C，根据 与 的大小关系结合 的单调性即可
判断D．
【详解】对于A，由 等价于 ，
令 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，所以 在 单调递增；在 单调递减，
当 时， 取极大值 ，
当 ；当 时， ， ，
则 ，故A正确．
对于B， ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
因为 ，则 ，所以 在 单调递增，故B错误；
对于C，由A可知 ，当 时， ，
当 时，
令 ，
，
，
，
在 上单调递增， ，
，则 ，
又 ， ，
又 在 上单调递增， ，
， ，
综上 ，故C错误；
对于D， 在 单调递增，在 上单调递减，且 ，
，
， ，
， ，
，故D正确，
故选：AD．
三、填空题
13．正实数 ， 满足 ， ，则 的值为____________．
【答案】1
【分析】由题意得 ， ，所以 ， 是方程 的两个解，设函数 ，结合函数的单调性，零点存在定理判断 在
上只有一个零点，即方程 只有一个解，可得 ，即可得出答案．
【详解】解法一：由 ，得 ，又因为 ，
所以 ， 是方程 的两个解，
设函数 ， ，
所以函数 在 上单调递减，
又 ， ，
则函数 在 上只有一个零点，即方程 只有一个解，
所以 ，∴ ．
解法二：因为 ，所以 ， ，即
，
设函数 ，当 时， ，所以函数 在 上
单调递增，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：1．
14．若关于x的不等式 恒成立，则a的取值范围是_____.
【答案】
【分析】原式变形得 ，构造 ，采用数形结合法，
结合导数的几何意义即可求解.
【详解】 变形得 ，即 ，
构造 ，易知 为单减函数， ，要使
恒成立，
即 恒在 上方或恰有公共交点，如图：
由图可知 时显然不成立，当 时， 与 恰有一共切点时，为临界条件，
设共切点为 ， ， ，
则满足 ，整理得 ，即 或 （舍去），当 时， ，解得 ，显然要使 恒成立，即 .
故答案为：
15．已知函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为
______.
【答案】
【分析】先利用同构得到 ，换元后得到 ，参变分离得到
有两个不同的根，构造 ，求导得到其单调性，极值和最值情况，得到函数
图象，数形结合得到 ，解出答案即可.
【详解】由题意得 有两个不同的根，
即 有两个不同的根，
变形为 ，即 ，
令 ，则 ，
其中令 ， ，
恒成立，故 在 单调递增，
得到 ，
故 有两个不同的根，
令 ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
且当 时， ，当 时， ，
画出 的图象如下图：
故 时， 有两个不同的根，解得： .
故答案为： .
【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求
解，本题难点是 变形得到 ，即
从而构造 进行求解.
16．已知函数 ， ，若 ， ，且 ，则 的
最大值为______．
【答案】
【分析】通过已知条件可以将 转化为 ，即 ，所以
，令 ，通过对 求导讨论其单调性即可求出 的最
大值.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ．因为
，所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递
增，又 ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以
， ．令 ， ，所以 ，令 ，
解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递
减，所以 ，所以 的最大值为 ．
故答案为： .
【点睛】在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值
时，要先求函数 在 内所有使 的点，再计算函数 在区间内所
有使 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．
结束
