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专题 2-4 构造函数以及切线归类
目录
题型01切线求参...................................................................................................................................................................1
题型02 求“过点”型切线方程..........................................................................................................................................2
题型03“过点”切线求参......................................................................................................................................................3
题型04“过点”切线条数的判断..........................................................................................................................................3
题型05 由切线条数求参......................................................................................................................................................4
题型06 公切线......................................................................................................................................................................4
题型07 特殊构造：幂积型构造..........................................................................................................................................5
题型08 特殊构造：幂商型构造..........................................................................................................................................6
题型09 特殊构造：ex的积型构造......................................................................................................................................6
题型10 特殊构造：ex的商型构造......................................................................................................................................7
题型11特殊构造：对数型构造...........................................................................................................................................8
题型12特殊构造：正弦型构造...........................................................................................................................................9
题型13特殊构造：余弦型构造.........................................................................................................................................10
题型14复合型构造.............................................................................................................................................................11
高考练场..............................................................................................................................................................................12
题型 01 切线求参
【解题攻略】
求曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的切线方程：
0 0
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x 处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处切线的斜率．
0 0 0
(2)切线方程为：y＝y＋f′(x)(x－x)．
0 0 0
1、设切点（或者给出了切点）：P(x，y)
0 0
2、y=f(x)
0 0
3、y＝f′(x) k=f′(x)
0
4、切线方程：y-y ＝k(x－x)
0 0
【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数 的图象在 处的切线与直线垂直，则 的值为（ ）
A． B．2或 C．2 D．1或
【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线 在点（0，1）处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数a的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线
在点 处的切线与直线 平行，则
___________.
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线 在点
处的切线方程为 ，则 ___________.
【变式1-3】已知函数 ，函数 （ 且 ）的图象过定点 ，若曲线
在 处的切线经过点 ，则实数 的值为______．
题型 02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
1、设切点（或者给出了切点）：P(x，y)
0 0
2、y=f(x)
0 0
3、y＝f′(x) k=f′(x)
0
4、切线方程：y-y ＝k(x－x)
0 0
5、过（a,b）,代入y-y ＝k(x－x)，得
0 0
【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线 ，过点
作曲线的切线，则切线方程 ．
【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线 ，过点
作曲线的切线，则切线的方程为 .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数 过原点
的切线方程是_______.
【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点 作曲线 的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点
作曲线 的切线，则切线方程是__________．
.题型 03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线 过点 处
的切线与曲线 相切，则
【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数 ，过点
作与 轴平行的直线交函数 的图象于点 ，过点 作 的切线交 轴于点 ，则 面积
的最小值 .
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数 ，过点 且平行于 轴的直线
与曲线 的交点为 ，曲线 过点 的切线交 轴于点 ，则 面积的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线 ，过点 作该曲线的两
条切线，切点分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【变式1-3】.直线 是曲线 的切线，则 ______.
题型 04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
“过点型”切线条数判断：
1. 有几个切点横坐标，就有几条切线。
2. 切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知
是奇函数，则过点 向曲线 可作的切线条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【典例1-2】已知曲线 ，则过点 可向 引切线，其切线条数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数
，过点 可作曲线 切线的条数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数 ，则过点
（0，0）可作曲线 的切线的条数为( )A．3 B．0 C．1 D．2
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点
且与曲线 相切的直线的条数有（ ）条.
A．0 B．1 C．2 D．3
题型 05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点 可作出曲线 的三条切线，则实数 的取值范围是___________
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线 有两条过
坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．
【变式1-1】过点 作曲线 的切线，若切线有且只有两条，则实数 的取值范围是
___________.
【变式1-2】若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点 作曲线 的切线有且仅有两条，则实数a
的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
题型 06 公切线
【解题攻略】
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数 ，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即
可。
但在这里需要注意 x 和 x 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x >0
1 2 1
【典例1-1】已知直线 是函数 与函数 的公切线，若 是直线与函数 相切的切点，则 ____________．
【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线 ： 既是曲线 的切线，又是曲线
的切线，则 （ ）
A．0 B． C．0或 D． 或
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线 是曲线 的切线，也是 的切线，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线 过点 的切线也是曲线
的切线，则 ；若此公切线恒在函数 的图象上方，则a
的取值范围是 .
【变式1-3】若曲线 与曲线 存在2条公共切线，则a的值是_________．
.
题型 07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
幂函数积形式构造：
1.对于 构造
2.对于 构造
【典例1-1】设定义在 的函数 的导函数为 ，且满足 ，则关于x的不等
式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若
，则 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知定义在R上的偶函数 ，其导函数为 ．当 时，恒有 ，
若 ，则不等式 的解集为
A． B．C． D．
【变式1-2】.已知奇函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，当 时，有
，则不等式 的解集为( )
A． B． C． D．
【变式1-3】已知奇函数 的导函数为 ，当 时， ，若 ，
，则 的大小关系正确的是
A． B． C． D．
题型 08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
幂函数商形式构造：
1.对于 构造
2. 对于 构造
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是
定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f
（x）﹣xf（1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）
【典例1-2】（2020届高三1月）》函数 在定义域 内恒满足 ，其中
为 导函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数 是定义在 上
的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在 上的函数 的导函数为
，若 ， 则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在
上 的 函 数 满 足 ， 其 中 是 函 数 的 导 函 数 若
，则实数m的取值范围为A． B． C． D．
题型 09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
ex函数积形式构造：
1.对于 构造
2. 对于 构造
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数 是定义在
上的可导函数， ，且 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在 上的函数 的导函
数为 ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数 的定义域为R， 是其导函数，若
， ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设 是定义在 上的函数 的导函数，且 ．
若 （e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，满足
．当 时， ．当 时， ，且 ，其中 是自
然对数的底数．则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型 10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
ex
函数商形式构造：
1. ，2.
【典例1-1】定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，且 为偶函数，
，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
【变式1-1】已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为 ，f(0)=1，且 ,则 的解集是
A． B． C． D．
【变式1-3】已知定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型 11 特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数 满足 （其中 是
的导数），若 ， ， ，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数 是奇函数 的导函数， 时，
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 是奇函数 的导函数，且满足
时， ，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，导函数为
，不等式 恒成立，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数，当
时， ，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型 12 特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
三角函数形式构造：
1. ，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数 的导函数为 ，若 为奇函数，且当
时恒有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在 上的函数， 为其导
函数，且 恒成立，则A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设 是函数 的导函数，当 时，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数 是定义在 上的奇函数．当
时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知 是定义域为 的奇函数 的导函数，当
时，都有 ， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型 13 特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
三角函数形式构造：
1. ，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数 的定义域为 ，其
导函数为 ，当 时，有 成立，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数 定义在 上， 是它的导函数，
且 在定义域内恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数，
且对于任意的 ，都有 (其中 是函数 的导函数)，则下列不等式成
立的是
A． B．
C． D．
【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数 的定义域为 ，其导函数是 .有
，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．题型 14 复合型构造
【典例1-1】已知定义在 上的函数 关于 轴对称，其导函数为 ，当 时，不等式
.若对 ，不等式 恒成立，则正整数 的最大值为
A． B． C． D．
【典例1-2】定义在 上的偶函数 的导函数为 ，若对任意的实数 ，都有 恒成
立，则使 成立的实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】设函数 时定义在 上的奇函数，记其导函数为 当 时， 恒成立，
则关于 的不等式 的解集为
A． B． C． D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数 定义域为R，导函数为 ， 满足下列条件：
①任意 ， 恒成立，② 时， 恒成立，则关于t的不等
式： 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知函数 ，其中 为自然对数的底数.若 是
的导函数，函数 在区间 内有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
高考练场
1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线 : ，函数
，若 存在切线与 关于直线 对称，则 __________．
2.过点 作曲线 的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线 上一点 且与曲线在 点处的切线垂直的直线的方程
为A． B．
C． D．
4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点 可作曲线 的两条切线，则点 可以是（ ）
A． B． C． D．
5.已知直线 是曲线 与 的公切线，则 __________.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线 是
曲线 与 的公切线，则 ______.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数 是定义在区
间 上 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 ， 且 满 足 ， 则 不 等 式
的解集为
A． B．
C． D．
8. 是定义在非零实数集上的函数， 为其导函数，且 时， ，记 ,
, 则（ ）
A． B． C． D．
9.（内蒙古赤峰二中 2021-2022学年高三 4月月考数学试题）已知定义在 上的可导函数 满足：
，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．不确定
10.定义在 上的函数 的导函数为 ，若 ，则不等式 的解集
是
A． B． C． D．
11.已知 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数， 且满足:
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在 上的函数，
为其导函数，且 恒成立，则A． B．
C． D．
13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数 的定义域为 ，且 是
的导函数，若对任意 ，都有 则满足 的 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数 的导函数为 ，
若 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
