文档内容
专题2.14 对数与对数函数-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022春•凉州区期末）计算： − 1 （ ）
2lg√5−lg4 2=
A．10 B．1 C．2 D．lg5
【解题思路】利用对数的运算法则求解．
1
【解答过程】解：原式＝lg5+ lg4＝lg5+lg2＝1，
2
故选：B．
2．（5分）（2022•海宁市模拟）设a，b R，则“lga+lgb＝0”是“ab＝1”的（ ）
A．充分不必要条件 ∈ B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】直接利用对数的运算和充分条件和必要条件的应用求出结果．
【解答过程】解：当lga+lgb＝0时，整理得ab＝1；
当ab＝1时，lga和lgb不一定有意义，
故“lga+lgb＝0”是“ab＝1”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（5分）（2020秋•仙游县校级期中）函数f（x）=log (6+x−2x2 )的单调递增区间是（ ）
1
2
1 1 3 1 1
A．[ ，+∞) B．[ ，2) C．(− ， ] D．(−∞， ]
4 4 2 4 4
【解题思路】先根据对数函数的真数大于零求定义域，再把复合函数分成二次函数和对数函数，分别在
定义域内判断两个基本初等函数的单调性，再由“同增异减”求原函数的递增区间
3 3
【解答过程】解：要使函数有意义，则6+x﹣2x2＞0，解得− ＜x＜2，故函数的定义域是（− ，2）
2 2
3 1 1
令t＝﹣2x2+x﹣6则函数t在（− ， ）上递增，在[ ，2）上递减，
2 4 4
又因函数y =log t在定义域上单调递减，
1
2
=log 1
故由复合函数的单调性知y 1（6+x﹣2x2）的单调递增区间是[ ，2）．
2 4
故选：B．4．（5分）（2022春•阿拉善左旗校级期末）已知x＝90.91，y＝log 0.1，z＝log 0.2，则（ ）
2 2
A．x＞y＞z B．x＞z＞y C．z＞x＞y D．z＞y＞x
【解题思路】已知x＝90.91＞90＝1，y＝log 0.1＜log 0.2＝z＜0，可判断x，y，z．
2 2
【解答过程】解：因为x＝90.91＞90＝1，y＝log 0.1＜log 0.2＝z＜0，所以x＞z＞y．
2 2
故选：B．
5．（5分）（2022春•湖南期末）已知函数f（x）＝log （x﹣b）（a＞0且a≠1，a，b为常数）的图象如
a
图，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＜﹣1 B．a＞0，﹣1＜b＜0
C．0＜a＜1，b＜﹣1 D．0＜a＜1，﹣1＜b＜0
【解题思路】利用对数函数的单调性得到0＜a＜1，再利用函数图象与x轴的交点在正半轴上及平移变
换得到﹣1＜b＜0．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝log （x﹣b）为减函数，∴0＜a＜1，
a
当log （x﹣b）＝0，x﹣b＝1，∴x＝b+1，
a
又∵函数图象与x轴的交点在正半轴上，
∴x＝1+b＞0，即b＞﹣1，
又∵函数图象与y轴有交点，∴b＜0，
∴﹣1＜b＜0，
故选：D．
6．（5分）（2022•丽水开学）已知函数f（x）＝log （x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的图象过定点（s，t），
a
正数m、n满足m+n＝st，则（ ）
1 1 1
A．m+n＝6 B．m2+n2≤32 C．mn≥16 D． + ≥
m n 2
【解题思路】令对数的真数等于1，求得s、t的值，可判断A，再结合基本不等式可判断B，C，D．
【解答过程】解：令x﹣1＝1得，x＝2，此时y＝4，
所以函数f（x）的图象过定点（2，4），所以s＝2，t＝4，所以m+n＝8，故A错误，
又因为m，n为正数，
(m+n) 2
所以mn≤ =16，当且仅当m＝n＝4时，等号成立，故C错误，
4
又m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝64﹣2mn≥32，当且仅当m＝n＝4时，等号成立，故B错误，
1 1 1 1 1 1 n m 1 √ n m 1
+ = （ + ）（m+n）= （2+ + ）≥ ×(2+2 ⋅ )= ，当且仅当m＝n＝4时，等号
m n 8 m n 8 m n 8 m n 2
成立，故D正确，
故选：D．
7．（5分）（2022春•工农区校级期末）已知函数f（x）＝ln（1+x2），则满足不等式f（2x﹣1）＜f（3）
的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，2） D．（2，+∞）
【解题思路】可得函数f（x）＝ln（1+x2）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，原不等式
可化为|2x﹣1|＜3，解不等式可得．
【解答过程】解：∵函数f（x）＝ln（1+x2），
∴f（﹣x）＝ln（1+x2）＝f（x），
∴函数f（x）＝ln（1+x2）为R上的偶函数，
∵y＝lx在（0，+∞）单调递增，
t＝1+x2在（0，+∞）单调递增，
∴函数f（x）＝ln（1+x2）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，
∴不等式f（2x﹣1）＜f（3）等价于|2x﹣1|＜3，
∴﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，
故选：C．
1 =log 1
8．（5分）（2020•绿园区校级模拟）设函数f（x）＝log
4
x﹣（ ）x，g（x） 1x﹣（ ）x的零点分别
4 4 4
是x ，x ，则（ ）
1 2
A．x x ＝1 B．0＜x x ＜1 C．1＜x x ＜2 D．x x ＞2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 =log x
【解题思路】由题意可得x 1 是函数y＝log 4 x的图象和y＝（ ）x的图象的交点的横坐标，x 2 是y 1
4 4
的图象和函数y
1 log
＝（ ）x的图象的交点的横坐标，根据 1x
2
＞log
4
x
1
，求得0＜x
1
•x
2
＜1，从而得出结论．
4 41
【解答过程】解：由题意可得x 是函数y＝log x的图象和y＝（ ）x的图象的交点的横坐标，
1 4
4
=log x 1
x 2 是y 1 的图象和函数y＝y＝（ ）x的图象的交点的横坐标，且x 1 ，x 2 都是正实数，如图所示：
4 4
故有log x ＞log x ，故 log x −log x ＜0，∴log x +log x ＜0，
1 2 4 1 4 1 1 2 4 1 4 2
4 4
∴log （x •x ）＜0，∴0＜x •x ＜1，
4 1 2 1 2
故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2021秋•泉州期末）若log m＝log n，则（ ）
2 4
A．n＝2m B．log n＝log m
9 3
C．lnn＝2lnm D．log m＝log （mn）
2 8
【解题思路】根据对数的运算性质分别判断即可．
【解答过程】解：log m＝log n log n 1log n＝log
2 4 = 2 = 2 2 √n
log 4 2
2
∴m=√n，即n＝m2，
1
∴log m＝log √n= log n＝log n，lnn＝lnm2＝2lnm，
3 3 3 9
2
1 1
log （mn）= log （mn）= log m3＝log m．
8 2 2 2
3 3
故选：BCD．
10．（5分）（2022春•南平期末）若m＞0，n＞0，函数y＝log （x+m+n）的图象过点（3，1），则下列
4
结论正确的是（ ）
1 1 1
A．√m+√n≥√2 B．mn≥ C．2m−n≥ D．m2+n2≥
4 2 2【解题思路】利用对数函数的图象和性质求出m+n＝1，再利用基本不等式求最值即可．
【解答过程】解：∵函数y＝log （x+m+n）的图象过点（3，1），
4
∴1＝log （3+m+n），∴3+m+n＝4，∴m+n＝1，
4
1
A，∵ (√m+√n) 2=m+n+2√mn≤2（m+n）＝2，当且仅当m＝n= 时取等号，∴√m+√n≤√2，∴A错
2
误，
1 1
B，∵m＞0，n＞0，∴1＝m+n≥2√mn，∴mn≤ ，当且仅当m＝n= 时取等号，∴B错误，
4 2
1
C，∵m＞0，n＞0，m+n＝1，∴0＜m＜1，0＜n＜1，∴﹣1＜m﹣n＜1，∴2m﹣n＞2﹣1= ，∴C正确，
2
1 1
D，∵m2+n2≥2mn，∴2（m2+n2）≥（m+n）2＝1，∴m2+n2≥ ，当且仅当m＝n= 时取等号，∴D正
2 2
确，
故选：CD．
11．（5分）（2022春•汕头期末）若a＞b＞1，x＝log b，y＝log a，z＝ab，则下列结论一定正确的是（
a b
）
A．x＜y B．y＜z C．x＜z D．y＞z
1
【解题思路】由对数函数的单调性可得出 0＜x＜1，从而y= ＞1，则y，x关系可判断，由指数函数
x
的单调性得到z，x关系取特殊数字可得z，y的大小不定．
【解答过程】解：由a＞b＞1，则0＝log 1＜log b＜log a＜1，即0＜x＜1，
a a a
1
∵x＝log b，y＝log a，∴y= ＞1，所以y＞x，故A正确，
a b
x
∵z＝ab＞a1＝a＞1，所以z＞x，故C正确，
取a＝4，b＝2，满足a＞b＞1，∵y＝log 4＝2，z＝42＝16，此时z＞y，
2
取a＝2，b 1，满足a＞b＞1，∵y=log 2=4， 1 ，此时z＜y，∴z，y的大小不定．
=24
2
1
4
z=224 ＜22=4
故选：AC．
12．（5分）（2022春•开福区校级期末）已知函数f(x)=log (2−x)−log (x+4)，则下列结论中正确
1 2
2
的是（ ）
A．f（x）的定义域是[﹣4，2]
B．y＝f（x﹣1）是偶函数C．f（x）在区间[﹣1，2）上是增函数
D．f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称
【解题思路】由对数的运算性质及真数大于 0，可判断A；由偶函数的定义可判断B；由函数的单调性
可判断C；由f（2﹣x）与f（x）的关系可判断D．
【解答过程】解：对于A，由题意可得函数f(x)=log (2−x)−log (x+4)=−log [(2−x)(x+4)]，
1 2 2
2
由2﹣x＞0，x+4＞0可得﹣4＜x＜2，
故函数定义域为（﹣4，2），故A错误；
对于B，y＝f（x﹣1）＝﹣log [（3﹣x）（x+3）]的定义域为（—3，3），
2
设g（x）＝﹣log [（3﹣x）（x+3）]，
2
所以g（﹣x）＝﹣log [（3+x）（﹣x+3）]＝g（x），
2
即y＝f（x﹣1）是偶函数，故B正确：
对 于 C ，
f(x)=−log [(2−x)(x+4)]=log (−x2−2x+8)=−log [−(x+1) 2+9]=log [−(x+1) 2+9]，
2 2 2 1
2
令t＝﹣（x+1）2+9，可得y =log t，
1
2
∵当x
[﹣1，2）时，t＝﹣（x+1）2+9是减函数，外层函数y=log
t也是减函数，
1
2
∈
所以函数f（x）在区间[—1，2）上是增函数，故C正确；
对于D，f（﹣2﹣x）＝﹣log [（x+4）（2﹣x）]＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，故D
2
正确．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022春•雁塔区期末）计算：1.10+eln2﹣0.5﹣2+lg25+2lg2＝ 1 ．
【解题思路】进行指数和对数的运算即可．
【解答过程】解：原式＝1+2﹣4+lg100＝﹣1+2＝1．
14．（5分）（2021秋•保定期末）已知a＝log 3，b＝log 11， 1，则a，b，c的大小关系是 b ＞ a ＞
2 4 c=23
c ．（用“＞”连接）
【解题思路】根据对数的换底公式得出 ，根据对数函数的单调性可得出b＞a，然后可根据
b=log √11
23 3
对数的运算得出a＞ ，并得出c＜ ，然后即可得出a，b，c的大小关系．
2 2
【解答过程】解： ， 3 3，c 1 3，
b=log √11＞log 3=a log 3＞log 22= =23＜
2 2 2 2 2 2
∴b＞a＞c．
故答案为：b＞a＞c．
15．（5分）（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝log （x+3），若m＞0，且对 x [0，m]，都
9 1
∀ ∈
1
x [0，m]，使得f（x ）= ，则m＝ 7 8 ．
2 1 f(x )
2
∃ ∈
1
【解题思路】先求出y＝f（x ）与y = 的值域，再由等式恒成立与存在性问题得两值域的包含关系，
1 f(x )
2
从而建立不等式组，最后解不等式组即可得解．
【解答过程】解：∵f（x）＝log （x+3）在[0，+∞）上单调递增，
9
1
∴x [0，m]时，y＝f（x ）的值域A＝[ ，log （m+3）]，
1 1 9
2
∈
1 1
∴x [0，m]时，y = 的值域B＝[ ，2]，
2 f(x ) log (m+3)
2 9
∈
1
又对 x [0，m]，都 x [0，m]，使得f（x ）= ，
1 2 1 f(x )
2
∀ ∈ ∃ ∈
∴A B，
⊆
1 1
{ ≤
∴ log
9
(m+3) 2 ，∴{log
9
(m+3)=2，∴m＝78．
log (m+3)≤2 m＞0
9
m＞0
故答案为：78．
16．（5分）（2021秋•天元区校级期中）关于函数y＝log （x2﹣2x+3）有以下4个结论：
2
①该函数是偶函数；
②定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）；
③递增区间为[1，+∞）；
④最小值为1；
其中正确结论的序号是 ③④ ．
【解题思路】结合对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，复合函数单调性“同增异减”的原则，分别分析四个结论的真假，可得答案．
【解答过程】解：函数y＝f（x）＝log （x2﹣2x+3）的定义域为R，故②错误；
2
f（﹣x）＝log （x2+2x+3）≠f（x），故f（x）不是偶函数，故①错误；
2
令t＝x2﹣2x+3，则y＝log t，
2
由t＝x2﹣2x+3的单调递增区间为[1，+∞）；
y＝log t为增函数，
2
故函数y＝log （x2﹣2x+3）的递增区间为[1，+∞），故③正确；
2
当x＝1时函数取最小值为1，故④正确；
故正确结论的序号是：③④．
故答案为：③④.
四．解答题（共6小题，满分70分）
5 4
17．（10分）（2021秋•滕州市期末）（1）求值： ；
3333+log 20−log 25
2 4
（2）若log （a+1）＝1，求log 2+log （a﹣1）的值．
3 a a
【解题思路】（1）利用对数的运算性质求解．
（2）先求出a的值，再利用对数的运算性质求解即可．
5 4
【解答过程】解：（1）原式 + ．
=33 3+log 20−log 5=27+log 4=29
2 2 2
（2）由log （a+1）＝1，可知a+1＝3，
3
故a＝2，
所以log 2+log （a﹣1）＝log 2+log 1＝1+0＝1．
a a 2 2
18．（12分）（2021秋•武功县校级期末）已知函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）的图象过点（9，2）．
a
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（3x﹣1）＞f（﹣x+5）．
【解题思路】（1）根据函数f（x）的图象过点（9，2）列方程求出a的值即可；
（2）根据f（x）的单调性，把不等式化为3x﹣1＞﹣x+5＞0，求出解集即可．
【解答过程】解：（1）因为函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）的图象过点（9，2），
a
所以log 9＝2，解得a＝3，
a
所以f（x）＝log x；
3
（2）因为f（x）＝log x是定义域（0，+∞）上的单调递增函数，
3
所以不等式f（3x﹣1）＞f（﹣x+5）等价于3x﹣1＞﹣x+5＞0，3
解得 ＜x＜5，
2
3
所以不等式f（3x﹣1）＞f（﹣x+5）的解集是( ，5)．
2
1
19．（12分）（2021秋•海南期末）已知函数f（x）＝log x（a＞0且a≠1）在定义域上单调递增，且在[ ，
a
2
4]上的最小值为﹣1．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求满足0＜f（f（x））＜1的x的取值范围．
1
【解题思路】（Ⅰ）由f（x）＝log x在定义域上单调递增，求出a＞1，由f（x）在[ ，4]上的最小值
a
2
为﹣1，利用对数函数的性质能求出a．
（Ⅱ）由0＜log x＜1，得1＜x＜2，由0＜f（f（x））＜1，得1＜f（x）＜2，由此能求出x的取值范围．
2
【解答过程】解：（Ⅰ）因为f（x）＝log x在定义域上单调递增，所以a＞1，
a
1
因为f（x）在[ ，4]上的最小值为﹣1，
2
1 1
所以f( )=log =−log 2=−1，
2 a2 a
所以a＝2．
（Ⅱ）若0＜log x＜1，则1＜x＜2，
2
故由0＜f（f（x））＜1，可得1＜f（x）＜2，
再由1＜log x＜2，可得2＜x＜4，
2
所以x的取值范围是（2，4）．
20．（12分）（2021秋•雨花区校级月考）已知函数f（x）＝lgx．
x +x f(x )+f(x )
（1）证明：f( 1 2 )≥ 1 2 ；
2 2
（2）比较log 3，log 4，log 5的大小，并说明理由．
2 3 4
x +x f(x )+f(x )
【解题思路】（1）利用对数运算以及均值不等式，能证明f( 1 2 )≥ 1 2 ；
2 2
x +x f(x )+f(x )
（2）利用f( 1 2 )≥ 1 2 ，得到log
x
（x+1）＞log
x+1
（x+2），由此能比较log
2
3，log
3
4，
2 2
log 5的大小．
4
【解答过程】解：（1）证明：由已知得x ＞0，x ＞0，
1 2x +x f(x )+f(x ) x +x 1
∵f( 1 2 )≥ 1 2 lg 1 2≥lg√x x （x +x ）≥√x x ，
2 2 2 1 2 2 1 2 1 2
⇔ ⇔
1
∵ （x +x ）≥√x x 成立，当且仅当x ＝x 时取等号，
2 1 2 1 2 1 2
x +x f(x )+f(x )
∴f( 1 2 )≥ 1 2 ；
2 2
x +x f(x )+f(x )
（2）由（1）知f( 1 2 )≥ 1 2 ，
2 2
不妨令x ＝x，x ＝x+2，且x＞1，则x ≠x ，
1 2 1 2
x+x+2 f(x)+f(x+2)
∴f（ ）＞ ，
2 2
∵当x＞1时，f（x）＝lgx＞0，f（x+2）＝lg（x+2）＞0，且f（x）≠f（x+2），
f(x)+f(x+2)
∴由基本不等式得 ＞√f(x)f(x+2)，
2
即lg（x+1）＞√lgx⋅lg(x+2)，
两边平方得lg（x+1）•lg（x+1）＞lgx•lg（x+2），
∴由换底公式得log （x+1）＞log （x+2），
x x+1
∴log 3＞log 4＞log 5．
2 3 4
21．（12分）（2021秋•渭滨区期末）已知函数f（x）为函数y＝ax（a＞0，a≠1）的反函数，f（5）＜f
（6），且f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）求a的值；
（2）解关于x的不等式f（2x）＜f（1﹣x）．
【解题思路】（1）由反函数的定义可知f（x）＝log x（a＞0，a≠1），结合题目条件可得a＞1，f
a
（x）在（0，+∞）上单调递增，进而可得log 2a﹣log a＝1，再利用对数的运算性质即可求出a的值．
a a
（2）根据函数f（x）的单调性求解．
【解答过程】解：（1）由题意可知f（x）＝log x（a＞0，a≠1），
a
∵f（5）＜f（6），∴a＞1，
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（x）在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
∴log 2a﹣log a＝1，即log 2＝1，
a a a
∴a＝2．
（2）由（1）可知f（x）＝log x，在（0，+∞）上单调递增，
2{ 2x＞0
由不等式f（2x）＜f（1﹣x）可得 1−x＞0 ，
2x＜1−x
1
解得0＜x＜ ，
3
1
即所求不等式的解集为（0， ）．
3
22．（12分）（2021秋•兰州期末）已知函数f（x）＝log （1+x）﹣log （1﹣x），其中a＞0且a≠1．
a a
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
3
（3）若f（ ）＝2，求使f（x）＞0成立的x的集合．
5
【解题思路】（1）根据函数解析式有意义的条件即可求f（x）的定义域；
（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性；
3
（3）根据f（ ）＝2，可得：a＝2，根据对数函数的性质即可求使f（x）＞0的x的解集．
5
{1+x＞0
【解答过程】解：（1）要使函数有意义，则 ，
1−x＞0
解得﹣1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）∵f（﹣x）＝log （﹣x+1）﹣log （1+x）＝﹣[log （x+1）﹣log （1﹣x）]＝﹣f（x），
a a a a
∴f（x）是奇函数．
3
（3）若f（ ）＝2，
5
3 3
∴log （1+ ）﹣log （1− ）＝log 4＝2，
a a a
5 5
解得：a＝2，
∴f（x）＝log （1+x）﹣log （1﹣x），
2 2
若f（x）＞0，则log （x+1）＞log （1﹣x），
2 2
∴x+1＞1﹣x＞0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）．
