文档内容
专题 2.5 函数的奇偶性-重难点题型精讲
1．函数的奇偶性
(1)定义：
(2)奇偶函数的图象特征（几何意义）
①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；
反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以 y轴为对称轴的轴对称图形；反
之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间
上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.【题型1 函数奇偶性的判断】
判断函数奇偶性的方法：
(1)代数判断法 ：先判断定义域是否关于原点对称，若不对称，即为非奇非偶，若对称，f(-x)=-f(x)的是奇
函数 f(-x)=f(x)的是偶函数；
(2)几何判断法： 关于原点对称的函数是奇函数，关于y轴对称的函数是偶函数；
(3)运算法则 ：①两个偶函数相加所得的和为偶函数；②两个奇函数相加所得的和为奇函数；③一个偶函
数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数；④ 两个偶函数相乘所得的积为偶函数；⑤两个奇
函数相乘所得的积为偶函数；⑥ 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
【例1】（2022•仁寿县校级模拟）下列函数为奇函数的是（ ）
A．f（x）＝xe﹣x B．
f(x)=√x3
C．f（x）＝x2sinx D．f（x）＝ln|x|
【解题思路】先检验函数定义域，然后检验各选项中函数f（﹣x）与f（x）的关系即可判断．
【解答过程】解：A：定义域R，f（﹣x）＝﹣xex≠±f（x），f（x）为非奇非偶函数，不符合题意；
B：定义域[0，+∞），关于原点不对称，f（x）为非奇非偶函数，不符合题意；
C：定义域R，f（﹣x）＝（﹣x）2sin（﹣x）＝﹣x2sinx＝﹣f（x），f（x）为奇函数，符合题意；
D：定义域{x|x≠0}，f（﹣x）＝ln|﹣x|＝ln|x|＝f（x），f（x）为偶函数，不符合题意．
故选：C．
1
【变式1-1】（2022春•毕节市期末）设函数f(x)= ，则下列函数中为偶函数的是（ ）
x2−2x+3
A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1
【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，即可得答案．
1 1
【解答过程】解：根据题意，f(x)= =
，
x2−2x+3 (x−1) 2+2
由此分析选项：
1
对于A，f(x+1)= ，是偶函数，符合题意；
x2+2
1
对于B，f（x）+1 = + 1，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
(x−1) 2+2
1
对于C，f（x﹣1）= ，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
(x−2) 2+21
对于D，f（x）﹣1 = −1，既不是奇函数又不是偶函数，不符合题意；
(x−1) 2+2
故选：A．
【变式1-2】（2022春•镇海区校级期末）下列函数中，既是偶函数，又满足值域为R的是（ ）
1
A．y＝x2 B．y＝|x|+ C．y＝tan|x| D．y＝|sinx|
|x|
【解题思路】先研究定义域是否关于原点对称，再结合偶函数的定义、值域判断．
【解答过程】解：对应A，显然y≥0，值域不是R，故A错误；
对于B，易知，值域中不包含0，故B错误；
π
对于C，定义域为{x|x≠kπ+ ，k∈Z}，关于原点对称，且tan|﹣x|＝tan|x|，该函数是偶函数，值
2
域为R，故C正确；
对于D，值域为[﹣1，1]，值域不是R，故D错误．
故选：C．
1
【变式1-3】（2022春•兴庆区校级期末）已知函数f(x)=2x−( ) x，则f（x）（ ）
2
A．是偶函数，且在R是单调递增
B．是奇函数，且在R是单调递增
C．是偶函数，且在R是单调递减
D．是奇函数，且在R是单调递减
【解题思路】根据题意，由奇偶性的定义分析函数的奇偶性，再利用导数分析函数的单调性，即可得答
案．
1
【解答过程】解：根据题意，函数f(x)=2x−(
)
x，其定义域为R，有f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣f（x），
2
则函数f（x）为奇函数，
1 1
又由f′（x）＝2xln2+（ ）xln2＝[2x+（ ）x]ln2＞0，则f（x）在R上为增函数，
2 2
故选：B．
【题型2 利用函数奇偶性求解析式】
求解析式的方法：
先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出 f(x)的解析式，或充分利用奇偶性构造关
于x的方程，从而得到f(x)的解析式.
【例2】（2022春•安康期中）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x+2，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．﹣x﹣2 B．﹣x+2 C．x﹣2 D．x+2
【解题思路】运用奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式．
【解答过程】解：f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
设x＜0时，﹣x＞0，
当x＞0时，f（x）＝x+2，
可得f（﹣x）＝﹣x+2，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝x﹣2．
故选：C．
【变式2-1】（2021秋•新化县期末）若函数 f（x）是定义域为R的奇函数，且当 x≥0时，f（x）＝x
（1+x），则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．﹣x（1+x） B．﹣x（1﹣x） C．x（1+x） D．x（1﹣x）
【解题思路】根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，求出f（﹣x）的表达式，结合函数的奇偶性分析可得答
案．
【解答过程】解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝﹣x（1﹣x），
又由函数f（x）是定义域为R的奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（1﹣x），
故选：D．
【变式2-2】（2021秋•沙坪坝区校级期末）已知函数 y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，
，则当x＜0时，f（x）的表达式是（ ）
f(x)=x2 (1−√3 x)
A． B． C． D．
x2 (1−√3 x) −x2 (1−√3 x) x2 (1+√3 x) −x2 (1+√3 x)
【解题思路】利用奇函数的对称性，进行转化求解即可．
【解答过程】解：当x＜0时，则﹣x＞0，
则f（﹣x）＝（﹣x）2（1−√3−x）＝x2（1+√3 x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
即f（﹣x）＝x2（1+√3 x）＝﹣f（x），
则f（x）＝﹣x2（1+√3 x），
故选：D．
【变式2-3】（2022•大通县二模）若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+1）是偶函数，当0＜x≤1时，f（x）＝ex﹣1，则当2＜x≤3时，f（x）的解析式为（ ）
A．f（x）＝﹣e1﹣x B．f（x）＝﹣ex+1 C．f（x）＝﹣ex﹣3 D．f（x）＝﹣e3﹣x
【解题思路】根据题意，由函数的奇偶性和对称性分析可得f（x）＝﹣f（x﹣2），当2＜x≤3时，有0
＜x﹣2≤1，结合函数的解析式可得f（x﹣2）的表达式，据此分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，
若f（x+1）是偶函数，即函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
则有f（x）＝f（2﹣x），
又由f（x）为奇函数，则有f（﹣x）＝﹣f（x），
综合可得：﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），变形可得f（x）＝﹣f（x﹣2）．
由于当0＜x≤1时，f（x）＝ex﹣1，
当2＜x≤3时，有0＜x﹣2≤1，则有f（x﹣2）＝ex﹣3，
又由f（x）＝﹣f（x﹣2），则有f（x）＝﹣ex﹣3，
故选：C．
【题型3 利用函数奇偶性求函数值】
利用函数的奇偶性将待求区间上的自变量转化到已知区间上，结合已知区间上的函数解析式求函数值即可.
【例 3】（2022•雅安模拟）已知函数 f（x）是奇函数，当 x≥0 时，f（x）＝2x﹣1，则 f（﹣2）＝
（ ）
3
A．1 B．− C．3 D．﹣3
4
【解题思路】根据题意，由函数的解析式求出f（2）的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答过程】解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝2x﹣1，则f（2）＝22﹣1＝3，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3；
故选：D．
c
【变式3-1】（2022春•双流区校级期末）已知函数f（x）＝ax3+bsinx+ −2022（a，b，c为实数），且f
x
（2022）＝1，则f（﹣2022）＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4045 D．4045
【解题思路】构造奇函数g（x）＝f（x）+2022，利用奇函数定义求值．
c
【解答过程】解：设g（x）＝f（x）+2022＝ax3+bsinx+ ，x≠0，
x
c c
则g（﹣x）＝a（﹣x）3+bsin（﹣x）+ =−ax3﹣bsinx− =−g（x），
−x x∴g（x）为奇函数，
g（2022）＝f（2022）+2022＝2023，
g（﹣2022）＝f（﹣2022）+2022＝﹣g（2022）＝﹣2023，
∴f（﹣2022）＝﹣4045．
故选：C．
【变式3-2】（2022春•斗门区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+7）＝f（x），当x
（0，1]时，f（x）＝2x+lnx，则f（2022）＝（ ） ∈
1 1
A．﹣2 B．2 C．− D．
2 2
【解题思路】根据题意可知：f（x）的周期T＝7，f（2022）＝f（﹣1），再根据奇函数得f（﹣1）＝﹣
f（1），代入求解．
【解答过程】解：∵f（x+7）＝f（x），则f（x）的周期T＝7，
∴f（2022）＝f（289×7﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（21+ln1）＝﹣2，
故选：A．
a
【变式3-3】（2022•马鞍山模拟）已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2022x− ，若f
x
（1）+2022f（0）＝2024，则f（﹣2）＝（ ）
A．2020 B．﹣2020 C．4045 D．﹣4045
【解题思路】由已知结合奇函数定义及性质可求a，进而可求．
a
【解答过程】解：因为f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=2022x− ，
x
所以f（1）＝2022﹣a，
由奇函数性质可得f（0）＝0，
若f（1）+2022f（0）＝2024，则2022﹣a＝2024，
2
所以a＝﹣2，x＞0时f（x）＝2022x+ ，
x
所以f（2）＝4044+1＝4045，
f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣4045．
故选：D．
【题型4 利用函数奇偶性求参数】
利用奇偶性求参数的2种类型：
(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数，利用待定系数法求解．
【例4】（2022•洛阳模拟）若函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则a＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．±1
【解题思路】利用奇函数的定义即可求解a的值．
【解答过程】解：函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，
y＝x3为R上的奇函数，
故y＝a•2x﹣2﹣x也为R上的奇函数，
所以y|
x＝0
＝a•20﹣20＝a﹣1＝0，
所以a＝1，经检验a＝1符合题意；
法二：因为函数f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，
所以f（﹣x）＝f（x），
即﹣x3（a•2﹣x﹣2x）＝x3（a•2x﹣2﹣x），
即x3（a•2x﹣2﹣x）+x3（a•2﹣x﹣2x）＝0，
即（a﹣1）（2x﹣2﹣x）x3＝0，
所以a＝1．
故选：C．
【变式4-1】（2022•如皋市模拟）若函数 2x+a为奇函数，则实数a的值为（ ）
f(x)=
2x−a
A．1 B．2 C．﹣1 D．±1
【解题思路】由奇函数的定义和指数的运算性质，解方程可得所求值．
【解答过程】解：由函数 2x+a为奇函数，
f(x)=
2x−a
可得f（﹣x）+f（x）＝0，即2−x+a 2x+a 0，
+ =
2−x−a 2x−a
化为1+a•2x﹣a•2﹣x﹣a2+1+a•2﹣x﹣a•2x﹣a2＝0，
即为a2＝1，解得a＝±1，
当a＝1时，f（x） 2x+1，满足f（﹣x） 2−x+1 2x+1 f（x），可得f（x）为奇函数；
= = =− =−
2x−1 2−x−1 2x−1当a＝﹣1时，f（x） 2x−1，满足f（﹣x）＝﹣f（x），可得f（x）为奇函数．
=
2x+1
所以a＝±1．
故选：D．
【变式4-2】（2022•运城二模）已知函数 { x2+2x，x≤0 为奇函数，则b＝（ ）
f(x)=
−x2+bx，x＞0
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【解题思路】由奇函数的定义和已知x≤0时的函数的解析式，可得x＞0时的函数解析式，进而得到所
求值．
【解答过程】解：当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣f（x）＝（﹣x）2+2（﹣x）＝x2﹣2x，
可得x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x，
又x＞0时，f（x）＝﹣x2+bx，
所以b＝2．
故选：D．
【变式4-3】（2022春•辽宁月考）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax，若f（ln2）＝8，
则实数a的值是（ ）
1 1
A．− B． C．﹣3 D．3
3 3
【解题思路】依题意，利用奇函数的性质可得：当 x＞0时，f（x）＝e（﹣ax），又f（ln2）＝8，即
（eln2）﹣a＝2﹣a＝8，解之可得a的值．
【解答过程】解：∵f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴当x＞0时，﹣x＜0，
f（﹣x）＝﹣ea（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）＝e（﹣ax），
∵f（ln2）＝8，即（eln2）﹣a＝2﹣a＝8＝23，
∴a＝﹣3，
故选：C．
【题型5 利用函数奇偶性识别函数图象】
对于所给函数解析式，判断函数的奇偶性，结合特殊值法、函数单调性等，利用排除法进行判断，即可得
出正确的函数图象.log |x|
【例5】（2022•浉河区校级模拟）函数y= 2 的大致图象是（ ）
x
A． B．
C． D．
【解题思路】先由奇偶性来确定是AB还是CD中的一个，再通过对数函数，当x＝1时，函数值为0，
可进一步确定选项．
【解答过程】解：∵f（﹣x）＝﹣f（x）是奇函数，
所以排除A，B
当x＝1时，f（x）＝0排除C
故选：D．
【变式5-1】（2021秋•荔湾区校级月考）下列图形是函数y＝x|x|的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求得函数的奇偶性，确定函数的图象分布，即可求得结论．
【解答过程】解：令f（x）＝x|x|，则f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），∴函数是奇函数
∵x≥0时，f（x）＝x2，
∴函数的图象在第一、三象限，且为单调增函数
故选：D．
【变式5-2】（2021秋•邢台期末）已知函数 f（x）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式可能为
（ ）A．f（x）＝x2cosx B．f（x）＝x+x3
C．f（x）＝|x|sinx D．f（x）＝x2+cosx
【解题思路】由图象可得f（x）为奇函数，且有多个零点，对照选项，运用排除法可得结论．
【解答过程】解：由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，
而f（x）＝x2cosx为偶函数，f（x）＝x2+cosx为偶函数，故排除选项A、D；
由f（x）＝x+x3满足f（﹣x）＝﹣x﹣x3＝﹣f（x），
可得f（x）为奇函数，f（x）＝0时，x＝0，即f（x）＝x+x3的零点只有一个0，
故排除选项B，．
故选：C．
【变式5-3】（2021秋•开州区校级月考）函数f（x） { exlnx， x＞0，在[﹣2，0）∪（0，2]上
=
e−xln(−x)， x＜0
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，先分析函数的奇偶性排除AB，再求出f（2）的值，排除C，即可得答案．【解答过程】解：根据题意，f（x） { exlnx， x＞0，
=
e−xln(−x)， x＜0
当x＞0时，﹣x＜0，有f（﹣x）＝exlnx＝f（x），
当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝e（﹣x）ln（﹣x）＝f（x），
故f（x）为偶函数，排除AB，
又由f（2）＝e2ln2＞1，排除C，
故选：D．
【题型6 函数奇偶性与单调性的综合应用】
【方法点拨】
函数奇偶性与单调性的综合应用主要有两种：
(1)比较大小：对于自变量不在同一单调区间上的比较大小问题，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同
一单调区间上，然后利用函数单调性比较大小．
(2)解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x)f(x)的形式；
1 2 1 2
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为
简
单不等式求解．
【例6】（2022•衡阳三模）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，且当x [0，1]时，f（x）
＝4x﹣cosx，则下列结论正确的是（ ） ∈
4043 4039
A．f（ ）＞f（2022）＞f（ ）
2 2
4039 4043
B．f（2022）＞f（ ）＞f（ ）
2 2
4043 4039
C．f（ ）＞f（ ）＞f（2022）
2 2
4039 4043
D．f（ ）＞f（2022）＞f（ ）
2 2
【解题思路】根据函数奇偶性的性质进行条件转化注意运用赋值法，即可得到 f（x）的最小正周期是
4，运用周期性即可得到结论．
【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），∵函数f（x+1）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x+1）＝f（x+1）＝﹣f（x﹣1），f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．
则f（x）的周期是4，
4043 1 1 1 1 1
所以f（ ）＝f（2021+ ）＝f（1+ ）＝f（1− ）＝f（ ）＝2﹣cos ，
2 2 2 2 2 2
f（2022）＝f（0）＝1﹣1＝0，
4039 1 1 1 1
f（ ）＝f（2020− ）＝f（− ）＝﹣f（ ）＝﹣2+cos ，
2 2 2 2 2
4043 4039
所以f（ ）＞f（2022）＞f（ ），
2 2
故选：A．
【变式6-1】（2022•山东模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣8，则f（x﹣
2）＜0的解集为（ ）
A．（﹣4，0）∪（2，+∞） B．（0，2）∪（4，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（2，4） D．（﹣4，4）
【解题思路】由已知结合奇函数定义可求出x＜0时的函数解析式，进而可求．
【解答过程】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3﹣8，
所以x＞0时，﹣x＜0，
则f（﹣x）＝﹣x3﹣8＝﹣f（x），
所以f（x）＝x3+8，f（0）＝0，
由f（x﹣2）＜0得0＜x﹣2＜2或x﹣2＜﹣2，
故2＜x＜4或x＜0．
故选：C．
【变式 6-2】（2022•河南模拟）已知函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f（x）＝4x﹣
3×2x+2a．则关于x的不等式f（x）≤﹣6的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣2，0）∪（0，2） D．[﹣2，0）∪（2，+∞）
【解题思路】由奇函数性质求出a，进而求出x＜0时函数解析式，然后结合指数不等式可求．
【解答过程】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝4x﹣3×2x+2a，
由奇函数性质可得f（0）＝1﹣3+2a＝0，
所以a＝1，
故当x≥0时，f（x）＝4x﹣3×2x+2，令f（x）＝4x﹣3×2x+2≤﹣6，此时x不存在，
当x＜0时，﹣x＞0，
所以f（﹣x）＝4﹣x﹣3×2﹣x+2＝﹣f（x），
所以f（x）＝﹣4﹣x+3×2﹣x﹣2≤﹣6，
解得，2﹣x≥4，
所以x≤﹣2．
故选：A．
【变式6-3】（2022•道里区校级模拟）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（﹣x）+f（x﹣2）＝0，当﹣
1≤x≤0时，f（x）＝（1+x）ex，则（ ）
31π 1
A．f(tan )＜f(2022)＜f(ln )
24 2
31π 1
B．f(2022)＜f(tan )＜f(ln )
24 2
1 31π
C．f(ln )＜f(2022)＜f(tan )
2 24
1 31π
D．f(2022)＜f(ln )＜f(tan )
2 24
【解题思路】根据所给函数的条件，分别推算出x （0，1]和x （1，2]区间的解析式，并计算出函数
∈ ∈
31 1
的周期，将自变量x=2022，x=tan π，x=ln 转换到相应的区间，利用函数的单调性即可比较
24 2
大小．
【解答过程】解：由已知条件可知f（﹣x）＝f（x），f（﹣x）+f（x﹣2）＝f（x）+f（2﹣x）＝0，f
（x）＝﹣f（2﹣x），
∴f（x）关于直线x＝0和点（1，0）对称，
∴f（x）的周期为1×4＝4，
当x （0，1]时，﹣x [﹣1，0），由于是偶函数，f（x）＝f（﹣x）＝（1﹣x）e﹣x，
当x∈（1，2]时，2﹣∈x （0，1]，f（x）＝﹣f（2﹣x）＝﹣[1﹣（2﹣x）]e﹣（2﹣x）＝（1﹣x）e﹣2，
f′（∈x）＝﹣xex﹣2＜0，∈即f（x）在x （1，2]时是减函数；
函数图像如下： ∈31 7 7 π 7 π
tan π=tan(π+ π)=−tan π， ＜ π＜ ，
24 24 24 4 24 3
7 7
1＜tan π＜√3，tan π∈(1，2]，
24 24
31 7 7 7
f(tan π)=f(−tan π)=f(tan π)，∴f(√3)＜f(tan π)＜f(1)，f(√3)＞f(2)，
24 24 24 24
1
f(ln )=f(−ln2)=f(ln2)，ln1＜ln2＜lne，0＜ln2＜1， ∴
2
1
f(ln2)=(1−ln2)e−ln2= (1−ln2)＞0，
2
f（2022）＝f（505×4+2）＝f（2）＝（1﹣2）e2﹣2＝﹣1，
1 31
∴f(ln )＞f(tan π)＞f(2022)，
2 24
故选：B．
