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专题2.8 函数的周期性与对称性-重难点题型精练
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
x
1．（5分）（2022春•北京期中）函数f(x)=tan 是（ ）
2
A．周期为 的奇函数 B．周期为2 的奇函数
C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数
【解题思路π】由正切函数的周期公式和诱导公式，结合奇偶π 性的定义可得结论．
π
x = =
【解答过程】解：函数f(x)=tan 的最小正周期为T 1 2 ，
2
2
π
定义域为{x|x≠2k + ，k Z}，关于原点对称，
π1π ∈ x
f（﹣x）＝tan（− x）＝﹣tan =−f（x），
2 2
则f（x）为奇函数．
故选：B．
2．（5分）（2022•合肥二模）函数f（x）＝ex+4﹣e﹣x（e是自然对数的底数）的图象关于（ ）
A．直线x＝﹣e对称 B．点（﹣e，0）对称
C．直线x＝﹣2对称 D．点（﹣2，0）对称
【解题思路】计算f（x﹣4），f（﹣x）可得f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，可得f（x）的图象的对称性．
【解答过程】解：由f（x）＝ex+4﹣e﹣x，可得f（x﹣4）＝ex﹣e﹣x+4，
f（﹣x）＝e﹣x+4﹣ex，
所以f（x﹣4）+f（﹣x）＝0，
则f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称．
故选：D．
3．（5分）（2022•道里区校级四模）已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x （0，1）时，f
∈
23 19
（x）＝e5x+a，若f( )−f(22)=2e3，则f( )=（ ）
5 5
A．e3+e B．﹣e3+e C．e3﹣e D．﹣e3﹣e
23
【解题思路】由周期性和奇偶性求得f（2）＝0，结合f( )−f(22)=2e3，可求得a＝e3，进而得到
5所求答案．
【解答过程】解：∵f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，
∴f（﹣2）＝﹣f（2），又f（﹣2）＝f（2），即f（2）＝0，
23
又f( )−f(22)=2e3，
5
3 3
∴f(4+ )−f(20+2)=f( )−f(2)=2e3，即e3+a＝2e3，
5 5
∴a＝e3，
19 19 1 1
∴f( )=f( −4)=f(− )=−f( )=−(e+e3 )，
5 5 5 5
故选：D．
4．（5分）（2021秋•安徽月考）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，f
3
（x+1）是偶函数，且f(− )=1．则下列选项中说法正确的有（ ）
2
A．f（x）为偶函数 B．f（x）周期为2
9
C．f( )=1 D．f（x﹣2）是奇函数
2
【解题思路】由函数的对称性和奇偶性的定义，可判断 A；由奇偶性和周期性的定义，求得f（x）的周
期，可判断B；由周期性和奇偶性的定义，计算可判断C；由周期性和奇偶性的定义，可判断D．
【解答过程】解：由f（x﹣1）关于（1，0）中心对称，可得f（x﹣1）+f（2﹣x﹣1）＝0，
即为f（x﹣1）+f（1﹣x）＝0，即有f（﹣x）＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，故A错误；
由f（x+1）是偶函数，可得f（﹣x+1）＝f（x+1），
即为f（﹣x）＝f（x+2），
所以f（x+2）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
所以f（x）的周期为4，故B错误；
9 9 1 3 3
由f（ ）＝f（ −4）＝f（ ）＝f（ ）＝﹣f（− ）＝﹣1，故C错误；
2 2 2 2 2
由f（x﹣2）＝f（x+2）＝﹣f（﹣x﹣2），可得f（x﹣2）为奇函数，故D正确．
故选：D．
5．（5分）（2022春•日照期末）已知y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，y＝g（x﹣1）是定义域为R
的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则（ ）A．y＝f（x）是奇函数
B．y＝g（x）是偶函数
C．2是y＝f（x）一个周期
D．y＝g（x）关于直线x＝2对称
【解题思路】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，y＝g（x﹣1）是
定义域为R的偶函数，则y＝g（x）关于x＝﹣1对称，
y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，则y＝f（x）关于x＝1对称，
又由y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，则y＝f（x）关于原点中心对称，故y＝f（x）是奇函数，故A
正确．
对于B，y＝f（x）是奇函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图像关于y轴对称，故y＝g（x）也是奇函数，
故B错误．
对于C，y＝f（x+2）是定义域为R的奇函数，则f（2+x）＝﹣f（2﹣x），
y＝f（x）关于x＝1对称，故f（﹣x+1）＝f（x+1），可得f（x+2）＝f（﹣x），
联立可得：f（﹣x）＝﹣f（﹣x+2），变形可得f（x）＝﹣f（x+2），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f
（x），函数f（x）是周期为4的周期函数，故C错误．
对于D，因为4是函数f（x）的周期，y＝f（x）关于点（2，0）中心对称，所以（﹣2，0）−是y＝f
（x）的中心对称，（﹣2，0）关于y轴对称为（2，0），为y＝g（x）的对称中心，故D错误．
故选：A．
6．（5分）（2022春•南通期末）已知f（x）是定义域在R上的奇函数，且满足f（﹣x+2）＝f（x+2），
则下列结论不正确的是（ ）
A．f（4）＝0
B．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C．f（x+8）＝f（x）
D．若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝﹣1
【解题思路】由已知结合函数的奇偶性，对称性及周期性分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：由f（2﹣x）＝f（2+x）可得f（4﹣x）＝f（x）．函数图象关于x＝2对称，B错误；
因为f（x）为奇函数，即f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（4+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
所以f（8+x）＝f（x），C正确；因为f（4）＝f（0）＝0，A正确；
若f（﹣3）＝﹣1，则f（2021）＝f（5）＝f（﹣3）＝﹣1，D正确．
故选：B．
7．（5分）（2021秋•番禺区校级期末）若对 x，y R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，则函数g（x）
∀ ∈
2x
= + f（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和为（ ）
x2+1
A．4 B．8 C．6 D．12
【解题思路】求出g（x）＝ （x）+h（x）+4，根据函数的奇偶性得到y＝ （x）+h（x）为奇函数，
求出答案即可． φ φ
【解答过程】解： x，y R．有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣4，
取x＝y＝0，则f（∀0）＝∈f（0）+f（0）﹣4，故f（0）＝4，
取y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣4，故f（x）+f（﹣x）＝8，
令h（x）＝f（x）﹣4，则h（x）+h（﹣x）＝0，
故h（x）为奇函数，
2x 2x
∵g（x）= +f（x），设 （x）= ，
x2+1 x2+1
φ
则g（x）＝ （x）+h（x）+4，
φ 2x
∵ （﹣x）=− =− （x），故 （x）为奇函数，
x2+1
φ φ φ
故y＝ （x）+h（x）为奇函数，
故函数φg（x）在[﹣2018，2018]上的最大值和最小值的和是8，
故选：B．
8．（5分）（2022春•海淀区校级期中）设函数f（x）＝sin x，g（x）＝x2﹣x+1，有以下四个命题：
①函数y＝f（x）+g（x）是周期函数； π
②函数y＝f（x）﹣g（x）的图象是轴对称图形；
③函数y＝f（x）⋅g（x）的图象关于坐标原点对称；
f(x)
④函数y= 存在最大值．
g(x)
其中，真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】对于①，利用反证法可得①不正确；
对于②，通过证明f（1﹣x）+g（1﹣x）＝f（x）+g（x）恒成立可得②正确；1 1 1 1
对于③，根据f（− ）g（− ）≠﹣f（ ）g（ ），可得③不正确；
2 2 2 2
1 1 4
对于④，根据f（x）＝sin x≤1， = ≤ 以及不等式的性质可得④正确．
g(x) x2−x+1 3
π
【解答过程】解：对于①，假设函数y＝f（x）+g（x）是周期函数，周期为T（T≠0），则f（x）+g
（x）＝f（x+T）+g（x+T）恒成立，
即sin x+x2﹣x+1＝sin[ （x+T）]+（x+T）2﹣（x+T）+1恒成立，
即sinπx﹣sin[ （x+T）π]＝2Tx+T2﹣T恒成立，
当x＝π0时，得π﹣sin T＝T2﹣T，
当x＝1时，得﹣sinπ（ + T）＝T2+T，即sin T＝T2+T，
所以T2﹣T＝﹣T2﹣T，π即πT＝0，不合题意，π
所以所以y＝f（x）+g（x）不是周期函数，故①不正确；
对于②，因为f（1﹣x）+g（1﹣x）＝sin[ （1﹣x）]+（1﹣x）2﹣（1﹣x）+1＝sin x+x2﹣x+1＝f（x）
+g（x）， π π
1
所以函数y＝f（x）﹣g（x）的图象关于直线x= 对称，故②正确；
2
1 1 π 1 1 7
对于③，因为f（− ）g（− ）＝sin（− ）[（− ）2﹣（− ）+1]=− ，
2 2 2 2 2 4
1 1 π 1 1 3
f（ ）g（ ）＝sin [（ ）2− +1]= ，
2 2 2 2 2 4
1 1 1 1
所以f（− ）g（− ）≠﹣f（ ）g（ ），
2 2 2 2
所以函数y＝f（x）⋅g（x）不是奇函数，所以函数y＝f（x）⋅g（x）的图象不关于坐标原点对称，故③
不正确；
1
对于④，因为f（x）＝sin x≤1，当且仅当x＝2k+ （k Z）时，等号成立，
2
π ∈
1 3 3 1
g（x）＝x2﹣x+1＝（x− ）2+ ≥ ，当且仅当x= 时，等号成立，
2 4 4 2
1 1 4
所以 = ≤ ，
g(x) x2−x+1 3
f(x) 4 4 1
所以 ≤1× = ，当且仅当x= 时，等号成立，
g(x) 3 3 2
f(x) 4
所以函数y= 存在最大值，最大值为 ，故④正确．
g(x) 3故选：B．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2022春•海安市校级期中）若函数f（x+1）（x R）是奇函数，g（x）＝x•f（x）是奇函数，
则下列选项一定正确的是（ ） ∈
A．函数f（x）图象关于点（1，0）对称
B．函数f（x）的周期为1
C．f（2021）＝0
D．f（2022）＝0
【解题思路】由g（x）＝x•f（x）是奇函数可得，f（x）为偶函数，再结合f（x+1）是奇函数，得出f
（x）是周期函数，最小正周期为4．
【解答过程】解：因为g（x）＝x•f（x）是奇函数，
所以g（﹣x）＝﹣g（x），即﹣x•f（﹣x）＝﹣x•f（x），
所以f（﹣x）＝f（x），f（x）是偶函数，
因为f（x+1）是奇函数，所以函数 f（x+1）图像关于点（0，0）对称，所以函数f（x）图像关于点
（1，0）对称，因此选项A正确，
f（x+4）＝f[（x+3）+1]＝﹣f[﹣（x+3）+1]＝﹣f（﹣x﹣2）＝﹣f（x+2）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），
所以，f（x）是周期函数，最小正周期为4，故选项B错误
因此f（2021）＝f（1）＝0，故选项C正确，f（2022）＝f（2）不一定为0，故选项D错误，
故选：AC．
10．（5分）（2022春•辽宁期中）已知函数f（x）＝||cosx|﹣|sinx||，则下列结论中，正确的有（ ）
A．函数f（x）的图像关于y轴对称
B．f（x）的最小正周期为
π π π
C．f（x）在( ， )上单调递增
4 2
D．f（x）的值域为[0，1]
【解题思路】利用三角函数的性质及绝对值的定义对四个选项依次判断即可．
【解答过程】解：∵f（﹣x）＝||cos（﹣x）|﹣|sin（﹣x）||
＝||cosx|﹣|sinx||＝f（x），
∴函数f（x）的图像关于y轴对称，
故选项A正确；
π π π
∵f（x+ ）＝||cos（x+ ）|﹣|sin（x+ ）||
2 2 2＝||sinx|﹣|cosx||＝f（x），
π
∴ 是函数f（x）的周期，
2
故选项B错误；
π π
当x ( ， )时，
4 2
∈
π
f（x）＝||cosx|﹣|sinx||＝|cosx﹣sinx|＝sinx﹣cosx=√2sin（x− ），
4
π π
故f（x）在( ， )上单调递增，
4 2
故选项C正确；
∵0≤|cosx|≤1，0≤|sinx|≤1，
∴﹣1≤|cosx|﹣|sinx|≤1，
∴0≤||cosx|﹣|sinx||≤1，即0≤f（x）≤1，
π
又∵f（ ）＝0，f（0）＝1，
4
∴f（x）的值域为[0，1]，
故选项D正确；
故选：ACD．
11．（5分）（2022•青岛二模）已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f
（2﹣x）+f（x），则下述正确的是（ ）
A．g（x）为奇函数
B．g（x）为偶函数
C．h（x）的图象关于直线x＝1对称
D．h（x）的图象关于点（1，0）对称
【解题思路】由已知结合函数的奇偶性及对称性分别检验各选项即可判断．
【解答过程】解：因为g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），
所以g（﹣x）＝f（2+x）﹣f（2﹣x）＝﹣g（x），即g（x）为奇函数，A正确，B错误；
因为h（x）＝f（2﹣x）+f（x），
所以h（2﹣x）＝f（x）+f（2﹣x）＝h（x），即h（x）的图象关于x＝1对称，C正确，D错误．
故选：AC．
12．（5分）（2021秋•荆州期末）已知定义在R上的函数f（x），对任意实数x有f（x+4）＝﹣f（x），函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，若当x （0，1]时，f(x)=√x，则（ ）
A．f（x）偶函数 B．f（∈x）为周期函数
C．f（2023）＝﹣1 D．当x [3，4）时，f(x)=−√4−x
【解题思路】根据条件分别判断函数的奇偶性，周期性∈ ，利用奇偶性和周期性进行转化求解即可．
【解答过程】解：∵f（x+4）＝﹣f（x），
∴f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x），则函数f（x）是周期为8的周期函数，故B正确，
∵函数f（x+1）的图象关于直线x＝﹣1对称，
∴将f（x+1）的图象向右平移一个单位得到 f（x），即f（x）关于x＝0对称，即关于y轴对称，则f
（x）是偶函数，故A正确，
f（2023）＝f（253×8﹣1）＝f（﹣1）＝f（1）=√1=1，故C错误，
当x [﹣1，0）时，﹣x （0，1]，则f（﹣x）=√−x，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=√−x=f（x），
即当∈x [﹣1，0）时，f（∈x）=√−x，
当x [3∈，4）时，当x﹣4 [﹣1，0），
则由∈f（x+4）＝﹣f（x），∈ 得f（x）＝﹣f（x﹣4）=−√−(x−4)=−√4−x，故D正确，
故选：ABD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋•河北区期末）函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣
1，则f（2.5）＝ 1 ．
【解题思路】由奇函数和周期函数的定义可得所求值．
【解答过程】解：函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（﹣0.5）＝﹣1，
则f（2.5）＝f（2+0.5）＝f（0.5）＝﹣f（﹣0.5）＝1，
故答案为：1．
14．（5分）（2022春•白塔区校级期末）已知函数f（3x+1）是定义在R上的奇函数，函数f（x）的图像
与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）+g（﹣x）＝ 2 ．
【解题思路】利用奇函数的定义可把已知转化为 f（t）+f（2﹣t）＝0，从而可得函数f（x）关于（1，
0）对称，函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，则g（x）关于（0，1）对称，代
入可求．
【解答过程】解：∵函数y＝f（3x+1）是定义在R上的奇函数，
∴f（﹣3x+1）＝﹣f（3x+1），
令t＝1﹣3x代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，
函数f（x）关于（1，0）对称，由函数f（x）的图像与函数g（x）的图像关于直线y＝x对称，
函数g（x）关于（0，1）对称，从而有g（x）+g（﹣x）＝2，
故答案为：2．
15．（5分）（2020春•临澧县校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，f
（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝ 0 ．
【解题思路】根据f（x）的图象关于直线x＝1对称，以及f（x）是奇函数，可推得f（x）是以4周期的
周期函数，分别求出
f（1）＝﹣1，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0，由于f（1）+f（2）+f
（3）+…+f（2015）＝f（2013）+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）+f（3）＝0，即可求解．
【解答过程】解：∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∴f（2﹣x）＝f（x），
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f（2+x）＝﹣f（x），可得f（x+4）＝f（x），
∴f（x）是以4周期的周期函数，
∵f（1）＝﹣1，f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝1，f（4）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）＝f（2013）+f（2014）+f（2015）＝f（1）+f（2）+f（3）＝0．
故答案为：0．
16．（5分）（2021春•和平区校级期中）已知函数f（x）＝|sinx|+cosx，现有如下几个命题：
①函数f（x）为偶函数；
②函数f（x）最小正周期为2 ；
③函数f（x）值域为[−√2，π√2]；
3
④若定义区间（a，b）的长度为b﹣a，则函数f（x）单调递增区间长度的最大值为 π．其中正确命题
4
为 ①②④ ．
【解题思路】根据题意，将f（x）的解析式写成分段函数的形式，作出函数的草图，据此分析4个命题，
综合即可得答案．
{sinx+cosx，2kπ≤x≤2kπ+π
【解答过程】解：根据题意，函数f（x）＝|sinx|+cosx= ，其图象如图：
cosx−sinx，2kπ−π≤x≤2kπ
依次分析选项：对于①，f（x）＝|sin（﹣x）|+cos（﹣x）＝|sinx|+cosx＝f（x），即函数f（x）为偶函数，正确；
对于②，f（x）＝|sinx|+cosx，其最小正周期为2 ，正确；
对于③，函数f（x）值域为[﹣1，√2]，错误； π
3
对于④，函数f（x）单调递增区间长度的最大值为 π，正确；
4
则其中正确的为①②④；
故答案为：①②④．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2021春•西吉县校级月考）判断下列函数的奇偶性及周期．
（1）f（x）＝sinx+tanx；（奇偶性）
√3
（2）y＝sinx•cosx+√3cos2x− ．
2
【解题思路】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶函数的定义判断即可．
（2）先化简，再求定义域，根据周期公式求周期，根据奇偶性的定义判断奇偶性．
π
【解答过程】解：（1）由题干可知，x {x|x≠ +πk，k∈Z}，关于原点对称．
2
∈
则f（﹣x）＝sin（﹣x）+tan（﹣x）＝﹣sinx﹣tanx＝﹣（sinx+tanx）＝﹣f（x）．
所以为奇函数．
√3
（2）y＝sinx•cosx+√3cos2x−
2
1 √3
= sin2x+ cos2x
2 2
π π
＝sin2xcos +cos2xsin
3 3
π
＝sin（2x+ ）．
3
2π
T= = ．
2
π
定义域为R，关于原点对称．π π
则f（﹣x）＝sin（﹣2x+ ）＝﹣sin（2x− ）．
3 3
很显然不具有奇偶性．
18．（12分）（2021春•大武口区校级期末）已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x
∈
（0，1）时，f（x） 2x ．
=
4x+1
（1）求f（1）和f（﹣1）的值；
（2）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式．
【解题思路】（1）由已知中在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，可得f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣
1）＝﹣f（1），进而求出f（1）和f（﹣1）的值；
（2）当 x （﹣1，0）时，﹣x （0，1）．由 f（x）是奇函数，可得 f（x）＝﹣f（﹣x）
∈ ∈
2−x 2x ，结合已知及（1）中结论，可得答案．
=− =−
4−x+1 4x+1
【解答过程】解：（1）∵f（x）是周期为2的奇函数，
∴f（1）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1），
∴f（1）＝0，f（﹣1）＝0．…（4分）
（2）由题意知，f（0）＝0．
当x （﹣1，0）时，﹣x （0，1）．
由f（∈x）是奇函数， ∈
∴f（x）＝﹣f（﹣x） 2−x 2x ，
=− =−
4−x+1 4x+1
2x
{ ，x∈(0，1)
4x+1
综上，f（x）= 2x ⋯ （12分）
− ，x∈(−1，0)
4x+1
0，x∈{−1，0，1}
19．（12分）（2021•浦东新区校级三模）已知函数f（x）＝ax+k•bx，其中k R，a＞0且a≠1，b＞0且
b≠1． ∈
（1）若ab＝1，试判断f（x）的奇偶性；1
（2）若a＝2，b= ，k＝16，证明f（x）的图象是轴对称图形，并求出对称轴．
2
1
【解题思路】（1）由ab＝1得出b= ，从而得出f（x）＝ax+k•a﹣x，容易得出k＝1时，f（x）为偶函
a
数，k＝﹣1时，f（x）为奇函数，从而得出f（x）的奇偶性；
（2）先得出f（x）＝2x+16•2﹣x，若f（x）的图象是轴对称图形，并设对称轴为 x＝m，从而得出f
（x+m）为偶函数，从而得出f（m﹣x）＝f（m+x），即得到2m﹣x+16•2x﹣m＝2m+x+16•2﹣x﹣m，化简即得
到（2x﹣2﹣x）（2m﹣16•2﹣m）＝0，从而得出2m﹣16•2﹣m＝0，求出m即可．
【解答过程】解：（1）ab＝1，a＞0，b＞0；
1
∴b= ；
a
∴f（x）＝ax+k•a﹣x，则f（﹣x）＝a﹣x+k•ax；
①若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即：a﹣x+k•ax＝ax+k•a﹣x；
∴（k﹣1）（ax﹣a﹣x）＝0对任意实数x恒成立；
∴k＝1；
②若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即：a﹣x+k•ax＝﹣ax﹣k•a﹣x；
∴（k+1）（ax+a﹣x）＝0；
∴k＝﹣1；
综上，k＝﹣1时，f（x）是奇函数，k＝1时，f（x）是偶函数，k≠±1时，f（x）是非奇非偶函数；
（2）证明：f（x）＝2x+16•2﹣x；
若f（x）的图象是轴对称图形，对称轴设为x＝m，则函数f（x+m）为偶函数；
∴f（m﹣x）＝f（m+x）；
即2m﹣x+16•2x﹣m＝2m+x+16•2﹣x﹣m；
化简得，（2x﹣2﹣x）（2m﹣16•2﹣m）＝0；
∵上式对任意的x R都成立；
∴2m﹣16•2﹣m＝0；∈
∴m＝2；
∴f（x）的图象是轴对称图形，对称轴为x＝2．
20．（12分）（2021秋•长沙县校级月考）设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为
2，且f（1+x）＝f（1﹣x），当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x．
（1）判定f（x）的奇偶性；（2）试求出函数f（x）在[﹣1，2]上的表达式．
【解题思路】（1）由f（x）是最小正周期为 2的函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），知f（1+x）＝f（﹣
（1+x）），得f（x）是偶函数；
（2）由﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，得0≤x≤1时，f（x）；由f（x）是最小正周期为 2的函数，得
1≤x≤2时，f（x）；
【解答过程】解：（1）∵f（x）是R上的周期函数，最小正周期为2，且f（1+x）＝f（1﹣x），
∴对于任意x R，都有f（1+x）＝f（1﹣x）＝f（1﹣x﹣2）＝f（﹣1﹣x）＝f（﹣（1+x）），
即f（﹣x）＝∈f（x）；所以，f（x）是R上的偶函数；
（2）∵当﹣1≤x≤0时，f（x）＝﹣x，
∴当0≤x≤1时，有﹣1≤﹣x≤0，
∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）＝x，又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝x；
当1≤x≤2时，有﹣1≤x﹣2≤0，且f（x）是最小正周期为 2的函数，
∴f（x）＝f（x﹣2）＝﹣（x﹣2）＝﹣x+2；
{−x(−1≤x≤0)
∴f（x）在[﹣1，2]上的表达式为：f（x） ；
= x(0≤x≤1)
−x+2(1≤x≤2)
21．（12分）（2021秋•武昌区校级期中）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①对任
意x，y （﹣∞，0）∪（0，+∞）恒有f（xy）＝f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x）＜0，且f（2）
＝﹣1．∈
（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并加以证明；
（2）求关于x的不等式f（3x﹣2）+f（x）+4≥0的解集．
【解题思路】（1）先求f（﹣1）的值，令y＝﹣1，推出f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），f（﹣x）＝f
（x）．结合函数奇偶性的定义，判断函数f（x）的奇偶性．
（2）根据抽象函数关系，结合函数单调性的定义先判断函数的单调性，结合函数奇偶性单调性的关系
将不等式进行转化求解即可．
【解答过程】解：（1）令x＝y＝1，则f（1×1）＝f（1）+f（1），得f（1）＝0；
再令x＝y＝﹣1，则f[（﹣1）×（﹣1）]＝f（﹣1）+f（﹣1），得f（﹣1）＝0．
对于条件f（x•y）＝f（x）+f（y），令y＝﹣1，
则f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1），所以f（﹣x）＝f（x）．
又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．（2）任取x ，x （0，+∞），且x ＜x ，则有x 1．
1 2 1 2 2＞
x
∈ 1
又∵当x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x ）＜0
2
x
1
而f（x ）＝f（x •x ）＝f（x ）+f（x ）＜f（x ）
2 1 2 1 2 1
x x
1 1
即f（x ）＜f（x ），
2 1
所以函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
∵f（2）＝﹣1，∴f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣1﹣1＝﹣2，
f（16）＝f（4）+f（4）＝﹣2﹣2＝﹣4；
则由f（3x﹣2）+f（x）+4≥0得f（3x﹣2）+f（x）≥﹣4，
即f[x（3x﹣2）]≥f（16），
∵函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，
∴{x(3x−2)＞0或{ x(3x−2)＜0 ，
x(3x−2)≤16 x(3x−2)≥−16
2
{x＞ 或x＜0 { 2
得 3 或 0＜x＜ ．
3
8
−2≤x≤ x∈R
3
2 8 2
得﹣2≤x＜0或 ＜x≤ 或0＜x＜ ，
3 3 3
2 2 8
即不等式的解集为{x|﹣2≤x＜0或0＜x＜ 或 ＜x≤ }．
3 3 3
22．（12分）（2021秋•杨浦区期中）函数f（x）＝g（x）+h（x），其中g（x）是定义在R上的周期函
数，h（x）＝ax+b，a，b为常数．
（1）g（x）＝sinx，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）求证：“f（x）为奇函数”的一个必要非充分条件是“f（x）的图象有异于原点的对称中心（m，
n）”；
（3）g（x）＝sinx+cosx，|f（x）|在x [0，3 ]上的最大值为M，求M的最小值．
∈ π【解题思路】（1）求出f（x）的解析式，通过讨论b的值，判断函数的奇偶性即可；
（2）根据充分必要条件的定义以及函数的对称性证明即可；
（3）求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质求出M的最小值即可．
【解答过程】解：（1）f（x）＝g（x）+h（x）＝sinx+ax+b，
若f（x）为奇函数，则{ f(0)=b=0 ，故b＝0，a R，
f(x)=−f(−x)
∈
若f（x）为偶函数，
则f（x）＝f（﹣x） 2sinx+2ax＝0对x R恒成立 不存在，a，b满足条件，
若b＝0，则f（x）⇒为奇函数，若b≠0∈，则f（x）⇒为非奇非偶函数；
⇒（2）证明：若f（x）为奇函数，则f（0）＝0 g（0）＝﹣b，
且f（x）+f（﹣x）＝0，则g（x）+g（﹣x）＝⇒﹣2b，
设g（x）的周期是T，则f（x+T）+f（﹣x+T）＝2aT，
故f（x）的图象有异于原点的对称中心（T，aT），必要性得证，
取g（x）＝sinx，h（x）＝1，则f（x）＝sinx+1关于（ ，1）对称，
但f（0）＝1≠0，则f（x）不是奇函数，非充分性得证；π
π
（3）f（x）＝sinx+cosx+ax+b=√2sin（x+ ）+ax+b，
4
取a＝b＝0，则M=√2，若存在更小的M，
π 9π
则当x= 和 时，ax+b≤0，
4 4
5π
当x= 时，ax+b≥0，
4
故不存在最大值，最小值是M =√2．
min
