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专题21 函数嵌套问题
一、单选题
1．已知函数 ，则关于 的方程 实数解的个数为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【解析】因为 ，解之得 或2，
当 时， ；
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ， ， 的图象如图：
由图可知使得 或 的点有4个.故选：A.
2．已知函数 则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】设 ，则 ，
令 ，即 ，转化为 与 的交点，画出图像如图所示：
由图像可知， ，所以函数 有一个解，有两个解，故 的零点个数是4个.故选：
3．已知函数 ，若函数 有6个不同的零点，且最小的零点为 ，
则 （ ）
A．6 B． C．2 D．
【解析】由函数 的图象，经过沿 轴翻折变换，可得函数 的图象，
再经过向右平移1个单位，可得 的图象，
最终经过沿 轴翻折变换，可得 的图象，如下图：
则函数 的图象关于直线 对称，令 ，则 ，
由图可知，当 时， 有 个零点，当 时， 有 个零点，
因为函数 有6个不同的零点，所以函数 有两个零点，一个等于 ，
一个大于 ，又因为 的最小的零点为 ，且 ，
所以函数 的两个零点，一个等于 ，一个等于 ，
根据韦达定理得 ， ，即 ， ，则 ．故选：B．
4．已知函数 ，则函数 零点个数最多是（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】画出 的图像，如图所示，由 ，令 ，得 ，设 ，由图像可知 ，则 ，
得 的图像，如图所示，
由图像可知， ，
①当 时，即 ，没有根；
②当 时，即 ，此时有3个根 ， ， ，
当 时，即 ，有3个根，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
故 时， 有11个根；
③当 时， ，此时有三个根， ，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
当 时，即 ，有4个根，
故 时， 有12个根；综上所述， 最多有12个根，故选：B．
5．已知函数 ，函数 恰有5个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ．由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的大致图象如图所示．
设 ，则 ，由图可知当 时， 有且只有1个实根，
则 最多有3个不同的实根，不符合题意．
当 时， 的解是 ， ． 有2个不同的实根， 有2个不同的实根，
则 有4个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有3个不同的实根 ， ， ，且 ， ， ．
有2个不同的实根， 有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有7个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ．
有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有5个不同的实根，符合题意．当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ，
有2个不同的实根， ，有2个不同的实根，则 有4个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有且只有1个实根，则 最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是 ．故选：C.
6．已知函数 （ 为自然对数的底数），则函数 的零点个数
为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解析】设 ，令 可得： ,
对于 ， ，故 在 处切线的斜率值为 ，
设 与 相切于点 ，
切线斜率 ，则切线方程为： ，
即 ，解得： ；
由于 ，故作出 与 图象如下图所示，
与 有四个不同交点，即 与 有四个不同交点，
设三个交点为 ，由图象可知： ，作出函数 的图象如图，
由此可知 与 无交点，与 有三个不同交点，与 各有两个不同交点，
的零点个数为7个，故选：C
7．已知函数 是 上的奇函数，当 时， .若关于x的方程 有且仅有两个
不相等的实数解则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题设 ，若 ，则 ，
所以 ，值域为R，函数图象如下：
当 时，只有一个 与之对应；当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；当 时，有三个对应自变量且 ；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有一个 与之对应；令 ，则 ，要使 有且仅有两个不相等的实数解，
若 有三个解，则 ，此时 有7个解，不满足；
若 有两个解 且 ，此时 和 各有一个解，
结合图象知，不存在这样的 ，故不存在对应的m；
若 有一个解 ，则 有两个解，此时 ，
所以对应的 ，
综上， .故选：C.
8．已知函数 ，若函数 有6个不同的零点，且最小的零点为
，则 （ ）．
A．6 B． C．2 D．
【解析】由函数 的图象，经过翻折变换，可得函数 的图象，
再经过向右平移1个单位，可得 的图象，
最终经过翻折变换，可得 的图象，如下图：
则函数 的图象关于直线 对称，令
因为函数 最小的零点为 ，且 ，
故当 时，方程 有4个零点，
所以，要使函数 有6个不同的零点，且最小的零点为 ,则 ，或，
所以，关于 方程 的两个实数根为
所以，由韦达定理得 ， ，故选：B
9．已知函数 ，关于 的方程 有 个不等实数根，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】作出函数 的图象如图所示，
函数 的图象与函数 的图象最多三个交点，且 有 个实数根时， ，
有 个不等实数根等价于一元二次方程 在 上有
两个不同的实数根，
，解得： 或 ，
即实数 的取值范围为 .故选：D.10．函数 ，若关于x的方程 恰有5个不同的实数根，则实
数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，可得 或 ，
令 且定义域为 ，则 ，
当 时 ，即 递减；当 时 ，即 递增；
所以 ，且 ，在 趋向正无穷 趋向正无穷，综上，根据 解析式可得图象如下图示：
显然 对应两个根，要使原方程有5个根，则 有三个根，即 有3个交点，
所以 .故选：A
11．已知函数 ，若函数 恰有5个零点，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 恰有5个零点，
所以方程 有 个根，所以 有 个根，
所以方程 和 共有5个根；当 时， ，，
当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
因为 ，所以 ， ，当 且 时， ，
时， ，当 时， ， ，
故函数 在 上的图象为对称轴为 ，顶点为 的抛物线的一段，
根据以上信息，作函数 的图象如下：
观察图象可得函数 的图象与函数 的图象有2个交点，
所以方程 有两个根，所以方程 有3个异于方程 的根，
观察图象可得 ，所以 的取值范围为 ..故选：D.
12．已知定义在 上的函数 是偶函数，当 时， ，若关于 的方程
有且仅有 个不同实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【解析】由题意可知，函数 的图象如图所示：
根据函数图像，函数 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减；且 时取最
大值2，在 时取最小值0， 是该图像的渐近线.
令 ，则关于 的方程 即可写成 ，
此时关于 的方程应该有两个不相等的实数根
设 ， 为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：
①当 ， 时，此时 ，则 ；
②当 ， 时，此时 ，则 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .故选：C.
二、多选题
13．已知函数 ，若函数 恰好有4个不同的零点，则实数 的取值可
以是（ ）
A． B． C．0 D．2
【解析】由题意可知：
当 时， 在 上单调递减，则 ；当 时， 在 上单调递增，则 ；
若函数 恰好有4个不同的零点，
令 ，则 有两个零点，可得：
当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，可得 ；
可得 和 均有两个不同的实根，
即 与 、 均有两个交点，
不论 与 的大小关系，则 ，且 ，解得 ，
综上所述：实数 的取值范围为 .
且 ，故A、D错误，B、C正确.故选：BC.
14．已知函数 ，若关于 的不等式 恰有1个整数解，则实数 的
取值可以为（ ）
A．-2 B．3 C．5 D．8
【解析】由 解析式可得 图象如下图所示，由 得： ，
当 时， ，不等式无解；
当 时，由 得： ，
若不等式恰有1个整数解，则整数解为 ，
又 ， ， ，所以 ；
当 时，由 得： ，此时有多个解，故舍去；
综上所述：实数 的取值范围为 .故选：CD.
15．已知函数 ，若关于 的方程 至少有8个不等的实
根，则实数 的取值不可能为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【解析】由 ，得 ，
解得 或 ，作出 的图象如图所示，若 ，则 或 ，设 ，由 ，得 ，此时 或 .
当 时， ，有2个不等的实根;
当 时， ，有2个不等的实根，所以 有4个不等的实根，
若原方程至少有8个不等的实根，则必须有 且 至少有4个不等实根，
若 ，由 ，得 或 有1个根， 有3个不等的实根，此时有4个不
等的实根，满足题意;
若 ，由 ，得 有1个根，不满足题意;
若 ，由 ，得 有1个根，不满足题意;
若 ，由 ，得 或 或 ，
当 有1个根，
当 时， 有3个不等的实根，
当 时， 有3个不等的实根，
此时共有7个不等的实根，满足题意.
综上实数 的取值范围为 .故选：AD.
16．已知函数 若函数 有4个零点，则 的取值可
能是（ ）
A． B．-1 C．0 D．2
【解析】令 ，即 ，解得 或 .当 时， .由 ，得 ，由 ，得 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，且 .画出 的图象，如图所示.由图可知
有2个不同的实根，则 有4个零点等价于 有2个不同的实根，且 ，故
.
故选：AC
17．已知函数 ，若关于x的方程 有5个不同的实根，则
实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【解析】作出函数 的图象如下：
因为关于 的方程 有5个不同的实根，
令 ，则方程 有2个不同的实根 ，则 ，解得 或 ，
若 ，则 或 ，令 ，
或 ，解得 ，得 ；
当 时解得 ，此时 ，解得 ， ，不符合题意，故舍去；
综上可得 .故选：ABCD.
18．已知函数 ，其中e是自然对数的底数，记 ，
，则（ ）
A． 有唯一零点
B．方程 有两个不相等的根
C．当 有且只有3个零点时，
D． 时， 有4个零点
【解析】因为 ，所以 ，
所以 时， ， 时，
所以 的图像如下图，选项A，因为 ，令 ，由 ，得到 ，
由图像知，存在唯一的 ，使得 ，所以 ，
由 的图像知，存在唯一 ，使 ，
即 只有唯一零点，所以选项A正确；
选项B，令 ，如图，易知 与 有两个交点，所以方程 有两个不相等的根，
所以选项B正确；
选项C，因为 ，令 ，由 ，得到 ，
当 有且只有3个零点时，由 的图像知，
方程 有两等根 ，且 ，或两不等根 ， ，或
（舍弃，不满足韦达定理），
所以 或 即 或 ，所以 或 ，
当 时， ，满足条件，所以选项C错误；
选项D，当 时，由 ，得到 或 ，由 的图像知，当 时，有2个解，当
时，有2个解，所以选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
19．设函数 ，若关于 的方程 恰好有4个不相等的实数解，
则实数m的取值范围是________．【解析】因为 恰好有4个不相等的实数解，
所以 恰好有4个不相等的实数解，
所以 或 共有4个解，设 ， ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
又 ， ，当 时， ，所以 ；
设 ， ，则 ， 为单调减函数，
且 时， ， ， ，作出函数 的图象如图所示：
由图可知 只有一解，要 恰好有4个不相等的实数解，
即要 恰有3解，所以 ，即 ．
所以实数m的取值范围是 ．
20．已知函数 是 上的奇函数，当 时， ，若关于 的方程 有且仅有两
个不相等的实数解，则实数 的取值范围是__________.
【解析】由题设 ，若 ，则 ，
所以 ，值域为R，函数图象如下：当 时，只有一个 与之对应；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有三个对应自变量且 ；
当 时，有两个对应自变量，
记为 ，则 ；
当 时，有一个 与之对应；
令 ，则 ，要使 有且仅有两个不相等的实数解，
若 有三个解，则 ，此时 有7个解，不满足；
若 有两个解 且 ，此时 和 各有一个解，
结合图象知，不存在这样的 ，故不存在对应的m；
若 有一个解 ，则 有两个解，此时 ，
所以对应的 ，
综上， .
21．已知函数 ， ，若 有2个不同的零点，则实数 的取值范围是
____.
【解析】设 ，当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
综上可得， .
函数 的定义域为 ，由复合函数单调性可知函数 单调递增.
又 ，作出 的图象如图所示
由图象可知，当 时，曲线 与 恒有两个交点，即 有两个零点，
所以 的取值范围是 .
22．已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实数根时，实数a的
取值范围是______.
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以在 上单调递增，在 上单调递减， ，如图，设 ，则 ，显然 不是方程 的解，
则 （ 且 ），如下图所示，
（1）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）无交点，
则方程 无实数解，
（2）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一交点，其横坐标为 ，
此时直线 与曲线 有唯一交点，即方程 有唯一实数解
（3）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一交点，其横坐标为 ，
此时直线 与曲线 有两个交点，即方程 有两个实数解，
（4）当 ，直线 与曲线 （ 且 ）有两个交点，
设其横坐标分别为 ， （ ），
此时直线 和直线 与曲线 各有两个交点，
即方程 有四个实数解，
（5）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有两个交点，
设其横坐标分别为 （ ）， ，此时直线 与曲线 各有两个交点，
直线 与曲线 有唯一的交点，即方程 有三个实数解，（6）当 时，直线 与曲线 （ 且 ）有唯一个交点，
设其横坐标分别为 （ ），此时直线 与曲线 有两个交点，
即方程 有两个实数解，
（7）当 时，直线 与曲线有两个公共点，对应的t有两个负值，设为 ，
此时直线 和直线 与曲线 各有一个交点，
即方程 有两个实数解，
综上，当 或 或 时，方程 有两个不同的实数根.
23．已知函数 ，若函数 有 个零点，则实数 的取
值范围为____________．
【解析】 有 个零点等价于 有 个不等实根；
作出 图象如下图所示，设 ，则 有两个不等实根， ；
记 的两根为 ， 或 ；
当 时， ，解得： ，此时 ，不满足 ；
当 时， ，解得： ；
综上所述：实数 的取值范围为 .
24．已知函数 ， ，若函数 至少有4个不同的零点，
则实数 的取值范围是______.
【解析】设 ，因为 至少有4个不同的零点，所以方程 有且仅有两个不相等的根
，且由 得 ，故 .当 时，由 得 .
①若 ，则 ，此时 有3根 ， 共5
个零点，故 有5个零点，满足题意；
②若 ，则 ，所以 ，方程 有且仅有一个正根 与一个负根 ，此
时 共4个零点，故 有4个零点，满足题意；
③若 ，则 ，此时 必有两正根 ，且 ，此时满足 ，即 ，解得 .
综上有 .
四、解答题
25．已知函数 ， ．
(1)若 ，求函数 在 ， 的值域；
(2)令 ，则 ，已知函数 在区间 有零点，求实数 的取值范
围．
【解析】（1）因为 ，所以
，
由二次函数的性质可知，当 时，函数 为增函数，
所以函数的最大值为 ，函数的最小值为 ，则函数的值域为 ．
（2） ，令 ，由于 ，则 ，
则问题等价为 在 上有零点，
即 在 上有解，
即 ，令 ，则 ，则 ，
则由对勾函数的性质可知 在 上单调递增，
则当 时， ，当 时， ，
，即 ，即实数 的取值范围是 ．
26．已知二次函数 的图象经过原点，对称轴为直线 ，方程 有两个相等实根.
(1)求 的解析式;
(2)若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围;
(3)若函数 与 的图象有且只有一个公共点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）设 ，由题意可得 ，解之得 ，
∴ .
（2）由题可得， 对任意 恒成立.
令 ，则 ，
分离参数可得： 对任意 恒成立.
易知当 时， 取得最大值2，∴实数m的取值范围为 ；
（3）∵ 与 的图象有且只有一个公共点，令 ，则 ，
∴ 只有一个实数根.若 ，则 ，不符合题意，舍去;
若 ，则方程的两个异号的根或方程有两个相等的正实数根，
∴ ，或 ， ，
解得
综上，实数k的取值范围是 .
