文档内容
高数强化18讲 · 目录
目录
第一讲函数极限与连续................................................ 2
第二讲数列极限..................................................... 28
第三讲一元函数微分学的概念......................................... 44
第四讲一元函数微分学的计算......................................... 50
第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用......................... 55
第六讲一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式... 63
第七讲一元函数微分学的应用（三）——物理应用与经济应用............. 87
第八讲一元函数积分学的概念与性质................................... 93
第九讲一元函数积分学的计算........................................ 102
第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用........................ 113
第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式.......... 126
第十二讲一元函数积分学的应用(三)——物理应用于经济应用............ 140
第十三讲多元函数微分学............................................ 145
第十四讲二重积分.................................................. 175
第十五讲微分方程.................................................. 185
第十六讲无穷级数(仅数学一、数学三)................................ 196
第 1 页，共230页高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
第一讲函数极限与连续
1 1+x
P5例1.1当x→0时, f (x)= ln −arctanx与
2 1−x
第 2 页，共230页
g ( x ) = a x b 是等价无穷小,则ab=
__________.
P6例1.2当 x → 0 时,函数 f ( x ) = a x + b x 2 + l n ( 1 + x ) 与 g ( x ) = e x 2 − c o s x 是等价无穷
小,则 a b = _________.
P6例1.3已知 f ( x ) ln i m
( n
n x 2
1 ) x
1
=
→
−
+
,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P6例1.4已知
第 3 页，共230页
f ( x ) = l i
t →
m
0
1 + s i n
x
t
2 x
t ,则 f ( x ) = __________.
P6例1.5已知 f ( x ) = l i
t →
m
x
s
s
i n
i n
t
x
s in t
x
− s in x ,则 f ( x ) = __________.
P7例1.6已知 f ( x )
t
l i m
x (
1
1
e
e
x
x
t
t )
=
→ + +
−
,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P7例1.7已知
第 4 页，共230页
f ( x )
t
l i m
t
t
2
x
x
t
=
→ +
+
+
,则 f ( x ) = __________.
P7例1.8已知 f ( x )
t
l i m
x
x
t
t
1
2
x 3t
=
→ +
+
+
,则 f ( x ) = __________.
P7例1.9已知 f ( x ) ln i m
1
1
n
x
x
2 n
=
→ +
+
,则 f ( x ) = __________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P8例1.12已知
第 5 页，共230页
f ( x ) =
1
0
l n x 2 + t 2 d t ,求 f '+ ( 0 ) .
P9例1.13设 f ( x ) =
x
− 1
s i n
t
t
d t ,则 f ( 0 ) ().
(A)不存在且为 (B)存在且不为零
(C)存在且为零 (D)不存在且 f '+ ( 0 ) f '− ( 0 )
P9例1.14已知 f ( x ) =
s
0
in x
s i n t 2 d t ,判断 f (x)的奇偶性.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P9例1.15已知
第 6 页，共230页
f ( x ) =
1
0
t 2 − t x d t ( 0 x 1 ) ,求 f ( x ) 的一般表达式.
P9例1.16已知 f ( a )
a
a
2
l n ( 2 c o s x ) c o s x d x
=
+
+ ,则 f (a)的值().
(A)与a无关,且大于0 (B)与 a 无关,且小于0
(C)与a有关,且不小于0 (D)与 a 有关,且不大于0
P10例1.17证明:当 x 0 时, f ( x ) = x
0
( t − t 2 ) s i n 2 n t d t
4
1
n 2
( n 为正整数).高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P10例1.18已知
第 7 页，共230页
F ( x ) 20 s i n x s i n t d t ( x 0 )
= − 在 x → 0 + 处的二次泰勒多项式为
a + b x + c x
2
,则 a b c = __________.
P11例1.19已知 f ( x ) 20 x t s i n t d t
= − ,求 f ( x ) 的一般表达式.
P11例1.20设 f
x +
1
x
=
x
1
+
+
x
x
3
4
,则当 x 2 时, f (x)=__________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P12例1.21求区间
第 8 页，共230页
( 0 , ) + 上的正值可导函数 f (x),使其满足对任给的x0都有
1 x
f = ,且 f (1)=2.
x f (x)
P13例1.22若 f ( x ) , g ( x ) 满足下列条件: f ( x ) = g ( x ) ,且 g ( x ) = f ( x ) ,又 f (0)=0,
g ( x ) 0 .求曲线 y =
f
g
(( x
x
))
与 y = 1 , x = 0 , x = 1 所围平面图形的面积.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P14例1.23设函数
第 9 页，共230页
f ( x ) 在 0 ,
4
上单调、可导,且满足
f
0
( x )
f − 1 ( t ) d t =
x
0
t
c
s
o
i n
s t
t
−
+
s
c
i
o
n
s
t
t
d t ,其中 f − 1 ( x ) 是 f ( x ) 的反函数,求 f ( x ) 的表达式.
P14例1.24设 f ( x ) 为连续函数,且满足 f ( x ) − a f ( a x ) = x 2 , 0 a 1 ,求 f ( x ) 的表达
式.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P15例1.25设可导函数
第 10 页，共230页
f ( x ) 满足 f ( a ) = f ( b ) + f
a +
2
b
( a − b ) , a b , 且
f ( 0 ) = 1 , f ( x ) 在 x = 1 处取得极值0,求 f (x)的表达式.
P16例1.26设 f ( x ) =
2 x
l
2
n
−
x
l n x
,则 f(−1)=__________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P16例1.27设函数
第 11 页，共230页
f ( x ) = x − x ,其中 x 表示不超过x的最大整数,求
x
l i m
1
x
x
0
f ( t ) d t
→ +
.
1+x
P16例1.28设函数 f (x)= 在x=0处的2次泰勒多项式为a+bx+cx 2 ,则().
1−x
(A)a=1,b=1,c=1 (B) a = 1 , b = 1 , c =
1
2
1
(C)a=0,b=−1,c= (D)
2
a = 0 , b = − 1 , c = 1高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P17例1.29若
第 12 页，共230页
f ( x ) = 1 + x 2 + x 3 + o ( x 3 ) ( x → 0 ) , g ( x ) =
a
f
,
( x )
x
− f ( 0 )
, x
其
中
0 ,
x = 0 ,
且 g ( x ) 连续.
(1)求a的值;
(2)当x→0时,计算 g ( x ) 到三阶的带佩亚诺余项的泰勒公式.
P18例1.30已知函数 f ( x ) =
x
0 ,
a
s i n
b
x , x
x
=
0
0
,
,
且 a 1 , b 0 ,求 f(x).高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P18例1.31设
第 13 页，共230页
g ( x ) 连续可导, F ( x ) = f g ( x ) , f ( x ) = x .
(1)当g(x)0时,求F(x);
(2)当 g ( x ) 0 时,求 f g ( x ) ;
(3)当 g ( x ) = c o s x 时,讨论 f g ( x ) 在 ( 0 , ) 上是否连续,并说明理由.
P19例1.32设 f ( x ) = e
−
x
2 s i n x ,求曲线y = f (x)在 0 , ) + 上绕 x 轴旋转一周所得旋
转体的体积.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P19例1.33设函数
第 14 页，共230页
y = y ( x ) 由
x
y
=
=
2
t
t +
s i n
t
t
确定,则
d
d
y
x
t = 0
= ________.
P20例1.34设函数 f ( x ) =
1
x
+ x
, x 0 , 1 ,定义函数列:
f
2
( x ) = f f1 ( x ) , , f
n
( x ) = f f
n − 1
( x ) , .
f1 ( x ) = f ( x ) ,
记 S
n
是由曲线 y = f
n
( x ) ,直线 x = 1
及 x 轴所围平面图形的面积,求极限 ln i m n S
n
→
.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P21例1.36证明:
第 15 页，共230页
x l n
1
1
+
−
x
x
+ c o s x 1 +
x
2
2
( − 1 x 1 ) ,
P22例1.37已知 f ( x ) 是定义在 ( , ) − + 上任意阶可导的奇函数,
g ( x ) = l n f ( x ) + 1 + f 2 ( x ) ,则 g (1 0 ) ( 0 ) = _________.
P22例1.38已知 f ( x ) 是 ( , ) − + 上任意阶可导的奇函数, g ( x ) = f
1 −
1 +
2
a − x
,则
g
(6)
(0)=_________.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P22例1.39设
第 16 页，共230页
f ( x ) 在 a , b 上单调递增,证明
b
a
x f ( x ) d x
a +
2
b
b
a
f ( x ) d x .
P34例1.40设数列 a
n
满足 a
n + 1
= 2 a
n
+ 2 n + 2 , a
1
= 2 ,求 a
n
的表达式.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P34例1.41已知S 为数列
n
第 17 页，共230页
a
n
的前n项和,且满足a =S S ,a =−1,求S 的表达
n+1 n n+1 1 n
式.
P35例1.42已知数列 a
n
满足 a
n
a
n − 2
= a
n − 1
a
n − 2
+ 2 a
n − 1
( n 2 ) ,且 a
0
= a
1
= 1 ,求
a
n
( n 2 ) 的表达式.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P35例1.43已知数列
第 18 页，共230页
a
n
满足 a
n + 1
=
n
1
+ 1
( n a
n
+ a
n − 1
) ( n 1 ) , a
0
= 1 , a
1
= 0 ,求
a
n
− a
n − 1
( n 1 ) .
P35例1.44已知数列 a
n
满足 a
n + 1
=
a
a
n
n+
2
,且 a
1
= 1 ,求 a
n
的表达式.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P37例1.45计算
第 19 页，共230页
ln i m s i n
1
n 2
s i n
n
2
2
s i n
n
n
2 →
+ + +
.
P39例1.46已知 f ( x ) = c o s a x c o s b x ,则 f ( n ) ( x ) = _________.
t
P52例1.47求 f (x)=
t l → im x
x
t−
−
1
1
x−t
, x1, 的函数表达式,并判断
0, x=1
f ( x ) 在 x = 1 处的
连续性.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P54例1.48当
第 20 页，共230页
x → 0 时, c o s
e
2 x
2 − 1
− 1 c x k ,则ck =__________.
P54例1.49当 x → 0
+
时, e
(
s in 3 x
3)
− 1 c x
k
,则ck =_________.
P56例1.50讨论当 x → + 时, x + 1 + x − 1 − 2 x 关于
1
x
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P57例1.51当x→0时,
第 21 页，共230页
( x ) , ( x ) 是非零无穷小量,给出以下四个命题:
①若(x)(x),则 2(x) 2(x);
②若 2 ( x ) 2 ( x ) ,则 ( x ) ( x ) ;
③若 ( x ) ( x ) ,则 ( x ) ( x ) o ( ( x ) ) − = ;
④若 ( x ) ( x ) o ( ( x ) ) − = ,则 ( x ) ( x ) .
所有真命题的序号是().
(A)①③ (B)①④ (C)①③④ (4)②③④
P58例1.52设 f ( x ) = 2 − x x − x + o ( x − 1 ) , x → 1 ,且 f ( 1 ) = a ,则a=__________.
P59例1.53若极限
x
l i m
x x
x 1 0
1
1
x
→ +
−
−
存在,求的取值范围与此极限的值.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P59例1.54求极限
第 22 页，共230页
I ln i m n 2 ( n a n 1 a ) ( a 0 a 1 )
=
→
− + 且 .
P60例1.55求极限
x
l i m x 2 3
1
x 3 x
1
1
→ +
− +
.
P60例1.56求极限 lx i m x l n e
x
1
1
x
→
+
−
−
.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P61例1.57求极限
第 23 页，共230页
x
l i m l n ( 1 e x ) x
→ +
+ − .
P61例1.58求极限
x
l i m
( 1 x
x
)
3
2
x
→ +
+
−
.
P61例1.59求极限
x
l i m ( x 1 ) e 2
a rc ta n x
e x
→ +
−
+
−
.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P61例1.60求极限
第 24 页，共230页
x
l i m
( 1
x
1
x
x
) x
x
e → +
+
+
−
.
P62例1.61指出函数 f ( x ) =
x
1
+ l n
s
( 1
i n x
+ x )
的间断点并讨论其类别,其中[]为取整函数.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P63例1.62设函数
第 25 页，共230页
f ( x ) 在x 附近有定义,
0
l i
x →
m
x
0
f ( x ) 存在,证明 0 , 0 ,当
0 x −x ,0 x −x 时,有 f (x )− f (x ) .
1 0 2 0 1 2
P63例1.63设 f ( x ) 具有一阶连续导数,且
x
l i m x f ( x ) 0 , f ( 1 ) 1
→ +
− = ,证明:
(1)存在 1 ,使得 f ( ) 1 f ( 1 ) − − ;
(2)存在 1 ,使得 f ( ) 1 .高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P63例1.64设
第 26 页，共230页
f ( x ) 单调减少,
x
l i m f ( x ) 0
→ +
= ,证明 f ( x ) 0 .
P64例1.65设 x 0 ,记 x 到 2 k 的最小距离为 f (x),k =0,1,2, .
(1)证明 f ( x ) 以2为周期,并写出其在 0 , 2 上的表达式;
(2)求
x
l i m
x
0
f (
x
t ) d t
→ +
.高数强化18讲 · 1.函数极限与连续
P65例1.66已知函数
第 27 页，共230页
f ( x ) 的定义域是0,+),且满足 f ( 0 ) = 1 ,
1
f(x)= ,
f
2(x)+x 2
求证:
x
l i m f ( x )
→ +
存在,且
x
l i m f ( x ) 1
2
→ +
+ .高数强化18讲 · 2.数列极限
第二讲数列极限
P69例2.1“对任意给定的kN ,总存在正整数
+
第 28 页，共230页
N ,当 n N
1
时,恒有 x −a ”是
n k
2
数列x 收敛于a的().
n
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
P69例2.2“存在正整数 N ,当 n N 时,恒有 x
n
− a
1
n
”是数列 x
n
收敛于 a 的()
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
P70例2.3设 ln i m a
n
a
→
= ,且 a 0 ,则当n充分大时,有().
a
(A) a (B)
n
2
a
n
a
2
1
(C)a a− (D)
n
n
a
n
a +
1
n高数强化18讲 · 2.数列极限
P71例2.4若
第 29 页，共230页
x
1
= 1 , x
n + 1
= 4 + 3 x
n
, n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛,并求 lim x .
n
n→
P71例2.5若 x
1
=
1
3
, x
n + 1
=
1
3
+
1
3
x 2n , n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P71例2.6若
第 30 页，共230页
x
n + 1
=
a
a
+
+
a x
n
x
n
( n = 1 , 2 , ) ,且 a 1 , x
1
= b 0 ,证明数列x 收敛,并求
n
ln i m x
n
→
.
P72例2.7若 x
n + 1
=
x
n
+
3
2
( n = 1 , 2 , ) , x
1
= 0 ,证明数列 x
n
收敛,并求 lim x .
n
n→公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P72例2.8若
第 31 页，共230页
x
n 1
2
1
2
c o s x
n
( n 1 , 2 , ) , x
1
+
= + = = ,证明数列x 收敛,并求 lim x .
n n
n→
P73例2.9已知 x
1
=
1
2
, 2 x
n + 1
+ x 2n = 1 ( n = 1 , 2 , ) ,求 ln i m x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P73例2.10若
第 32 页，共230页
0 x
n
1 , x
n + 1
= 1 − 1 − x
n
( n = 1 , 2 , ) ,求:
(1) ln i m x
n
→
;
(2) ln i m
x
nx
n
1
→
+ .
P73例2.11设 x
1
a 0 , x
n + 1
= x 2n − 2 a x
n
+ 2 a 2 ( n = 1 , 2 , ) ,求 lim x .
n
n→高数强化18讲 · 2.数列极限
P74例2.12(1)(仅数学一、数学三)设
第 33 页，共230页
x
n + 1
= x
n
( x
n
+ a
n
) ( n = 1 , 2 , ) , x
1
= 1 ,且正项级
数
n 1
a
n
=
收敛,证明数列 x
n
收敛;
(2)设 x
n + 1
=
2 ( x
x
n
2n
− 1 )
( n = 1 , 2 , ) , x
1
1 ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n →
;
(3)设 x
1
0 , x
n + 1
=
2 x
3
3n
x
+
2n
1
( n = 1 , 2 , ) ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P74例2.13设
第 34 页，共230页
x
n + 1
= x
n
( 2 − x
n
) ( n = 1 , 2 , ) , 0 x
1
2 ,证明数列 x
n
的极限存在,并
求此极限.
P75例2.14(1)证明对任意正整数 n ,都有
n
1
+ 1
l n
1 +
1
n
1
n
成立;
(2)设 a
n
= 1 +
1
2
+ +
1
n
− l n n ( n = 1 , 2 , ) ,证明数列 a
n
收敛.高数强化18讲 · 2.数列极限
P76例2.15设
第 35 页，共230页
f
0
( x ) 是 0 , ) + 上连续的严格单调增加函数,函数 f1 ( x ) =
x
0
f
0
(
x
t ) d t
.
(1)补充定义 f1 ( x ) 在 x = 0 处的值,使得补充定义后的函数(仍记为 f (x))在0,+)上连
1
续:
(2)在(1)的条件下,证明: f1 ( x ) f
0
( x ) ( x 0 ) ,且 f1 ( x ) 也是 0 , ) + 上连续的严格单调
增加函数.
(3)令 f
n
( x ) =
x
0
f
n − 1
x
( t ) d t
, n = 1 , 2 , 3 , ,证明:对任意的 x 0 , ln i m f
n
( x )
→
极限存在.高数强化18讲 · 2.数列极限
P77例2.16若
第 36 页，共230页
x
n + 1
+
4
x
n
4 , x
n
0 , n = 1 , 2 , ,证明数列 x
n
收敛,并求 ln i m x
n
→
.
P77例2.17若 ( 1 − x
n + 1
) x
n
1
4
( n = 1 , 2 , ) , 0 x
n
1 ,证明数列 x
n
收敛,并求
ln i m x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P78例2.18设函数
第 37 页，共230页
f ( x ) 连续,对任意的 a
1
, a
n + 1
= f ( a
n
) , n = 1 , 2 , .关于下列两个结论:
①若 f ( x ) 严格单调增加且有上界,则 lim f (x)存在, lim a 也存在;
n
x→+ n→
②若 f ( x ) 严格单调减少且有下界,则
x
l i m f ( x )
→ +
不一定存在, ln i m a
n
→
一定存在.
正确的选项是( ).
(A)仅①正确 (B)仅②正确
(C)①②都正确 (D)①②都错误
P79例2.19已知 ( 2 + 2 ) n = a
n
+ 2 b
n
, a
n
, b
n
a 为整数,n=1,2, ,求 lim n .
n→b
n高数强化18讲 · 2.数列极限
P79例2.20设数列
第 38 页，共230页
x
n
, y
n
满足 x
n + 1
= s i n x
n
, y
n + 1
= y 2n , n = 1 , 2 , , x
1
= y
1
=
1
2
,当
n → 时,证明 y
n
是比 x
n
高阶的无穷小量.
P80例2.21设数列a ,b 满足
n n
a
0
1
2
, a
n 1
a 2n , n 0 , 1 , 2 , ; b
n
t a n b
n 1
, b
n
4
, 0 , n 0 , 1 , 2 , .
=
+
= = =
+
−
=
a
计算 lim n .
n→b
n高数强化18讲 · 2.数列极限
P80例2.22设
第 39 页，共230页
x
1
= a , y
1
= b , b a 0 .若 x
n + 1
=
x
n
+
2
y
n , y
n + 1
=
2
x
n
x
n+
y
ny
n
,证明
x
n
, y
n
收敛于同一值.
P81例2.23(仅数学一、数学三)已知 a
n
b
n
l n ( 1 a
n
) , a
n
0 , ln i m a
n
0
= + +
→
= ,且
n 1
a 2n
=
收
敛.
(1)求 ln i m
b
a
n2n
→
;
(2)证明
n
b
1
n
=
收敛.高数强化18讲 · 2.数列极限
P81例2.24(仅数学一、数学三)已知
第 40 页，共230页
e a n = a n + e a n + b n , a n 0 ,且
n 1
a n
=
收敛.
(1)证明
n
b
1
n
=
收敛;
(2)求 ln i m
b
a
n
n
→
.
P82例2.25(仅数学一、数学三)已知 e a n = a n + e b n , a n 0 ,且
n 1
a n
=
收敛.
(1)证明
n 1
b
a
n
n
=
收敛;
(2)求 ln i m
b
a
n2n
→
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 2.数列极限
P82例2.26设正项数列
第 41 页，共230页
a
n
收敛于0,a 0.若a =cosb −cosa ,
n n n n
a n 0, ,b n 0, ,且
2 2
( 1 − b n ) n = c o s b n
lncosb
n ,则 lim b n =_________. n
n→
P83例2.27(1)证明曲线y=nsinx与直线 x + y = 1 在 x ( 0 , 1 ) 内有唯一交点 x
n
;
(2)证明(1)中的 x
n
收敛,并求 lim x ;
n
n→
(3)计算 ln i m x
lnn n s in x
n
→
.高数强化18讲 · 2.数列极限
P84例2.28设
第 42 页，共230页
u = g ( x ) =
x
0
,
,
x
x
是?
是?
有
无
理
理
数
数
,
,
y = f ( u ) =
1
0
,
,
u
u
=
0
0
,
,
则 lx i m→
0
f g ( x )
_________.
P84例2.29关于实数数列 a
n
,给出以下4个命题:
①若 ln i m a
n
A
→
= ,则 ln i m s i n a
n
s i n A
→
= ;
②若 ln i m s i n a
n
s i n A
→
= ,则 ln i m a
n
A
→
= ;
③若 ln i m a
n
A
→
= ,则 ln i m e
a
n e
A
→
= ;
④若 ln i m e
a
n e
A
→
= ,则 ln i m a
n
A
→
= .
其中真命题的个数为 ( ) .
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 2.数列极限
P85例2.30已知数列
第 43 页，共230页
a
n
( a
n
0 ) .若 a
n
发散,则 ( ) .
(A)
a
n
+
1
a
n
发散 (B)
a
n
−
1
a
n
发散
1
(C)e a n + 发散 (D)
a
e n
e a n −
e
1
a
n
发散高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
第三讲一元函数微分学的概念
P87例3.1证明:函数
第 44 页，共230页
f ( x ) 可微的充分必要条件是 f (x)可导,且df (x)= f(x)dx.
P88例3.2设函数 f ( x ) 在点 x
0
处可导, l ( x ) 为曲线 y = f ( x ) 在点 ( x , f (x )) 处的切
0 0
线.
(1)写出 l ( x ) 的方程;
(2)对于经过切点 ( x
0
, f ( x
0
) ) 但不是l(x)的其他任何直线L(x)=ax+b,证明:存在
0 ,使得当 0 x x
0
− 时,有 f ( x ) − l ( x ) f ( x ) − L ( x ) .高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P89例3.3设 f (x),g(x)满足
第 45 页，共230页
f ( x ) g ( x ) ,且g(0)= g(0)=0,则 f (x)在x=0处
( ).
(A)不一定连续(B)连续但不一定可导
(C)可导且导数可能非零(D)可导且导数为零
P89例3.4设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内有定义,且 f(x )=c,x (a,b),又数列
0 0
x
n
, y
n
满足 a x
n
x
0
y
n
b , ln i m x
n
x
0
, ln i m y
n
x
0
.
→
=
→
= 计算
ln i m
f ( y
n
y
)
n
f
x
n
( x
n
)
→
−
−
.高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P90例3.5设函数
第 46 页，共230页
f ( x ) 在区间 ( − 1 , 1 ) 内有定义,且在点x=0处连续,则下列命题中
①当 lx i m→
0
f
3
( x
x
)
= 0 时, f ( x ) 在点 x = 0 处可导;
②当 lx i m→
0
f (
x
x
2
)
= 0 时, f ( x ) 在点 x = 0 处可导;
③当 f ( x ) 在点 x = 0 处可导时, lx i m→
0
f
3
( x
x
)
= 0 ;
④当 f ( x ) 在点 x = 0 处可导时, lx i m→
0
f (
x
x
2
)
= 0 .
真命题的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
P93例3.6设函数 f (x)处处可导, f (0)=−1, f(0)=1,令 g ( x ) = f ( x − 1 ) ,则 ( )
(A)g(x)在 x = 0 处必可导 (B) g ( x ) 在 x = 0 处必不可导
(C)g(x)在 x = 1 处必可导 (D)g(x)在 x = 1 处必不可导高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P97例3.7设
第 47 页，共230页
f ( x ) = x
2
3 s i n x ,求 f ( x ) .
P97例3.8设函数 f ( x ) 处处可导, f ( 0 ) = − 1 , f ( 0 ) = 1 ,令 g ( x ) = f ( x − 1 ) ,则g(1)=
_________.高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P98例3.9设
第 48 页，共230页
f ( x )
x
0 ,
s i n x , x
x
0
0
,
,
=
其中,是常数,且 0 .
(1)在什么情况下, f ( x ) 不是连续函数?
(2)在什么情况下, f ( x ) 连续但不可微?
(3)在什么情况下, f (x)可微,但 f(x)在−1,1上无界?
(4)在什么情况下, f ( x ) 可微,且 f ( x ) 在 − 1 , 1 上有界,但 f ( x ) 不连续?
(5)在什么情况下, f ( x ) 连续?
P99例3.10定义在 − 1 , 1
1 1 1
上的偶函数 f (x)满足 f (x)= , x ,其中
n
2 (n+1)2
n
2
n N + ,则( ).
(A)无论 f ( 0 ) 如何取值, f ( x ) 在 x = 0 处都不连续
(B)存在 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在x=0处连续但不可导
(C)存在唯一的 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在 x = 0 处可导
(D)存在多个不同的 f ( 0 ) 的取值,使得 f ( x ) 在x=0处可导高数强化18讲 · 3.一元函数微分学的概念
P99例3.11已知函数
第 49 页，共230页
y = y ( x ) 满足
x
y
=
=
2
5
t
t
+
2 +
t ,
3 t t ,
dy
则 =( ).
dx
t=0
(A)0 (B)2 (C)-15 (D)不存在高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
第四讲一元函数微分学的计算
P103例4.1设函数
第 50 页，共230页
f ( x )
1
可导且满足x 2 f(x)= f 2(x), f (1)= ,则
3
f ( n ) ( 0 ) = ( ).
(A)
(−1)n
n! (B)
(−1)n−1
n!
(C) ( − 2 ) n n ! (D) ( − 2 ) n − 1 n !
P104例4.2(1)设 y =
x ( 1
1
− x )
,求
d
d
n
x
y
n
;
(2)设 z =
x (
y
1
2
− x )
,求
n
x
z
n
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P104例4.3设
第 51 页，共230页
f ( x ) = ( x + 1 ) n e − x 2 ,则 f ( n ) ( − 1 ) = _________
P105例4.4设 y = x 2 s i n x ,求 y ( n ) .
P105例4.5设 f (x)= ( x 3 −1 )n ,则 f (n) (1)=_________高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P105例4.6已知
第 52 页，共230页
f ( x ) = s i n 6 x + c o s 6 x ,则 f ( 6 ) ( x ) = __________.
P106例4.7设 y =
1 +
x
x
2
,求 y ( n ) 满足的递推关系及 y ( 2 n + 1 ) ( 0 ) .
P106例4.8设 f ( x ) = a r c t a n 1
1
+
−
x
x
,则 f (1 1 ) ( 0 ) = _________.高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P107例4.9设函数
第 53 页，共230页
y = f ( x ) 由
x
y
=
=
2
t
t +
t a n
t
t
,
所确定,则在
2
,
2
−
内( )
(A) f (x)连续, f ( 0 ) 不存在
(B) f(0)存在, f ( x ) 在x=0处不连续
(C) f(x)连续, f(0)不存在
(D) f(0)存在, f ( x ) 在 x = 0 处不连续
P108例4.10设 f ( x ) = 3 x 3 + x 2 x ,则使 f ( n ) ( 0 ) 存在的最高阶数n为 ( ) .
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
P108例4.11已知函数 f (x)=
sin(sinx)
,则 f
(10)
(2)=__________.
2+cos(sinx)高数强化18讲 · 4.一元函数微分学的计算
P109例4.12设函数y= y(x)由方程x3+ y3+xy =3确定,则 y(x)e x =( ) .
x=1
7
(A)− e (B)
2
第 54 页，共230页
−
1
2
e (C)
1
2
e (D)
7
2
e
P110例4.13设函数 y = y ( x ) 由参数方程
x
y
=
=
e
6
t
(
+
t
t
−
+
1
1
)
,
e t + t 2
确定,则 ( ) .
dy d2y
(A) =0, 0 (B)
dx dx2
x=2 x=2
d
d
y
x
x = 2
= 0 ,
d
d
2
x
y
2
x = 2
0
dy d2y
(C) 0, 0 (D)
dx dx2
x=2 x=2
d
d
y
x
x = 2
0 ,
d
d
2
x
y
2
x = 2
0
P111例4.14已知函数 f ( x ) = e x + 2 x + 1 ,设g(y)与 f (x)互为反函数,则g(2)=( ).
1 1
(A) (B)-3 (C)− (D)
3 27
−
(
e
2
e
+
2
2
) 3高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
第五讲一元函数微分学的应用(一)——几何应用
P115例5.1曲线
第 55 页，共230页
x
y
=
=
t
1
0
2
−
l
te
n
−
(
u
2
2
−
d
t
u
2
,
)
在点(0,0)处的切线方程为_________.
P115例5.2已知曲线
(
2 − x n 2
)
y = 1 在点(1,1)处的切线与x轴的交点为
( x n , 0 ) , n = 2 , 3 ,
n2
,则 lim (x n ) 2 =__________ .
n→
P116例5.3设 f ( x ) 有连续的一阶导数,且 f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) = 1 .求极限 lx i m→
0
x
u
f
f
(( u
x
))
,其中
u是曲线y = f (x)在点 ( x , f ( x ) ) 处的切线在x轴上的截距.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P117例5.4设函数
第 56 页，共230页
f ( x ) = ( x 2 + a ) e x ,若 f ( x ) 没有极值点,但曲线y = f (x)有拐点,则
a 的取值范围是( ).
(A)0,1) (B) 1 , ) + (C) 1 , 2 ) (D) 2 , ) +
P118例5.6证明:若函数 f ( x ) 在 a , b 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则 f ( x ) 在 a , b 上严格单
调递增的充分必要条件是 f ( x ) 0 且 f ( x ) 在 a , b 的任意子区间上不恒为零.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P119例5.7设
第 57 页，共230页
f ( x ) = a c o s x + b s i n x 在 x
3
= − 处取得极小值,并且
2
2
f ( x )
2
d x 2
−
= .求常数 a , b 的值.
P119例5.8已知函数y=
y(x)由方程x3+ y3−3x+3y−2=0确定,求y(x)的极值.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P120例5.9设函数
第 58 页，共230页
f ( x ) 在x = x 处有二阶导数,则( ).
0
(A)当 f (x)在 x
0
的某邻域内单调增加时, f(x )0
0
(B)当 f ( x
0
) 0 时, f ( x ) 在 x
0
的某邻域内单调增加
(C)当曲线 f ( x ) 在 x
0
的某邻域内是凹的时, f ( x
0
) 0
(D)当 f ( x
0
) 0 时,曲线 f ( x ) 在 x
0
的某邻域内是凹的
P121例5.10设 y = k ( x 2 − 3 ) 2 ( k 0 ) 在拐点处的法线经过原点,则 k 的取值范围为 ( ) .
(A)
− 1 ,
4
1
2
(B)
−
4
1
2
, 1
(C)−1,1 (D)
−
4
1
2
,
4
1
2
高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P121例5.11已知
第 59 页，共230页
f ( x ) 在 0 , 1
f (x)
上单调增加, f (0)= f(0)=0,证明:函数g(x)=
ex
在 0 , 1 上单调增加.
P121例5.12设 f ( x ) 在 0 , ) + 上连续可微,且 f (0)=1, f(x) f (x).证明:
f (x)e x(x0).高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P122例5.13曲线
第 60 页，共230页
y = x l n ( e +
x
1
− 1
) 的斜渐近线方程为( )
Ay= x+e B y = x +
1
e
C y = x D y = x −
1
e
P122例5.14曲线 y =
( 1 + x
x
)
3
2
的斜渐近线方程为__________.
P122例5.15求曲线 y =
(1
1
x
+
+
x
x
)
x
( x 0 ) 的斜渐近线方程.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P123例5.16设函数
第 61 页，共230页
f ( x ) 在 ( , ) − + 内连续,且满足
x
0
f ( t − x ) d t = e − x −
x
4
2
− 1 ,则曲
线 y = f ( x ) 有斜渐近线_________.
P123例5.17函数 y = x 2 x 在区间 ( 0 , 1 上的最小值为_________.高数强化18讲 · 5.一元函数微分学的几何应用
P123例5.18设
第 62 页，共230页
f ( x ) 在区间0,4上连续,曲线 y = f ( x ) 与直线x=0,x=4,y=0围成
如图所示的三个区域,其面积分别为 S
1
= 3 , S
2
= 4 , S
3
= 2 ,且 f (0)=1,则 f (x)在0,4
上的最大值与最小值分别为( ).
(A)2,−3 (B) 4 , − 3
(C) 2 , − 2 (D)4,-2
例5.19设 f ( x )
x
x
2 s i n t d t
=
+
.
(1)证明 f ( x ) 是以为周期的周期函数;
(2)求 f ( x ) 的值域.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
第六讲一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分
不等式
P136例6.1已知函数
第 63 页，共230页
f ( x ) 在a,b上具有二阶导数, f ( a ) = f ( b ) = 0 ,证明:
(1)存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) f ( ) 0 + = ;
(2)当 f ( a ) f ( b ) 0 时,存在 , ( a , b ) ,使得
f()=0, f()+2f()+ f ()=0.
P138例6.2已知函数 f ( x ) 和g(x)在 a , b 上连续,在 ( a , b ) 内可导,且g(x)0,证明:
存在 ( a , b )
f ()− f (a) f()
,使得 = .
g(b)−g() g()高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P139例6.3设
第 64 页，共230页
f ( x ) 在 0 , 1 上连续,在 ( 0 , 1 ) 内可导,且满足
( k 1 )
f ( 1 ) = k
1
k0 x e 1 − x f ( x ) d x
,证明至少存在一点 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) ( 1 1 ) f ( ) = − − .
P139例6.4设 f ( x ) 在 0 , 1 上连续,在 ( 0 , 1 ) 内可导,且 f ( 1 ) = 0 ,证明存在 ( 0 , 1 ) ,使
得
( 1 ) f ( ) f ( ) 0 . + + =高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P140例6.5设正值函数
第 65 页，共230页
f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续,证明存在 ( a , b ) ,使得
f
g
(( ))
ab
f
g
(
(
x
x
)
)
d
d
x
x
=
P140例6.6证明:若 f ( x ) 连续且满足 20 f ( x ) c o s x d x 0
=
,则存在 0, ,使得
2
f ( ) 0 = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P140例6.7设函数
第 66 页，共230页
f ( x ) 在 0 , 上连续,且
0
f ( x ) d x 0 ,
0
f ( x ) c o s x d x 0
= = .证明:在
(0,)内至少存在两个不同的点
1
,
2
,使得 f ()= f ( )=0.
1 2
P141例6.8设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 上具有一阶导数, lx i m
f (
x
x )
→
= + .证明:对任意 a ,
存在 ( , ) − + ,使 f ( ) a = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P141例6.9设函数
第 67 页，共230页
f ( x ) 在 0 , 1 上二阶可导, f ( 0 ) = 0 ,且 f (x)在(0,1)内取得最大值
2,在(0,1)内取得最小值,证明:
(1)存在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 2 ;
(2)存在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 4 − .
P142例6.10设函数 f ( x ) 在 a , b 上一阶可导,在(a,b)内二阶可导,且
f (a)= f (b)=0, f(a) f(b)0,证明:
(1)存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) 0 = ;
(2)存在 ( a , b ) ,使得 f()= f();
(3)存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) f ( ) = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P143例6.11设函数
第 68 页，共230页
f ( x ) 二阶可导,若 f()0,证明存在a,b满足ab,使得
f (b)− f (a)
= f().
b−a
P143例6.12(1)设 f ( x ) 在 a , b 上可导,若 f '+ ( a ) f '− ( b ) ,证明:对于任意的介于 f '+ ( a )
与 f '− ( b ) 之间的,存在 ( a , b ) ,使得 f ( ) = ;
(2)若 f ( x ) 在(−,+)上具有二阶导数,证明:对任意的acb,都存在(a,b),使
得
( a
f
b
() a
( a
)
c ) ( b
f
a
() b
( b
)
c ) ( c
f
a
() c
(
)
c b )
1
2
f ( ) .
− −
+
− −
+
− −
= 高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P144例6.13设函数
第 69 页，共230页
f ( x ) 在 0 , 1 上可导, f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 ,且 f ( x ) x ,证明:存在
(0,1).使 f()1.
P145例6.14已知函数 f ( x ) 在 x
0
, x
0
) + 上连续,在(x ,x +)内可导,0,证明:若
0 0
l i
x →
m
x +0
f ( x ) = A ,则 f '+ ( x
0
) = A .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P146例6.15设函数
第 70 页，共230页
f ( x ) 在 ( , ) − + 上连续,且 f ( x ) =
x
0
f ( t ) d t .证明: f (x)=0.
P146例6.16设函数 f ( x ) 在区间a,b上满足:对任意 x , y a , b ,有
f ( x ) f ( y ) M x y , − − 其中 M 0 , 1 是常数.证明: f (x)在 a , b 上恒为常数.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P146例6.17设函数
第 71 页，共230页
f ( x ) 在 0 , ) + 上连续.对任意的a0,求证:
a x a
(1) f (t)dt dx= f (x)(a−x)dx;
0 0 0
a x 1 a 2
(2) f (x) f (y)dy dx = f (x)dx .
0 0 2 0
P147例6.18(1)若函数 f ( x ) 在 ( a , ) + 上可导,且
x
l i m f ( x ) A
→ +
=
f (x)
,求极限 lim ;
x→+ x
(2)若函数 f ( x ) 在 ( a , ) + 上可导,且
x
l i m f ( x )
→ +
= + ,证明
x
l i m f ( x )
→ +
= + .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P147例6.19已知函数
第 72 页，共230页
f ( x ) 在 ( , 0 ) − 上可导,且 lim f(x)= A0,证明
x→−
lim f (x)=−.
x→−
P148例6.20已知函数 f ( x ) 在 0 , 1 上连续,在(0,1)内可导,且 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 ,证明:存
在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 2 M ,其中 M = m0
ax x
1
f ( x ) .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P148例6.21已知
第 73 页，共230页
x
0
f ( t ) d t x f ( x ) , x 0 , f ( x ) e x = = ,则 lim=_________.
x→0+
P149例6.22设 f ( x ) 在 a , b 上连续,且 f (x)0,a0,证明存在(a,b),使得
b
b
a
2
f ( x
a
)
2
d x f
2
( )
−
=高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P149例6.23设函数
第 74 页，共230页
f ( x ) = x
1
e t 2 d t .证明:
(1)存在 ( 1 , 2 ) ,使得 f ( ) ( 2 ) e 2 = − ;
(2)存在 ( 1 , 2 ) ,使得 f ( 2 ) l n 2 e 2 = .
P151例6.24求极限 lx i m→
0
( 1 + x )
3
2
t a
−
n
( 1
x
−
2
x )
−
3
2
P151例6.25已知 lx i m→
0
(1 + x )
−
s
1
3
i n
−
2
(
x
a x + b )
= c 0 ，则(a,b,c)=_________.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P152例6.26已知
第 75 页，共230页
lx i m→
0
e
a rc ta n x
x
−
2 l
(
n
a
(
x
1
2
+
+
x
b
)
x + c
)
= d 0 ,则 ( a , b , c , d ) = ________.
P154例6.27设函数 f ( x ) 在 0 , 1 上二阶可导, f (0)= f (1),且 f ( x ) 2 ,证明:
f ( x ) 1 , x 0 , 1 .
P155例6.28设函数 f (x)在 a , b 上有二阶导数,且 f ' (a)= f ' (b)=0.
+ −高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P155例6.29设函数
第 76 页，共230页
f ( x ) 在 a , b 上连续,在(a,b)内二阶可导,且
f(x) 1, f (a)= f (b)=0.证明: ma
ax x
b
f ( x )
1
8
( b − a ) 2 .
P156例6.30设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内具有二阶导数,若对任意的 x R ,都有
f ( x ) 1 , f ( x ) 1 ,证明: f ( x ) 2 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P156例6.31设函数 f (x)在0,1上存在二阶导数,且对于任意x0,1, f(x) 1.若
第 77 页，共230页
f ( x ) 在区间 ( 0 , 1 ) 内取到最大值.证明: f ( 0 ) + f ( 1 ) 1 .
P157例6.32设函数 f ( x ) 在 0 , ) + 内具有三阶导数.若 lim f (x)存在,
x→+
x
l i m f ''' ( x ) 0
→ +
= ,证明: lim f(x)=0, lim f(x)=0.
x→+ x→+高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P157例6.33设函数
第 78 页，共230页
f ( x ) 具有二阶连续导数, f ()=0, f()0.若 x
n
以为极限,
f (x )
n−1 以x 为首项且满足x = x − ,n=1,2,3, ,证明:
0 n n−1 f(x ) n−1
( x
x
n −
n
1
−
−
x
x
n
n
−
−
1
2 ) 2
收敛于
2
f
f
(( ))
−
.
P158例6.34设函数 f ( x ) 在闭区间 1 , 3 上具有三阶导数,且
2
1
f ( x ) d x =
2
1
f ( x + 1 ) d x , f ( 2 ) = 0 .证明:存在 ( 1 , 3 ) ,使得 f ( ) 0 = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P160例6.35设函数
第 79 页，共230页
f ( x ) 在区间 0 , 1
1
上连续,且a= f (x)dx0.证明:在区间
0
( 0 , 1 ) 内
至少存在不同的两点, ,使得
1 2 f
1(
1
) f
1(
2
)
2
a
.
+ =
P160例6.36设函数 f ( x ) 在 a , b 上连续,对任意的xa,b,总存在ya,b,使得
f ( y )
1
2
f ( x ) 证明:至少存在一点 a , b ,使得 f ( ) 0 = .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P161例6.37设
第 80 页，共230页
f ( x ) 在 a , b 上可导,且 f (a) f (b)0,又当 x ( a , b ) 时,有
f(x)−f (x),则 f (x)在a,b上的零点个数为_______.
P161例6.38设 f ( x ) =
1 −
a
x
x
,其中xa0.
(1)求 f ( x ) 的水平渐近线;
(2)证明e a f (x)1.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P164例6.39证明:
第 81 页，共230页
l n x −
2 (
x
x
+
−
1
1 )
( x −
4
1 ) 3
( x 1 ) .
P165例6.40已知函数 f ( x ) 在区间 a , ) + 上具有二阶导数,
f ( a ) = 0 , f ( x ) 0 , f ( x ) 0 .设 b a ,曲线 y = f ( x ) 在点 ( b , f ( b ) ) 处的切线与 x 轴
的交点是 ( x
0
, 0 ) .证明: a x
0
b .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P165例6.41设
第 82 页，共230页
x ( 0 , 1 ) ,证明下面不等式:
(1)(1+x)ln 2(1+x) x 2 ;
1 1 1 1
(2) −1 − .
ln2 ln(1+x) x 2
P168例6.42若方程 x x ( 1 − x ) 1 − x = k 在区间(0,1)内有且仅有两个不同的实根,求 k 的取值
范围.高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P168例6.43求方程
第 83 页，共230页
( x + 2 ) e
1
x − k = 0 不同实根的个数,其中 k 为参数.
P169例6.44已知常数 k l n 2 − 1 .证明: ( x − 1 ) ( x − l n 2 x + 2 k l n x − 1 ) 0 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P170例6.45设函数
第 84 页，共230页
y = y ( x )
1 1
3
x= t +t+ ,
3 3
由参数方程 确定.
1 1
3
y = t −t+
3 3
(1)求 y ( x ) 的极值;
u = x,
(2)若 且v=v(u)恰有一个零点,求常数k 的取值范围.
v= y+k,
P172例6.46设函数 f ( x ) 在 0 , 1 上二阶可导, f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , mx
i0 n,1
f ( x ) = − 1 ,证
明:存在 ( 0 , 1 使 f ( ) 8 .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P173例6.47设函数
第 85 页，共230页
f ( x ) 在区间 − 1 , 1 上具有三阶连续导数,且
f (−1)=0, f (1)=1, f(0)=0.证明:在区间(−1,1)内至少存在一点,使 f()=3.
P174例6.48设函数 f ( x ) 在区间 0 , 1 上具有二阶连续导数,且 f (0)=0, f (1)=1,
1
0
f ( x ) d x =
2
3
,证明:存在 ( 0 , 1 ) ,使得 f ( ) 2 = − .高数强化18讲 · 6.一元函数微分学的中值、等式/不等式应用
P177例6.49设函数
第 86 页，共230页
f ( x ) 可导,则任给ab,均有
b
1
− a
b
a
f ( x ) d x = f
a +
2
b
是 f ( x )
为直线的( ).
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
P178例6.50设 f ( x ) 在 − a , a 上具有三阶连续导数,证明:存在 ( a , a ) − ,使
f (
3
) f ( a )
a 3
f ( a ) 2 f
a
(2 0 )
.
=
− −
−
高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的经济应用
第七讲一元函数微分学的应用（三）——物理应用与经济应用
P181例7.1如图所示,长度为
第 87 页，共230页
a m 的绳子通过一个定滑轮 P 将 A , B 两辆小车连接在一起.滑
轮到地面的垂足是 Q , P Q = 1 2 m .在某个时刻 t0 ,小车 A 在距离 Q 点 5 m 处以 2 m / s 的速度
远离 Q 点,若此时小车 B 的速度为 2 m / s ,求 a 的值.
P182例7.2个半球体状的雪堆,其体积融化的速率与半球面面积S 成正比,比例常数 K 0 .
假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状,已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的3小时内,融
7
化了其体积的 ,问雪堆全部融化需要多少小时?
8高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的经济应用
P182例7.3已知高温物体置于低温介质中,任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻
物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为
第 88 页，共230页
1 2 0 C 的物体在 2 0 C 恒温介质中冷却,
3 0 m in 后该物体温度降至 3 0 C ,若要将该物体的温度继续降至 2 1 C ,还需冷却多长时间?
P185例7.4设某商品的需求函数 Q = e
−
p
5 ,分别求 p = 3 , p = 5 和 p = 6 时的需求弹性.高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的经济应用
P185例7.5设生产
第 89 页，共230页
x
2
x
件产品的成本为C=25000+200x+ (元).当平均成本最小时,应生
40
产产品的件数为_________.
b
P186例7.6某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aP ,其中a和b为常数,当需求
量对价格 P 的弹性为 −
1
2
时,则( ).
1
(A)a0,b= (B)
2
a 0 , b = −
1
2
(C)a=1,b=2 (D)a=1,b=−2高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的经济应用
P186例7.7设某产品的需求函数为
第 90 页，共230页
Q = Q ( P ) ,收益函数为R=PQ,其中P为产品价格,Q
为需求量(产品的产量), Q ( P ) 是单调减函数,如果当价格为 P
0
,对应产量为 Q
0
时,边际收益
d
d
R
Q
Q = Q
0
= a 0
dR
,收益对价格的边际效应 =c0,需求对价格的弹性为
dP
P=P
0
E
P
= b 1 ,
求P 和Q .
0 0
P187例7.8一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 − 0 .2 x (万元/吨),x为销售量(单位:
吨),商品的成本函数是C=3x+1(万元).
(1)若每销售一吨商品,政府要征税 t (万元),求该商家获最大利润时的销售量;
(2)t为何值时,政府税收总额最大.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的经济应用
P187例7.9设某产品的需求函数为Q=Q(p),其对价格
第 91 页，共230页
p 的弹性
p
0 .2 = ,则当需求量为
10000件时,价格增加1元会使产品收益增加________元.
P187例7.10设某商品的收益函数为R(p),收益弹性为1+ p 3 ,其中 p 为价格,且R(1)=1,
则 R ( p ) =_________.
P188例7.11设某厂家生产某产品的产量为Q,成本 C ( Q ) = 1 0 0 + 1 3 Q ,该产品的单价为p,
需求量 Q ( p ) =
8
p
0
+
0
3
− 2 ,则该厂家获得最大利润时的产量为_________.高数强化18讲 · 7.一元函数微分学的经济应用
P188例7.12某产品的价格函数为
第 92 页，共230页
P =
2
3
5
5
−
−
0
0
.2
.7
5
5
Q
Q
,
,
Q
Q
2
2
0
0
,
( P 为单价,单位:万元; Q 为产
量,单位:件),总成本函数为 C = 1 5 0 + 5 Q + 0 .2 5 Q
2
(万元),则经营该产品可获得的最大利润
为________万元.
1
P188例7.13设某公司的总成本函数为C=C(Q)= Q 2 +36Q+9800,则最低平均成本为
2
__________.
例7.14设某商品的需求函数为 Q = 1 0 0 − 5 P ( Q 表示需求量, P 表示价格),则下列结论:
①当P=3时,若价格上涨幅度为 8 .5 % ,则销售收入减少 7 % ;
②当 P = 3 时,若价格上涨幅度为 8 .5 % ,则销售收入增加 7 % ;
③当 P = 1 2 时,若价格上涨幅度为 5 % ,则销售收入增加2.5%;
④当 P = 1 2 时,若价格上涨幅度为5%,则销售收入减少2.5%.
其中所有正确结论的序号是( ).
(A)①③ (B)①④ (C)②④ (D)②③高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
第八讲一元函数积分学的概念与性质
P191例8.1求极限
第 93 页，共230页
n
lim
1
n
n n ( n 1 ) ( n 2 ) n ( n 1 )
→
+ + + − .
P192例8.2设 f ( x ) x 2 , f ( x ) x 2 2 x 3 = = − + + 且 ( x ) 0 ,则
n
lim
1
3 n
i
n
1
i 2 ( n i )
n
1
( x ) →
=
−
+
= ( )
1
(A) (B)
12
1
6
1
(C) (D)
3
2
3高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P193例8.3
第 94 页，共230页
n
lim
n 2
n
1 n 2
n
1 1 n 2
n
1 2 2 n 2 1
n
( n 1 ) 2 →
+
+
+ +
+
+ +
+ +
+ + −
= ________.
P193例8.4设 a ( 0 ,1 )
n
i i
,则 lim sin =( ).
n→ ni+a n
i=1
(A) a − c o s a (B) a − s in a (C) 1 − c o s 1 (D)1−sin1
P194例8.5设 f ( x )
lim
n
a ,
( f x
1
n
) ,
1 c o s
x
n
c o s
2
n
x
c o s
n
n
1
x , x
x
x
0
0
0
,
,
=
→
−
+ + + +
−
=
连续,则a=
_______.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P194例8.6求极限
第 95 页，共230页
n
lim
k
n
1
4 n
c o s 2
k
4 n
→
=
.
P195例8.7设函数 f ( x ) 在区间 0 ,1
1
上连续,则 f (x)dx=( ).
0
n
2k−11
(A) lim f (B)
n→ 2n n
k=1
n
lim
k
n
1
f
2 k
2 n
1 1
2 n →
=
−
(C)
n
lim
2
k
n
1
f
k
2 n
1 1
n →
=
−
(D)
n
lim
2
k
n
1
f
k
2 n
2
n →
=
P195例8.8求极限
n
lim
1 2 3 2
n
3
( 2 n 1 ) 2
→
+ + + −
.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P200例8.9设常数
第 96 页，共230页
p 0 , q 0 ,若
1
0 x p (
ln
1
x
− x ) q
d x 收敛,则( ).
(A) 0 p 1 ,1 q 2 (B) p 1 ,1 q 2
(C) 0 p 1 , 0 q 1 (D) p 1 , 0 q 1
P201例8.10设 p 为常数,若 1
0
x p ( 1 − x ) p − 1 ln x d x 收敛,则( ).
(A) p − 1 (B) − 1 p 0 (C) 0 p 1 (D) p 1
P201例8.11判断下列反常积分的敛散性.
+ln(1+x) + x−1 p
(1) dx(p0); (2) ln dx(p0);
0 x p 1 1+x高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
p
+x arctanx
(3) dx; (4)
0 2+x q
第 97 页，共230页
20 ln s in x
ln
1
s in x
d x
+
;
+ 1
(5) dx.
0 3x(x−2)2(x−4)
P203例8.12(1)证明
1
c o
x
s
2
x
d x
+
绝对收敛;
(2)证明
1
s in
x
x
d x
+
收敛.高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
+
P205例8.13设 f (x)dx收敛,且 lim f (x)=b存在,证明b=0.
a x→+
P205例8.14设
第 98 页，共230页
a
f ( x ) d x
+
收敛,且 f ( x ) 在a,+)上单调增加,证明:
(1) f (x)有上界;
(2) lim f (x)=0.
x→+高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P205例8.15设
第 99 页，共230页
a
f ( x ) d x
+
收敛,且 f (x)在a,+)上单调减少.证明:
(1)对任意 0 ,存在 X a ,当 x 2 X 时,
xx
2
f ( t ) d t 2 ;
(2) lim xf (x)=0
x→+
P206例8.16设 f ( x ) 在 a , ) +
+ +
上可导,且 f (x)dx, f(x)dx均收敛,证明
a a
x
lim f ( x ) 0
→ +
= .高数强化18讲 · 8.一元函数积分学的概念与性质
P206例8.17设
第 100 页，共230页
a
f ( x ) d x
+ +
收敛, f (x)在a,+)上可导且单调减少,证明 xf(x)dx收
a
敛.
P206例8.18设函数 f ( x ) 在 1 , ) + 上二阶可导,且 f (x)0, lim f(x)=+,证明
x→+
1 f
1(
x )
d x
+
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P207例8.19设函数
第 101 页，共230页
f ( x ) 在0,+)上可导,且 f(x)0, f (0)=1,则
0 f ( x )
1
f ( x )
d x
+
+
收
敛是
0 f
1(
x )
d x
+
收敛的( ).
(A)充要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既非充分也非必要条件高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
第九讲一元函数积分学的计算
P212例9.1求下列不定积分.
(1)
第 102 页，共230页
x 2 +
x
2 x + 2
d x ; (2)
x 2 +
x
2 x − 3
d x .
P213例9.2求下列不定积分.
(1) a 2 − x 2 d x ( a 0 ) ; (2) a 2 + x 2 d x ( a 0 ) ;
(3) x 2 − a 2 d x ( a 0 )
P213例9.3求下列不定积分.
(1)
x 2
1
1 + x 2
d x ; (2)
( 1 +
1
x 2 ) 2
d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P214例9.4求下列不定积分.
1 dx
(1) dx; (2) .
ex +1 ex +1
P214例9.5求下列不定积分.
(1)x x2 +2x+2dx; (2)x x2 +2x−3dx.
P215例9.6(1)设 f (x)连续,证明
第 103 页，共230页
0
f ( x ) d x
0
f 1
x
1
x 2
d x + = + ;
(2)计算
0 1
1
x 4
d x +
+
和
0 1
1
x 3
d x +
+
.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P215例9.7求
第 104 页，共230页
2 x
x
+
+
1
1
d x .
P216例9.8设 a
n
n
0
x s in x d x , n 1 , 2 ,
= = ,求a 的表达式.
n
P216例9.9求下列不定积分.
(1)
( 1
x
+
e x
x ) 2
d x ; (2)
( 2
x 2
+
e x
x ) 2
d x ;
xex
(3) dx.
ex +1高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P217例9.10求下列不定积分.
(1)exsinxdx; (2)
第 105 页，共230页
s e c 3 x d x ;
(3)sin(lnx)dx (4) 1+x2dx;
(5) s in 2 x d x ;
P218例9.11 e x
1
1
−
+
x
2 x
2
d x = _________.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P218例9.12求下列不定积分.
(1)
第 106 页，共230页
I
5
= s in 5 x d x
dx
; (2)I = .
3 ( a2 +x2)3
P219例9.13设 n 为非负整数,则
1
0
x 2 ln n x d x = _______.
+
P219例9.14设a = xne−x dx,n=1,2, ,求a 的表达式.
n 0 n高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P220例9.15求不定积分
第 107 页，共230页
x 3 −
3 x
5
+
2 x
1
+ 6 x
d x .
P221例9.16求下列不定积分.
(1)
( x
x
+
2
1 ) 5
d x ; (2)
x ( 1
1
+ x 5 )
d x ;
1
(3) dx.
x2( 1+x2)2
P221例9.17求下列不定积分.
(1)
s
c
i
o
n
s
5
4
x
x
d x ; (2)
s in x
1
+ s in 3 x
d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P222例9.18求不定积分
第 108 页，共230页
s in 2 x c o s 3 x d x .
P222例9.19求不定积分
2
s
s in
in x
x
+
+
2
c
c
o
o
s
s
x
x
d x .
P223例9.20求不定积分
1 +
1
2 c o s x
d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P223例9.21已知x3 =(x+y)y3,求
第 109 页，共230页
d
y
x
3
.
P223例9.22已知x= y(x−y)2,求
x
1
− 3 y
d x .
P224例9.23设 y = y ( x ) 由方程 y 3 + x y − 1 = 0 所确定,求 y 2 d x .高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P225例9.24设函数
第 110 页，共230页
f ( x ) 在0,+)内可导, f (0)=0,其反函数为g(x).若
x+f(x) g(t−x)dt=x2ln(1+x),求 f (x).
x
P225例9.25设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内非负连续,且 x tf ( x2) f ( x2 −t2) dt=sin2( x2) ,
0
求 f ( x ) 在 0 , 上的平均值.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P226例9.26设
第 111 页，共230页
x 1 ,求积分 I ( x ) = 1
− 1
t − x e 2 t d t 的最大值.
P227例9.27设函数 f ( x ) = 1
0
t 2 − x 2 d t ( x 0 ) ,求 f(x),并求 f ( x ) 的最小值.
P227例9.28极限 lim
t→ 0 +
1
5 t
t
0
d y
t
y
s in ( x
x
y ) 2
d x = _________.高数强化18讲 · 9.一元函数积分学的计算
P228例9.29函数
第 112 页，共230页
f ( x ) =
(
1
x
1
+
+ 1
x) 2
c
,
o s x ,
x
x
0
0
,
的一个原函数为( ).
ln ( 1+x2 −x ) , x0, ln ( 1+x2 −x ) +1, x0,
(A)F(x)= (B)F(x)=
(x+1)cosx−sinx, x0 (x+1)cosx−sinx, x0
ln ( 1+x2 +x ) , x0, ln ( 1+x2 +x ) +1, x0,
(C)F(x)= (D)F(x)=
(x+1)sinx+cosx, x0 (x+1)sinx+cosx, x0
P229例9.30设 f ( x ) =
e
1
−
+
x ,
x 2 ,
x
x
0
0
,
,
则 2 f (x−1)dx=__________.
−2
P229例9.31设 f ( x ) =
2
(
x
e
+
x
x
e
+
3
2x
1
2 x
2 )
, −
, 0
1
x
x
1
0
,
,
求函数 F ( x ) = x
− 1
f ( t ) d t 的表达式.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
第十讲一元函数积分学的应用(一)——几何应用
P240例10.2求伯努利双纽线
第 113 页，共230页
r 2 a 2 c o s 2 ( a 0 ) = [见图]所围图形的面积以及绕Ox轴、 O y
轴分别旋转得到的旋转体的体积.
P243例10.6求三叶玫瑰线 r a s in 3 ( a 0 ) = [见图(a)]所围图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P243例10.7求四叶玫瑰线
第 114 页，共230页
r a s in 2 ( a 0 ) = [见图(a)]所围图形的面积.
P245例10.10求笛卡儿叶形线 x 3 + y 3 − 3 a x y = 0 ( a 0 ) (参数方程为
x
y
=
=
3 a
1 +
3 a
1 +
t
3 t
2 t
3 t
,
( a 0 ) )所围
图形的面积及渐近线.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P247例10.13求曲线
第 115 页，共230页
y = x ( 1 − x ) 9 在0,1上与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得的旋转体
的体积.
P247例10.14设 D 是由曲线 y = x
13
,直线 x = a ( a 0 ) 及 x 轴所围成的平面图形,V ,V 分别
x y
是 D 绕 x 轴, y 轴旋转一周所得的旋转体的体积.若 V
y
= 1 0 V
x
,求 a 的值.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P247例10.15设
第 116 页，共230页
f
n
( x ) =
( n x )
n
2 + 1
, n = 1 , 2 , ,记 S
n
为 f
n
( x ) 与 f
n + 1
( x ) 所围图形面积,证明
S
n
4
3
1
n 3
.
P248例10.16设 y lim
n 1
1
n
x
x 2 n
=
→ +
+ ,则曲线y= y(x)与 x 轴及x=1所围图形面积为
__________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P248例10.19已知
第 117 页，共230页
y = x a
−
x2
a ( a 1 , 0 x + ) 与x轴中间部分区域绕x轴旋转一周生成的
旋转体的体积为 e 2 ,则 a = __________.
P249例10.20求 y = 3 x 2 + 2 x ( x 0 ) 与x=1,y=0围成的平面图形绕 y轴旋转一周所生成的
旋转体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P249例10.21求曲线
第 118 页，共230页
x 2 + y 2 = 2 y
y
1
2
与 x 2 + y 2 = 1
y
1
2
所围成的平面图形绕 y 轴旋
转一周所生成的旋转体的体积.
P249例10.22求曲线 y = 3 − x 2 − 1 与x轴所围成的图形绕直线y=3旋转一周所生成的旋转
体的体积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P250例10.24设
第 119 页，共230页
P ( x , y ) 为曲线 L :
x
y
c
2
o
s
s t
in
,
2 t
0 t
2
=
=
上一点,作过原点 O ( 0 , 0 ) 和点 P 的
直线 O P ,将曲线 L 、直线 O P 以及 x 轴所围成的平面图形记为 A .
(1)求平面图形 A 的面积 S ( x ) 的表达式;
(2)将平面图形A的面积 S ( x ) 表示为t的函数 S = S
1
( t ) ,并求
d S
d t
1 取得最大值时点P的坐
标.
P251例10.25求曲线 y 2 = ( 1 − x 2 ) 3 所围图形的面积.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P251例10.26求曲线y=x 4x−x2 在区间0,4上与
第 120 页，共230页
x 轴所围图形绕 y轴旋转一周所得的旋
转体的体积.
P252例10.27已知函数 f (x)在 0 , 3
2
3 cosx 上连续,在 0, 内是函数 的一个原函数,
2 2x−3
且 f ( 0 ) = 0 .
(1)求 f (x)在区间 0 ,
3
2
上的平均值;
(2)证明 f ( x ) 在区间 0 ,
3
2
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P253例10.29求下列曲线围成的区域绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
1
− x (1)y=e 2 sinx 在
第 121 页，共230页
0 , 2 部分与 x 轴围成的平面区域;
(2) y = e − x
n
s in
( n
x
+ 1 )
( x 0 , n = 1 , 2 , ) 与 x 轴中间部分区域;
(3) y = 1 − x 2 ( 0 x 1 ) 与
x
y
c
s
o s
in
3 t
3 t
,
0 t
2
=
=
围成的平面区域.
P254例10.30设星形线的方程为
x
y
=
=
2
2
c
s
o s
in
3 t ,
3 t ,
则它绕x轴旋转一周而成的旋转体的表面积为
_________.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P254例10.31双纽线
第 122 页，共230页
r 2 a 2 c o s 2 ( a 0 ) = 绕极轴旋转一周所围成的旋转曲面面积S =
___________.
P255例10.32求曲线段 y = ln x ( 2 x 6 ) 的一条切线,使该切线与直线 x = 2 , x = 6 及此曲线
段所围平面图形的面积最小.高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P256例10.34求曲线
第 123 页，共230页
( y + 1 ) 2 = ( 2 − x ) ln x 在区间[1,2]上所围成的平面图形绕直线y=-1旋转
一周所生成的旋转体的体积.
P256例10.35求曲线 y =
x
e
, y = ln x 与x轴围成图形绕直线 x = e 旋转一周所生成的旋转体的
体积高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P256例10.36设函数
第 124 页，共230页
y = f ( x )
e−xcosx
满足微分方程y+ y= ,且
2 sinx
f ( ) 0 = ,则曲线
y = f ( x ) ( x 0 ) 绕 x 轴旋转一周所生成旋转体的体积是( ).
(A)
5 ( 1 e 2 )
+ −
(B)
5 ( 1 e 2 )
− −
(C)
5 ( 1 e )
+ −
(D)
5 ( 1 e )
− −
P257例10.37求下列曲线与 x 轴所围区域的面积.
(1) y = ( x + 1 ) ( e n x − 1 ) ( n 1 ) ;(2) y
x
2
2
e 2 x , x 0 , ) = − + ;
(3) y e x s in x , x 0 , ) = − + ;(4) y =
x
e
, y = ln x .高数强化18讲 · 10.一元函数积分学的几何应用
P258例10.38求下列区域绕
第 125 页，共230页
x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积.
(1) y = e − x , x 轴, y 轴, x ( 0 ) = 所围成的曲边梯形;
(2) y =
e x +
2
e − x
, x = 0 , x = t ( t 0 ) , y = 0 所围成曲边梯形;
3
(3)y= xe
−
2
x(x0)下方及
x 轴上方的无界区域.高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
第十一讲一元函数积分学的应用(二)——积分等式与积分不等式
P264例11.1已知函数
第 126 页，共230页
f ( x ) = e sin x + e − sinx ,则 f(2)=__________.
P264例11.2已知函数 f ( x ) = xe0 c o st d t , g ( x ) = sin
0
xe 2t d t ,则（ ）
(A)𝑓(𝑥)是奇函数,𝑔(𝑥)是偶函数
(B)𝑓(𝑥)是偶函数,𝑔(𝑥)是奇函数
(C)𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)均是奇函数
(D)𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)均是周期函数
1 dx
P265例11.3I = =__________.
−1 1
1+ex高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P265例11.4
第 127 页，共230页
I 2
2
1
s in 4
e
x
x
d x
=
− + −
= __________.
P265例11.5(1)设 I
a
a
s in n x d x , n 1 , 2 , , a
=
+
= 为任意常数,则( ).
(A) I 只与 a 有关 (B) I 只与 n 有关
(C) I 与 a , n 均有关 (D) I 与 a , n 均无关
k
a+
(2)设I = 2 1−sin2x dx,k为正整数,
a
a 为任意实数,则( ).
(A) I 只与 a 有关 (B) I 只与 k 有关
(C)I 与 a , k 均有关 (D)I 与 a , k 均无关高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P266例11.6设一阶齐次线性微分方程y+ p(x)y=0的系数
第 128 页，共230页
p ( x ) 是以T 为周期的连续函
数,则“该方程的非零解以 T 为周期”是“ T
0
p ( x ) d x = 0 ”的( ).
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件
P267例11.7设可导函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x ) , f ( 0 ) = 1 ,又 f(x) g(t)dt= x t2sin3t dt ,则
0 0sint+cost
f ( ) = __________.
ln(1+x)
1
P268例11.8I = dx=_________.
0 1+x2高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P268例11.9 x cos2x−cos4x dx=_________.
0
P269例11.10设
第 129 页，共230页
f ( x )
为连续函数,4f (2x)dx− f (x)=cos4x,则2f (x)dx=________.
0 0
P269例11.11设数列 a
n
的通项 a
n 0 ( 1
d x
x 2 ) n
, n 2 , 3 , = +
+
=
ln(1+e2n)
a ,计算lim n+1
n→ a
n高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P270例11.12已知函数
第 130 页，共230页
f ( x ) 在 0 ,
2
上可导,且 20 f ( x ) c o s x d x 0
=
,证明存在0, ,使
2
得 f ( ) f ( ) ta n = .
P273例11.13计算下列积分.
(1) 2
0
( x − 1 ) d x ;
(2) 2
0
x ( x − 1 ) ( x − 2 ) d x ;
(3) 2n x(x−1)(x−2) (x−n) x−(2n−1)(x−2n)dx.
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P274例11.14计算下列积分.
4
(1) x 4x−x2 dx;
0
(2)
2(2x+1)
2x−x2 dx.
0
P275例11.15设函数
第 131 页，共230页
F ( x ) x
x
2 f ( t ) d t = + ,其中 f (t)=esin2t( 1+sin2t ) cos2t,则 F ( x ) ( ).
(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不是常数高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P275例11.16已知
第 132 页，共230页
f ( x ) 2
0
s in
x
x d x = ,则 f (x)( ).
(A)大于零 (B)小于零 (C)恒为零 (D)非常数
3
P276例11.17设𝐼 =∫2 𝜋 cos𝑥 d𝑥,则𝐼( ).
0 2𝑥−3𝜋
(A)恒正 (B)恒负 (C)存在零点 (D)发散
P276例11.18证明:𝐹(𝑥)=∫ 𝑥+2𝜋 esin𝑡sin𝑡 d𝑡 >0.
𝑥高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P277例11.19证明:
第 133 页，共230页
0
2
s in x 2 d x 0
.
P277例11.20设函数 f ( x ) 具有二阶导数, f ( x ) 0 , f ( x ) 0 ,记I = f (x)sinxdx,
1
−
I = f (x)cosxdx,则( ).
2
−
(A)I 0,I 0 (B)
1 2
I
1
0 , I
2
0
(C)I 0,I 0 (D)I 0,I 0
1 2 1 2高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P278例11.21设
第 134 页，共230页
f ( x ) lim
t
t 2 s in
x
t
g 2 x
1
t
g ( 2 x )
=
→
+
−
,且 g ( x ) 的一个原函数为 ln ( x + 1 ) ,
求 1
0
f ( x ) d x
P278例11.22已知 f ()=1,且
0
f ( x ) f ( x ) s in x d x 3 + = ,求 f (0).高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P279例11.23设
第 135 页，共230页
f ( x ) = xe0 − 2t + 2 t d t ,求 1
0
( x − 1 ) 2 f ( x ) d x .
P279例11.24设函数 f ( x ) 在区间 0 ,1 上具有连续导数,且 1
0
x 2 f ( x ) d x = 1 .证明:
(1)存在 0 ,1 ,使得 f ( ) 3 = ;
(2)若 f ( 1 ) = 1
0
f ( x ) d x = 0 ,则存在 0 ,1 ,使得 f ( ) 6
7
= − .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P280例11.25已知
第 136 页，共230页
f ( ln x )
1 ,
x ,
x
x
(( 0
1
,1
,
) ,
) ,
f ( 0 ) 0
=
+
= ,则 f ( 1 ) = _________.
P281例11.26 lim
n
1
0
( n 1 ) x n ln ( 1 x ) d x
→
+ + = ( ).
(A) ln 2 (B)1 (C)e2 (D)+
例11.27设函数 f ( x ) 在 ( , ) − + 内具有二阶连续导数.证明: f ( x ) 0 的充分必要条件是
对不同的实数 a , b , f a +
2
b
b
1
− a
b
a
f ( x ) d x .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P282例11.28设函数
第 137 页，共230页
f ( x ) 在 a , b 上连续且严格单调递增,且 f ( x ) 0 .求证:
( b − a ) f ( a ) b
a
f ( x ) d x ( b − a )
f ( a ) +
2
f ( b )
.
P283例11.29设函数 f ( x ) 在 a , b
a+b
上具有二阶连续导数,且 f =0.证明:存在
2
a , b ,使得 f ( )
( b
2 4
a ) 3
b
a
f ( x ) d x . =
−
高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P284例11.30证明
第 138 页，共230页
lim
n
40 s in ( n x ) s in n x d x 0
→
= .
P286例11.31设 f ( x ) 可积,且 lim
x
f ( x ) a
→ +
= ,证明 lim
x
1
x
x
0
f ( t ) d t a
→ +
= .
P287例11.32设 f ( x ) 在 0 ,1 上具有二阶连续导数, f (0)= f (1)=0, f(x)0,证明:对于
任意 x ( 0 ,1 ) , 1
0
f
f
( x
( x
))
d x 4 .高数强化18讲 · 11.一元函数积分学的积分等式/不等式应用
P288例11.33设 f (x)在a,b上单调递增且连续,证明
第 139 页，共230页
b
a
x f ( x ) d x a +
2
b b
a
f ( x ) d x .
P288例11.34求极限 lim
n
1
0
x 2 s in 2 n x d x
→
.
P289例11.35求极限lim 1 h f (x)dx,其中函数
h→0+ −1h2 +x2
f ( x ) 在−1,1上连续.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的经济应用
第十二讲一元函数积分学的应用(三)——物理应用于经济应用
P291例12.1如图所示,井深a米,每米绳子的重量是
第 140 页，共230页
5 N ,挂斗重400N,污泥重 1 5 0 0 N ,
将挂斗从井底提到井口所做的功为 5 9 2 5 0 J ,则 a = _________.
P291例12.2半径为 a
的半球形水池蓄满了水,水的比重为1,现将水抽干,至少做功 ,则
2
a = _________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的经济应用
P292例12.3如图所示,一闸门的上部是一个宽为2米、高为
第 141 页，共230页
H 米的矩形,下部由y= x2与
y=1围成.当闸门上边缘与水面在一个平面时,其上部所受水压力与下部所受水压力之比为
5
,求上部的高度
4
H .
P293例12.4设沿 y 轴上的区间0,1放置一长度为1且线密度为的均匀细杆,在 x 轴上
x = 1 处有一单位质点,则该细杆对此质点的引力( G 为引力常量)沿x轴正向的分力为
_________.高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的经济应用
P293例12.5将地面上质量为m的物体竖直举高H 米,求克服重力所做的功
第 142 页，共230页
W ( H ) .
P294例12.6水从一根底面半径为 1 c m 的圆柱形管道中流出.因为水有黏性,在流动过程中
受到管道壁的阻滞,所以流动的速度是随着到管道中心的距离而变化的.距管道中心越远,水
流速度越小,在距离管道中心 r c m 处的水的流动速度为 1 0 ( 1 − r 2 ) c m / s .问水是以多大流
量(以 c m 3 / s 为单位)流过管道的?高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的经济应用
P294例12.7(1)宽度为6m的金属板，三分之一作为侧边,做成排水沟[见图(a)]，问折起角
度多大时，排水沟的截面积S最大;
(2)设一抛物线过(1)中所求得截面的
第 143 页，共230页
A , D 及 B C 中点,记该抛物线与直线段 A D 所围成封
闭平面的面积为 S ,求
S
S
;
(3)若排水沟长为 1 m ,其横截面原为(1)中等腰梯形的形状,因淤泥沉积形成了(2)中抛物线
的形状,现清楚淤泥,恢复(1)中的形状,将淤泥搬运出排水沟,至少作多少功?(设单位体积的
淤泥重为 N )高数强化18讲 · 12.一元函数积分学的经济应用
P296例12.8若某厂产品的边际收益为R(x)=20−2x,求:
(1)总收益函数R(x);
(2)当该厂产品的销售量由10个单位减少到5个单位时,收益的变化量.
P297例12.9某厂生产的产品的边际成本为产量x的函数,边际成本为
第 144 页，共230页
C ( x ) = x 2 − 4 x + 6 ,固定成本为C =200千元,且每单位产品的售价为
0
p = 1 4 6 千元,并假
定生产出的产品能全部售出.求:
(1)总成本函数 C ( x ) ;
(2)产量从2个单位增加到4个单位时的成本变化量;
(3)产量为多大时,总利润最大?并求最大利润.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
第十三讲多元函数微分学
x2 − y2
P300例13.1求 lim .
(x,y)→(0,0) x2 + y2
P300例13.2求
第 145 页，共230页
( x
l i m
) ,y → (0 ,0 )
x
x
3
2
+
+
y
y
3
.
P300例13.3求lim ( x2 + y2)
( x2+y2)
.
x→0
y→0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P300例13.4求
第 146 页，共230页
l ix
y
m
x 2
x
x y
y
y 2
→
→
−
+
+
.
P300例13.5求 l i
x
y
m
1
( x 2 y 2 ) e ( x y )
→
→
+
+ − + .
P301例13.6求 l ix
y
m
a
1
1
x
xx 2
y
→
→
+
+
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P301例13.7设
第 147 页，共230页
f ( x , y ) = x s i n
1
y
+ y s i n
1
x
, I
1
= l i m
x →
y →
0
0
f ( x , y ) , I
2
= l i m
y → 0
l i m
x → 0
f ( x , y ) ,则
( ).
(A)I ,I 均存在 (B)
1 2
I
1
存在, I
2
不存在
(C)I 不存在,
1
I
2
存在 (D) I
1
, I
2
均不存在
P301例13.8设 f ( x , y ) =
x 2
x
+
y
y 2
, I
1
= l i m
x →
y →
0
0
f ( x , y ) , I
2
= l i m
y → 0
l i m
x → 0
f ( x , y ) ,则( )
(A)I ,I 均存在 (B)
1 2
I
1
存在, I
2
不存在
(C)I 不存在,
1
I
2
存在 (D) I
1
, I
2
均不存在高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P302例13.9设
第 148 页，共230页
f ( x , y ) =
x
x
2
2
−
+
y
y
2
2
, I
1
= l i m
x → 0
l i m
y → 0
f ( x , y ) , I
2
= l i m
y → 0
l i m
x → 0
f ( x , y ) , I
3
= l i m
x →
y →
0
0
f ( x , y ) ,则
( ).
(A)I ,I 存在,
1 2
I
3
不存在 (B) I
1
, I
2
, I
3
均不存在
(C)I ,I ,I 均存在 (D)
1 2 3
I
1
, I
2
不存在, I
3
存在
P306例13.10设 f ( x , y ) 在区域 D 上二阶偏导数连续,则下列命题:
f (x,y)
①若 0,(x,y)D,则
y
f ( x , y ) ( x ) = ;
f (x,y) f (x,y)
②若 = 0,(x,y)D,则 f (x,y)为常数;
x y
f (x,y)
③若 0,(x,y)D,则对任意
x
p
0
( x
0
, y
0
) D ,存在0,使得在 U ( p
0
, ) 内
有 f ( x , y ) ( y ) =
所有真命题的序号为( ).
(A)①② (B)③ (C)②③ (D)①②③高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P306例13.11函数
第 149 页，共230页
f ( x , y ) =
1
0
,
,
x y
其 ?
=
他
0 ,
在点(0,0)处( ).
(A)关于两个变量都连续,其在原点连续
(B)关于两个变量都连续,其在原点不连续
(C)关于两个变量都不连续,其在原点连续
(D)关于两个变量都不连续,其在原点不连续
P307例13.12已知函数 f ( x , y ) =
x
0
2
( ,
x y
+
x ,
y
y
2
)
( ,
=
x
(
,
0
y
,
)
0
) ,
( 0 , 0 ) ,
则 f (x,y)在点(0,0)处( )
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P307例13.13函数
第 150 页，共230页
g ( x , y ) = x 2 + y 2 在点 ( 0 , 0 ) 处( ).
(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在
(C)不连续,偏导数存在 (D)不连续,偏导数不存在
P307例13.14函数 f ( x , y ) =
x
0
x
2
,
2
+
y
y 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
在点 ( 0 , 0 ) 处( )
(A)连续,可微 (B)连续,不可微 (C)不连续,可微 (D)不连续,不可微公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书
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P308例13.15
第 151 页，共230页
f ( x , y ) =
2 x ,
2 y ,
其 1 , ?
y
x
=
=
他
0
0
,
, 在点 ( 0 , 0 ) 处( ).
(A)两个偏导数均连续,且函数可微
(B)两个偏导数均连续,且函数不可微
(C)两个偏导数均不连续,且函数可微
(D)两个偏导数均不连续,且函数不可微
P30813.16函数 f ( x , y ) =
(
0
x
,
2 + y 2 ) s i n
x 2
1
+ y 2
, (
(
x
x
,
,
y
y
)
)
=
(
(
0
0
,
,
0
0
)
)
,
在(0,0)处( ).
(A)可微,偏导数连续 (B)可微,但偏导数不连续
(C)不可微,偏导数连续 (D)不可微,且偏导数不连续高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P309例13.17函数
第 152 页，共230页
f ( x , y ) =
x
0
y
,
s i n
1
y
, y
y
=
0
0
,
在(0,0)处( ).
(A)可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 连续 (B)可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 不连续
(C)不可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 连续 (D)不可微,关于 y 的偏导数 f 'y ( x , y ) 不连续
P309例13.18设函数 f ( x , y ) =
x
0
y
,
x
x
2
2
−
+
y
y
2
2
, x
x
2
2
+
+
y
y
2
2
=
0
0
,
,
则( )
(A) f ''
x y
( 0 , 0 ) = 1 , f ''y
x
( 0 , 0 ) = 1 (B) f ''
x y
( 0 , 0 ) = 1 , f ''y
x
( 0 , 0 ) = − 1
(C) f'' (0,0)=−1, f'' (0,0)=1 (D) f'' (0,0)=−1, f'' (0,0)=−1
xy yx xy yx高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P310例13.19已知函数
第 153 页，共230页
f ( x , y ) 在点(0,0)处连续,且极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
(2 x
+
, y
y
)2
存在,证明:
f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微.
P310例13.20设函数 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处具有连续偏导数,且 f 'x ( 0 , 0 ) = 1 , f 'y ( 0 , 0 ) = 2 ,
求 l i m
h → 0
f ( h , h ) −
h
f ( 0 , 0 )
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P311例13.21设
第 154 页，共230页
( x + a
(
y
x
)
+
d x
y
+
2 )
y d y
是某个二元函数的全微分,求 a 的值.
P311例13.22设函数 z = f ( x , y )
z 1
满足 =siny+ ,且
x 1−xy
z ( 1 , y ) = s i n y ,求 f (x,y)高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P312例13.23已知函数
第 155 页，共230页
f ( x , y ) 的偏导数在点(x ,y )的某邻域内存在且有界,证明:
0 0
f (x,y)在点(x ,y )处连续.
0 0
P312例13.24设函数 f ( x , y ) 在 R 2 上连续,且
x 2
l i m2
y
f ( x , y )
+ → +
= + ,证明:要么
x 2
l i m2
y
f ( x , y )
+ → +
= + ,要么
x 2
l i m2
y
f ( x , y )
+ → +
= − .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P312例13.25(仅数学三)设生产甲、乙两种产品的联合成本为
1
C(x,y)= x3+xy+ y2 +1000.求:
3
(1)C(x,y)对产量
第 156 页，共230页
x 和 y 的边际成本;
(2)当 x = 5 , y = 1 0 时的边际成本,并说明它们的经济意义.
P313例13.26(仅数学三)设两种商品的价格分别为 p
1
和 p
2
,这两种相关商品的需求函数分
别为 Q
1
= e p 2 − 2 p1 , Q
2
= e p1 − 2 p 2 , 当
Q
p
1
2
0 ,
Q
p
2
1
0 时,两商品互相替代,当
Q
p
1
2
0 ,
Q
p
2
1
0 时,两商品互相补充.
(1)求边际需求函数;
(2)此两商品是互相补充还是互相替代?高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P313例13.27如果函数
第 157 页，共230页
f ( x , y ) 在点(0,0)处连续,那么下列命题正确的是( ).
f (x,y)
(A)若极限lim 存在,则 f (x,y)在点(0,0)处可微
x→0 x + y
y→0
(B)若极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
(2 x
+
, y
y
)2
存在,则 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微
(C)若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
( x
+
, y
y
)
存在
(D)若 f ( x , y ) 在点 ( 0 , 0 ) 处可微,则极限 l i m
x →
y →
0
0
f
x
(2 x
+
, y
y
)2
存在
P314例13.28设 F ( x , y ) 在点 ( x
0
, y
0
) 的某邻域内有二阶连续偏导数,且
F ( x
0
, y
0
) = 0 , F x ( x
0
, y
0
) = 0 , F y ( x
0
, y
0
) 0 , F ''x
x
( x
0
, y
0
) 0 .则由方程 F ( x , y ) = 0 确定
的隐函数 y = y ( x ) 在点 x = x
0
处( )
(A)取得极小值 (B)取得极大值
(C)不取得极值 (D)不能确定是否取得极值高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P314例13.29二元函数
第 158 页，共230页
f ( x , y ) 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( ).
(A) lim f (x,y)− f (0,0) =0
(x,y)→(0,0)
f (x,0)− f (0,0)
(B)lim =0,且
x→0 x
l i m
y → 0
f ( 0 , y ) −
y
f ( 0 , 0 )
= 0
f (x,y)− f (0,0)
(C) lim =0
(x,y)→(0,0) x2 + y2
(D)limf'(x,0)− f'(0,0)=0,且
x x
x→0
l i m
y → 0
f 'y ( 0 , y ) − f 'y ( 0 , 0 ) = 0
P316例13.30设函数 f ( x , y ) = x
0
ye x 2t d t ,则
2
x
f
y
(1 ,1 )
= _________.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P316例13.31设函数
第 159 页，共230页
f ( x ) 在 1 , ) + 上连续, f ( 1 ) = 1 ,且满足
xy f (t)dt = x y f (t)dt+ y x f (t)dt(x1,y1).
1 1 1
求:(1) f ( x ) 的表达式;
(2)由方程Fxex+y, f (xy) = x2 + y2确定的隐函数
y = y ( x ) 的导数
d
d
y
x
,其中 F ( u , v ) 是
可微的二元函数.
P317例13.32设函数 F ( a , b ) = a
a
b
b −1
( a − b x ) f ( x ) d x , f ( x ) 可导,记
I = F'' (1,1),I = F'' (1,−1),则( ).
1 ab 2 ba
(A)I I (B)
1 2
I
1
I
2
(C) I
1
= I
2
(D) I
1
I
2
0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P318例13.33已知二元函数
第 160 页，共230页
z = f ( x , y ) 可微,两个偏增量
z = ( 2+3x2y2) x+3xy2(x)2 + y2(x)3 , z=2x3yy+x3(y)2 ,且 f (0,0)=1,
x y
求 f ( x , y ) .
P322例33.34设 f ( x ) = sin x e
c o sx
2t + x t d t ,求 f(0).
P322例13.35设 z = z ( x , y ) 是由方程
x
z
= l n
z
y
确定的二元隐函数,求全微分dz.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P323例13.36设函数z = z(x,y)由方程ez +xyz+x+cosx=2确定,求dz .
(0,1)
P323例13.37已知函数
第 161 页，共230页
f ( u , v ) 具有二阶连续偏导数, f (1,1)=2是 f (u,v)的极值,
z = f [ x + y , f ( x , y ) ] ,求
x
2
z
y
(1 ,1 )
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P323例13.38设
第 162 页，共230页
y = y ( x ) , z = z ( x ) 是由方程 z = x f ( x + y ) 和 F ( x , y , z ) = 0 所确定的函
数,其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,且 F 'y + x f F 'z 0 ,求
d
d
z
x
.
P324例13.39设函数 f ( x , y ) 的一阶偏导数连续,在点 ( 1 , 0 ) 的某邻域内有
f ( x , y ) = 1 − x − 2 y + o ( x − 1 ) 2 + y 2 成立.记 z ( x , y ) = f ( e y , x + y ) ,则
d z ( x , y )
(0 ,0 )
= __________.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P325例13.40设
第 163 页，共230页
z ( x , y ) =
x 2 +
x y
y 2
, x y 0
z z
,则x + y =__________.
x y
P326例13.41请判断以下函数分别是几次齐次函数.
f
1
= x + y , f
2
= x 2 + x y + y 2 , f
3
= A x 2 + 2 B x y + C y 2 , f
4
=
x 2 +
x y
y 2
, f
5
=
1
x y
.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P327例13.42设
第 164 页，共230页
f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数,证明 f ( x , y ) 为k 次齐次函数的充要条件是
f f
满足:x + y =kf (x,y).
x y
P327例13.43设在上半平面D={(x,y)∣y 0}内,函数 f (x,y)具有连续偏导数,且对任
意的 t 0 , 都有 f ( t x , t y ) = t − 2 f ( x , y ) .证明: y f ( x , y ) d x − x f ( x , y ) d y = 0 是全微分方程.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P329例13.44已知可微函数
第 165 页，共230页
f ( u , v )
f (u,v) f (u,v)
满足 + =ecosv(1−usinv)+u,且
u v
f ( u , 0 ) =
1
2
( u + e ) 2 .记 g ( x , y ) = f ( x , x − y ) .
(1)计算
g (
x
x
, y )
;
(2)求 f ( x , y ) 的表达式.
P330例13.45设 z = z ( x , y ) 有二阶连续偏导数,用变换u= x−2y,v= x+ay可把方程
6
2
x
z
2
+
x
2
z
y
-
2
y
z
2
= 0 简化为
u
2 z
v
= 0 ,求常数 a .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P331例13.46设函数
第 166 页，共230页
u = f
(
l n x 2 + y 2
)
有二阶连续偏导数,且满足
1
2u 2u 3 f (xt)dt
+ = ( x2 + y2) 2,若极限lim 0 =−1,求函数
x2 y2 x→0 x
f ( x ) 的表达式.
P332例13.47设 f ( x , y ) 是一阶偏导数连续的正值函数,满足 f 'x ( x , y ) + f ( x , y ) = 0 ,若
f 'y ( 0 , y ) = t a n y , f ( 0 , 0 ) = 1 ,求 f ( x , y ) .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P336例13.48设
第 167 页，共230页
f ( x , y ) = x y ,则点 ( 0 , 0 ) ( )
(A)是驻点,也是极值点 (B)是驻点,不是极值点
(C)不是驻点,是极值点 (D)不是驻点,也不是极值点
P336例13.49求函数 f ( x , y ) = x 2 − 3 x 2 y + y 3 的驻点,并判断是否是极值点.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P336例13.50求函数
第 168 页，共230页
f ( x , y ) = x 4 + y 4 − 2 x 2 − 2 y 2 + 4 x y 的极值和极值点.
P337例13.51设 f ( x , y ) = ( y − x 2 ) ( y − 2 x 2 ) , k 为任意常数,则( ).
(A) f (x,kx)在 x = 0 处取极小值,点 ( 0 , 0 ) 是 f ( x , y ) 的极小值点
(B) f (x,kx)在 x = 0 处取极小值,点 ( 0 , 0 ) 不是 f ( x , y ) 的极小值点
(C) f (x,kx)在 x = 0 处不取极小值,点(0,0)是 f (x,y)的极小值点
(D) f (x,kx)在 x = 0 处不取极小值,点(0,0)不是 f (x,y)的极小值点高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P338例13.52求
第 169 页，共230页
f ( x , y ) = ( 1 + e y ) c o s x − y e y 的极值点和极值.
P338例13.53设 a 0 , b 0 ,函数 f ( x , y ) = 2 l n x +
( x − a
2
2 )
x 2
+ b y 2
在x0时的极小值
为2,且 f ''y
y
( − 1 , 0 ) = 1 .
(1)求 a , b 的值;
(2)求 f ( x , y ) 在 x 0 时的极值.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P339例13.54设
第 170 页，共230页
u ( x , y ) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数,且
x
2 u
y
0 ,
2
x
u
2
2
y
u
2
= 0 ,则 u ( x , y ) 的( ).
(A)最大值点和最小值点必定都在 D 的内部
(B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上
(C)最大值点在 D 的内部,最小值点在 D 的边界上
(D)最小值点在 D 的内部,最大值点在 D 的边界上
P339例13.55设函数 f ( x , y ) 在平面区域D内连续,则以下四个命题:
①函数 f (x,y)在其偏导数不存在的点也可能取到极值;
②若函数 f ( x , y ) 在 D 内存在唯一驻点,则 f ( x , y ) 在 D 内至多有1个极值点;
③若函数 f ( x , y ) 在 D 内有2个极值点,则其中之一必为极大值点,另一个必是极小值点;
④在驻点 ( x
0
, y
0
) 处,若 f ''
x x
( x
0
, y
0
) f ''y
y
( x
0
, y
0
) − f ''
x y
( x
0
, y
0
) 2 0 ,则 ( x
0
, y
0
) 不是极值
点.
正确命题的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P340例13.56设DR2是有界闭区域,函数 f (x,y)在D上连续,在D内可微,且满足方
程 f'(x,y)+ f'(x,y)=kf (x,y)(k 0).若在
x y
第 171 页，共230页
D 的边界上 f (x,y)=0,证明 f (x,y)在
D上恒为零.
P340例13.57设函数 f (x,y)在 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 上连续,在D内具有二阶连续偏
导数,且在 D 的内部满足
2 f
(
x
x
2
, y )
+
2 f
(
y
x
2
, y )
= f ( x , y ) . 若在 D 的边界上
f ( x , y ) 0 ,证明: f ( x , y ) 0 , ( x , y ) D .高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P340例13.58设
第 172 页，共230页
f ( x ) 为二阶可导函数,且x=0是 f ( x ) 的驻点,则二元函数
z = f (x) f (y)在点(0,0)处取得极大值的一个充分条件是( ).
(A) f (0)0, f(0)0 (B) f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0
(C) f ( 0 ) 0 , f ( 0 ) 0 (D) f ( 0 ) = 0 , f ( 0 ) 0
P342例13.59设 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 均为可微函数,且 g 'y ( x , y ) 0 .已知 ( x
0
, y
0
) 是
f ( x , y ) 在约束条件 g ( x , y ) = 0 下的一个极值点,下列选项正确的是( ).
(A)若 f 'x ( x
0
, y
0
) = 0 ,则 f 'y ( x
0
, y
0
) = 0 (B)若 f 'x ( x
0
, y
0
) = 0 ,则 f 'y ( x
0
, y
0
) 0
(C)若 f '(x ,y )0,则 f '(x ,y )=0(D)若 f '(x ,y )0,则 f '(x ,y )0
x 0 0 y 0 0 x 0 0 y 0 0高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P342例13.60已知
第 173 页，共230页
( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 内切于
x
a
2
2
+
y
b
2
2
= 1 ( a 0 , b 0 ) ,求 a , b 的值使后者面
积 S 最小.
P343例13.61求 u = x 2 + y 2 在约束条件 5 x 2 + 4 x y + 2 y 2 = 1 下的最大值与最小值.高数强化18讲 · 13.多元函数微分学
P344例13.62已知函数
第 174 页，共230页
f ( x , y ) = 3 ( x 2 + y 2 ) − x 3 .
(1)求函数 f (x,y)的极值;
(2)求 f ( x , y ) 在有界闭区域 D = ( x , y )∣ x 2 + y 2 1 6 上的最大值和最小值.高数强化18讲 · 14.二重积分
第十四讲二重积分
n n i
P350例14.1lim =________.
n→ (n+i)( n2 + j2)
i=1 j=1
P362例14.2
第 175 页，共230页
6
0
d y 6
y
c o s
x
x
d x
= _________.
P362例14.3求
2
0
d y
2
y 1
y
+ x 3
d x .高数强化18讲 · 14.二重积分
P362例14.4求函数
第 176 页，共230页
f ( x ) = xs
1
i n t 2 d t 在区间0,1的平均值.
P363例14.5求 1 dy 1
ex2
−ey2
dx.
0 y x
高数强化18讲 · 14.二重积分
P363例14.6设函数
第 177 页，共230页
f ( x , y ) 连续,则以下等式不成立的是( ).
(A)
1
0
d x
x
−
2
x
f ( x , y ) d y =
1
0
d y
1
y
f ( x , y ) d x +
0
− 1
d y
1
− y
f ( x , y ) d x
1 2x−x2 2 2−x 1 2−y
(B) dx f (x,y)dy+ dx f (x,y)dy = dy f (x,y)dx
0 0 1 0 0 1− 1−y2
1 1
(C)3 d f (rcos,rsin)r dr = r dr3f (rcos,rsin)d
0 0 0 0
r
(D)2 d 2cos f (rcos,rsin)r dr = 2 r dr arccos 2 f (rcos,rsin)d
r
− 0 0 −arccos
2 2
P365例14.7已知 f ( x ) 具有三阶连续的导数,且
f ( 2 ) = −
1
2
f ( 0 ) = f ( 0 ) = f ( 0 ) = − 1 ,
,计算累次积分 I = 2
0
d x x
0
( 2 − x ) ( 2 − y ) f ( y ) d y .高数强化18讲 · 14.二重积分
P365例14.8确定积分区域
第 178 页，共230页
D
y2
,使得二重积分I = 1−x2 − dxdy达到最大值.
2
D
P366例14.9设函数 f ( x ) 连续,且 1 f ( x ) 2 , x 0 , 1 ,证明: D
f
f
(( x
y
))
d x d y
9
8
,其中
D = ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y 1 .高数强化18讲 · 14.二重积分
P366例14.10已知函数
第 179 页，共230页
f ( x , y ) 具有二阶连续偏导数,且关于变量x和y的周期均为1,记
I =
1
− 1
d x
1
− 1
f ( x , y )
2 f
(
x
x
2
, y )
+
2 f
(
y
x
2
, y )
d y .
(1)证明 I = − D
f (
x
x
, y ) 2
+
f (
x
y
, y ) 2
d x d y ,其中
D = ( x , y )∣ − 1 x 1 , − 1 y 1 ;
(2)若I 0,证明 f ( x , y ) 是常函数.
P370例14.11设 D ( r , ) r 1 , r 2 c o s , s i n 0 = ∣ ,计算
D
2 x 1
2
d − 高数强化18讲 · 14.二重积分
P370例14.12设
第 180 页，共230页
J
i
= D i 3 x − y d x d y ( i = 1 , 2 , 3 ) ,其中
D
2
= ( x , y )∣ 0 x 1 , 0 y x , D
3
= ( x , y )∣ 0 x
D
1
1
=
,
x
(
2
x
, y
y
)∣
0
1
,
x 1 , 0 y 1 ,
则( )
(A)J J J (B)J J J (C)J J J (D)J J J
1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 1 3
P371例14.13设 D 是介于圆周 x 2 + y 2 = 4 与圆周(x+1)2 + y2 =1之间的部分,计算二重
积分 I = _________ .高数强化18讲 · 14.二重积分
P372例14.14已知
第 181 页，共230页
f ( t )
D ( )t x 2 y 2 2t
( e x 2 y 2 k y 2 ) d =
：
+
+ − 在t(0,+)内是单调增加函数,
k 为常数,求 k 的取值范围.
P373例14.15设 D = ( x , y ) x + y 2 , f ( x , y ) =
x 2 ,
x 2
1
+ y 2
, 1
x
+
x
y
+
1
y
,
2 ,
计算二
重积分 D f ( x , y ) d x d y高数强化18讲 · 14.二重积分
P374例14.16设
第 182 页，共230页
D ( r , ) 0
4
, 0 r s e c
=
,则
D
1 ( x y ) 2 d − − =
_________.
P375例14.17设平面有界区域 D 位于第一象限,由曲线 x 2 + y 2 − x y = 1 , x 2 + y 2 − x y = 2
与直线 y = 3 x , y = 0 围成,计算 D
3 x 2
1
+ y 2
d x d y .高数强化18讲 · 14.二重积分
P376例14.18设函数
第 183 页，共230页
f ( x , y ) 具有连续偏导数,记 D ( x , y ) 2 x 2 y 2 1
= ∣ + .当
x 2 + y 2 = 1 时, f (x,y)=0, f (0,0)=a.记 g ( r , ) f ( r c o s , r s i n ) = .
(1)计算 r
g ( r
r
, )
;
(2)计算 l i m
0
D
x
f ( x
x
, y
x
)
2
y
y 2
f ( x
y
, y )
d x d y
→ +
+
+
.
P378例14.19如图所示,平面区域 D 由直线x+ y=1,x+ y=2,y= x和 y = 2 x 围成,计算
二重积分 D ( x + y ) d x d y .高数强化18讲 · 14.二重积分
P378例14.20设D=
(x,y)∣(x−1)2 +(y−1)2
2,y x
,计算二重积分(x− y)dxdy.
D
P379例14.21设
第 184 页，共230页
a 0 , b 0 , ( a )
0
x a 1 e x d x = + − − ,则 1
0
x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x = _________.高数强化18讲 · 15.微分方程
第十五讲微分方程
P385例15.1微分方程
第 185 页，共230页
x + y y = y − x y 的通解为__________.
P385例15.2微分方程
d
d
y
x
=
2
2
x
x
−
+
5
4
y
y
+
−
3
6
满足 y ( 0 ) = 2 的特解为__________.
P386例15.3设 f ( x ) 在 0 , ) + 上连续且有水平渐近线y=b0,则( ).
(A)当 a 0 时, y + a y = f ( x ) 的任意解都满足 lx i m y ( x )
b
a → +
=
(B)当a0时,y+ay= f (x)的任意解都满足 lx i m y ( x )
a
b → +
=
(C)当 a 0
b
时,y+ay= f (x)的任意解都满足 lim y(x)=
x→+ a
(D)当 a 0 时, y + a y = f ( x )
a
的任意解都满足 lim y(x)=
x→+ b高数强化18讲 · 15.微分方程
P388例15.5已知微分方程y+ y = f (x),其中 f (x)是R上的连续函数.
(1)若 f (x)= x,求方程的通解;
(2)若
第 186 页，共230页
f ( x ) 是周期为 T 的函数,证明:方程存在唯一的以T 为周期的解.
y+2x(y)2
=0,
P389例15.6求解定解问题y(0)=1,
y(0)=0.
高数强化18讲 · 15.微分方程
y+2x(y)2
=0,
P390例15.7求解定解问题y(0)=1,
1
y(0)=− .
2
P390例15.8求解微分方程
第 187 页，共230页
y 2 y − y = 0 .
P391例15.9求解微分方程 x y y + x ( y ) 2 − y y = 0 .高数强化18讲 · 15.微分方程
P391例15.10微分方程
第 188 页，共230页
y − y = s i n x 在(−,+)上有界的解为__________.
P392例15.11设 y = y ( x ) 为可导函数,且满足 y ( 0 ) = 2 及
d
d
y
x
+ y ( x ) =
x
0
2 y ( t ) d t + e x ,
则 y ( x ) = __________.
P393例15.12欧拉方程 x 2 y + x y − 4 y = 0 满足条件 y ( 1 ) = 1 , y ( 1 ) = 2 的解为 y =
_________.高数强化18讲 · 15.微分方程
P393例15.13以
第 189 页，共230页
y
1
= t e t , y
2
= s i n 2 t 为两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程为( ).
(A)y (4) −2y+5y−8y+4y=0 (B)y (4) −2y+5y+8y+4y=0
(C)y (4) +2y+5y−8y+4y=0 (D)y (4) −2y−5y−8y+4y=0
P394例15.14求曲线 ( y − C
2
) 2 = 4 C
1
x 满足的微分方程.高数强化18讲 · 15.微分方程
P394例15.15已知
第 190 页，共230页
y ( x ) = u ( x ) x + v ( x ) e x 是 ( x − 1 ) y − x y + y = ( x − 1 ) 2 的解,求该微分
方程的通解.
P395例15.16求微分方程 y + t a n y =
c o
x
s y
的通解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P395例15.17求下列各微分方程的通解.
(1)y+xy= y(lnx+lny);
(2)y+1=e−ysinx.
P396例15.18求微分方程
第 191 页，共230页
x y = y ( l n y − l n x ) 的通解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P396例15.19用变量代换
第 192 页，共230页
x c o s t ( 0 t ) = 化简微分方程
( 1−x2)
y−xy+ y =0并求其满足y =1,y =2的特解.
x=0 x=0
P397例15.20以 u =
y
x
变换方程x2y+ ( x2 −2x ) y+ ( 2−x−2x2) y =10x3,并求其通解.高数强化18讲 · 15.微分方程
P400例15.21设
第 193 页，共230页
f ( x ) 在 ( 1 , ) − + 上具有连续的一阶导数,且满足 f ( 0 ) = 1 及
f ( x ) + f ( x ) −
x
1
+ 1
x
0
f ( t ) d t = 0 . 求 f ( x ) ,并证明:当 x 0 时,有 e − x f ( x ) 1 .
P401例15.22已知 f ( x y ) = y f ( x ) + x f ( y ) 对任意正实数 x , y 均成立,且 f ( 1 ) = e ,求
f ( x y ) 的极小值.高数强化18讲 · 15.微分方程
P405例15.25(仅数学三)设某种商品价格主要由供求关系来决定,已知供给量
第 194 页，共230页
S 与需求量
D 关于价格 P 的函数表达式分别为 S = 1 2 . 8 P 2 − 1 2 8 , D = − 4 . 4 P 2 + 1 3 0 . 随着时间的变化,
供求关系会发生改变,因而引起价格波动,所以价格 P 可看成时间 t 的函数 P ( t ) ,设 P ( t ) 随
时间的变化率与过剩需求量 D − S 成正比,与 P 成反比,比例系数为
1
4
.且商品的初始价格
为5元.
(1)建立 P ( t ) 满足的微分方程;
(2)通过变量代换 y = P 2 ,求解此方程.高数强化18讲 · 15.微分方程
P406例15.27在xOy平面上,设
第 195 页，共230页
P Q = 1 ,初始时刻P在原点,Q在 ( 1 , 0 ) 点,若P点沿着y
轴的正方向移动,且Q点的运动方向始终指向P点,求Q点的运动轨迹.高数强化18讲 · 16.无穷级数
第十六讲无穷级数(仅数学一、数学三)
1 n
P414例16.1判别级数 1− 的敛散性.
n
n=2
P414例16.2判别级数
第 196 页，共230页
n 2
2
2
n
n
l n
1
2 n
1
=
−
+
的敛散性.
P414例16.3判别级数
n 1
e
3
n
n
1
=
−
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P414例16.4判别级数
第 197 页，共230页
n 2
l n
1
n
=
的敛散性.
P415例16.5判别级数
n 1
l n ( e
1
n n )
=
+
的敛散性.
P415例16.6判别级数
n 2
l n
1(
n ! )
=
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
1
P415例16.7判别级数sin 的敛散性.
n
n=1
P415例16.8判别级数
第 198 页，共230页
n 1
l n 1
1
n 2
=
+
的敛散性.
P415例16.9判别级数
n 1
1 c o s
a
n
=
−
(a为非零常数)的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P415例16.10设常数
第 199 页，共230页
a 0 ,判别级数
n 1
a
1
ln n
=
的敛散性.
P415例16.11判别级数
n 4
( l n
1
n ) ln n
=
的敛散性.
n2
1+ 1
P416例16.12判别级数 n n2 −1的敛散性.
n=1
高数强化18讲 · 16.无穷级数
P416例16.13判别级数
第 200 页，共230页
n 1
n a 1
1
n
( a 0 )
=
− +
的敛散性.
P416例16.14判别级数
n 1
n
1
2
l n 1
1
n
1
=
+
+
−
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P417例16.15设
第 201 页，共230页
x
n
( n = 1 , 2 , ) 是方程tanx= x的正根,且从小到大排列.
(1)求lim(x −n);
n
n→
1
(2)证明 收敛.
x2
n=1 n
P417例16.16设 a
n
( x ) 满足
a 'n ( x ) −
( 1 + x )
n
l n ( 1 + x )
a
n
( x ) + l n n ( 1 + x ) = 0 , x 0 , n = 1 , 2 , , a
n
( 1 ) = 0 .
(1)求 a
n
( x ) 的表达式;
(2)判别
n 1
1
a0
n
( x ) d x
=
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P418例16.17设
第 202 页，共230页
f ( x )
f(x)
在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且lim =0,判别级数
x→0 x
n
= 1
f (
1
n
) 的敛散性.
P419例16.18判别级数
n 1
(
2 c
3
o
n
s n
) n
=
+
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P419例16.19已知函数
第 203 页，共230页
f ( x ) 二阶可导,且 f ( x ) 0 , f ( x ) 0 , lx i m f ( x ) a
→ +
= ,证明级数
n 1
f ( n )
=
收敛.
P420例16.20设 p
( )p
n+1− n
为常数,判别级数 的敛散性.
n
n=1高数强化18讲 · 16.无穷级数
P420例16.21设
第 204 页，共230页
p
1 1
为常数,判别级数 − 的敛散性.
np (n+1)p
n=1
P420例16.22设 a 为正数,若级数
n 1
a n
n
n
n
!
=
收敛,而
n 2
n 2
n a
n 2
=
+ − −
发散,则( ).
1
(A)0a (B)
2
1
2
a e (C) a e (D) a = e高数强化18讲 · 16.无穷级数
P421例16.23设函数
第 205 页，共230页
f ( x ) 是区间 ( , ) − + 上的可导函数, f ( x ) k f ( x ) ,其中
0 k 1 .任取实数 a
0
,定义 a
n
= l n f ( a
n − 1
) , n = 1 , 2 , ,证明:
n 1
( a
n
a
n 1
)
=
−
−
绝对收敛.
P421例16.24设数列 a
n
收敛,且 ln i m a
n
a ( a 0 )
→
= ,判别级数
n 1
( 1
1
a
n
) n
=
+
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P422例16.25设正项级数
第 206 页，共230页
n 1
a
n
=
满足 ln i m n 2 a
n
1
2 →
= ,判别级数
n 1
a
n
=
的敛散性.
P422例16.26.设两个数列 a
n
, b
n
,若 ln i m n 2 ( a
n
b
n
) k , k
→
− = 为正常数,则
n 1
( a
n
b
n
)
=
−
( )
(A)收敛
(B)发散
(C)当 k 1 时,发散;当 0 k 1 时,收敛
(D)当 k 1 时,收敛;当 0 k 1 时,发散高数强化18讲 · 16.无穷级数
P423例16.27判别级数
第 207 页，共230页
n 2
1n
0 1
x
x
d x
=
−
的敛散性.
P423例16.28设 a
n
为正项数列,且
n 1
a
n
=
发散,则以下级数:
n 1
1
a
na
n
; ?
n 1
1
a
na
n
; ?
n 1
1
a
na
2n
; ?
n 1
1
a
n
n2
a
n
.
①
=
+
②
=
−
③
=
+
④
=
+
一定收敛的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 16.无穷级数
P424例16.29判别级数
第 208 页，共230页
n 1 n
1
1
1n
=
+
的敛散性.
P424例16.30判别级数
n 2 n
1
1
1
ln n
=
+
的敛散性.
P425例16.31设 a
n
为正项数列,且
a
n
a
+
n
1 +
1
n
1 .则以下4个命题:
①
n 1
a
n
=
收敛;②
n 1
a
n
=
发散;③lima =0;④
n
n→
ln i m a 2n
→
= + .
正确命题的个数为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4高数强化18讲 · 16.无穷级数
P425例16.32设
第 209 页，共230页
a
n
为正项数列,单调递增且有上界,判别级数
n 1
a
n 1
a
a
n
n 1
=
+
−
+
的敛
散性.
P426例16.33设正项数列 a
n
满足 a
n + 1
=
1
2
a
n
+
1
a
n
,又 a
1
= 2
a
,判别级数 n −1
a
n=1 n+1
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P426例16.34已知正项数列
第 210 页，共230页
a
n
ln
( 1+en)
满足lim =1.
n→ a
n
1 1
+
a a
(1)计算lim n n+1 ;
1
n→
n
(2)判别级数
n 1
( 1 ) n 1
1
a
n
a
1
n 1
=
− −
+
+
的敛散性.
P427例16.35设数列 x
n
满足 s i n 2 x
n
s i n x
n 1
2 s i n x
n 1
1 , x
0 6
+
+
+
= = ,证明:
(1)级数(sinx −sinx )收敛;
n+1 n
n=0
(2) ln i m s i n x
n
→
存在,且其极限值 c 是方程 x 3 + 2 x − 1 = 0 的唯一正根.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P428例16.36设
第 211 页，共230页
a
1
= 1 , a
n + 1
= a r c t a n a
n
( n = 1 , 2 , ) ,判定下列级数的敛散性:
(1)
n 1
( 1 ) n a
n
=
− ;
(2)
n 1
a r c t a n ( a
n
a
n 1
)
=
−
+
.
P428例16.37若
n 1
n a
n
=
绝对收敛,
n 1
b
n
n
=
条件收敛,判别级数a b 的敛散性.
n n
n=1高数强化18讲 · 16.无穷级数
P429例16.38考
第 212 页，共230页
a
n
b
n
,且
n 1
a
n
,
n 1
b
n
=
=
均收敛,则
n 1
a
n
=
绝对收敛是b 绝对收敛的( ).
n
n=1
(A)充分必要条件 (B)充分非必要条件
(C)必要非充分条件 (D)既不充分也不必要条件
P429例16.39设数列 a
n
, b
n
满足eb n =ea n −a (n=1,2,3, ),证明:
n
(1)若 a
n
0 ,则 b
n
0 ;
b
(2)若a 0,a 收敛,则 n 收敛.
n n a
n=1 n=1 n高数强化18讲 · 16.无穷级数
P430例16.40设数列
第 213 页，共230页
a
n
, b
n
,当 a
n
0 , b
n
0 且
a
n
a
+
n
1
b
n
b
+
n
1
时,b 收敛,证明
n
n=1 n 1
a
n
=
收敛.
P430例16.41设
n 1
a
n
=
为收敛的正项级数,常数 p
1
2
,判别级数
n 1
n
a
np
=
的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P430例16.42设
第 214 页，共230页
n 1
a 2n
=
a
收敛,判别级数(−1)n n 的敛散性.
n
n=1
P431例16.43设常数0,正项级数a 收敛,判别级数
n
n=1 n 1
( 1 ) n 1
n
a
2
2 n 1
=
− −
+
− 的敛散性.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P431例16.44设
第 215 页，共230页
a
n
是正项数列,记 S
n
= k
n
= 1
a
k
,证明
n 2
a
S
n2n
=
收敛.
P431例16.45设常数 p 0
(−1)n
,判别级数ln1+ 的敛散性.
np
n=2 高数强化18讲 · 16.无穷级数
P432例16.46判别级数
第 216 页，共230页
n 1
( 1 ) n t a n
3 n
=
− 的敛散性.
P432例16.47判别级数
n 1
( 1 )
n
n 1
l n
n
n
1
=
− − +
的敛散性.
(−1)n
P433例16.48判别级数 的敛散性.
n=2
n+(−1)n高数强化18讲 · 16.无穷级数
P433例16.49设常数
第 217 页，共230页
p 0
(−1)n
,判别级数 的敛散性.
p
n=2
n+(−1)n
P433例16.50若
n 1
a
n
=
条件收敛,且 ln i m
a
n
a
n
1 a
→
+ = ,则a=_________.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P434例16.51若级数
第 218 页，共230页
n 1
( 1 ) n 1 a
n
( a
n
0 )
=
− − 满足:①数列 a
n
单调递减,即a a ;②
n+1 n
ln i m a
n
0
→
= 证明:
n 1
( 1 ) n 1 a
n
=
− − 收敛,且 a
1
a
2
n 1
( 1 ) n 1 a
n
a
1
−
=
− − .
P434例16.52判别下列级数的敛散性:
(1)
n 2
( 1 ) n
l n
n
n
=
− ;(2)
n 1
s i n
(
n 2 1
)
=
+ ;(3)
n 2 n
( 1
(
) n
1 ) n
=
−
+ −
.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P435例16.53判别级数
第 219 页，共230页
n 1
( 2 ) 1
n
n
2
n
n
2 n
=
− −
+
的敛散性.
P435例16.54判别级数
n 1
( 1 ) n 1
n
n
1
1 1
1
0 n
=
− −
−
+
的敛散性.
P436例16.55若级数
n 1
a
n
=
收敛,证明级数
n 1
a
n
=
收敛.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P436例16.56设
第 220 页，共230页
a +n =
1
2
( a
n
+ a
n
) 0 , a −n =
1
2
( a
n
− a
n
) 0 .
(1)证明:
n 1
a
n
=
绝对收敛
n 1
a
n
=
+ 与
n 1
a
n
=
− 均收敛;
(2)若
n 1
a
n
=
条件收敛,证明:
n 1
a
n
,
n 1
a
n
=
+ = +
=
− = − .高数强化18讲 · 16.无穷级数
P437例16.57若级数
第 221 页，共230页
n 2
( 1 ) n
n p
1
l n 2 n
=
− 条件收敛,则 p 的取值范围为_________.
P443例16.58设
n 1
a
n
( x 1 ) n
=
+ 在点 x = 1 处条件收敛,则幂级数
n 1
n a
n
( x 1 ) n
=
− 在点 x = 2 处
( )
(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)敛散性不确定
P443例16.59设 u
n
( x ) = e − n x +
n
x(
n
n +
+
1
1 )
( n = 1 , 2 , ) ,求级数
n 1
u
n
( x )
=
的收敛域及和函数.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P444例16.60已知幂级数
第 222 页，共230页
n 1
a
2 n
x 2 n
=
的收敛域为−1,1,其和函数S(x)满足方程
x S ( x ) − S ( x ) =
1
x
+
2
x 2
,求:
(1)S(x)的解析式;
(2)S(x)在 x = 0 处的 n 阶导数 S (n ) ( 0 ) ;
(3)数项级数
n 1
a
2
n
n
=
的和.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P446例16.61设数列
第 223 页，共230页
a
n
1
满足a =1,(n+1)a = n+ a ,证明:当
1 n+1 2 n
x 1 时,幂级数
n 1
a
n
x n
=
收敛,并求其和函数.
P447例16.62幂级数
n 0
( n 3 1 ) x 2 n
=
− 在区间(−1,1)内的和函数 S ( x ) = _________.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P447例16.63幂级数
第 224 页，共230页
n 0
( n 2 2 n 1 ) x 2 n 1
=
+ − + 在区间(−1,1)内的和函数 S ( x ) = __________.
P451例16.64求幂级数
n 0
( n
n
1
!
) 2
x n
=
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .高数强化18讲 · 16.无穷级数
P451例16.65求幂级数
第 225 页，共230页
n 0
4
(
n
4
( 2
n )
n
1
1 )
x 2 n
=
− +
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .
P452例16.66求幂级数
n 0
( n
x
1
2 n
) ( 2
2
n 1 )
=
+
+
+
的收敛域及和函数.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P452例16.67求幂级数
第 226 页，共230页
n 0
( n 1 ) ( n 3 ) x n
=
+ + 的收敛域及和函数.
P452例16.68求幂级数
n 1
(
n
n ) 1
( 2 n
1 x 2
1
n
)
1
=
− −
−
+
的收敛域及和函数 S ( x ) .高数强化18讲 · 16.无穷级数
P453例16.69求级数
第 227 页，共230页
n 0
( 1 ) n ( n
2
2
n
n 1 )
=
− − +
的和.
P454例16.70求幂级数
n 0
4 n 2
2 n
4 n
1
3
x 2 n
=
+
+
+
的收敛域及和函数.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P456例16.71将函数
第 228 页，共230页
y = l n ( 1 − x − 2 x 2 ) 展开成 x 的幂级数,并指出其收敛区间.
P456例16.72将函数 f ( x ) =
x 2 −
1
3 x + 2
展开成x的幂级数,并指出其收敛区间.高数强化18讲 · 16.无穷级数
P457例16.73已知幂级数
第 229 页，共230页
n 0
a
n
x n
=
的和函数为ln(2+x),则
n 0
n a
2 n
=
= ( ).
1
(A)− (B)
6
−
1
3
(C)
1
6
(D)
1
3
P457例16.74已知 c o s 2 x
( 1
1
x ) 2
n 0
a
n
x n ( 1 x 1 )
−
+
=
=
− ,求 a
n
.
P461例16.75设 f ( x ) x
1
2
, b
n
2
1
0
f ( x ) s i n n x d x ( n 1 , 2 , ) . = − = = 令
S ( x )
n 1
b
n
s i n n x
=
=
9
,则S − =( ).
4
3 1
(A) (B) (C)
4 4
−
1
4
(D) −
3
4高数强化18讲 · 16.无穷级数
P462例16.76已知函数
第 230 页，共230页
f ( x ) = x + 1 ,若其傅里叶展开式
f ( x )
a
2
0
n 1
a
n
c o s n x , x 0 ,
= +
=
,则 ln i m n 2 s i n a
2 n 1 → −
= _________.
P462例16.77证明
n 1
( 1 ) n
n
1 c
2
o s n x
1
2
2
x
4
2
, x
=
− −
= − − ,并求数项级数
n 1
( 1
n
)2 n 1
=
− −
的
和.
