专题21空间向量与立体几何(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_2023年新高考数学知识点总结与题型精练（新高考地区专用）

专题 21 空间向量与立体几何 【考纲要求】 1、理解空间向量的概念、运算、基本定理，理解直线的方向向量与平面的法向量的意义； 2、会用待定系数法求平面的法向量，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系； 3、体会向量方法在研究几何问题中的作用，掌握利用向量法法求空间角的方法。 一、空间向量及其运算 【思维导图】 1、空间向量的有关概念 空间向量：空间中，既有大小又有方向的量；  空间向量的表示：一种是用有向线段AB 表示， 叫作起点， 叫作终点；  一种是用小写字母 （印刷体）表示，也可以用a（而手写体）表示．   |AB| |a| 向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作 或 ． 向量的夹角：过空间任意一点 作向量 的相等向量 和 ，则 叫作向量 的夹角，记作 ，规定 ．如图： 零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为0．规定：0与任意向量平行．  |a|1 单位向量：长度为1的空间向量，即 ． 相等向量：方向相同且模相等的向量． 相反向量：方向相反但模相等的向量． 共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合．   a  b a//b 平行于 记作 ，此时． =0或 =． 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．要点诠释： （1）数学中讨论的向量是自由向量，即与向量的起点无关，只与大小和方向有关． 只要不改变大小和方 向，空间向量可在空间内任意平移；       a b a b a b （2）当我们说向量 、 共线（或 // ）时，表示 、 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可 能是平行直线．    a a a （3）对于任意一个非零向量 ，我们把 叫作向量 的单位向量，记作 ． 与 同向．   a  b a//b （4）当 =0或时，向量 平行于 ， 记作 ；当 = 时，向量 垂直，记作 ． 2、空间向量的基本运算 空间向量的基本运算： 运算类 几何方法 运算性质 型 1平行四边形法则： 王新奎新疆屯敞 加法交换率： 向 加法结合率： 量 的 加 法 2三角形法则： 王新奎新疆屯敞 向 三角形法则： 量 的 减 法是一个向量，满足： 向 >0时， 与 同 量 向； 的 乘 <0时， 与 异 法 向； ∥ =0时， =0 王新奎新疆屯敞 向 是一个数： 1． 量 的 ； 数 ， 或 量 2． 积 =0． 二、空间向量基本定理 【思维导图】a  b  b  0  a  b   a b  共线定理：两个空间向量 、 （ ≠ ）， // 的充要条件是存在唯一的实数 ，使 ．      a,b p a,b 共面向量定理：如果两个向量 不共线，则向量 与向量 共面的充要条件是存在唯一的一对实数    p xa yb ，使 ． 要点诠释： （1）可以用共线定理来判定两条直线平行（进而证线面平行）或证明三点共线． （2）可以用共面向量定理证明线面平行（进而证面面平行）或证明四点共面． 空间向量分解定理： 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使 如果三个向量 .要点诠释： （1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； （2）由于零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面， 就隐含着它们都不是零向量0． （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 三、空间向量的直角坐标运算 【思维导图】 空间向量的直角坐标运算 空间两点的距离公式 A(x ,y ,z ) B(x ,y ,z ) 1 1 1 2 2 2 若 ， ，则    AB OBOA(x ,y ,z )(x ,y ,z ) (x x ,y  y ,z z ) 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 ① ；  2 | AB| AB  (x x )2 (y  y )2 (z z )2 ② 2 1 2 1 2 1 ； 的中点坐标为 ． ③ 空间向量运算的的坐标运算   a(x ,y ,z ) b(x ,y ,z ) 1 1 1 2 2 2 设 ， ，则   ab(x x ,y  y ,z z ) 1 2 1 2 1 2 ① ；   ab(x x ,y  y ,z z ) 1 2 1 2 1 2 ② ；  a (x ,y ,z )(R) 1 1 1 ③ ；   ab x x  y y z z 1 2 1 2 1 2 ④ ； ⃗BM ⑤ ， ；⑥ ． 空间向量平行和垂直的条件   a(x ,y ,z ) b(x ,y ,z ) 1 1 1 2 2 2 若 ， ，则 x y z     1  1  1 a//b ab x x y y z z (R) x y z (x y z 0) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 ① ， ， ；     ab ab0 x x  y y z z 0 1 2 1 2 1 2 ② ． 要点诠释： （1）空间任一点 的坐标的确定： 1 2 a− 1 2 b+c 过 作面 的垂线，垂足为 ，在面 中，过 分别作 轴、 轴的垂线，垂足分别为 ， 则 ．如图： （２）夹角公式可以根据数量积的定义推出：           ab ab|a||b|cosab cosab    |a||b| [0,] ，其中θ的范围是 ．  0 （３） 与任意空间向量平行或垂直． 四、空间向量的应用 【思维导图】 用向量方法讨论垂直与平行图示 向量证明方法 // 线线平行 （ // ） （ ⃗b 分别为直线 的方向向 量） 线线垂直 （ 分别为直线 的方向向 （ ） 量） ，即 线面平行 l （ 是直线 的方向向量， 是平面 （ // ）  的法向量）． ⃗a⋅⃗b// |⃗a||⃗b| 线面垂直 l （⃗a⋅⃗b是直线 的方向向量， 是平面 （ ）  |⃗a||⃗b| 的法向量） u//v 面面平行   （ 分别是平面 ， 的法向 （ // ） 量） ⃗b ，即 面面垂直   ⃗a （ ，⃗b分别是平面 ， 的法向 （ ） 量） 用向量方法求角 图示 向量证明方法  | ACBD| cos   | AC||BD| 异面直线所成的角 （ ， 是直线 上不同的两点， ，⃗b是直线 上不同的两点） |au| sin|cos| |a||u| 直线和平面的夹角 l a  （其中直线 的方向向量为 ，平面 u 的法向量为 ，直线与平面所成的角  a u  为 ， 与 的角为 ） 二面角 ⃗b （平面 与 的法向量分别为 和 ，平面 与 的夹角为 ） 用向量方法求距离 图示 向量证明方法 点到平面的距离 （ 为平面 的法向量） 与平面平行的直线 到平面的距离 （ 是平面 的公共法向量） 两平行平面间的距 离 （ 是平面 ，⃗a+⃗b=⃗b+⃗a. 的一个公共法向 量）【题型汇编】 题型一：空间向量及其运算 题型二：空间向量的应用 【题型讲解】 题型一：空间向量及其运算 一、单选题 1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中 点，点G在棱EF上，且满足 ，若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用空间向量的加、减运算即可求解. 【详解】 由题意可得 . 故选：D2．（2022·北京昌平·二模）如图，在正四棱柱 中， 是底面 的中心， 分别是 的中点，则下列结论正确的是（ ） A． // B． C． //平面 D． 平面 【答案】B 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答. 【详解】 在正四棱柱 中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令 ， 是底面 的中心， 分别是 的中点， 则 ， ， ， 对于A，显然 与 不共线，即 与 不平行，A不正确； 对于B，因 ，则 ，即 ，B正确； 对于C，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ， ，因此 与 不垂直，即 不平行于平面 ，C不正确； 对于D，由选项C知， 与 不共线，即 不垂直于平面 ，D不正确. 故选：B 3．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））在三棱锥 中， ， ， ，则 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件，由 ，利用向量数量积的定义及运算律即可求解. 【详解】 解：因为三棱锥 中， ， ， ，所以 ， 故选：A. 4．（2022·天津三中三模）在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 在线段 上，且 ，则三棱锥 的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 如图，建立空间直角坐标系，设 ，然后根据 ，列方程求出 的值，从而可确定出点 的位置，进而可求出三棱锥 的体积 【详解】 如图，以 为原点，分别以 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，则 ，所以 ， 设 ，则 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ，解得 ， 所以 ， 所以点 到平面 的距离为 ， 所以 故选：C 5．（2022·江西新余·二模（文））已知长方体 ， ， ，M是 的中 点，点P满足 ，其中 ， ，且 平面 ，则动点P的轨迹所形成 的轨迹长度是（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 【分析】先构造和平面 平行的截面 ，再根据空间向量共面确定点 的轨迹形状，再求其长度. 【详解】 如图所示，E，F，G，H，N分别为 ， ， ，DA，AB的中点， 则 ， ， 所以平面 平面 ， 所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部. 又因为 ，所以点 在侧面 ， 所以点 的轨迹为线段 ， 因为AB=AD=2， ， 所以 . 故选：A. 二、多选题 1．（2022·山东枣庄·一模）如图，平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长均为1，且 它们彼此的夹角都是60°，则（ ）A． B． C．四边形 的面积为 D．平行六面体 的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出 ，进而求出面积 即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积. 【详解】 ，则 ，故 ，A正确； ， ， ，故 ，B正确；连接 ，则 ， ，即 ，同理 ，故四 边形 为矩形， 面积为 ，C错误； 过 作 面 ，易知 在直线 上，过 作 于 ，连接 ，由 得 面 ，易得 ，故 ， ， ， 故平行六面体 的体积为 ， D正确. 故选：ABD. 题型二：空间向量的应用 一、单选题A B C D 1 1 1 1 1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体 中O为面 的中心， 为面 的 中心.若E为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线 与 所成角的余弦值. 【详解】 设正方体的边长为 ，建立如图所示空间直角坐标系， ， ， 设异面直线 与 所成角为 ， 则 . 故选：B 2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，点P是底面ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 如图所示，连接 交于点 ，连接 ，得到 底面 ，根据 ，求得 ，得到 两点间距离最小为 ，以 分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，求得 ，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】 如图所示，连接 交于点 ，连接 ， 因为四棱锥 为正四棱锥，可得 底面 ， 由底面边长为 ，可得 ，所以 ， 在直角 中， ，可得 ， 又由 ，在直角 中，可得 ， 即点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， 所以当圆与 的交点时，此时 两点间距离最小，最小值为 ， 以 分别为 轴、 轴和 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得 ， 则 ，可得 ， 所以直线 与直线 所成角的余弦值为 . 故选：A.3．（2022·北京·二模）如图，已知正方体 的棱长为1，则线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用坐标法，设 ，可得动点P到直线 的距离为 ，然后利用二次函 数的性质即得. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则 ，设 ，则 ， ∴动点P到直线 的距离为 ，当 时取等号， 即线段 上的动点P到直线 的距离的最小值为 . 故选：D. 4．（2022·江西上饶·二模（理））如图，在长方体 中， ， ， ， 是棱 上靠近 的三等分点， 分别为 的中点， 是底面 内一动点，若直线 与平面 垂直，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，利用线面垂直的向量证明方法可构造方程组求得 点 与 重合，可知所求外接球即为长方体的外接球，可知外接球半径为长方体体对角线长的一半，由球的表 面积公式可得结果. 【详解】 以 为坐标原点， 的正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设 ， ， ， ， 平面 ， ，解得： ， 与 重合， 三棱锥 的外接球即为长方体 的外接球， 外接球 ， 外接球表面积 . 故选：B. 5．（2022·山西临汾·二模（文））如图，在圆锥 中， ，点C在圆O上，当直线 与 所成角为60°时，直线 与 所成角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】 【分析】 以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设 ， ，根据空间向量的数量积 运算求得点C的坐标，再由异面直线的空间向量求解方法可求得答案． 【详解】 解：以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设 ， 则 ， ， 所以 ， ， 因为直线 与 所成角为60°，所以 ， 又因为点C在圆O上，所以 ，所以解得 ，所以 ，点 ， 所以 ， 则 ， 又直线 与 所成角的范围为 ，所以直线 与 所成的角60°， 故选：C．6．（2022·四川雅安·二模）如图，长方体 中，点E，F分别是棱 ， 上的动点（异 于所在棱的端点）.给出以下结论：①在F运动的过程中，直线 能与AE平行；②直线 与EF必然异 A B C D 面；③设直线AE，AF分别与平面 1 1 1 1相交于点P，Q，则点 可能在直线PQ上.其中所有正确结论的 序号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 当点E，F分别是棱 ， 中点时，可证明四边形 是平行四边形，故可判断①②；建立空间直 角坐标系，当点E，F分别是棱 ， 中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共线 【详解】长方体 中， ，连接 ， ，当点E，F分别是棱 ， 中点时，由勾股定理得： ，故 ，同理可得： ，故四边形 是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线 能与AE平行， 与EF相 交，①正确，②错误； 以 为坐标原点， ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别 是棱 ， 中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则 ， ， ，则 ， ，则 ，又两向量有公共点，所以 三点共线，故则点 可能在直线PQ上，③正确.故选：B 二、多选题 1．（2022·广东汕头·二模）如图，在正方体 中，点P在线段 上运动，则（ ） A．直线 平面 B．三棱锥 的体积为定值 C．异面直线AP与 所成角的取值范围是 D．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 【答案】AB 【解析】 【分析】 建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判 断即可.【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 ， ， 设 ，设 ， 即 . A： ， 因为 ， 所以 ， 而 平面 ， 所以直线 平面 ，因此本选项结论正确； B：侧面 的对角线交点为 ，所以 ， ， 而 平面 ， 平面 ， 所以 ，而 平面 ，所以 平面 ， 为定值，因此本选项结论正确； C： ， 设异面直线AP与 所成角为 ， 则有 ， 当 时， ； 当 时， ， 因为 ，所以 ， 因此 ， ，即 ，所以 ， 综上所述： ，所以本选项结论不正确； D：设平面 的法向量为 ， ， 所以有 ， 直线 与平面 所成角的正弦值为： 因为 ，所以当 时， 有最小值，最小值为 ， 所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，因此本选项结论不正确， 故选：AB 【点睛】 关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键. 2．（2022·广东梅州·二模）在长方体 中， ， ，动点 在体对角线 上（含端点），则下列结论正确的有（ ） A．当 为 中点时， 为锐角 B．存在点 ，使得 平面 C． 的最小值 D．顶点 到平面 的最大距离为 【答案】ABD 【解析】【分析】 如图，以点 为原点建立空间直角坐标系，设 ，当 为 中点时，根据 判断 得符号即可判断A；当 平面 ，则 ，则有 ，求出 ，即可判断B；当 时， 取得最小值，结合B即可判断 C；利用向量法求出点 到平面 的距离，分析即可判断D. 【详解】 解：如图，以点 为原点建立空间直角坐标系， 设 ， 则 ， 则 ，故 ， 则 ， ， 对于A，当 为 中点时， 则 ， ， 则 ， ， 所以 ， 所以 为锐角，故A正确； 当 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 则 ，解得 ， 故存在点 ，使得 平面 ，故B正确； 对于C，当 时， 取得最小值， 由B得，此时 ， 则 ， ， 所以 ， 即 的最小值为 ，故C错误； 对于D， ， 设平面 的法向量 ， 则有 ， 可取 ， 则点 到平面 的距离为 ， 当 时，点 到平面 的距离为0， 当 时， ， 当且仅当 时，取等号，所以点 到平面 的最大距离为 ，故D正确. 故选：ABD. 三、解答题 1．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知底面ABCD为菱形的直四棱柱，被平面AEFG所截几何 体如图所示. (1)若 ，求证： ； (2)若 ， ，三棱锥GACD的体积为 ，直线AF与底面ABCD所成角的正切值为 ， 求锐二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】【分析】 （1）根据题意可证 平面BDG，可得 ，得证 平面ACE，得 ，再根据面面平行 的性质可证 ；（2）根据题意可得 ， ，利用空间向量求二面角． (1) 连接BD，交AC于点O，底面ABCD为菱形，∴ ， 由直四棱柱得 底面ABCD，又 平面ABCD，∴ ， 又 ，BD， 平面BDG， ∴ 平面BDG，因为 平面BDG， ∴ 已知 ，又 ，AC， 平面ACE， ∴ 平面ACE， 因为 平面BDG，∴ ∵平面 平面CFGD 平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ ，则 (2) 已知 ， ，可求 ， 由 ，则 在直四棱柱中， 底面ABCD， 所以 为直线AF与底面ABCD所成角， ，则 在平面ACF内作 ，可知 底面ABCD，如图，以 为原点，建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 则 设平面BCE的法向量为 ，则 取 ，得 ， ，得 ， 由（1）知 平面ACE，所以平面ACE的一个法向量为 则 ， 所以锐二面角 的余弦值为 2．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是直角梯形， 其中 ， ， ， ，E为棱 上的点，且 . (1)求证： 平面 ； (2)求二面角 的余弦值； (3)求点E到平面 的距离. 【答案】(1)证明过程见解析；(2) ； (3) . 【解析】 【分析】 （1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算性质，结合线面垂直的判定定理进行计算证明即 可； （2）利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式，结合锐角三角函数定义进行求解即可. (1) 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，而 ，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系， 则有 ， ， ， ， 因为 ， 所以 ，而 平面 ， 所以 平面 ； (2) 设平面 的法向量为 ， ，则有 ， 由（1）可知平面 的法向量为 ， 所以有 ， 由图知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为 ； (3) 由（2）可知：平面 的法向量为 ， ，所以可得： ， 所以点E到平面 的距离为 .