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专题 23 离散型随机变量的概率
1、（2023年全国甲卷数学（理））有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或
乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1
【答案】A
【详解】报名两个俱乐部的人数为 ，
记“某人报足球俱乐部”为事件 ,记“某人报兵乓球俱乐部”为事件 ，
则 ，
所以 .
故选: .
2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率
为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复
发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到
的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概
率
【答案】ABD
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为 ，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件
和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为 ，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率 ，
单次传输发送0，则译码为0的概率 ，而 ，
因此 ，即 ，D正确.
故选：ABD
3、（2023年新高考天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这三
个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球
的概率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】 /
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为 ，所以总数为 ，
所以甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
甲盒中黑球个数为 ，白球个数为 ；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 ，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件 ，
黑球总共有 个，白球共有 个，
所以， ．故答案为： ； ．
4、（2023年新课标全国Ⅰ卷）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投
籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命
中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
5、（2023年新课标全国Ⅱ卷）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有
明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
(1)当漏诊率 ％时，求临界值c和误诊率 ；
(2)设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最小值．【答案】(1) ， ；
(2) ，最小值为 ．
【详解】（1）依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
（2）当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
6、【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手
与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p ,p ,p ，且p >p >p >0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则
1 2 3 3 2 1
（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【解析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p
甲
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
甲 2 1 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p
乙
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p
丙
则p =2(1−p )p p +2p p (1−p )=2p (p +p )−4 p p p
丙 1 3 2 1 3 2 3 1 2 1 2 3则p −p =2p (p +p )−4 p p p −[2p (p +p )−4 p p p ]=2(p −p )p <0
甲 乙 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 3
p −p =2p (p +p )−4 p p p −[2p (p +p )−4 p p p ]=2(p −p )p <0
乙 丙 2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3 2 3 1
即p
