[A4版]强化数一专项做题本_考研_数学_05.周洋鑫_25周洋鑫《强化（高数）》做题本_数一

周洋鑫高数 · 数一满分专项 目录 专题1.向量代数与空间解析几何 ................................................... 2 专题2.三重积分 ................................................................. 8 专题3.多元函数微分学几何应用 .................................................. 10 专题4.重积分的几何和物理应用 .................................................. 12 专题5.第一型曲线积分(对弧长) .................................................. 12 专题6.第二型曲线积分(对坐标) .................................................. 14 专题7.第一型曲面积分 .......................................................... 17 专题8.第二型曲面积分 .......................................................... 19 专题9.傅里叶级数 .............................................................. 21 题型1空间平面与直线 ........................................................... 21 题型2旋转曲面、空间曲线投影线 ................................................. 22 题型3切(法)平面、切(法)线求解 ................................................. 23 题型4方向导数、梯度、旋度与散度 ............................................... 25 作业练习 ....................................................................... 27 题型5三重积分 ................................................................. 29 题型6第一型曲线积分 ........................................................... 32 题型7第二型平面曲线积分 ....................................................... 33 题型8平面曲线积分与路径无关 ................................................... 36 题型9第二型空间曲线积分 ....................................................... 37 题型10第一型曲面积分 .......................................................... 38 题型11第二型曲面积分 .......................................................... 39 作业练习 ....................................................................... 41 题型12傅里叶级数 .............................................................. 44 第 1 页，共47页周洋鑫高数 · 数一满分专项 周洋鑫高数强化数一专项 专题1.向量代数与空间解析几何 P3 例题1设 第 2 页，共47页 ( a  b )  c =  ,则  ( a + b )  ( b + c )   ( c + a ) = _________. P4 例题2设一平面经过原点及点 (  , −  ,  ) ,且与平面  x − y +  z =  垂直,则此平面方程为 __________. P4 例题3求两平面 x − y +  z −  =  与  x + y + z −  =  的夹角.周洋鑫高数 · 数一满分专项  x+ y+z+= P6 例题4用对称式方程及参数方程表示直线 . x−y+z+= P6 例题5设有直线 第 3 页，共47页 L :  x  + x  − y y + −   z  + z  + =   = ,  及平面 : x y z   −  + −  =  ,则直线 L ( ) . A.平行于. B.在上. C.垂直于. D.与斜交. P7 例题6设有直线 L  : x −   = y − −   = z +   x− y= 与L : 则  y+z= L  与L 的夹角为  ( ) .  A.     . B. . C. . D.    .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P7 例题7已知两条直线的方程是 第 4 页，共47页 L  : x −   = y −   = z − −   ; L  : x +   = y −   = z  则过 L  且平行于 L  的平面方程是_________. P7 例题8过点 M (  ,  , −  ) x=−t+  且与直线y=t−垂直的平面方程是__________ .  z=t−周洋鑫高数 · 数一满分专项 P8 例题9求过点 第 5 页，共47页 M ( −  , −  ,  ) x=+t, x−y+z=,  并与两直线L : L :y=−−t, 都垂直的直线  x+y+=,   z=−+t L 的 方程. P8 例题10求直线L:x−= y=−z在平面:x+ y+z=上的投影直线方程.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 数一满分专项 P9 例题11将xoy坐标面上的双曲线x −y =分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋 转曲面的方程. P10 例题12将曲线化为参数方程 第 6 页，共47页  x  z + =  y  + + x   z + = y   . ,周洋鑫高数 · 数一满分专项 P10 例题13设一个立体由上半球面z= −x−y 和锥面z=  ( x +y) 所围成,求它在 第 7 页，共47页 x O y 面上的投影. P10 例题14求曲线  :  z  = x − x  z + = y   . , 在 x O y 面和 z O x 面上的投影曲面方程.周洋鑫高数 · 数一满分专项 专题2.三重积分 P13 例题15计算 第 8 页，共47页 I =    ( x  + y  ) d V ,其中  为平面曲线  y x  = =   z ,绕 z 轴旋转一周形成的曲面 与平面 z =  所围成的区域. P13 例题16计算 I =    z  d V ,其中  为平面曲线  y x  = =   z ,绕 z 轴旋转一周形成的曲面与平面 z =  所围成的区域.周洋鑫高数 · 数一满分专项 P14 例题17计算三重积分(x+ y+z)dv,其中  第 9 页，共47页  是由z= x +y 与z= −x −y 所围成 的区域. P14 例题18设  是由曲面 x  + y  + z  =  z ( z   ) 与曲面z= x +y 围成的区域,求  ( x+y+z) dV . 周洋鑫高数 · 数一满分专项 专题3.多元函数微分学几何应用 P16 例题19曲面 第 10 页，共47页 z − e z +  x y =  在点 (  ,  ,  ) 处的切平面方程为________. P16 例题20在曲线 x = t , y = − t  , z = t  的所有切线中,与平面 x +  y + z =  平行的切线( ). A.只有1条. B.只有2条. C.至少由3条. D.不存在. P16 例题21已知曲面 z =  − x  − y  上点 P 处的切平面平行于平面  x +  y + z −  =  ,则点 P 的 坐标是_________.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 数一满分专项 x P17 例题22函数 f (x,y)=arctan 在点 y 第 11 页，共47页 (  , ) 处的梯度等于__________. P18 例题23函数 f ( x , y , z ) = x  y + z  在点 (  ,  ,  ) 处沿着向量 n = (  ,  ,  ) 的方向导数为( ). A.12. B.6. C.4. D.2. P18 例题24设函数 z = f ( x , y ) 在 (  ,  ) 附近有定义且 f x  (  ,  ) =  , f y  (  ,  ) =  .则( ). A. d z ( , ) =  d x + d y B.曲面z= f (x,y)在点( ,,f (,))的法向量为   , ,  z= f (x,y) C.曲线 在点 y= (  ,  , f (  ,  ) ) 的切向量为,, D.曲线  z y = = f  ( x , y ) 在点 (  ,  , f (  ,  ) ) 的切向量为,,周洋鑫高数 · 数一满分专项 专题4.重积分的几何和物理应用 P19 例题25设 第 12 页，共47页  =  ( x , y , z )∣ x  + y   z    ,则  的形心的竖坐标 z = __________ . 专题5.第一型曲线积分(对弧长) x y P23 例题26设L为椭圆 + =,其周长记为   a ,则  L (  x y +  x  +  y  ) d s = __________ . P23 例题27设xOy面内曲线L为 x =  − y  ,则曲线积分  L ( x − y )  d s = __________ .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P23 例题28已知曲线L:y=x( x  ) ,则 xds=_________. L P24 例题29计算 第 13 页，共47页 I =  L x  + x (  y y +  )  d s ,其中 L 为曲线x + y =−y. P25 例题30设L为球面x +y +z =与平面 x + y + z =  的交线,则∮ xyds=________. L周洋鑫高数 · 数一满分专项 专题6.第二型曲线积分(对坐标) P27 例题31已知曲线 第 14 页，共47页 L 的方程为 y =  − x ( x   −  ,  ) ,起点是 ( −  ,  ) ,终点是 (  ,  ) ,则曲线积分  L x y d x + x  d y = __________ . P28 例题32已知L是第一象限中从点 (  ,  ) 沿圆周x + y =x到点 (  ,  ) ,再沿圆周x +y = 到点 (  ,  ) 的曲线段.计算曲线积分 I =  L  x  y d x + ( x  + x −  y ) d y .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P28 例题33求I = ( exsiny−b(x+ y)) dx+ ( excosy−ax ) dy,其中a,b为正常数, L 第 15 页，共47页 L 为从点 A (  a ,  ) 沿曲线 y =  a x − x  到点 O (  ,  ) 的弧. P29 例题34计算曲线积分 I = L x d y   x − + y d y x  ,其中 L 是以点(,)为中心, R 为半径的圆周(R), 取逆时针方向.周洋鑫高数 · 数一满分专项 P30 例题35设曲线积分 f (x)−exsinydx− f (x)cosydy与路径无关,其中   L 第 16 页，共47页 f ( x ) 具有一阶连 续导数 f (  ) =  ,则 f ( x ) 等于 ( ) A. e − x −  e x . B. e x −  e − x . C. e x +  e − x −  . D.  − e x +  e − x . P31 例题36计算曲线积分 ∮ C ( z − y ) d x + ( x − z ) d y + ( x − y ) d z ,其中 C 是曲线  x x  − + y y +  = z  = ,  , 从 z 轴正向往 z 轴负向看,C的方向是顺时针的.周洋鑫高数 · 数一满分专项 P31 例题37设L的方程为 第 17 页，共47页  z z = = x  − x  − y  ( ) ( ) ,起点为A , , ,终点为B ,− , ,计算曲线 积分 I =  L ( y + z ) d x + ( z  − x  + y ) d y + ( x  y  ) d z . 专题7.第一型曲面积分 P33 例题38设  =  ( x , y , z )∣ x + y + z =  , x   , y   , z    ,则   y d S 与   y  d S .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P33 例题39设曲面: x + y + z =,则 ( x+ y ) dS =_________ .  P34 例题40设薄片型物体S 是圆锥面z= x +y 被z =x割下的有限部分,其上任一点处的 密度; 第 18 页，共47页 ( x , , y , z ) x y z  =   +  +  ,记圆锥面与柱面的交线为C. (I)求 C 在 x O y 平面上的投影曲线的方程; (II)求 S 的质量M.周洋鑫高数 · 数一满分专项 专题8.第二型曲面积分 P37 例题41设 第 19 页，共47页  为曲面 z = x  + y  ( z   ) 的上侧,计算曲面积分 I =   ( x −  )  d y d z + ( y −  )  d z d x + ( z −  ) d x d y . P37 例题42(2023年真题)设  为x +y =,z=,x+z=所围曲面的外侧,求 I =    x z d y d z + x z c o s y d z d x +  y z s in x d x d y .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P39 例题43设 第 20 页，共47页 F ( x , y , z ) = x y i − y z j + x z k ,则 r o tF (  , ,  ) = _________ . P39 例题44向量场 A ( x , y , z ) = ( x + y + z ) i + x y j + z k 的旋度 r o tA = _________ . P39 例题45设数量场 u = ln x  + y  + z  ,则 d iv ( g r a d u ) = __________ .公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 数一满分专项 专题9.傅里叶级数 题型1空间平面与直线 P42 例题1(1991年,数一,3分)已知两条直线的方程是 第 21 页，共47页 L  : x −   = y −   = z − −   ; L  : x +   = y −   = z  则过L 且平行于L 的平面方程是_______.   P43 例题2(1987年,数一,3分)与两直线  x y z = = =  , −   + + t t , 及 x +   = y +   = z −   都平行,且过原点的 平面方程为_________.周洋鑫高数 · 数一满分专项 x+ y+b=, P43 例题3(1997年,数一,6分)设直线l: 在平面上,且平面与曲面 x+ay−z−= 第 22 页，共47页 z = x  + y  相切于点 (  , −  ,  ) ,求 a , b 之值. 题型2旋转曲面、空间曲线投影线 P44 例题4(1993年,数一,3分)由曲线   z  x = +  ,  y  =   , 绕 y 轴旋转一周得到的旋转面在点 (  ,  ,  ) 处的指向外侧的单位法向量为________.周洋鑫高数 · 数一满分专项 P45 例题5(1998年,数一,5分)求直线 第 23 页，共47页 l : x −   = y  = z −   在平面 : x y z  − +  −  =  上投影直线 l 的方程,并求 l 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程. 题型3切(法)平面、切(法)线求解 P46 例题6(2003年,数一,4分)曲面 z = x  + y  与平面  x +  y − z =  平行的切平面的方程是 _________ .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P46 例题7(1994年,数一,3分)曲面z−ez +xy=在点(,,)处的切平面方程为_________ . P46 例题8(1989年,数一,3分)已知曲面 第 24 页，共47页 z =  − x  − y  上点 P 处的切平面平行于平面  x +  y + z −  =  ,点 P 的坐标是( ). A. (  , −  ,  ) . B. ( −  , ,  ) . C. (  , ,  ) . D. ( −  , −  ,  ) .周洋鑫高数 · 数一满分专项 题型4方向导数、梯度、旋度与散度 P47 例题9(1991年,数一,6分)设 第 25 页，共47页 n 是曲面  x  +  y  + z  =  在点 P (  , , ) 处的指向外侧的法向 量,求函数 u =  x  + z  y  在点 P 处沿方向的 n 方向导数. P48 例题10(1998年,数一,6分)确定常数,使在右半平面 x   上的向量 A(x,y)=xy ( x + y) i−x( x + y) j为某二元函数u(x,y)的梯度,并求u(x,y).周洋鑫高数 · 数一满分专项 P48 例题11(2002年,数一,7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为 第 26 页，共47页 x O y 坐标面,其底部所 占的区域为 D =  ( x , y )∣ x  + y  − x y     ,小山的高度函数为h(x,y)=−x−y+xy. (1)设M(x ,y )为区域   D 上的一点,问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记 此方向导数的最大值为 g ( x  , y  ) ,试写出 g ( x  , y  ) 表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点, 也就是说,要在 D 的边界线 x  + y  − x y =   上找出使(I)中的 g ( x , y ) 达到最大值的点.试确定 攀登起点的位置.周洋鑫高数 · 数一满分专项 作业练习 P49 例题12(1989年,数一,3分)向量场 第 27 页，共47页 u ( x , y , z ) = x y  i + y e z j + x ln (  + z  ) k 在点 P (  , ,  ) 处的 散度divu=_________. P49 例题13(1992年,数一,3分)函数 u = ln ( x  + y  + z  ) 在点 M (  ,  , −  ) 处的梯度 g r a d u M = _________ . P49 例题14(2001年,数一,3分)设 r = x  + y  + z  ,则 d iv ( g r a d r ) ( ,−  , ) = _________.周洋鑫高数 · 数一满分专项 x y z  P49 例题15(2005年,数一,4分)设函数u(x,y,z)=+ + + ,单位向量n= ,,,则     第 28 页，共47页   u n ( , , ), = __________. P49 例题16(1996年,数一,3分)函数 u = ln ( x + y  + z  ) 在点 A (  ,  , ) 处沿点 A 指向点 B (  , −  ,  ) 方向的方向导数为_________.周洋鑫高数 · 数一满分专项 题型5三重积分 P50 例题17(1988年,数一,3分)设空间区域 第 29 页，共47页   : x  + y  + z   R  , z   及   : x  + y  + z   R  , x   , y   , z   ,则( ). A.    x d v =     x d v . B.    y d v =     y d v . C.    z d v =     z d v . D.xyzdv=xyzdv.     P51 例题18(1994年,数一,6分)已知点 A 与 B 的直角坐标分别为 (  ,  ,  ) 与 (  , , ) .线段 A B 绕 z 轴旋转一周所围成的旋转曲面为 S .求由 S 及两平面 z =  , z =  所围成的立体体积. P51 例题19计算     x a   + y b   + z c    d v ,其中:x +y +z .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P52 例题20计算I =(x−y) dv,其中  第 30 页，共47页  由不等式组 x  + y  + ( z − a )   a  ( a   ) 与 z  x  + y  确定. P52 例题21    z  d x d y d z ,其中  x y z 是由椭球面 + + =所围成的空间闭区域. a b c公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 数一满分专项 P53 例题22(1991年,数一,6分)求 ( x +y +z) dV ,其中  第 31 页，共47页  y =z, 是有曲线 绕 x= z 轴旋转 一周而围成的曲面与平面 z =  所围成的体积. 例题23设F(t)=  f ( x +y +z) dv,f (u)为连续函数,且 f()=, f ()=,求 x+y+zt lim t→  + F ( t t ) ( t   ) .周洋鑫高数 · 数一满分专项 题型6第一型曲线积分 P54 例题24(1989年,数一,3分)设平面曲线 第 32 页，共47页 L 为下半圆周 y = −  − x  ,则曲线积分  L ( x  + y  ) d s = __________ . P55 例题25(1998年,数一,3分)设 l 为椭圆 x   + y   =  ,其周长记为 a ,则  ( xy+x+y) ds=__________ . l周洋鑫高数 · 数一满分专项 例题26计算I = y +zds,其中 L 第 33 页，共47页 L 为 x  + y  + z  =  与 y = x 的交线. 题型7第二型平面曲线积分 P56 例题27(2007年,数一,4分)设曲线 L : f ( x , y ) =  ( f ( x , y ) 具有一阶连续偏导数)过第II象 限内的点 M 和第 I V 象限内的点 N ,  为L上从点M到点N的一段弧,则下列积分小于零的是 ( ) A.   f ( x , y ) d x . B. f (x,y)dy.  C.   f ( x , y ) d s . D.   f x  ( x , y ) d x + f y  ( x , y ) d y .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P57 例题28计算I = ( xy+ey) dx− ( cosy−xey) dy,其中曲线 L 第 34 页，共47页 L 为由点 A ( −  , ) 沿曲线 y = x  到点 O (  ,  ) ,再沿 x 轴到点 B (  ,  ) 的路径. x−y x+ y P57 例题29(2020年数一)计算I = dx+ dy,其中L为x +y =,方向为逆 Lx + y x + y 时针方向.周洋鑫高数 · 数一满分专项 P58 例题30(2005年,数一,12分)设函数 第 35 页，共47页 ( y )  具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单 闭曲线 L 上,曲线积分 L ( y ) d x x y x y d y  ∮   + +   的值恒为同一常数. (I)证明:对右半平面 x   内的任意分段光滑简单闭曲线C,有 C ( y ) d x x y x y d y  ∮   + +   =  . (II)求函数(y)的表达式. P58 例题31(2003年,数一,10分)已知平面区域 D  ( x , y ) x , y  , L   = ∣       为 D 的正向边 界.试证: (I)  L x e sin y d y − y e − sin x d x =  L x e − sin y d y − y e sin x d x ; (II) L x e sin y d y y e sin x d x  ∮ − −    .周洋鑫高数 · 数一满分专项 题型8平面曲线积分与路径无关 P59 例题32(1989年,数一,5分)设曲线积分 第 36 页，共47页 C x y d x y ( x ) d y    + 与路径无关,其中 ( x )  具有连 (,) 续的导数,且()=,计算 xy dx+ y(x)dy的值. (,) P60 例题33(1995年,数一,8分)设函数 Q ( x , y ) 在平面 x O y 上具有一阶连续偏导数,曲线积分  L  x y d x + Q ( x , y ) d y 与路径无关,并且对任意 t 恒有  ( ) t,  ( )  , x y d x + Q ( x , y ) d y =  ( )  ,t  ( )  , x y d x + Q ( x , y ) d y ,求Q(x,y).周洋鑫高数 · 数一满分专项 P60 例题34(2002年,数一,8分)设函数 第 37 页，共47页 f ( x ) 在 ( , )   − + 内具有一阶连续导数,L是上半平面 ( y   ) 内的有向分段光滑曲线,其起点为 ( a , b ) ,终点为 ( c , d ) .记 I =  L  y   + y  f ( x y )  d x + x  y  y  f ( x y ) −   d y , (I)证明曲线积分 I 与路径 L 无关; (II)当 a b = c d 时,求 I 的值. 题型9第二型空间曲线积分 P61 例题35(2001年,数一,7分)计算 I ∮= L ( y  − z  ) d x + (  z  − x  ) d y + (  x  − y  ) d z ,其中 L 是平面 x + y + z =  与柱面 x + y =  的交线,从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向.周洋鑫高数 · 数一满分专项 P62 例题36(1997年,数一,6分)计算曲线积分∮(z−y)dx+(x−z)dy+(x−y)dz,其中C是曲 C 线 第 38 页，共47页  x x  − + y y +  = z  = ,  , 从 z 轴正向往z轴负向看, C 的方向是顺时针的. 题型10第一型曲面积分 P63 例题37(2007年,数一,4分)设曲面  : x + y + z =  ,则   ( x + y )d S = ________ .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P63 例题38(1995年,数一,6分)计算曲面积分zdS ,其中  第 39 页，共47页  为锥面 z = x  + y  在柱体 x  + y    x 内的部分. 题型11第二型曲面积分 P64 例题39(2007年,数一,10分)计算曲面积分 I =   x z d y d z +  z y d z d x +  x y d x d y 其中  为曲面 y z=−x − (z)的上侧. 周洋鑫高数 · 数一满分专项 P65 例题40(2000年,数一,7分)设对于半空间 第 40 页，共47页 x   内任意的光滑有向封闭曲面 S ,都有  s x f ( x ) d y d z − x y f ( x ) d z d x − e  x z d x d y =  . 其中函数 f ( x ) 在 ( , )   + 内具有连续的一阶导数,且 lim f (x)=.求 x→+ f ( x ) . P65 例题41(1994年,数一,6分)计算曲面积分  s x d x y d  z + + y z   + d x z d  y ,其中 S 是有曲面 x  + y  = R  及两平面z=R,z=−R(R)所围成立体表面的外侧.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取周洋鑫高数 · 数一满分专项 P66 例题42(2020年数一)设为曲面z= x+y( x+y  ) 下侧, f (x)为连续函数.计 算 第 41 页，共47页 I =    x f ( x y ) +  x − y  d y d z +  y f ( x y ) +  y + x  d z d x +  z f ( x y ) + z  d x d y . 作业练习 P67 例题43(1988年,数一,7分)设  为曲面 x  + y  + z  =  的外侧,计算曲面积分 I =   x  d y d z + y  d z d x + z  d x d y .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P67 例题44(2006年,数-,4分)设是锥面z= x+y(z)的下侧,则 xdydz+ydzdx+(z−)dxdy=________  第 42 页，共47页 . P68 例题45(2005年,4分)设  是由锥面z= x +y 与半球面z= R −x −y 围成的空间 区域,  是  的整个边界的外侧,则   x d y d z + y d z d x + z d x d y = __________ .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P68 例题46(1990年,数一,8分)求曲面积分I =yzdzdx+dxdy,其中 S 第 43 页，共47页 S 是球面 x  + y  + z  =  外侧在 z   的部分. P66 例题47(2005年,数一,4分)计算曲面积分 I =    x  d y d z +  y  d z d x +  ( z  −  ) d x d y ,其中  是曲面 z =  − x  − y  ( z   ) 的上侧.周洋鑫高数 · 数一满分专项 题型12傅里叶级数 P69 例题48(2003年,数一,4分)设 第 44 页，共47页 x n a n c o s n x ( x )     =  =  −   ,则 a  = _________ . P70 例题49(1992年,数一,3分)设 f ( x ) , x , x x , ,   =  −   +  −       则其以   为周期的傅立叶级数 在点 x  = 处收敛于__________.周洋鑫高数 · 数一满分专项   x,x    a  P70 例题50(1999年,数一,3分)设 f (x)= , S(x)=  +a cosnx,   n  −x, x n=   第 45 页，共47页 x   −   + ,其中 a n f ( x ) c o s n x d x ( n , , , )  =     =      ,则S − 等于( ).     A.   . B. −    . C. . D.  −   . P71 例题51(1993年,数一,3分)设函数 f ( x ) x x ( x )    = +  −   的傅立叶级数展开式为 a n ( a n c o s n x b n s in n x )   +  =  + ,则其中系数 b  的值为_________ .周洋鑫高数 · 数一满分专项 P71 例题52(1989年,数一,3分)设函数 第 46 页，共47页 f ( x ) = x  ,   x   ,而 S ( x ) n b n s in n x , x     =  =  −   + , 其中 b n f ( x ) s in n x d x , n , , ,  =     =    ,则 S  −    等于 ( ) . A. −   . B. −     . C. . D. .  