概率论公式（空白版）_考研_数学_00.公式_25《公式定理》默写本_概率论默写本

概率论与数理统计 1．事件的运算律 交换律：A B ;A B     结合律：A (B C) ；A (B C)       分配律：A  (B  C)  ；A  (B  C)  . 德摩根律（对偶律）：A B , A B      2．概率的五大计算公式 （1）加法公式 P(A B)   P(A B C)    （2）减法公式 P(B A) （3）乘法公式 若P(A) 0,则P(AB) ；若P(B) 0,则P(AB)     若P(AB)0,则P(ABC)  （4）全概率公式 n P(A)  , 其中BB i  j,  B  Ω. i j i i1 （5）贝叶斯公式 n P(B A)  ,其中BB i  j,  B  Ω. j i j i i1 【注】上述公式中事件B 的个数可以是可列个． i 3．事件的独立性 A与B独立 P(AB)P(AB)  A,B,C两两独立 P(AC)  P(BC)  P(AB)  P(BC) A,B,C相互独立  P(AC)   P(ABC) 4．独立的性质及结论 （1）若事件A,B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立. （2）独立的等价说法：若0 P(A)1，则 事件A,B独立 P(AB) P(B) P(B) P(B| A) （3）若A,A , ,A ,B ,B , ,B 相互独立，则 f(A,A , ,A )与g(B,B , ,B ) 1 2 m 1 2 n 1 2  m 1 2 n 也 ，其中 f(),g() 分别表示对相应事件作任意事件运算. （4）若P(A)0或P(A)1，则A与任何事件B . 5．独立、互斥、互逆的关系 （1）A与B互逆 A与B互斥，但反之 成立； （2）A与B互斥（或互逆）且均为非零概率事件 A与B ； （3）A与B相互独立且均为非零概率事件 A与B . 【注】一般情况下，独立和互斥无关，独立推不出互斥、互斥也推不出独立. 6．分布函数的性质 （1）非负性：0 F(x) 1. （2）规范性：F() ,F() . （3）单调不减性：对于任意x  x ，有F(x ) F(x ). 1 2 1 2 （4）右连续性：F(x 0) . 07．密度函数的性质 （1）非负性： . （2）规范性： . （3）对于任意实数a和b(ab)，有P{a X b} . （4）对于连续型随机变量X ，有PX  x ，对xR成立. （5）连续型随机变量的分布函数F(x)是 函数. （6）在 f(x)的连续点处，有F(x) . 8．几个常见的分布 （1）离散型分布 1）0-1分布 X  B(1, p) P(X k) ,(k 0,1).    EX , DX    2）二项分布 X  B(n, p) P(X k) ,(k 0,1, ,n).     EX , DX    3）泊松分布 X P()(0)  P(X k) ,(k 0,1,2 ).  EX  , DX   4）几何分布 X G(p)  P(X k) ,(0 p1,k 1,2, ).  EX  , DX   5）超几何分布 X H(N,M,n)  P(X k) ,  (k 0,1,  ,minn,M).（2）连续型分布 1）均匀分布 X U(a,b)  f(x) EX  , DX   2）指数分布 X E()(0)  f(x) EX  , DX   3）正态分布 ○1 一般正态分布 X  N(,2) f(x) ,( x,0). EX  , DX   ○2 标准正态分布 X  N(0,1) (x) ( x).   性质：(x) ；(0) ；P X a  . 上分位点： 设X ~ N(0,1)，对于给定的(01)，如果u 满足条件：  PX u  ，  则称u 为标准正态分布的上分位点.  ○3 标准正态分布与一般正态分布的关系 正态分布X ~ N(,2)，通过线性变换Z  变为标准正态分布.9．一维随机变量函数的分布 （1）离散型 问题：若P(X  x ) p ,Y  g(X)，求Y 的分布律. i i 方法：P(Y  y ) . j （2）连续型 问题：X f (x),Y  g(X)，求Y 的分布密度.  X 方法：分布函数法 F (y) P(Y  y)  , Y f (y) . Y 10．联合分布函数的概念与性质 （1）定义 F(x,y) P{X  x,Y  y}( x, y) 称为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，它表示随机事件{X  x}与 同时发 生的概率. （2）性质 1）非负性：对于任意实数x,yR， . 2）规范性： F(,y) lim F(x,y) , F(x,) lim F(x,y) ,  x y F(,) lim F(x,y) , F(,) lim F(x,y) .  x x y y 3）单调不减性：F(x,y)分别关于x和y单调 . 4）右连续性：F(x,y)分别关于x和y具有右连续性，即 F(x,y) , F(x,y) , x,yR.   11．二维离散型随机变量及其分布 （1）二维离散型随机变量的定义 若二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限对或可列无穷多对实数，则称 为二 维离散型随机变量.公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取（2）联合分布律 P(X  x,Y  y } , (i, j 1,2, ), i j   p 0; ij    p  . ij i1 j1 （3）边缘分布律  PX  xP{X  x,Y  y } (i 1，2， ), i i j   j1  PY  yP{X  x,Y  y } (j 1，2， ). i i j   i1 （4）条件分布律   对于给定的 j，若P Y  y 0(j 1,2, )，则称 j    P X  x ,Y  y P  X  x Y  y   i j  ,i 1,2, i j    P Y  y j 为在Y  y 的条件下随机变量X 的条件概率分布； j 对于给定的i，如果PX  x0(i1,2, )，则称 i    P X  x ,Y  y P  Y  y X  x   i j  , j 1,2, j i PX  x  i 为在X  x 的条件下随机变量Y 的条件概率分布. i 12．二维连续型随机变量及其分布 （1）定义 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的二元函数 x y f(x,y)，使得对任意实数x,y，有F(x,y)   f(u,v)dudv，则称 为二维连   续型随机变量，称函数 为二维随机变量(X,Y)的概率密度函数或联合密度函数. （2）性质 1） f(x,y) 0 ( x, y)；   2）  f(x,y)dxdy  ；   3）设D是xOy平面上任一区域，则点(x,y)落在D内的概率为： P(X,Y)D ；4）若 f(x,y)在点(x,y)处连续，则有 f(x,y) . （3）边缘密度函数 f (x) ; f (y)  X Y （4）条件密度函数 当 f (y)0时，称 f (x y) 为在条件Y  y下X 的条件密度函数； Y XY 当 f (x)0时，称 f (y x) 为在条件X  x下Y 的条件密度函数. X YX 13．两个常见的二维连续型分布 （1）二维均匀分布 1）定义 设G是平面上有界可求面积的区域，其面积为 G ，若二维随机变量(X,Y)具有密度函 数    f(x,y)    则称(X,Y)在区域G上服从二维均匀分布. 2）性质   若(X,Y)在各边平行于坐标轴的矩形区域D (x,y) a xb,c yd 上服从 二维均匀分布，则它的两个分量X 和Y 是 的，并且分别服从区间a,b,c,d上的 一维均匀分布.（2）二维正态分布 1）定义 如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) 其中,, 0, 0,11均为常数，则称(X,Y)服从参数为,,, 和 1 2 1 2 1 2 1 2 的二维正态分布，记作(X,Y)~ . 2）性质 ① X ~ ，Y ~ ； ② X与Y 独立的充分必要条件是 ； ③ X与Y 的非零线性组合服从一维正态分布，且 当X与Y 不独立时， k X k Y ~ ； 1 2 当X与Y 独立时， k X k Y ~ . 1 2 a b ④ 若(X ,X )服从二维正态分布，且行列式 0，则 1 2 c d aX bX ,cX dX  二维正态分布. 1 2 1 2 14．随机变量的独立性 （1）定义 1）对于任意实数x和y有：F(x,y) ，则称X 和Y 相互独立； 2）对于任意i, j 1,2,  有：P  X  x,Y  y   ，则称二维 i j 离散型随机变量X 和Y 相互独立； 3）对于任意实数x和y有：f(x,y) ，则称二维连续型随机变量X 和 Y 相互独立.（2）性质 1）若X 与Y 相互独立， f(x)和g(x)为连续函数，则 f(X)与g(Y) ； 2）若X ,X  X ,Y,Y  Y 相互独立，f()为n元连续函数和g()为m元连续函 1 2 n 1 2 m 数，则 f(X ,X X )与g(Y,Y Y ) . 1 2 n 1 2 m 15．两个随机变量简单函数的概率分布 （1）离散型 已知(X,Y)的概率分布为 P  X  x,Y  y   p ,i, j 1,2, . i j ij  则Z  g(X,Y)的分布律为 P(Z  z ) Pg(X,Y) z  k k （2）连续型 1）一般方法（分布函数法） 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则随机变量Z  g(X,Y)的分 布函数和概率密度为 F (z) PZ  z Pg(X,Y) z , Z f (z) . Z 2）公式法（卷积公式） 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则随机变量Z  X Y 的密 度函数为  f (z) f(x,zx)dx 或 f (z) . Z Z  若X与Y 独立，则  f (z) f (x)f (zx)dx 或 f (z) . Z X Y Z  这个公式称为独立和卷积公式.16．关于随机变量X 的数学期望 （1）离散型  设随机变量X 的分布律为P{X  x} p (i 1,2, )，若级数x p 绝对收敛，则  i i i i i1 称EX  为随机变量X 的数学期望. （2）连续型  设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x) ，若积分 xf(x)dx 绝对收敛，则称  EX  为X 的数学期望. （3）随机变量函数Y  g(X)的期望 设X 是一个随机变量，g(x)为连续实函数. 令Y  1）离散型 若X 的分布律为P{X  x} p (i 1，2， )，则 i i  EY  Eg(X) 2）连续型 若X 的密度函数为 f (x)，则 X EY  Eg(X) 17．关于二维随机变量(X,Y)的数学期望 （1）离散型 设(X,Y)的概率分布为 P{X  x,Y  y } p (i, j 1,2,)， i j ij 则 EX x p  i i i EY y p  j j j公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取（2）连续型 设(X,Y)的联合概率密度为(x,y)，则  EX   xf (x)dx X   EY   yf (x)dy  Y  （3）随机变量函数Z  g(X,Y)的期望 设(X,Y)为二维随机变量，g(x,y)为二元连续实函数，令Z  1）离散型   若(X,Y)的联合分布律为P X  x ,Y  y  p ,i, j 1，2， 则 i j ij  EZ  Eg(X,Y) 2）连续型 若(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)，则 EZ  Eg(X,Y) 18．期望的性质 （1）E(C) ，E(EX) （2）E(CX) （3）E(k X k Y) 1 2 （4） 若X与Y 相互独立，则有E(XY) 19．方差 （1）随机变量X 的方差定义 设X 是一个随机变量，如果E (X EX)2存在，则称 为X 的方 差，称 为标准差或均方差. （2）方差的计算公式 DX  【注】解题时，常用此 公式计算EX2  DX (EX)2.（3）方差的性质 1）D(C) ,  DE(X) ,  DD(X) 2）D(CX) 3）D(C X C ) 1 2 4）DX Y 5）若X,Y 相互独立，则DX Y 20．协方差 （1）定义 cov(X,Y) （2）计算公式 cov(X,Y) （3）性质 1）cov(X,Y) 2）cov(X,X) 3）cov(aX,bY) 4）cov(X,C) 5）cov(k X k X ,Y) 1 1 2 2 6）若X 与Y 相互独立，则cov（X,Y） 21．相关系数 （1）定义   XY （2）相关系数的性质 1）  1; XY 2）    PY aX b1(a 0),且 XY 当a0时，  ；a0时，  . XY XY（3）不相关的等价说法  0    cov(X,Y)   EXY     D(X Y)  . XY （4）不相关与独立的关系 1）X,Y 相互独立 X 与Y ，反之不成立； 2）若(X,Y)~ ，则X 与Y 独立和X 与Y 不相关等价. 22．切比雪夫不等式 设随机变量X 的期望EX ，方差DX 都存在，则对任意0均有   P X EX  ；   或   P X EX  .  23．大数定律 （1）依概率收敛 对于随机变量序列X ,X , ,X , 和常数a，如果对于任意给定的正数，有 1 2  n    limP X a  1, n n P 则称随机变量序列X ,X , ,X , 依概率收敛于a，记作X  . 1 2  n  n （2）切比雪夫大数定律 设随机变量X ,X ,  ,X ,  相互独立，数学期望EX 和方差DX 均存在，且方差 1 2 n i i DX 有公共上界，即存在常数C，使DX C i 1,2, ,则对于任意给定的正数， i i   总有  1 n 1 n  limP X  EX  n  n i1 i n i1 i  1 n 【注】上式表明：当n很大时，相互独立方差有公共上界的随机变量的平均值 X 依 n i i1 1 n 概率收敛于其数学期望 EX . n i i1 52（3）伯努利大数定律 设n 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p是事件 A 在每次试验中发生的 A 概率. 则对于任意正数0,有  n  limP A  p  n  n  n 【注】上式表明：当n很大时，随机事件A发生的频率 A 依概率收敛于事件A的概率 p， n 因此在试验次数充分大时，可以用频率来近似代替概率. （4）辛钦大数定律 设随机变量X ,X , X , 相互独立，服从相同的分布，具有数学期望EX  1 2  n  i (i 1,2, )则，对于任意给定的正数，总有   1 n  limP X  n  n i1 i  1 n 【注】上式表明：当n很大时，独立同分布的随机变量的平均值 X 依概率收敛于 n i i1 它的数学期望. 24．中心极限定理 （1）列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量X ,X , X , 相互独立，服从相同的分布，具有数学期望EX 和 1 2  n  i 方差DX 2 0 (i 1,2, )，则对于任意实数x，有 i        limP  x(x). n     n 【注】上式表明：在定理条件下，当n充分大时，X 以正态分布为极限分布. i i1 （2）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量X 服从参数为n,p(0 p1,n1,2, )的二项分布，即 n X ~ B(n,p)，则对于任意实数x，有 n   limP  x(x). n   【注】上式表明：当重复实验次数足够多时，二项分布以正态分布为极限分布. 25．重要统计量 （1）样本均值 X  ，观测值x EX  , DX   （2）样本方差 S2  ，观测值为s2  ES2  （3）样本标准差 S  ，观测值为s  （4）样本k阶原点矩 A  ，观测值为a  , k 1,2, . k k  如果总体的X 的k阶原点矩EXk (k 1,2, )存在，则当n时有 k  1 n A k  n X i k P ,  k 1,2,  . i1 （5）样本k阶中心矩 B k  ，观测值为b k  ,  k 2,3,   （6）顺序统计量 设总体 X 的分布函数为F(x)， X ,X , ,X 是来自总体 X 的样本，则统计量 1 2  nX max(X ,X , ,X )和X min(X ,X , ,X )的分布函数分别为 (n) 1 2  n (1) 1 2  n F (x) Pmax(X ,X , ,X ) x X 1 2  n (n) F (x) Pmin(X ,X , ,X ) x X 1 2  n (1) 26．三大分布 （1）2分布 1）典型模式 设随机变量X ,X , X 相互独立，且均服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量 1 2  n 2  X2  X2   X2服从自由度为n的2分布，记作2 ~ . 1 2  n 2）2分布的性质 设X ~2(n ),Y ~2(n )，且X 和Y 相互独立，则X Y ~ 1 2 3）2分布的数字特征 E2  , D2   4）上分位点2(n)  设2 ~2(n)，对于任给定的(01)，称满足条件 的点 2(n)为2(n)的上分位点.  （2）t分布 1）典型模式 设随机变量X ~ N(0,1),Y ~2(n),且X 和Y相互独立，则随机变量t  从 自由度为n的t分布，记作t ~ . 2）性质 t分布的概率密度 f(x)是偶函数，且有lim f(x) ,即当n充分大时，t(n) n 分布近似于 分布.3）上分位点t (n)  设t ~t(n)，对于任给定的(01)，称满足条件 的点t (n)为  t(n)的上分位点. （3）F 分布 1）典型模式 设随机变量X ~2(m) ,Y ~2(n),且X 和Y相互独立，则随机变量F  服 从自由度为(m,n)的F 分布，记作F ~ . 2）性质 1 若F ~ F(m,n)，则 ~ F 3）上分位点F (m,n)  设F ~ F(m,n)，对于任给定的(01)，称满足条件 的点 F (m,n)为F(m,n)的上分位点.  27．一个正态总体的抽样分布 设X ,X , ,X 是来自正态总体X ~ N(,2)的样本，样本均值为X ，样本方差  1 2 n 为S2，则有 X  （1）X ~ ,  ~  n (n1)S2 （2）X 与S2相互独立，且 ~ 2 X  （3） ~ S n 1 n （4） (X )2 ~ 2 i i1 28．两个正态总体的抽样分布 设 X ~ N(,2),Y ~ N(,2)， X ,X , ,X 和Y,Y , ,Y 分别为来自总体   1 1 2 2 1 2 n 1 2 n 1 2 X和Y 的样本，且两个样本相互独立，则有(X Y)() （1） 1 2 ~ 2 2 1  2 n n 1 2 （2）如果2 2 则 1 2 (X Y)() (n 1)S2 (n 1)S2 1 2 ~ ，其中S2  1 1 2 2 ； 1 1 w n n 2 S  1 2 w n n 1 2 1 n 1 (X )2 n 2 i 1 1 （3） 1 i1 ~ 1 n 2 (Y )2 n 2 j 2 2 2 j1 S2 2 （4） 1 1 ~ S2 2 2 2 29．矩估计 （1）原理：样本的k阶原点矩依概率收敛于总体的k阶原点矩. （2）解题步骤（待估参数为k个,, ,） 1 2  k ○ 1 求出总体的k阶原点矩  ； k 1 n ○ 2 令样本的k阶原点矩A  Xk 等于总体的k阶原点矩，即令 k n i i1 EXk  ○ 3 解上面的方程方程组，得 i 的矩估计量为 i X 1 ,X 2 ,  ,X n ，则 i 的矩估计 值 . 1 n 【注】当待估参数为1个时，通常令EX  X ，即可解得的矩估计量与相应的 n i i1 矩估计值. 30．最大似然估计法 （1）X 为连续型随机变量 设总体X 的密度函数为 f(x;), X ,X , ,X 为取自X 的样本，则 1 2  nL(x ,x , ,x ;)  1 2 n 称为似然函数，L(x ,x , ,x ;)关于的最大值点，称为的 . 1 2  n （2）X 为离散型随机变量 设总体X 的分布律PX a p(a;),i 1,2, , X ,X , ,X 为取自X 的样本，则 i i  1 2  n X ,X , ,X 的联合分布律 1 2  n Lx ,x , ,x ; 1 2  n 称为似然函数，L(x ,x , ,x ;)关于的最大值点，称为的 . 1 2  n 【注】上面（1），（2）中的可以是多个待估参数,, , . 1 2  k （3）最大似然估计的解题步骤（待估参数为k个,,  , ） 1 2 k ○ 1 写出似然函数 Lx ,x , ,x ;,, ,  （离散型） 1 2  n 1 2  k L(x ,x , ,x ;,, ,) （连续型） 1 2  n 1 2  k ○ 2 取对数lnL； lnL lnL ○ 3 若lnL对 1 , 2 ,  , k 可微，求偏导数  ,i 1,2,  ,k；判断方程组  0 i i 是否有解. 若有解，则其解即为所求 ；若无解则要考虑极大似然估计的意 义（使似然函数取得最大值），此时，估计值常在的边界点上达到. i 【注】对于只有一个未知参数只需将步骤○ 3 中求偏导变为一元函数求导即可. 31．估计量的评选标准 （1）无偏性 如果的估计量(X ,X , ,X ) 的数学期望 E 存在，且 E  则称 1 2  n (X ,X , ,X )是未知参数的 . 1 2  n（2）有效性 (X ,X , ,X ) 和(X ,X , ,X ) 都是未知参数的无偏估计量，若   1 1 2 n 2 1 2 n D() D()，且至少对于某一个左式中的不等号成立，则称 1 2 比 更有效. （3）一致性（相合性） 若对任意0, 有limP()1，则称 为的一致估计量. n公众号【研池大叔】，免费提供考研网课+PDF电子书 更多考研数学配套课程，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【数学】免费获取 更多考研无水印电子书，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【电子书】免费获取 更多考研笔记，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【笔记】免费获取 更多考研真题，可通过【公众号：研池大叔】，后台回复【真题】免费获取32．区间估计(仅数一) 单正态总体的区间估计 设X ~ N(,2)，X ,X , ,X 为随机样本，样本均值为X ，样本方差为S2 1 2  n 未知参数 置信度为1的置信区间 2已知  2未知 已知 2 未知33．假设检验(仅数一) （1）假设检验的两类错误 1）第一类错误（弃真错误） 当H 为真时，而样本值却落入了拒绝域，选择拒绝原假设H ，记犯此类错误的概 0 0 率，即 P . 2）第二 类错误（纳伪 错误） 当H 为假时，而样本值不在拒绝域，选择接受原假设H ，记犯此类错误的概率， 0 0 即 P . （2）显著水平为的单正态总体均值和方差的假设检验 原假设H 备择假设H 已知条件 检验统计量 H 的拒绝域 0 1 0   2已知 0 0   2未知 0 0 2 2 2 2 已知 0 0 2 2 2 2 未知 0 0