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专题 4.7 三角函数的图象与性质-重难点题型精讲
1．正弦函数与余弦函数的图象
(1)正弦函数的图象
①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y= ,x∈[0,2π]的图象，如图所示.
②五点法
观察图，在函数y= ,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),( ,1),( π,0),( ,-1),(2π,0)在确定图象
形
状时起关键作用.描出这五个点，函数y= ,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高
时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做
“五点(画图)法”.
(2)余弦函数的图象
①图象变换法作余弦函数的图象
由诱导公式六，我们知道 ，而函数 ,x∈R的图象可以通过正弦
函
数y= ,x∈R的图象向左平移 个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就得
到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象
类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y= ,x∈R的图象可以看出，要作出函数y= 在[0,2 ]
上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),( ,0),( ,-1),( ,0),(2 ,1).先描出这五个点，然后把这五个点用
一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y= 在[0,2 ]上的简图，再通过左右平移(每次移动2 个单位长
度)即可得到余弦函数y= ,x∈R的图象.
(3)正弦曲线、余弦曲线
正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”
的连续光滑曲线.
2．正弦函数与余弦函数的性质
(1)周期函数
①定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 x∈D都有
x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函数与余弦函数的性质
正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：3．正弦型函数 及余弦型函数 的性质
函数 和 的性质
4．正切函数的性质与图象
(1)正切函数的图象及性质(2)三点两线法作正切曲线的简图
类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点
(- ,-1),(0,0),( ,1);“两线”是指直线x=- 和x= .在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在
区间(- , )上的简图.
5．余切函数的图象及性质
正切函数的图象及性质：
= ，即将 的图象先向右平移 个单位长度，再以x轴为对
称轴上下翻折，可得 的图象.余切函数的图象与性质如下表：【题型1 三角函数的定义域和值域（最值）】
【方法点拨】
求与三角函数有关的函数的值域(最值)的常用方法有：
(1)借助三角函数的有界性、单调性求解；
(2)转化为关于 的二次函数求解.注意求三角函数的最值对应的自变量x的值时，要考虑三角函数的周期
性.
π
【例1】（2022·甘肃·高二开学考试）函数f(x)=tan ( x+ ) 的定义域为（ ）
4
{ π } { π }
A． x|x≠kπ+ ,k∈Z B． x|x≠2kπ+ ,k∈Z
4 4
{ π }
C． x|x≠kπ− ,k∈Z D．{x|x≠kπ,k∈Z}
4
[π 2π ]
【变式1-1】（2022·四川省高三阶段练习（理））若x∈ , ，则函数
4 3
f (x)=3sinxcosx+√3sin2x的值域为（ ）[ 3√3] [ √3]
A． 0, B． 0,
2 2
C．[0,√3] D．[0,3+√3]
( π)
【变式1-2】（2022·福建省高二阶段练习）函数f (x)=sinx+cos x+ 的值域为（ ）
6
A． B． C． D．[ √3 √3]
[−2,2] [−√3,√3] [−1,1] − ,
2 2
【变式1-3】（2022·全国·高一单元测试）若x∈
[
−
π
,
2π] ，则函数y=cos2(
x+
π)
+sin
(
x+
2π)
的最
3 3 6 3
大值与最小值之和为（ ）
1 7
A． B．1 C． D．√2
2 4
【题型2 三角函数的周期性】
【方法点拨】
证明一个函数是否为周期函数或求函数周期的大小常用以下方法：
(1)定义法：即对定义域内的每一个x值，看是否存在非零常数T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，则函数是周
期函数且T是它的一个周期.
(2)公式法：利用三角函数的周期公式来求解.
(3)图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断即可.
x π
【例2】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=sin( − )的最小正周期是（ ）
2 4
π
A． B．π C．2π D．4π
2
(1 π)
【变式2-1】（2023·广东·高三学业考试）函数f(x)=cos x+ 的最小正周期为（ ）
2 6
π
A． B．π C．2π D．4π
2
( π)
【变式2-2】（2022·甘肃临夏·高二期末（理））函数f (x)=cos ωx+ (ω>0)的最小正周期为π，则
6
(π)
f =（ ）
2
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2( π)
【变式2-3】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在 0, 为减函数的是
2
（ ）
( π)
A．f(x)=sin|2x| B．f(x)=cos 2x+
6
( π)
C．f(x)=|cosx| D．f(x)=tan 2x−
4
【题型3 三角函数的奇偶性】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的奇偶性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
【例3】（2022·广东·高三学业考试）若函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数，则φ可取一个值为（ ）
π π
A．−π B．− C． D．2π
2 4
【变式3-1】（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（ ）
( π)
A．y=sinx B．y=|sinx| C．y=tanx D．y=cos x−
2
【变式3-2】（2022·北京高三阶段练习）函数f (x)=cosx+cos2x是（ ）
9
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最小值为-
8
9 9
C．奇函数，且最小值为- D．偶函数，且最大值为
8 8
【变式3-3】（2022·广西·模拟预测（理））若将函数f (x)=sin2x−√3cos2x的图象向右平移m(m>0)个
单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【题型4 三角函数的对称性】
【方法点拨】
掌握正弦、余弦、正切函数的对称性相关知识，结合具体题目，灵活求解.
π
【例4】（2022·安徽·高三开学考试）函数f
(x)=tan(
2x−
)
的图象的一个对称中心为（ ）
3
(
π
)
(7π
) (
5π
) (
π
)
A． ,0 B． ,0 C． − ,0 D． − ,0
12 12 12 12
π
【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数f (x)=2cos ( ωx− ) (ω>0)在[0,2π]内恰有
6三条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
[4 11) (4 11]
A． , B． ,
3 6 3 6
[13 19) (13 19]
C． , D． ,
12 12 12 12
(1 π)
【变式4-2】已知函数f(x)=sin x− ，则结论正确的是（ ）
2 6
A．f (x)的图象关于点
(5π
,0 ) 中心对称 B．f (x)的图象关于直线x=−
π
对称
3 3
[ π ]
C．f (x)在区间(−π,π)内有2个零点 D．f (x)在区间 − ,0 上单调递增
2
【变式4-3】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知函数f (x)=2cos(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的相邻
π
两条对称轴之间的距离为2π，且为奇函数，将f (x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x)的图象，则函
3
数g(x)的图象（ ）
(
5π
) (
π
)
A．关于点 − ,0 对称 B．关于点 ,0 对称
3 2
π π
C．关于直线x=− 对称 D．关于直线x= 对称
3 2
【题型5 三角函数的单调性】
【方法点拨】
三角函数的单调性问题主要有：三角函数的单调区间的求解、比较函数值的大小、根据三角函数的单调性
求参数；结合具体条件，根据三角函数的图象与性质进行求解即可.
π
【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））函数y=sin ( −2x ) (x∈[0,π])为增函数的区间是（ ）
6
[ π] [π 7π] [π 5π] [5π ]
A． 0, B． , C． , D． ,π
3 12 12 3 6 6
【变式5-1】（2022·河南信阳·一模（理））已知函数f (x)=2√3cos ( x- π) cosx-2sin2x，若f (x)在
2
[ π]
区间 m, 上单调递减，则实数m的取值范围（ ）
4
[π π] [π π] [π π) [π π)
A． , B． , C． , D． ,
6 4 3 2 6 4 6 3
【变式5-2】（2022·江苏·高三阶段练习）已知a=log 8，b=πln0.8，c=sin2.5，则a，b，c的大小关系
16是（ ）
A．c0)在 0, 上单
4 4
调递减，则ω的最大值为（ ）
3 3 1
A． B． C． D．1
7 4 4
【题型6 三角函数的图象与性质的综合应用】
【方法点拨】
解决正(余)弦型函数性质的综合应用问题的思路：
(1)熟练掌握函数 或 的图象，利用基本函数法得到相应的函数性质，然后利用性质解题.
(2)直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析并解决问题.
π
【例6】已知函数f (x)=4sinxcos ( x+ )+1.
6
(1)求f (x)的最小正周期及单调区间；
[ π π]
(2)求f (x)在区间 − , 上的最大值与最小值.
6 4
π
【变式6-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））已知函数f (x)=4sin(ωx+φ)（ω>0，|φ|< ）图象的
2
π π
一条对称轴为直线x=− ，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为 ．
12 8
(1)求f (x)；
[ π π]
(2)求f (x)在 − , 上的值域．
24 4π
【变式6-2】（2021·天津·高一期末）已知函数f (x)=2√3cos2( +x )-2sin(π+x)cosx-√3
2
(1)求f (x)的最小正周期及单调递减区间；
[π π]
(2)求f (x)在区间 , 上的最值；
4 2
(3)若f ( x - π )= 10 ,x ∈ [3π ,π ] ，求sin2x 的值．
0 6 13 0 4 0
【变式6-3】（2022·黑龙江·高三阶段练习）已知函数 .
f (x)=[(1+√2)sinx-cosx]⋅[(1-√2)sinx-cosx]
(1)求f (x)的最小正周期T和单调递减区间；
(
3A
)
(2)四边形ABCD内接于⊙O，BD=2，锐角A满足f =-1，求四边形ABCD面积S的取值范围.
4
