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专题 7.1 基本立体图形
目录
题型一： 空间几何体的结构特征..................................................................................................5
题型二： 直观图的斜二测画法.......................................................................................................6
题型三： 最短路径问题...................................................................................................................8
题型四： 求几何体的表面积.........................................................................................................10
题型五： 求几何体的体积.............................................................................................................14
题型六： 球的表面积和体积.........................................................................................................19
题型七： 截面问题.........................................................................................................................22
知识点总结
知识点一、棱柱、棱锥、棱台
棱柱 棱锥 棱台
图
形
有两个面互相平行，其余各 有一个面是多边形，
定 用一个平行于棱锥底
面都是四边形，并且相邻两 其余各面都是有一个
面的平面去截棱锥，
个四边形的公共边都互相平 公共顶点的三角形，
底面和截面之间那部
行，由这些面所围成的多面 由这些面所围成的多
义 分的多面体
体 面体
结
构 上、下底面互相平行
底面互相平行且全等；侧面 底面是一个多边形；
且相似；各侧棱延长
都是平行四边形；侧棱都相 侧面都是三角形；侧
线交于一点；各侧面
等且互相平行 面有一个公共顶点
特 为梯形
征知识点二、圆柱、圆锥、圆台、球
圆柱 圆锥 圆台 球
图
形
以半圆的直径
以直角三角形的一
以矩形的一边所在 所在直线为旋
定 条直角边所在的直 用平行于圆锥底面
直线为旋转轴，其 转轴，旋转一
线为旋转轴，其余 的平面去截圆锥，
余三边旋转一周形 周所形成的曲
两边旋转一周形成 底面与截面之间的
成的面所围成的旋 面叫做球面，
义 的面所围成的旋转 部分
转体 球面所围成的
体
旋转体
①母线互相平行且
结 ①母线相交于一 ①母线延长线交于
相等，并垂直于底
点； 一点；
面；
构
②轴截面是全等的 ②轴截面是全等的
②轴截面是全等的 截面是圆面
等腰三角形； 等腰梯形；
矩形；
特
③侧面展开图是扇 ③侧面展开图是扇
③侧面展开图是矩
征 形 环
形
简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体. 其构成形式主要有：由简单几
何体拼接而成，或由简单几何体截去或挖去一部分而成.
知识点三、立体图形的直观图
(1)概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是
在平行投影下得到的平面图形.
(2)斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应
的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x ′ 轴 或 y ′ 轴 的线段.
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直
观图中长度为原来的一半．
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与 x轴、y轴都垂直的z
轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
知识点四、简单几何体的表面积与体积
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积
圆柱 圆锥 圆台
侧面展
开图
侧面积 S S S
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧
公式 ＝ 2π rl ＝ π rl ＝ π( r ＋ r ′) l
其中r，r′为底面半径，l为母线长.
(2)柱、锥、台、球的表面积和体积
体积(S是底面积，
几何体 表面积
h是高)
柱体(棱柱 S ＝S
表面积 侧
V＝Sh
和圆柱) ＋ 2 S
底
锥体(棱锥 S ＝S V＝Sh
表面积 侧和圆锥) ＋S
底
台体(棱台 S 表面积 ＝S 侧 ＋ V＝(S 上 ＋
和圆台) S
上
＋S
下
S
下
＋)h
球(R是
S ＝ 4π R 2 V＝πR3
表面积
半径)
知识点五、常见四棱柱及其关系
例题精讲
题型一：空间几何体的结构特征
【要点讲解】解决此类问题的基本方法：①定义法：紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空
间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面
关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；②反例法：学会通过反例对概念进
行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.
【例1】下列说法正确的是
A．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
【解答】解：选项 ，例如六棱柱的相对侧面也互相平行，故 错误；
选项 ，其余各面的边延长后不一定交于一点，故 错误；
选项 ，当棱锥的各个侧面共顶点的角的角度之和是 时，
各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故 错误；选项 ，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，
又底面也是长方形，符合长方体的定义，故 正确．
故选： ．
【变式训练1】下列命题正确的是
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【解答】解：对于 ，棱柱的侧棱都相等，但侧面不一定是全等的平行四边形， 错误；
对于 ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分才是棱台， 错
误；
对于 ，四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面， 正确；
对于 ，棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形， 错误．
故选： ．
【变式训练2】下列说法正确的是
A．直四棱柱是长方体
B．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体
D．台体是由一个平面截锥体所得的截面与底面之间的部分
【解答】解：对于 ，当直四棱柱的底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体， 错误；
对于 ，不符合棱柱的结构特征，如下面是一个正三棱柱，上面是一个以正三棱柱上底面
为底面的斜三棱柱， 错误；
对于 ，正方体被一个平面截去一个角之后可以得到一个简单组合体， 正确；
对于 ，不符合台体的结构特征，截面应该跟底面平行， 错误．
故选： ．
题型二：直观图的斜二测画法
【要点讲解】在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于 x轴的线段平行性不变，
长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．【例2】水平放置的 的直观图如图所示， 是△ 中 边的中点，且 平
行于 轴，则 ， ， 对应于原 中的线段 ， ， ，对于这三条
线段，正确的判断是
A．最短的是 B．最短的是 C． D．
【解答】解：因为 平行于 轴，所以在 中， ，
又因为 是△ 中 边的中点，
所以 是 的中点，
所以 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，边长为2的正方形 是用斜二测画法得到的四边形 的直
观图，则四边形 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：因为直观图的面积为 ，
所以原四边形 的面积为 ．
故选： ．
【变式训练2】一个水平放置的平面图形 用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角△ ，其中 ，则平面图形 的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，在直观图等腰直角△ ，其中 ，则 ，
故其面积 ，
故原图平面图形 的面积 ．
故选： ．
【变式训练3】如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 的等腰梯形，已
知直观图 中， ，则该平面图形的面积为
A． B．2 C． D．
【解答】解：因为直观图是底角为 的等腰梯形，且 ， ，
所以等腰梯形的高为 ，
所以等腰梯形的面积为 ，
所以原平面图形的面积为 ．故选： ．
题型三：最短路径问题
【例3】在一个长方体 中，已知 ， ， ，则从点 沿
表面到点 的最短路程为
A． B． C． D．15
【解答】解：将长方体展开共三种情况如下：
（1） ，
（2） ，
（3） ，
所以从点 沿表面到点 的最短路程为 ．
故选： ．
【变式训练1】如图，某圆柱体的高为1， 是该圆柱体的轴截面．已知从点 出发沿
着圆柱体的侧面到点 的路径中，最短路径的长度为2，则该圆柱体的底面周长为 2
．【解答】解：设圆柱体底面圆的半径为 ，将侧面的一半展开后得四边形为矩形，矩形的
对角线是点 到点 的最短距离，
依题意得： ，
所以 ，解得 ，
所以该圆柱体的底面周长为 ．
故答案为：2．
【变式训练2】如图，在直角梯形 中， ， ， ，
，以 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．
（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点 绕着几何体的侧面爬行一周回到点 ，求蚂蚁爬
行的最短距离．
【解答】解：（1）根据题意，旋转后的几何体为上底半径为1，下底半径为2，母线为3
的圆台，
其侧面展开图如图：
其变面积 ，
（2）根据题意，在圆台的侧面展开图中， ，则 ，
设 ，则有 ，则 ，蚂蚁爬行的最短距离即 ，而 ，
故蚂蚁爬行的最短距离为 ．
题型四：求几何体的表面积
【要点讲解】求解多面体的表面积，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥
中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，通过建
立未知量与已知量间的关系进行求解； 求空间几何体体积的常用方法为公式法、割补法和
等积变换法(等体积法)．①割补法：将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体
和锥体的体积，从而得出要求的几何体的体积. ②等积变换法：特别地，对于三棱锥，由于
其任意一个面均可作为棱锥的底面，从而可选择更容易计算的方式来求体积；利用“等积
性”还可求“点到面的距离”．
【例4】已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的母线长为 ，
因为圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，
所以 ，得 ，
所以圆锥的侧面积为 ，
故选： ．
【变式训练1】一个圆台的上、下底面的半径分别为1，4，母线长为5，则该圆台的侧面积
为
A． B． C． D．
【解答】解：设圆台的上、下底面的半径为 ， ，母线长为 ，所以 ， ， ，
．
故选： ．
【变式训练2】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 biēnào
．已知在鳖臑 中， 面 ， ，则该鳖臑的表面积为
．
【解答】解：根据题意，已知在鳖臑 中， 面 ， ，
如图所示：
在 中， ，则 ，
在 中， ，有 ，则 ，
在 中， ， ，则 ，
在 中， ， ， ，
故该鳖臑的表面积 ．故答案为： ．
【变式训练3】如图为某工厂内一手电筒最初模型的组合体，该组合体是由一圆台和一圆柱
组成的，其中 为圆台下底面圆心， ， 分别为圆柱上下底面的圆心，经实验测量得
到圆柱上下底面圆的半径为 ， ， ，圆台下底面圆半径为 ，
则该组合体的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，圆柱上下底面圆的半径为 ， ， ，
则圆柱的上底面面积为 ，圆柱的侧面面积为 ；
又由圆台下底面圆半径为 ，则圆台的下底面面积为 ，
圆台的母线长为 ，
所以圆台的侧面面积为 ，
故该组合体的表面积为 ．
故选： ．
【变式训练4】南高学生到南充内燃机厂劳动实践，利用 打印技术制作模型．如图，该
模型为长方体 挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心， ， ， ， 分别为所在棱的中点， ， ， 打印所
用原料密度为 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为
A．86.4 B．172.8 C．864 D．950.4
【解答】解：由题意可得 ，
又棱锥 的高为 ，
所以 ，
又长方体的体积 ，
所以该模型体积 ，
故该模型所需原料的质量为 ．
故选： ．
题型五：求几何体的体积
【要点讲解】求旋转体的表面积问题应注意其侧面展开图的应用. 求旋转体体积的一般思路
是理解旋转体的几何特征，确定得到计算体积所需要的几何量，求旋转体的体积常用公式
法、分割法等，注意相关公式要牢记.
【例5】圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为 ，则该圆锥的体积为A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，高为 ，
则 ，
所以 ， ，
所以圆锥的体积为 ．
故选： ．
【变式训练1】一个直角三角形的两条直角边长分别为1和 ，将该三角形分别绕其两条
直角边所在直线旋转一周得到两个圆锥，则这两个圆锥的体积的比值为
A．1 B． C．3 D．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
若绕边长为1的直角边旋转得到圆锥，其底面的半径 ，高 ，
所以圆锥的体积 ；
若绕边长为 的直角边旋转得到圆锥，其底面的半径 ，高 ，
所以圆锥的体积 ；
所以 ．
故选： ．
【变式训练2】已知三棱柱 的体积为12，则三棱锥 的体积为
A．3 B．4 C．6 D．8【解答】解：三棱锥 与三棱柱 等底等高，
则三棱锥 的体积是三棱柱 体积的 ，
即三棱锥 的体积为4．
故选： ．
【变式训练3】已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等，且体积为 ．在该圆锥内有一
个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，则
该正方体的棱长为
A． B．1 C． D．
【解答】解：因为圆锥的高与其底面圆的半径相等，设圆锥的高为 ，底面圆的半径为 ，
则 ，
又因为圆锥的体积为 ，可得 ，解得 ，则 ，
设圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，则高为 ， 与正方体的上底面交点为 ，
在该圆锥内有一个正方体，其下底面的四个顶点在圆锥的底面内，
上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面，如图，
设正方体的棱长为 ，可得 ，
由△ ，可得 ，即 ，
解得 ，所以该正方体的棱长为 ．
故选： ．
【变式训练4】如图，一个三棱锥 中， ， ， 分别为棱 ， ， 上的点
且 ，则三棱锥 的体积与三棱锥 的体积之
比
A． B． C． D．
【解答】解：作 ，交 于点 ，
，又 ，
，可得点 ， 到平面 的距离相等，
．
由题意，小三棱锥 与大三棱锥 相似，相似比为 ，则体积比为 ，
设 ，则 ， ，
．
故选： ．
【变式训练5】随着北京中轴线申遗工作的进行，古建筑备受关注．故宫不仅是世界上现存
规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一，更是北京中轴线的“中心”．图 1是古建筑之首的太和殿，它的重檐庑 殿顶可近似看作图2所示的几何体，其中底面
是矩形， ， ，四边形 、 是两个全等的等腰梯形， 、
是两个全等的等腰三角形．若 ， ， ，则该几何体的体积为
A．90 B． C． D．135
【解答】解：过点 作 ， ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作 ， ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 底面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，同理 ，
所以 ， ， ， ，
平面 ， 平面 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ，
因为 ， ， ， 与 是全等的等腰三角形，
由对称性可得， ，所以 ，
连接点 与 的中点 ，
则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 ， ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 ，
所以 ，
所以五面体 的体积为 ．
故选： ．
【变式训练6】在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点
满足 ，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为A． B． C． D．
【解答】解：在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点
满足 ，
所以 ，
设 到平面 的距离 ， 到平面 的距离 ，则 ，
则 三 棱 锥 的 体 积 为
．
故三棱锥 和三棱锥 的体积之比为 ．
故选： ．
题型六：球的表面积和体积
【要点讲解】解决球的表面积、体积问题，关键是抓住“半径”，半径确定之后，根据相
应公式计算即可．
【例6】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解： 棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径 ，
该球面的表面积为 ．
故选： ．
【变式训练1】正四棱锥 的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为A． B． C． D．
【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为 ，
正四棱锥 的高为 ，又球心 在正四棱锥的高上，
该正四棱锥的体积为 ， ， ，
设外接球的半径为 ，则在直角三角形 中，
，解得 ．
球的表面积 ．
故选： ．
【变式训练2】在三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直， ， ，
，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，因为 ， ， 两两互相垂直，故将三棱锥 补成一
个长方体，
由题意知球心 为 中点，所以外接球半径 ，
因为 ， ， ，所以 ，
则 ，所以球 的表面积为 ．
故选： ．
【变式训练3】已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是矩形，平面
底面 ， 为正三角形， ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：令 所在圆的圆心为 ，则圆 的半径 ，
因为平面 底面 ，
所以 ，
则球 的半径 ，
所以球 的表面积 ．
故选： ．
【变式训练4】圆台 的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则圆台母线与底
面所成角的正切值为
A． B．1 C． D．【解答】解：根据题意，设圆台 的上底半径为 ，下底半径为 ，其内切球 的半径
为 ，
该圆台和其内切球的轴截面如图：作 ，交 于点 ，作 ，交 于点
，
分析可得 ， ，则圆台的母线为 ，
在 中， ， ， ，
则有 ，变形可得 ，
故该圆台的侧面积 ，
内切球的表面积 ，
又由圆台的内切球 的表面积与圆台的侧面积之比为 ，则有 ，
变形可得 ，即 ，
设圆台母线与底面所成角为 ，则 ．
故选： ．
【变式训练5】已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ，在底
面 中， ， ，若球 的体积为 ，则
A．1 B． C． D．2【解答】解：设球 的半径为 ，则根据题意可得：
，
由 ，
外接圆半径 ，
如图，根据线面垂直模型知： ．
故选： ．
题型七：截面问题
【例7】用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为
A． B． C． D．
【解答】解：截面面积为 截面圆半径为1，又与球心距离为 球的半径是 ，
所以根据球的体积公式知 ，
故选： ．
【变式训练1】已知圆锥 的底面半径为 ，轴截面的面积为 ，则该圆锥的体积为A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，设圆锥的高为 ，
圆锥的轴截面为等腰三角形，其底边长为 ，
则 ，解得 ，
故圆锥的体积为 ．
故选： ．
【变式训练2】如图，在三棱柱 中，过 的截面与 交于点 ，与 交
于点 ， 都不与 重合），若该截面将三棱柱分成体积之比为 的两部分，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为三棱柱 ，
所以 ，面 面 ，
又因为面 面 ，面 面 ，
所以 ，
显然 为三棱台，设 ， ，
三棱柱 的高为 ，
则 ，
所以三棱柱 体积为 ，
三棱台 的体积为 ，
①三棱台 的体积占 ，
则 ，得 ，
解得 或 ，均不符合题意；
②三棱台 的体积占 ，
则 ，得 ，
解得 或 ，
因为 ，
所以 ．
故选： ．
【变式训练3】如图：正方体 的棱长为2， 为 的中点，过点 作正
方体截面使其与平面 平行，则该截面的面积为A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，取 ， 中点 ， ，连接 ， ， ， ，
如图：
四边形 为平行四边形， ，
四边形 为平行四边形， ，
即为过点 长方体截面，
证明如下：
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 平面 ，
则截面的面积 ．
故选： ．
【变式训练4】已知正方体 的棱长为2，点 为线段 的中点，若点平面 ，且 平面 ，则平面 截正方体 所得截面的周长为
A． B． C． D．
【解答】解：记 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ， ， ， ，
由正方体性质可知， 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又 为正方形，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，所以 ，
同理可证， ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以三角形 即为平面 截正方体所得截面，
易知三角形 为正三角形， ，
所以截面周长为 ．
故选： ．
