文档内容
第十九章 一次函数
19.2 一次函数（13个知识点+13大题型+24道拓展培优题） 分层作业
题型目录
考查题型一 一次函数的定义 考查题型二 正比例函数的定义
考查题型三 一次函数的图象 考查题型四 正比例函数的图象
考查题型五 一次函数的性质 考查题型六 正比例函数的性质
考查题型七 一次函数图象与系数的关系 考查题型八 一次函数图象上点的坐标特征
考查题型九 一次函数图象与几何变换 考查题型十 待定系数法求一次函数解析式
考查题型十一 待定系数法求正比例函数解析式 考查题型十二 一次函数与一元一次方程
考查题型十三 一次函数与一元一次不等式
【知识梳理】
知识点1．一次函数的定义
（1）一次函数的定义：
一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．
（2）注意：
①又一次函数的定义可知：函数为一次函数 其解析式为y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的形式．
②一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量⇔的次数为1；常数项b可以为任意实数．
③一般情况下自变量的取值范围是任意实数．
④若k＝0，则y＝b（b为常数），此时它不是一次函数．
知识点2．正比例函数的定义
（1）正比例函数的定义：
一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
注意：正比例函数的定义是从解析式的角度出发的，注意定义中对比例系数的要求：k是常数，k≠0，k是
正数也可以是负数．
（2）正比例函数图象的性质
正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），我们通常称之为直线y＝kx．
当k＞0时，直线y＝kx依次经过第三、一象限，从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y
＝kx依次经过第二、四象限，从左向右下降，y随x的增大而减小．
（3）“两点法”画正比例函数的图象：经过原点与点（1，k）的直线是y＝kx（k是常数，k≠0）的图象．
知识点3．一次函数的图象（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣ ，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、
纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过
原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是
一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
知识点4．正比例函数的图象
正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例
函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线．
知识点5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
知识点6．正比例函数的性质
单调性
当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
知识点7．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当
b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
⇔③k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
知识点8．一⇔次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣ ，0）；与
y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
知识点9．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
知识点10．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数 y＝kx+b，则
需要两组x，y的值．
知识点11．待定系数法求正比例函数解析式
步骤：①设出含有待定系数的正比例函数解析式；②把已知条件代入，得到关于待定系数的方程；③解
方程，求出待定系数k；④将求得的待定系数的值代人所设的解析式．
知识点12．一次函数与一元一次方程
一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为 0时，
自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标．
知识点13．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣ ，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞ ，不等式kx+b＜0的解为：x＜ ；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜ ，不等式kx+b＜0的解为：x＞ ．
一．一次函数的定义（共3小题）
1．（2023春•那曲市期末）当 时，函数 的值等于
A．2 B． C． D．
2．（2023秋•海州区校级期中）下列函数：① ；② ；③ ；④ ，其中一次函数
的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023春•兴城市期末）若函数 是一次函数，则 的值为
A． B． C．2 D．0
二．正比例函数的定义（共3小题）
4．（2023春•湖南期末）函数是刻画变量之间对应关系的数学模型．下列函数中， 是 的正比例函数
的是
A． B． C． D．
5．（2022秋•烟台期末）若 关于 的函数 是正比例函数，则 ， 应满足的条件是
A． B． C． 且 D． 且6．（2023春•鼓楼区校级期末）若 是正比例函数，则 的值为 ．
三．一次函数的图象（共3小题）
7．（2023春•博兴县期末）两个 关于 的一次函数 和 在同一平面直角坐标系中的图
象可能是
A． B．
C． D．
8．（2023春•桥西区校级期中）已知 ，则一次函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
9．（2023•金凤区校级开学）函数 的图象是A． B．
C． D．
四．正比例函数的图象（共3小题）
10．（2023春•西吉县期末）一次函数 与 、 为常数，且 在同一平面直角坐
标内的图象可能是
A． B．
C． D．
11．（2023春•荣昌区期末）已知函数 的图象如图所示，那么函数 的图象大致是A． B．
C． D．
12．（2023春•盐山县期末）在同一直角坐标系中，一次函数 与正比例函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
五．一次函数的性质（共3小题）
13．（2023春•会同县期末）已知一次函数 图象上的三点 ， ， ，则
， ， 的大小关系是
A． B． C． D．14．（2023春•兰陵县期末）关于一次函数 ，下列说法不正确的是
A．图象不经过第三象限 B． 随着 的增大而减小
C．图象与 轴交于 D．图象与 轴交于
15．（2023春•新华区校级期末）若点 和 都在一次函数 为常数）的图象上，且
，则 的值可能是
A．0 B． C．2 D．3
六．正比例函数的性质（共3小题）
16．（2023春•江津区期末）已知函数 是正比例函数，且 随 的增大而减小，则 ．
17．（2023春•新宾县期末）正比例函数 的图象经过 象限．
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、四象限 D．第二、三象限
18．（2023春•兴隆县期中）已知点 在 轴负半轴上，则函数 的图象经过
A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限
七．一次函数图象与系数的关系（共3小题）
19．（2023•蜀山区校级一模）若直线 经过一、二、四象限，则直线 的图象只能是图中
的
A． B． C． D．
20．（2023春•唐县期末）已知一次函数 的图象如图所示，则下列判断中不正确的是A．方程 的解是 B． ，
C．当 时， D． 随 的增大而增大
21．（2023春•明水县期末）如果直线 经过第二、四象限，则 的取值范围是 ．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
22．（2023春•集贤县期末）若正比例函数 的图象经过点 ，且经过第二、四象限，则 的值
是
A． B． C．3 D． 或3
23．（2023春•汉阴县期末）若点 在一次函数 的图象上，则 的值为
A． B． C．1 D．2
24．（2024•海州区校级自主招生）已知直线 上横、纵坐标都是整数的点的个数是
A．0个 B．1个
C．不少于2个但有限个 D．无数个
25．（2023春•红山区期末）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，如图所示，依次作正
方形 ，正方形 ， ，正方形 ，使得点 ， ， ， 在直线 上，点 ，
， ， ，在 轴正半轴上，则点 的坐标为A． ， B． ，
C． ， D． ，
九．一次函数图象与几何变换（共3小题）
26．（2024•子洲县校级三模）若直线 与直线 关于 轴对称，则直线 与 轴的交点坐标是
A． B． C． D．
27．（2024•高新区校级二模）在平面直角坐标系中，若将一次函数 的图象向下平移2个单位长
度后经过点 ，则 的值为
A．1 B． C．5 D．
28．（2023春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，把直线 向左平移2个单位长度，平移后的直线
解析式是
A． B． C． D．
十．待定系数法求一次函数解析式（共5小题）
29．（2024•陕西二模）已知一次函数 ，当 时，函数值 的取值范围是 ，则
的值为A． B．1 C． 或1 D．1或2
30．（2024•新乡一模）若一次函数的图象不经过第三象限，则其表达式可以为 ．
31．（2023春•南开区期末）一次函数 的图象经过点 ，则 ．
32．（2023春•平桥区期末）表格中的两组对应值满足一次函数 ．现画出了它的图象为直线 ，
如图．数学兴趣小组为观察 、 对图象的影响，将上面函数中的 、 交换位置后得另一个一次函数，设
其图象为直线 ．
0
1
（1）求直线 的解析式．
（2）请在图中画出直线 （不要求列表计算），并求出直线 和 的交点坐标．
（3）求出直线 和 与 轴围成的三角形的面积．
33．（2022秋•玉门市期末）如图，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相交于点
，动点 沿路线 运动．
（1）求直线 的解析式．
（2）求 的面积．（3）当 的面积是 的面积的 时，求出这时点 的坐标．
十一．待定系数法求正比例函数解析式（共3小题）
34．（2023春•樊城区期末）已知 是正比例函数，且 随 的增大而减小，那么这个函数
的解析式为
A． B． C． D．
35．（2023春•湖北月考）根据下列条件分别确定函数的解析式：
（1） 与 成正比例，当 时， ；
（2）直线 经过点 与点 ．
36．（2023春•茅箭区期中）已知 ， 与 成正比例， 与 成正比例，当 时， ；
当 时， ．
（1）求 与 的函数解析式；
（2）当 时，求 的值．十二．一次函数与一元一次方程（共4小题）
37．（2023春•凤山县期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程
的解是 ．
38．（2023秋•高州市期末）如图，直线 与 相交于点 ，则关于 的方程 的
解是 ．
39．（2023•本溪开学）如图，直线 与直线 相交于点 ，则关于 的方程
的解为 ．40．（2023秋•广饶县期末）如图，已知一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于点 ，点 ，
有下列结论：①图象经过点 ；②关于 的方程 的解为 ；③关于 的方程 的解
为 ；④当 时， ．其是正确的是 ．
十三．一次函数与一元一次不等式（共3小题）
41．（2024•沈阳模拟）如图，一次函数 的图象与 轴交于点 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
42．（2023春•曲阜市期末）在平面直角坐标系 中，一次函数 和 的图象如图所示，则
关于 的一元一次不等式 的解集是 ．43．（2024春•碑林区月考）如图所示，在同一个坐标系中一次函数 和 的图象，分别
与 轴交于点 、 ，两直线交于点 ，已知点 坐标为 ，点 坐标为 ，观察图象并回答下列
问题：
（1）关于 的方程 的解是 ；关于 的不等式 的解集是 ；
（2）直接写出关于 的不等式组 解集是 ；
（3）若点 坐标为 ，关于 的不等式 的解集是 ．一．选择题（共6小题）
1．（2023春•崇川区校级月考）已知直线 的图象如图所示．若无论 取何
值， 总取 ， ， 中的最大值，则 的最小值是
A．4 B．3 C． D．
2．（2023春•江北区校级期中）一次函数 的图象不经过第三象限；且关于 的分式方程
有整数解，则满足条件的整数 的和为
A．18 B．17 C．12 D．11
3．（2023春•青山区期末）如图，已知点 ，点 ， 分别是直线 和直线 上的动
点，连接 ， ．则 的最小值为
A．2 B． C． D．4．（2023春•南部县校级期末）如图，已知直线 分别交 轴、 轴于点 、 两点，
， 、 分别为线段 和线段 上一动点， 交 轴于点 ，且 ．当 的值
最小时，则 点的坐标为
A． B． C． D．
5．（2023春•岚山区期末）如图放置的△ ，△ ，△ ， ，△ ，都是以 ，
， ， ， 为直角 顶点的三角形，点 ， ， ， ， 都在直线 上，
，点 在 轴上， ， ，则点 的坐
标是A． ， B． C． D．
6．（2023•灞桥区校级模拟）已知直线 与直线 在第三象限交于点 ，
若直线 与 轴的交点为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
7．（2023•双流区校级开学）如图，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点，直线 与
轴、 轴分别交于 ， 两点，与直线 交于点 ，点 为线段 上一动点．在 轴上有一
动点 ，直线 上有一动点 ，连接 ， ， ，当 面积为 时，则 周长的最小值为
．8．（2023•新都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别交 轴， 轴于 ，
两点，且 ，将直线 绕点 按顺时针方向旋转 ，交 轴于点 ，则直线 的函数表达
式是 ．
9．（2023•龙沙区三模）如图，在平面直角坐标系中，函数 和 的图象分别为直线 ， ，过
点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，过
点 作 轴的垂线交 于点 ， 依次进行下去，则点 的坐标为 ．
10．（2023春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 为 轴上一点，菱形 的
边长为2， ，点 是 边上一动点（不与点 ， 重合），点 在 边上，且 ，
下列结论：
① ；② 的大小随点 的运动而变化；③直线 的解析式为 ；④ 的最小值为 ．
其中正确的有 ．（填写序号）
11．（2023春•崇川区校级月考）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象为直线 ，
在下列结论中：
①无论 取何值，直线 一定经过某个定点；
②过点 作 ，垂足为 ，则 的最大值是 ；
③若 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， 为等腰三角形，则 ；
④对于一次函数 ，无论 取何值，始终有 ，则 ， 或 ．
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）．
12．（2023春•清河区校级期末）如图，正方形 的对角线 在直线 上，点 在第一象限．
若正方形 的面积是50，则点 的坐标为 ．
三．解答题（共12小题）
13．（2023春•江源区期末）在直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长
与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如，图中过点 分别作 轴， 轴的垂线，与坐标轴围成矩形
的周长与面积相等，则点 是和谐点．
（1）点 和谐点（填“是”或“不是” ；（2）若点 是和谐点， 的值为 ；
（3）若（2）中和谐点 在 上，求 的值．
14．（2023春•长沙期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 ，
两点．以 为边在第二象限内作正方形 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）在 轴上是否存在点 ，使 的周长最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由．15．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点 ， 和 ， ，称点 ，
为点 和 的融合点．如 和 的融合点是 ．
（1）点 和 的融合点坐标是 ；
（2）已知点 和直线 ．设点 是直线 上任意一点，点 和 的融合点为点 ．
①求证：当点 在直线 上移动时，点 始终在同一条直线上．
②若 ，求 的面积．
（2）对于点 ， 和直线 ，点 是直线 上任意一点，类似（2），可证明
当点 在直线 上移动时，点 和 的融合点始终在同一条直线上，称该直线为点 和直线 的融合直线．
已知直线 ，点 在直线 上且纵坐标不为0，点 和直线 的融合直线记为 ．点
点 ，若融合直线 与线段 有公共点，请直接写出点 的纵坐标 的取值范围．
16．（2023 春•昌吉市期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．直线
经过点 ， ，与直线 交于点 ．
（1）求直线 的函数关系式；
（2）连接 ，求 的面积；
（3）设点 的坐标为 ，求 的值使得 值最小．17．（2023春•张北县期末）如图，在平面直角坐标系中，点 是坐标原点，四边形 是菱形，点
的坐标为 ，点 在 轴的正半轴上，直线 交 轴于点 ， 边交 轴于点 ，连接 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）动点 从点 出发，沿线段 的方向以2个单位 秒的速度向终点 匀速运动，设 的面积为
，点 的运动时间为 秒，求 与 之间的函数关系式（要求写出自变量 的取值范围）．
18．（2023春•双辽市期末）如图，已知函数 和 的图象交于点 ，这两个函数
的图象与 轴分别交于点 、 ．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象直接写出不等式 的解集．19．（2023春•单县期末）已知：如图一次函数 与 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若一次函数 与 的图象与 轴分别相交于点 、 ，求 的面积．
（3）结合图象，直接写出 时 的取值范围．20．（2023春•岚山区期末）【问题探究】
某学习小组同学按照以下思路研究不等式组 的解集：
首先令 ，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究．
列表：
0 1 2 3 4
描点与连线：
（1）在列表的空格处填对应的 值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，
并根据描出的点，画出该函数的图象；（2）若 ， 为该函数图象上不同的两点，则 ；
（3）观察图象，当 时，自变量 的取值范围是 ；
【拓展运用】
函数 的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象草图，并求出它
与函数 的图象所围成的图形面积．
21．（2023春•如东县月考）定义：形如 的函数称为正比例函数 的“分移函
数”，其中 叫“分移值”．例如，函数 的“分移函数”为 其中“分移值”为1．
（1）已知点 在 的“分移函数” 的图象上，则 ；
（2）已知点 ， 在函数 的“分移函数”的图象上，求 的值；
（3）已知矩形 顶点坐标为 ， ， ， ．函数 的“分移函数”的
“分移值”为3，且其图象与矩形 有两个交点，直接写出 的取值范围．
22．（2023春•和平区校级期末）如图1，一次函数 的图象与坐标轴交于点 ， ， 平分交 轴于点 ， ，垂足为 ．
（1）求点 ， 的坐标；
（2）求 所在直线的解析式；
（3）如图2，点 是线段 上的一点，点 是线段 上的一点，求 的最小值．
23．（2023春•临清市月考）如图，已知一次函数 的图象经过 ， 两点，与
轴交于点 ．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点 的坐标；
（3）若点 是一次函数图象上任意一点，设 的面积为 ，试求出 与 的函数关系．24．（2023春•东源县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 、
，且与直线 交于点 ．
（1）分别求出点 、 、 的坐标；
（2）直接写出关于 的不等式 的解集；
（3）若 是线段 上的点，且 的面积为12，求直线 的函数表达式．
