文档内容
冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题三 概率与统计（解析版）
第一部——高考真题练
1．（2020·海南·统考高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为
，且 ，定义X的信息熵 .（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着 的增大而增大
C．若 ，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为 ，且 ，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【分析】对于A选项，求得 ，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选
项，计算出 ，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出 ，利用基本
不等式和对数函数的性质判断出D选项.
【详解】对于A选项，若 ，则 ，所以 ，所以A选项正确.
对于B选项，若 ，则 ， ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若 ，则
，
则 随着 的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （
）.
.
由于
，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对
数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.
第二部——基础模拟题
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5
个红球，2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件 和 分别表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件 表示由乙箱取出的球是红球，则（ ）
A．事件 与事件 相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意得到 ， ，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的公式，
逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得 ， ，
对于A中，由 ，且
，
可得 ，所以事件 与事件 不相互独立，所以A错误；
对于B中，由 ，所以B正确；
对于C中，由A项可得 ，所以C不正确；
对于D中，由 ，所以D正确.
故选：BD.
3．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知多项式
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD【分析】根据通项公式和 求出 ，进而得 ，故A正确；令 和 可得B不正确；根
据通项公式求出 可得C不正确；两边对 求导后，令 可得D正确.
【详解】因为 ，
的展开式的通项公式为 ，
，得 ，
，所以 ，故A正确；
令 得 ，令 ，得 ，
所以 ，故B不正确；
，故C不正确；
由 两边对 求导得，
，
令 ，得 ，
所以 ，故D正确.
故选：AD
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）在国家宪法日来临之际，某中学开展“学宪法、讲宪
法”知识竞赛，一共设置了7道题目，其中5道是选择题，2道是简答题。现要求从中不放回地抽取2道
题，则（ ）
A．恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是
B．记抽到选择题的次数为X，则
C．在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到简答题的概率是D．第二次抽到简答题的概率是
【答案】BD
【分析】由古典公式可判断A；记抽到选择题的次数为X，求出 可能取值及对应的概率，由均值公式即
可求出 可判断B；根据条件概率公式计算可判断C；由分类加法计数原理可判断D.
【详解】从7道题中不放回地抽取2道题共有： 种方法，
对于A，恰好抽到一道选择题、一道简答题有 种方法，
所以恰好抽到一道选择题、一道简答题的概率是 ，故A错误；
对于B，记抽到选择题的次数为 ， ，
所以 ， ，
，所以 ，故B正确；
对于C，第一次抽到选择题为事件 ，第二次抽到简答题为事件 ，
则 ， ，
则 ，故C错误；
对于D，第一次抽到简答题为事件 ，第二次抽到简答题为事件 ，
所以第二次抽到简答题的概率是 ，故D正确,
故选：BD.
5．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（ ）
A．B．已知 ，则等式 对任意正整数 都成立
C．设 ，则 的个位数字是6
D．等式 对任意正整数 都成立
【答案】ABD
【分析】对A：根据 运算求解；对B：可得 ，结合排列数分析运算；对
C：根据组合数分析运算；对D：构建 ，利用 的系数结合二项展开式的通项公式
分析运算.
【详解】对A：由 可知，
，
A正确；
对B：若 ，
则 ，
B正确；
对C： ， ，
则 ，
故 ，
，其个位数字是0，故 的个位数字是9，C错误；
对D： 的展开式通项为 ，
故 展开式的 的系数为 ，又 ，则
，
同理可得： 的展开式通项为 ，即展开式的 的系数为
，
由于 ，故 ，D正确；
故选： ABD
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某市场供应多种品牌的N95口罩，相应的市场占
有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中随机买一种品牌的 口罩，记 表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌，
记 表示买到的口罩是优质品，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对于A，利用互斥事件的概率公式求解判断，对于BD，由条件概率公式计算判断，对于C，由全
概率公式计算判断.
【详解】由题意得 ，对于A，因为 与 互斥，所以 ，所以A正确，
对于B， ，所以B错误，
对于C，
，所以C正确，
对于D， ，所以D错误，
故选：AC
7．（2023·重庆巴南·统考一模）某市为响应教育部《切实保证中小学每天一小时校园体育活动的规定》号
召，提出“保证中小学生每天一小时校园体育活动”的倡议.在某次调研中，甲、乙两个学校学生一周的运
动时间统计如下表：
学
人数 平均运动时间 方差
校
甲
2000 10 3
校
乙
3000 8 2
校
记这两个学校学生一周运动的总平均时间为 ，方差为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据平均数和方差的计算公式求解.
【详解】依题意，总平均时间为 ，
方差为 .
故选：BC
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知甲盒中有2个红球，1个篮球，乙盒中有1个红球，2个篮球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得
红球的概率为 ，从各盒中取得红球的个数为 ，则（ ）
A． . B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据已知利用平均值的原理去快速解决问题 判断A选项，再结合两点分布分别得出数学
期望和方差大小判断B,C,D选项.
【详解】可以利用平均值的原理去快速解决问题，甲盒中有2个红球，1个篮球，拿出一个球，相当于平
均拿出 个红球， 个篮球；
乙盒中有1个红球，2个篮球，拿出一个球，相当于平均拿出 个红球， 个篮球，
那么拿出一个球后，放入丙盒子中后，相当于甲盒子内还有 个红球， 个篮球，乙盒子内还有 个红球，
个篮球，丙盒子中有1个红球，1个篮球，
故 ， ， ， ，A选项正确 ；
满足两点分布，
故 ， ，
， ，
， ， ， ，B,C选项正确，
D选项错误.
故选：ABC.
9．（2023·吉林白山·统考二模）将A，B，C，D这4张卡片分给甲、乙、丙、丁4人，每人分得一张卡片，则（ ）．
A．甲得到A卡片与乙得到A卡片为对立事件
B．甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件
C．甲得到A卡片的概率为
D．甲、乙2人中有人得到A卡片的概率为
【答案】BCD
【分析】由互斥、对立事件的概念可判断选项A、B；由排列组合和古典概型，可求甲得到A卡片甲、乙2
人中有人得到A卡片的概率.
【详解】甲得到A卡片与乙得到A卡片不可能同时发生，但可能同时不发生，
所以甲得到A卡片与乙得到A卡片为互斥但不对立事件，A不正确，B正确．
甲得到A卡片的概率为 ，C正确．
乙2人中有人得到A卡片的概率为 ，D正确．
故选：BCD
10．（2023·吉林白山·统考二模）装疫苗的玻璃瓶用的不是普通玻璃，而是中性硼硅玻璃，这种玻璃有较
好的平均线膨胀系数（简称：膨胀系数）．某玻璃厂有两条硼硅玻璃的生产线，其中甲生产线所产硼硅玻
璃的膨胀系数 ，乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数 ，则下列选项正确的
是（ ）．（附：若 ，则 ， ，
）
A．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数范围在 的概率约为0.7685
B．甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数比乙生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中
C．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数不能超过5，则乙生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大
D．若用于疫苗药瓶的硼硅玻璃的膨胀系数为 ，则甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率约为乙生产线的2倍
【答案】BD
【分析】根据正态分布性质及对应特殊区间上的概率计算分别判断各个选项即可.
【详解】因为 ，所以 ， ．
因为 ，所以 ， ．
因为 ，故A错误．
因为 ，所以甲生产线所产硼硅玻璃的膨胀系数数值更集中，故B正确．
因为 ， ，
所以 ，所以甲生产线所产硼硅玻璃符合标准的概率更大，故C错误．
因为 ，
，所以D正确．
故选：BD.
11．（2023·河北·校联考三模）在不透明的罐中装入大小相同的红、黑两种小球，其中红球 个，黑球 个，
每次随机取出一个球，记录颜色后放回．每次取球记录颜色后再放入 个与记录颜色同色的小球和 个异
色小球（说明：放入的球只能是红球或黑球），记 表示事件“第 次取出的是黑球”， 表示事件“第
次取出的是红球”．则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则D．若 ，则
【答案】CD
【分析】根据古典概型概率公式和概率的乘法公式即可求解.
【详解】选项A： ，共有8个球， ，故A错误；
选项B： ， ， ，
所以 ，故B错误；
选项C： ， ，故C正确；
选项D： ， ，
由于 ，所以 ，故D正确.
故选：CD.
12．（2023·浙江·统考模拟预测）不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白
球，从袋中一次性取出2个球，记事件 “两球同色”，事件 “两球异色”，事件 “至少有一
红球”，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件 D．事件A与事件B是相互独立事件
【答案】BC
【分析】根据古典概型概率公式求事件 和事件 的概率，判断AB，根据对立事件和独立事件的定义判断
CD.
【详解】随机试验从袋中一次性取出2个球的样本空间含 个样本点，
随机事件 包含的样本点的个数为 ，
所以 ，A错误；
随机事件 包含的样本点的个数为 ，所以 ，B正确，
事件 与事件 不可能同时发生，所以事件 与事件 为互斥事件，
又 ，即事件 为必然事件，
所以事件A与事件B是对立事件，C正确；
随机事件 包含的样本点的个数为 ，
所以 ，
随机事件 为不可能事件，所以 ，
所以 ，
所以事件A与事件B不是相互独立事件，D错误，
故选：BC.
13．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）有一组样本甲的数据 ，一组样本乙的数据 ，其中
为不完全相等的正数，则下列说法正确的是（ ）
A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差
B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差
C．若样本甲的中位数是 ，则样本乙的中位数是
D．若样本甲的平均数是 ，则样本乙的平均数是
【答案】ACD
【分析】根据统计中的相关概念和性质运算求解.
【详解】不妨设样本甲的数据为 ，且 ，
则样本乙的数据为 ，且 ，
对于选项A：样本甲的极差为 ，样本乙的极差 ，
因为 ，即 ，所以样本甲的极差一定小于样本乙的极差，故A正确；
对于选项B：记样本甲的方差为 ，则样本乙的方差为 ，
因为 ，即 ，
所以样本甲的方差一定小于样本乙的方差，故B错误；
对于选项C：因为样本甲的中位数是 ，
则样本乙的中位数是 ，故C正确；
对于选项D：若样本甲的平均数是 ，则样本乙的平均数是 ，故D正确；
故选：ACD.
14．（2023·山东东营·东营市第一中学校考二模）已知随机变量 的概率密度函数为
，且 的极大值点为 ，记 ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据已知可求得， ， ， ，即可判断A、B项；然后求出
，根据正态分布的对称性，即可得出C、D项.
【详解】对于A项，根据已知可得， ， .
因为 的极大值点为 ，所以有 ，所以 ，故A项错误；
对于B项，由A分析可知， ，故B项正确；
对于C项，由A分析可知， .又 ， ，
根据正态分布的对称性，可知 ，所以 ，故C正确；
对于D项，因为 ，所以 ， .
所以， ，故D项正确.
故选：BCD.
15．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从正态分布N ，若 ，则
B．已知 ， ， ，则
C．已知 ， ， ，则
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ， 和 ， ，
若 ，则总体方差
【答案】ABC
【分析】利用正态分布的对称性计算判断A；利用条件概率公式推理判断B；利用全概率公式计算判断C
作答；根据分层方差和总方差的公式可判断D.
【详解】对于A，由正态分布曲线的性质知，
，
根据对称性知， ，
于是 ，
A正确；
对于B，由 ，
得 ，
所以 ，
B正确；对于C，由 ，
得 ，
又 ，
由全概率公式得，
，
C正确.
不妨设两层的样本容量分别为m，n，总样本平均数为 ，
则 ，
易知，当 时,有 ，
故D错误.
故选：ABC.
16．（2023·广东广州·统考三模）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则随机变量 的方差
B．若 ， ，则
C．若随机事件 满足 ， ， ，则
D．数据5，7，8，11，13，15，17的第80百分位数为15
【答案】BCD
【分析】由二项分布的方差公式，正态分布的对称性，全概率公式及百分位数，逐项判断即可．
【详解】对于A：若 ，则随机变量 的方差 ，故A错误；
对于B：若 ，则 ，故B正确；对于C：由全概率公式，得 ，故C正确；
对于C：由于 ，所以数据5，7，8，11，13，15，17的第80百分位数为15，故D正确；
故选：BCD．
17．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）现有甲､乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，
乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以 表示由甲箱中取出的是红
球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（ ）
A． 两两互斥.
B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为 .
C．以 表示由乙箱中取出的是红球的事件，则 .
D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为 .
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用利用互斥事件意义判断A；利用全概率公式求出概率判断B；利用条件概率
公式计算判断C；利用概率的乘法公式及互斥事件的概率加法公式计算判断D作答.
【详解】依题意， ，
对于A，事件 ， 不可能同时发生，即 ，因此事件 ， 互斥，
同理：事件 ， ，事件 ， 互斥，故A正确；
对于B，从乙箱中取出的是红球的事件为 ，
则 ，
因此 ，故B正确；
对于C，由选项B知， ，C正确；对于D，取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件
的和，
记甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为 ，
则 ，
记甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为 ，
则
所以所求概率为 ，故D错误.
故选：ABC.
18．（2023·浙江·校联考模拟预测）我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：
国家财政补贴､地方财政补贴､免征车辆购置税､充电设施奖补､车船税减免､放宽汽车消费信贷等.记事件
表示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；事件 表示“电动汽车销量增加”， ，
.一般来说，推出购车优惠补贴政策的情况下，电动汽车销量增加的概率会比不推出优惠补贴政
策时增加的概率要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D． .
【答案】ACD
【分析】对于选项A，直接根据题意即可判断出正误；对于选项B，利用条件和对立事件的概率公式即可
判断出正误；对于选项C和D，根据条件和条件概率公式，再进行变形化简即可判断出正误.
【详解】根据题意知 ，故选项 正确；
由 ，得到 ，即 ，故选项B错误；
又由 知， ，化简得到 ，所以选项C正确；
又由 ，得 ，所以
，
即 ，即 ，
即 ，故D正确；
故选：ACD.
19．（2023·山东泰安·统考模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．袋子中有 个大小相同的小球，其中 个白球、 个黑球.每次从袋子中随机摸出 个球，若已知第
一次摸出的是白球，则第二次摸到白球的概率为
B．对分类变量 与 来说， 越大，“ 与 有关系”的把握程度越大
C．由一组观测数据 ， ， ， 求得的经验回归方程为 ，其中
表示父亲身高， 表示儿子身高.如果一位父亲的身高为 ，他儿子长大成人后的身高一定是
D．已知随机变量 ，若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据古典概型的概率公式可求A中随机事件的概率，故可判断其正误，根据 的意义可判断B的
正误，根据回归方程可判断父亲的大约身高，故可判断C的正误，根据正态分布的性质可判断D的正误.
【详解】对于A：在第一次摸出白球后，样本空间缩小为袋子中共有 个小球，
其中白球有 个，所以第二次摸出白球的概率为 ，故A正确.
对于B：由 独立性检验可知， 的值越大，零假设 成立的可能性越小，即“ 与 有关系”的把握程度越大，所以B正确.
对于C：由经验回归方程 ，可得当 时， .，
可以作出推测，当父亲的身高为 时，儿子身高一般在 左右，所以C错误.
对于D：因为随机变量 且 ，
由正态分布的性质可得 ，
所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
20．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）下列命题中真命题是（ ）
A．设一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则
B．将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法
C．两个变量的相关系数 越大，它们的相关程度越强
D．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】ABD
【分析】根据方差计算公式变形判断A，根据分堆分配问题求解判断B，根据相关系数的性质判断C，根据
正态分布性质判断D.
【详解】对于A，由方差定义可得 ，
所以 ，
所以 ，A 正确；
对于B，将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人的安排方法有 种，B正确；
对于C，由相关系数的性质可得相关系数的绝对值越接近 时，成对样本数据的线性相关程度越强，C 错误，对于D，因为随机变量 服从正态分布 ，所以随机变量 的均值 ，
所以 ，又 ，可得 ，
由正态密度曲线的对称性可得 ，D正确，
故选：ABD.
21．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）下列命题中正确的是（ ）
A．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B．经验回归方程为 时，变量x和y负相关
C．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率
都是 ，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
D．若 ，则 取最大值时
【答案】ABC
【分析】对于A，正态分布曲线关于直线 对称，则 ，故选项A正确；对于B，回归方程的直线斜
率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；对于C，所求概率为 ，所
以C正确；对于D，由 ，解得 或 ，所以D错误．
【详解】对于A，随机变量 服从正态分布 ，若 ，则正态分布曲线关于直线
对称，则 ，故选项A正确；
对于B，回归方程的直线斜率为负数，所以变量x与y呈负的线性相关关系，所以B正确；
对于C，该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯，则该生在前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为 ，所以C正确；
对于D，由 ，即 ，解得 或 ，所以D错误．
故选：ABC．
22．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（ ）
A．若事件A，B互斥， ， ，
B．若事件A，B相互独立， ， ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
【答案】BC
【分析】对于A，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B，根据相互独立事件的性质分析
判断，对于CD，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.
【详解】
，∴ ，A错.
，B对.
令 ， ， ，∴ ，
，∴ ，
，∴ ，C对.，D错，
故选：BC.
23．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）在平面直角坐标系 的第一象限内随机取一个整数点
，若用随机变量 表示从这 个点中随机取出的一个点的横、纵坐标之和，
表示 ， 同时发生的概率，则（ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时， 的均值为
D．当 （ 且 ）时，
【答案】ACD
【分析】利用条件概率公式可判断A选项；列举出满足 的点的坐标，利用古典概率公式可判断B
选项；利用离散型随机变量的期望公式可判断C选项；列举出满足 ， 的点的坐标，利用古典概
型的概率公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，当 时，整数点共 个，则 ，
由 得 ，即满足 ， 的点的坐标为 ，
所以， ，A对；
对于B选项，当 时，整数点共 个，
满足 的整数点为 ， ，则 ，B错；对于C选项，当 时，
的可能取值有 、 、 、 、 、 、 、 、 ，此时，样本点共 个，
满足 的点为 ，则 ，
满足 的点为 、 ，则 ，
满足 的点为 、 、 ，则 ，
满足 的点为 、 、 、 ，则 ，
满足 的点为 、 、 、 、 ，则 ，
满足 的点为 、 、 、 ，则 ，
满足 的点为 、 、 ，则 ，
满足 的点为 、 ，则 ，
满足 的点为 ，则 ，
故当 时， ，C对；
对于D选项，满足 的解为 ，则 ，D对.
故选：ACD.
24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何
排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三
角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行
中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第 行的所有数字之和为
【答案】BC
【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断，即可求解．
【详解】对于A：第 行是二项式 的展开式的系数，
所以第 行中第 个数最大，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：第 行是二项式 的展开式的系数，又 展开式的通项为 ，
所以第 个数为 ，第 个数为 ，所以第 个数与第 个数之比为 ，故C正确；
对于D：第 行是二项式 的展开式的系数，故第 行的所有数字之和为 ，故D错误；
故选：BC
25．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外
观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽
奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，在箱子打开之前，主持人先打开了
3号箱．用 表示i号箱有奖品（i＝1，2，3，4），用 表示主持人打开j号箱子j＝2，3，4），下列结
论正确的是（ ）
A．
B．
C．要使获奖概率更大，甲应该坚持选择1号箱
D．要使获奖概率更大，用应该改选2号或者4号箱
【答案】ABD
【分析】根据古典概型判断A选项，结合条件概率和全概率公式及贝叶斯公式分别判断B,C,D选项.
【详解】对于A选项，抽奖人在不知道奖品在哪个箱子的情况下选择了1号箱，他的选择不影响奖品在四
个箱子中的概率分配，
因此 ， ， ， 的概率均为 ，即A正确；
对于B选项，奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故 ，故B正确；
对于C、D选项，
方法一：奖品在1号箱里，主持人可打开2、3、4号箱，故 ，
奖品在2号箱里，主持人只能打开3、4号箱，故 ，
奖品在3号箱里，主持人打开3号箱的概率为0，故 ，
奖品在4号箱里，主持人只能打开2、3号箱，故 ，由全概率公式可得：
， ，，故C错误，D正确.
方法二：若继续选择1号箱，有奖品的概率为 ，无奖品的概率为 ，主持人打开了无奖品的3号箱，
若不换号，则甲在1号箱获得奖品的概率依然为 ，而在排除了3号箱有奖的情况下，
2号或者4号箱获奖的概率会提高，因此为了增加中奖的概率，甲应该改选2号或者4号箱．
故选：ABD．
26．（2023·福建厦门·统考模拟预测）今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭
借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高
口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（ ）
A．《满江红》日票房平均数大于《流浪地球 日票房平均数
B．《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差
C．《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差
D．《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数
【答案】ABD
【分析】根据图表信息逐一判断即可.
【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球 日票房，所以《满江红》日票房平均数大于
《流浪地球2》日票房平均数，A正确;
由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方
差，所以B正确.
《满江红》日票房极差大于《流浪地球 日票房极差，故C错误；因为 ，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第 个数，
因为 ，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第 个数，
《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D正确.
故选：ABD.
27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知事件A，B满足 ， ，则下列选项正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若 ，则A与B相互独立
【答案】BD
【分析】对A根据 ，则 ；对B，根据互斥事件的性质得
，对C，根据独立事件的特点则可计算出 ，对D，根据
条件概率公式计算出 ，再利用相互独立事件的定义即可判断.
【详解】对于A,因为 ,所以 ；故A错误,
对于B,因为 与 互斥,所以 ,B正确,
对于C,因为 与 相互独立,所以 ,故C错误;
对于D,因为 ,即 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,所以 与 相互独立，故D正确.
故选：BD.
28．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）随机变量 的分布列如表：其中 ，下列说法正确
的是（ ）0 1 2
P
A． B．
C． 有最大值 D． 随y的增大而减小
【答案】ABC
【分析】利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
【详解】由题意可知 ，即 ，故A正确；
，故B正确；
，
因为 ， ，易得 ，
而 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得最大值，
所以 随着y的增大先增大后减小，当 时取得最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
29．（2023·河北·统考模拟预测）已知二项式 的展开式中所有项的系数的和为64，则（ ）
A．
B．展开式中 的系数为
C．展开式中奇数项的二项式系数的和为32
D．展开式中二项式系数最大的项为
【答案】ACD【分析】赋值法求得 ，根据二项式定理求展开式通项，结合二项式系数性质求 的系数、奇数项的二
项式系数和、二项式系数最大的项.
【详解】令 ，则 ，可得 ，A对；
，
当 时， ，B错；
由原二项式的二项式系数和为 ，则奇数项的二项式系数的和为32，C对；
由上知：二项式系数最大为 ，即 ，则 ，D对.
故选：ACD
30．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知事件A，B，且 ，则（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
【答案】ABD
【分析】根据事件关系及运算有 、 ，由事件的相互独立知 ，
结合事件的运算求 、 .
【详解】A：由 ，则 ，正确；
B：由 ，则 ，正确；
C：如果A与B相互独立，则 ，
，错误；D：由C分析及事件关系知： ，正确.
故选：ABD.
31．（2023·广东韶关·统考模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量X服从二项分布 ，若 ，则
B．已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则
C．已知 ， ， ，则
D．已知 ， ， ，则
【答案】ACD
【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布的对称性计算判断B；利用条件概率公
式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答.
【详解】对于 ，由二项分布的期望公式， ，
由期望的性质得 ，则 ， 正确；
对于 ，由正态分布曲线的性质知， ，
根据对称性知， ，于是 ，B错误；
对于C，由 ，得 ，
所以 ，C正确；
对于D，由 ，得 ，又 ，
由全概率公式得， ，D正确.
故选：ACD
32．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和
2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，
记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（ ）A．事件A与事件B相互独立 B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.
【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：
从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；
从甲袋中任取1球是红球的概率为： ，从甲袋中任取1球是白球的概率为： ，
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：
，故B错误；
，所以 ，故C正确；
，故D正确.
故选：CD
33．（2023·江苏苏州·校联考三模）已知变量 的5对样本数据为
，用最小二乘法得到经验回归方程 ，过点
的直线方程为 ，则（ ）
A．变量 和 之间具有正相关关系
B．
C．样本数据 的残差为-0.3
D．
【答案】AD【分析】根据方程，可知A项正确；求出 ，代入方程，即可得出 .根据两点坐标得出直线方程即可
得出 ；求出预测值，即可得出残差；根据最小二乘法的意义，即可得出D项.
【详解】对于A项，根据经验回归方程，可知变量 和 之间具有正相关关系，故A项正确；
对于B项，由已知可得， ， ，根据经验回归方程，可知
，所以 .
根据已知，可求出 ，则直线 方程为 ，整理可得 ，所以 ，
故B项错误；
对于C项，由B知，经验回归方程为 ，样本数据 的预测值为 ，所以样
本数据 的残差为 ，故C项错误；
对于D项，根据最小二乘法的意义，可知 ，故D项正确.
故选：AD.
34．（2023·广东汕头·统考三模）一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：
从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为 ，期望和方差分别为 ， ；试验二：
从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为 ，期望和方差分别为 ， ；则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据条件得到 ，由二项分布的均值和方差公式可求出 .求出 的可能取
值，及其对应的概率，即可求出 的分布列，由方差和期望公式可求出 ，分别比较 ，和 ， 可得答案.
【详解】从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为 ，
则 ，故 ， ，
从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为 ，则 的可能取值是0，1，2，3；
则 ， ，
， ，
所以随机变量 的概率分布为：
0 1 2 3
P
数学期望 ；
,
故 ， .
故选：AC.
35．（2023·重庆·校联考三模）下列判断错误的有（ ）
A．将总体划分为2层，按照比例分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为 ， 和
， ，且已知 ，则总体方差
B．已知随机变量X服从正态分布 ，若 ，则C．已知线性回归方程 ，当解释变量增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位；
D．已知随机事件 ， ，则“事件A，B相互独立”是“ ”的充分必
要条件
【答案】AB
【分析】由分层抽样计算公式可判断A；根据 可得 可判断B；由线性
回归意义判断C；由条件概率公式可判断D.
【详解】对于A，设两层数据分别记为 、 ，因为 ，所以总体的样本平均数为
，
所以 ， ，
所以总体的方差
，只有当 时， 才成立，故A错误；
对于B，随机变量X服从正态分布 ，可得 ，若 ，则
，故B错误；
对于C，线性回归方程 ，当解释变量增加1个单位时，由 可得预报变量
平均增加2个单位，故C正确；
对于D，由题意 ，
若事件A，B相互独立，则 ，，故 ，故充分性成立；
若 ，即 ，则 ，
即 ，故 ，即 与 相互独立，所以 与 相
互独立，故必要性成立，则“事件A，B相互独立”是“ ”的充分必要条件，故D正确.
故选：AB.
36．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）1990年9月，Craig F·Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”
专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的
门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者
知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人
知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从 号门中打开一道后面是山羊的门.
则以下说法正确的是（ ）
A．你获得豪车的概率为
B．主持人打开3号门的概率为
C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为
D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪
车的概率更大
【答案】ABD
【分析】设 分别表示 号门里有豪车，用 分别表示主持人打开 号门，然后用全概
率公式和贝叶斯公式对选项进行分析即可
【详解】设 分别表示 号门里有豪车，用 分别表示主持人打开 号门.
对于A，如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门，因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配，所以事件 发生的概率仍然为 ，即 正确；
对于B，在选择了1号门的前提下，主持人打开1号门外的一个门有以下几种可能的情况：
豪车在1号门里，主持人打开2，3号门，故 ，
豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，故 ，
豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，故 ，
由全概率公式 ，即 正确；
对于C，由贝叶斯公式，在3号门打开的条件下，1号门和2号门里有豪车的条件概率为
，
故选2号门会使获得豪车的概率更大，是正确的决策，即 错误， 正确.
故选：ABD
37．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个
红球，2个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以 ， ， 表示事件“取出的是红
球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再从乙袋中随机取出一球，以 表示事件“取出的是白
球”，则下列结论中正确的是（ ）
A．事件 ， ， 是两两互斥的事件 B．事件 与事件 为相互独立事件
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据互斥事件和相互独立事件即可判断A、B，由概率计算值即可判断C、D.
【详解】由题意可得 ， ， ，
显然事件 ， ， 是两两互斥的事件，故A正确，
， ，
因为 ，故事件 与事件 不是相互独立，故B错误，，故C正确，
，故D正确.
故选：ACD
38．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（ ）
附： 独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
A．已知离散型随机变量 ，则
B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
C．若 ，则事件 与 相互独立
D．根据分类变量 与 的观测数据，计算得到 ，依据 的独立性检验可得：变量 与
独立，这个结论错误的概率不超过0.05
【答案】BC
【分析】A选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算；
B选项，根据百分位数的定义进行计算；
C选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断；
D选项，根据独立性检验的标准进行判断.
【详解】对于A：根据二项分布的方差公式，可得 ，
∴ ，∴A错误；
对于B： ，根据百分位数的定义，
这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确；对于C：∵ ，∴ ，∴ ，
根据事件独立性的定义可知，事件 与 相互独立，∴C正确；
对于D：根据 的值以及常用的概率值与相应临界值可知，
依据 的独立性检验，可得变量 与 相互独立，
即认为变量 与 不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误．
故选：BC
39．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）如图为国家统计局公布的2017~2022年全国城镇居民人
均可支配收入及人均消费支出统计图，则（ ）
A．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出均呈增长趋势
B．2017~2022年全国城镇居民人均消费支出的中位数为27535
C．2017~2022年全国城镇居民人均可支配收入的极差大于人均消费支出的极差
D．2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例大于80%
【答案】BC
【分析】根据图表逐项进行判断即可求解.
【详解】对于 ，由图知 年全国城镇居民人均可支配收入呈增长趋势，但人均消费支出2020
年比2019年少，所以A不正确；
对于B，由图可知 年全国城镇居民人均消费支出的中位数为 ，所以B正
确；
对于C， 年全国城镇居民人均可支配收入的极差为 ，人均消费支出的极
差为 ，所以C正确；对于D，2022年全国城镇居民人均消费支出占人均可支配收入的比例为 ，小于 ，所以D
不正确.
故选：BC.
40．（2023·山东烟台·统考二模）甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动．活动共设三轮，在每轮活动中，
甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮活动中，甲、
乙答对的概率分别为 和 ，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则（ ）．
A．每轮活动中，甲获胜的概率为
B．每轮活动中，平局的概率为
C．甲胜一轮乙胜两轮的概率为
D．甲至少获胜两轮的概率为
【答案】ABD
【分析】由事件的相互独立性，计算概率即可判断.
【详解】根据题意可得，甲获胜的概率为： ，故A正确；
乙获胜的概率为 ，
所以平局的概率为 ，故B正确；
所以3轮活动中，甲胜一轮乙胜两轮的概率为： ，故C不正确；
甲至少获胜两次的概率为 故D正确.
故选：ABD.第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）“ ”表示不大于x的最大整数，例如： ，
， ．下列关于 的性质的叙述中，正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若数列 中， ， ，则
D． 被3除余数为0
【答案】ACD
【分析】A选项，由题意得到 ，变形得到 ；B选项，举出反例即可；C选
项，求出 ，利用等差数列求和公式求出答案；D选项，分析得到
， 被3除余数为1，分组求和后得到 其被3除余数为
1011，而 ，故D正确.
【详解】对于A，由定义“ ”表示不大于x的最大整数可知， ，故 ，
用 代换x，即得 ，故A正确．
对于B，不妨设 ， ，满足 ，但此时 ，B错误．对于C，由 ，可得 ，故 ，
则 ，故C正确．
对于D，对任意自然数k， 与 均不是整数，且 ，
则 ．
当 时， ，即 被3除余数为1．
当 时， ，
，
则 被3除余数为1，
，
由上述分析知其被3除余数为1011，而 ，即M能被3整除，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
42．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）设 ， 是一个随机试验中的两个事件，且 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】BCD
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】对于A： ， ，
所以 ，故A错误；
对于B： ， ，∴ ，
，故B正确；
对于C： ， ，∴ ，故C正确.
对于D： ，
，∴ ，∴ ，
∴ ，所以D正确.
故选：BCD.
43．（2023·全国·校联考模拟预测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测
并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能
性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这
种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相
格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间
是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性
的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可
以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦
妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 （ ，2，…n） ，定义X的信息熵 ，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若 ，则 与 正相关
C．若 ， ，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 （j=1,2,…,m）则
【答案】ABD
【分析】求出 判断出A；分析 对于 的单调性判断B；利用数列求和求出 判断C；计算出
，利用基本不等式和对数函数的性质判断D作答.
【详解】对于A，若 ，则 ，因此 ，A正确；
对于B，当n=2时， ， ，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递增，所以 与 正相关，B正确；
对于C， ， ，则 ，
，而 ，
于是
，令 ，
则 ，两式相减得，因此 ， ，C
错误；
对于D，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （ ），
，
，
由于 ，即有 ，则 ，
因此 ，所以 ，即 成立，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前
n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．
44．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路
口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为 ，p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在
甲路口遇到红灯个数之和为 ，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为 ，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当 时，
【答案】BC【分析】确定 ，即可求出 和 ，判断A，B；表示一天至少遇到一次红灯的概率
为 ，可求出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达式，利用导
数可求得其最大值，判断C；计算一天中遇到红灯次数的数学期望，即可求得 ，判断D.
【详解】对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为 ，
则 ，则 ， ，
故A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为 ，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为 ，
设 ，则 ，
令 ，则 （舍去）或 或 ，
当 时， ，当 时， ，
故 时， 取得最大值，即 ，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为 ，
此时 ，故C正确；
对于D，当 时，一天中不遇红灯的概率为 ，
遇到一次红灯的概率为 ，遇到两次红灯的概率为 ，
故一天遇到红灯次数的数学期望为 ，
所以 ，故D错误，
故选：BC【点睛】难点点睛：求解星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率，关键是要明确一天
至少遇到一次红灯的概率，从而表示出星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的表达
式，难点在于要利用导数求解最值,因此设函数 ，求导，利用导数解决问
题.
45．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知事件 满足 ， ，则下列结论
正确的是（ ）
A．如果 ，那么
B．如果 ，那么 ，
C．如果 与 互斥，那么
D．如果 与 相互独立，那么
【答案】CD
【分析】古典概型、条件概率、互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式的运用。
【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号,
记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足
, 但是 选项A错误;
对于选项B，如果 , 那么 ,选项B错误;
对于选项C， 如果 与 互斥，那么 , 所以选项C正确;
对于选项D，如果 与 相互独立，那么
所以选项D正确。
故选：CD
46．（2023·福建泉州·统考三模）某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为 ，从第二次
抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 ．
记玩家第 次抽盲盒，抽中奖品的概率为 ，则（ ）
A． B．数列 为等比数列
C． D．当 时， 越大， 越小
【答案】ABC
【分析】记玩家第 次抽盲盒并抽中奖品为事件 ，依题意， ， ，
，利用全概率公式可判断A选项；利用全概率公式推出 ，结合等比数列的定
义可判断B选项；求出数列 的通项公式，可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项.
【详解】记玩家第 次抽盲盒并抽中奖品为事件 ，
依题意， ， ， ， ，
对于A选项， ，A对；
对于B选项， ，
所以， ，所以， ，
又因为 ，则 ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，B对；对于C选项，由B选项可知， ，则 ，
当 为奇数时， ，
当 为偶数时， ，则 随着 的增大而减小，所以， .
综上所述，对任意的 ， ，C对；
对于D选项，因为 ，则数列 为摆动数列，D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法：
（1）当出现 时，构造等差数列；
（2）当出现 时，构造等比数列；
（3）当出现 时，用累加法求解；
（4）当出现 时，用累乘法求解.
47．（2023·广东肇庆·统考二模）随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福.他们每人写了
一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则（ ）
A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为
B．已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为
C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为
D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为
【答案】BC
【分析】计算出四个人每人从中随机抽取一张共有 种抽法，根据古典概型的概率公式以及条件概率的概率公式计算各选项，可得答案.
【详解】对于A,四个人每人从中随机抽取一张共有 种抽法，
其中小王和小张恰好互换了贺卡的抽法有 种，
故小王和小张恰好互换了贺卡的概率为 ，A错误；
对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件A, 则 ,
小张抽到小王写的贺卡为事件B,
则已知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，
小张抽到小王写的贺卡的概率为 ,B正确；
对于C, 恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有 种，
故恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为 ，C正确；
对于D, 每个人抽到的贺卡都不是自己写的抽法共有 种，
故每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为 ，D错误，
故选：
48．（2023·广东广州·统考三模）甲乙两人进行围棋比赛，共比赛 局，且每局甲获胜的概率和乙
获胜的概率均为 .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 ，则
（ ）
A． B．C． D． 的最小值为
【答案】ACD
【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢 局，进而表达出 ，结合组合数的公式求解可得 ，再
逐个选项判断即可.
【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢 局，故 ，而
，且 ，
，故C正确；
A： ，正确；
B： ，错误；
D：因为 ，
又 ，故 ，故 随着 的增
大而增大.
故 的最小值为 ，正确.
故选：ACD
49．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知采用分层抽样得到的样本数据由两部分组成，第一部分样本数据
的平均数为 ，方差为 ；第二部分样本数据 的平均数为 ，方差为 ，
设 ，则以下命题正确的是（ ）
A．设总样本的平均数为 ，则B．设总样本的平均数为 ，则
C．设总样本的方差为 ，则
D．若 ，则
【答案】AD
【分析】对于A选项，因为 ，由 放缩可得 ；
对于B选项，举例说明B不正确；
对于C选项，举例说明C不正确；
对于D选项，若 ，代入总体方差计算公式，可得 .
【详解】对于A选项，因为 ，所以
，即 ，A正确；
对于B选项，取第一部分数据为 ，则 ， ，取第二部分数据为 ，则 ， ，
则 ，B不正确；
对于C选项，取第一部分数据为 ，则 ， ，
取第二部分数据为 ，则 ， ，则 ，
，C不正确；
对于D选项，若 ，则 ，D正确.
故选：AD.
50．（2022·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）如图，一只蚂蚁从正方形 的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为 ，逆时针的概率为 ，设蚂蚁经过
n步到达B，D两点的概率分别为 ．下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】有四种情形： ，求其概率可
判断A；从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以 可判断B；对于C，当
为偶数时 ，当 为奇数时，先计算从 点或 点出发经过两步到达 点的概率，再讨论从顶点 出发
经过 步到达 点的两种情形：①从顶点 出发经过 步到达 点，再经过两步到达 点的概率为
，②从顶点 出发经过 步到达 点，再经过两步到达 点的概率为 ，可得
可判断C；
利用 可判断D；
【详解】对于A，有四种情形： ，其所求的概率为 ，故A正确；
对于B，当 为偶数时，从顶点 出发，只能到达 点或 点，此时 ，
当 为奇数时，从顶点 出发，只能到达 点或 点，此时 ，即从顶点A出发经过2n步到达
B、D两点为不可能事件，所以 ，故B错误；
对于C，当 为偶数时 ，当 为奇数时，先计算从 点或 点出发经过两步到达 点的概率，分别为
， ，现讨论从顶点 出发经过 步到达 点的两种情形：①
从顶点 出发经过 步到达 点，再经过两步到达 点的概率为 ，②从顶点 出发经过 步到
达 点，再经过两步到达 点的概率为 ，故 ，可得
，又 ，所以 ，故C正确；
对于D，
，所以
，故D正确；
故选：ACD.
51．（2022·全国·模拟预测）计算机显示的数字图像是由一个个小像素点组合而成的．处理图像时，常会
通过批量调整各像素点的亮度，间接调整图像的对比度、饱和度等物理量，让图像更加美观．特别地，当图像像素点规模为1行 列时，设第i列像素点的亮度为 ，则该图像对比度计算公式为
．已知某像素点规模为1行 列的图像第i列像素点的亮度 ，现
对该图像进行调整，有2种调整方案：① ；②
，则（ ）
A．使用方案①调整，当 时，
B．使用方案②调整，当 时，
C．使用方案①调整，当 时，
D．使用方案②调整，当 ， 时，
【答案】AC
【分析】方案①：根据 的性质，将 、 及 代入判断A；利用对比度公式可得
，即可判断C；方案②：在 时代入特殊值 判断B；根据条件判断
且 ，特殊值 代入判断D.
【详解】使用方案①调整：当 时 且 ，又 则 ，A正确；
， ，
当 ，即 且 ，又 ，可得 ，C正确；
使用方案②调整：当 时 ，显然若 时 ，B错误；
，而 ，则 ，故 ，又 ，则 ， ，
所以 ，而 ，
时 ，则 ，则 ，
此时 ，显然存在 ，D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：判断D时注意 的取值范围，根据n值判断 的大小关系.
52．（2022·辽宁·建平县实验中学校联考模拟预测）甲､乙两人进行 局羽毛球比赛(无平局)，每
局甲获胜的概率均为 .规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 ，假设每
局比赛互不影响，则( )
A． B． C． D． 单调递增
【答案】AD
【分析】要使甲赢得比赛，则甲至少赢 局，据此根据独立事件概率计算方法和二项式定理的性质可求
P(n)，由此可判断ABC，判断P(n＋1)和P(n)的大小即可判断P(n)的单调性，从而判断D．
【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢 局， ．
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，故C错误；
∴ ，故A正确； ，故B错误；∵ ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，即P(n)单调递增，故D正确．
故选：AD．
53．（2022·江苏·统考一模）若数列 的通项公式为 ，记在数列 的前 项中任
取两项都是正数的概率为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D． .
【答案】AB
【分析】由已知得数列 的奇数项都为1，即奇数项为正数，数列 的偶数项为 ，即偶数项为负数，
当 时， ，由此判断A选项；
将 代入，求得 ；将 代入，求得 ；将 代入，求得 ；将 代入，求得 ，再运
用作差比较法，可判断得选项.
【详解】解：因为数列 的通项公式为 ，所以数列 的奇数项都为1，即奇数项为正数，
数列 的偶数项为 ，即偶数项为负数，又数列 的前 项中，任取两项都是正数的概率为 ，
当 时，即前3项中，任取两项都是正数，概率为 ，故A正确；
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项都是正数的概率为
，
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项都是正数的概率
为 ，
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项都是正数的概
率为 ，
将 代入，数列 的前 项中，有 个正数， 个负数，任取两项都是正数的概
率为 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
，所以 ，故C错误；
，所以 ，故D错误，
故选：AB.
54．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）下列命题中，正确的是（ ）
A．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B．已知随机变量 的分布列为 ，则
C．用 表示 次独立重复试验中事件 发生的次数， 为每次试验中事件 发生的概率，若
，则
D．已知某家系有甲和乙两种遗传病，该家系成员 患甲病的概率为 ，患乙病的概率为 ，甲乙两
种病都不患的概率为 .则家系成员 在患甲病的条件下，患乙病的概率为
【答案】ACD
【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算并判断；对于B，利用分布列的性质计算并判断；对于C，利
用二项分布的期望、方差公式计算关判断；
对于D，由给定条件求出成员A甲病、乙病都患的概率，再利用条件概率公式计算并判断作答.
【详解】对于A，因 服从正态分布 ，且 ，
由正态分布的性质知， ，则 ，A正确；
对于B，依题意，由分布列的性质知 ，而
，解得 ，B错误；
对于C，显然 ，则有 ，解得 ，C正确；对于D，记事件M=“A患甲病”，事件N=“A患乙病”，则 ，且 ，而
，
于是有 ，又 ，从而得 ，
所以A在患甲病的条件下，患乙病的概率为 ，D正确.
故选：ACD
55．（2021·江苏南通·一模）在庆祝教师节联欢活动中，部分教职员工参加了学校工会组织的趣味游戏比
赛，其中定点投篮游戏的比赛规则如下：①每人可投篮七次，每成功一次记1分；②若连续两次投篮成功
加0.5分，连续三次投篮成功加1分，连续四次投篮成功加1.5分，以此类推，连续七次投篮成功加3分，
假设某教师每次投篮成功的概率为 ，且各次投篮之间相互独立，则下列说法中正确的有（ ）
A．该教师恰好三次投篮成功且连续的概率为
B．该教师恰好三次投篮成功的概率为
C．该教师在比赛中恰好得4分的概率为
D．该教师在比赛中恰好得5分的概率为
【答案】ABD
【分析】对于A，恰好三次投篮成功且连续的情况有5种，每种的概率都相同，利用独立事件同时发生的
概率公式计算后即可判定；
对于B，恰好三次投篮成功的的情况有 种，每种的概率都相同，利用独立事件同时发生的概率计算后即
可判定；
对于C，恰好得4分有两种情况：一是四次投篮成功且无连续，二是三次投篮成功且连续，分别计算概率
后求和得到恰好得4分的概率，即可判定;对于D，恰好得5分有两种情况：一是四次投篮成功且有两次两个连续投篮成功，二是四次投篮成功且有
三个连续投篮成功，两次两个连续的情况可以看做其余三次不成功投篮的四个空隙中任选2个空隙，四次
成功投篮中有三次连续成功，可以看做是其余三次不成功的投篮间隙中任选2个空隙的排列，然后分别计
算其概率，然后求和得5分的概率，即可判定.
【详解】对于A，恰好三次投篮成功且连续的概率为 ，正确.
对于B，恰好三次投篮成功的概率为 ，正确
对于C，恰好得4分有两种情况：一是四次投篮成功且无连续，其概率为 ；二是三次投篮
成功且连续，其概率为 .
所以恰好得4分的概率为 ，错误.
对于D，恰好得5分有两种情况：一是四次投篮成功且有两次两个连续投篮成功，其概率为
；二是四次投篮成功且有三个连续投篮成功，其概率为 .所以恰
好得5分的概率为 ，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查独立重复事件概率的应用问题，难度较大，关键是要注意分类讨论和熟练使用独立事件
概率公式.
56．（2021·江苏淮安·统考三模）甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛 局，且每局甲获胜的概率和
乙获胜的概率均为 .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 ，则
（ ）A． B．
C． D． 的最大值为
【答案】BC
【分析】由题设可得 ，又 ，
可得 ，结合各选项即可判断正误.
【详解】由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢 局， ，而
，
∴ ，故C正确；
A： ，错误；
B： ，正确；
D：当 时， ，由A知 ，显然 的最大值不是 ，错误.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：由题设得到 ，利用二项式各项系数和的性质求
.
57．（2021·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）将2n(n∈N*)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，
已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限记2个盒子中最少的球数为
X(0≤X≤n，X∈N*)，则下列说法中正确的有（ ）
A．当n=1时，方差
B．当n=2时，C． ， ，使得P(X=k)>P(X=k+1)成立
D．当n确定时，期望
【答案】ACD
【分析】对于A：当n=1时， ， ， ， ，根据
，可判断；
对于B：当n=2时，由 ，可判断；
对于C：由 ，可判断；
对于D：由 可判断.
【详解】当n=1时， ， ， ， ，
则 ，A正确；
当n=2时， ，B错误；
由已知得 ， ，k≤n-2，
，又有 ，所以P(X=n-l)>P(X=n)，C正确；
又
，D正确.
故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查随机变量的分布列，期望和方差，关键在于准确地写出随机变量的分布列，
运用期望和方差的公式.
58．（2021·全国·模拟预测）以人工智能、量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科
技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大．某公司抓住机遇，成立了甲、乙、丙三个科研小组针
对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该
技术难题的概率分别为 ， ， ，且三个小组各自独立进行科研攻关，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为
B．只有甲小组受到奖励的概率为
C．受到奖励的小组数的期望值等于
D．该技术难题被攻克，且只有丙小组受到奖励的概率为
【答案】AD
【分析】根据相互独立事件的概率计算公式针对不同的选项分别求解，即可判断A，B；利用概率公式结合
期望公式可判断C；利用条件概率的计算公式，即可判断选项D．
【详解】对于A，甲、乙、丙三个小组均受到奖励，即三个小组都攻克了该技术难题，其概率为
，故A正确；
对于B，只有甲小组受到奖励，即只有甲小组攻克该技术难题，其概率为 ，故B错
误；
对于C，记受到奖励的小组数为 ，则 的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
， ，故 的数学期望 ，故C错误；
对于D，设事件A为“该技术难题被攻克”，事件B为“只有丙小组受到奖励”，由题意得
， ，所以
，故D正确．
故选：AD
【点睛】方法点睛：本题考查相互独立事件的概率、条件概率的计算，以及离散型随机变量的数学期望，
求离散型随机变量的期望，首先要根据具体情况确定 的取值情况，然后利用概率知识求出 取各个值时
对应的概率，再利用期望公式，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
59．（2021·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）下列命题中，正确的命题是( )
A．已知随机变量服从 ，若 ，则
B．已知 ，则
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．某人在 次射击中，击中目标的次数为 ，则当 时概率最大
【答案】BCD
【分析】选项A：利用二项分布期望、方差公式计算判断；
选项B：由互斥事件概率的加法公式计算判断；
选项C：利用正态分布图象的对称性即可判断；
选项D：由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式,求出 ， ， 时的概率，通过解不等
式求出 的范围即可判断.
【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布 ， ， ，可得 ，，则 ，选项A错误；
对于选项B： 为必然事件，所以 ，而 与 互斥，
，选项B正确；
对于选项C：随机变量 服从正态分布 ，则图象关于 轴对称，若 ，则
， ，选项C正确；
对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为 ， ，
当 时，对应的概率 ，
所以当 时， ，
由 得 ，即 ，
因为 ，所以 且 ，又 ，
即 时，概率 最大，故选项D正确．
故选：BCD
【点睛】二项分布的概率公式 ，可用作商法确定其中的最大值或最
小值．
60．（2021·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有
5个红球，3个白球和2个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出
的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，下
列的结论：其中正确结论的为（ ）
A． B．C．事件 与事件 不相互独立 D． ， ， 是两两互斥的事件
【答案】BCD
【解析】根据古典概型概率计算公式及事件的相关概念，逐一分析四个选项的真假，可得答案．
【详解】解： 甲罐中有4个红球，3个白球和3个黑球；乙罐中有5个红球，3个白球和2个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 、 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；
再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，
对A， ，故A错误；
对B， ，故B正确；
对C，当 发生时， ，当 不发生时， ， 事件 与事件 不相互独立，故C正确；
对D， ， ， 不可能同时发生，故是两两互斥的事件，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】本题考查概率的基本概念及条件概率，互斥事件概率加法公式，考查运算求解能力.
