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专题 01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8 字型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A字模型和（双）8（X）字模型．
A字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行
线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大
题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角
相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝.
2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝.
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S ADE＝2，则
△
S ABC＝_____．
△
【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC， ，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
所以DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC∴ ∵S =2，∴S =8故答案为：8．
ADE ABC
△ △
【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知
识点的掌握．
例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片 中， ， ，
，若沿 的垂直平分线 线前下，则 的长为 ．
【答案】
【分析】勾股定理求得 ，根据垂直平分线的性质得出 ， ，证明
，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】在 中， ， ， ，∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ∴ ,∴ 解得： ,故答案为： ．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，证明 是解
题的关键．
例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在 中， ，垂足为 ， ， ，四边形
和四边形 均为正方形，且点 、 、 、 、 、 都在 的边上，那么 与
四边形 的面积比为______．【答案】1∶3
【分析】先设四边形 和四边形 的边长为x，然后根据 AEM∽ ABC可得 ，进而可
求得AP＝2.5，EM＝5，然后分别求得S AEM＝ ，S ABC＝25，即可求得S BCME＝S ABC－
四边形
△ △ △
S AEM＝ ，由此可得答案．
△
【详解】解：∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴设四边形 和四边形 的边长为x，
则EM＝2x，EF＝x，EF⊥BC，EM∥BC，∵AD⊥BC，∴PD＝EF＝x，
∵AD＝5，∴AP＝AD－PD＝5－x，
∵EM BC，∴ AEM∽ ABC，∴ ，∴ ，解得：x＝2.5，
∴AP＝2.5，EM＝5，∴S AEM＝ ＝ ，
△
又∵S ABC＝ ＝25， ∴S BCME＝S ABC－S AEM＝25－ ＝ ，
四边形
△ △ △
∴S AEM∶S BCME＝ ∶ ＝1∶3，故答案为：1∶3．
四边形
△
【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决
本题的关键．
例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在 中，点 分别在 上，且 ．
（1）求证： ；（2）若点 在 上， 与 交于点 ，求证： ．【答案】见解析
【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中，∵ ， ，∴△AEF∽△ABC；
（1）∵△AEF∽△ABC，∴∠AEF=∠ABC，∴EF∥BC，∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴ , ，∴ ．
模型2. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定
这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2）反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3）平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4.
例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点
F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四边形的性质得 ，AD=BC，由 可判断△AEF∽△CBF，根据相似三
角形的性质得 ，然后根据三角形面积公式得 ，，则 ．
【详解】∵平行四边形ABCD∴ ，AD=BC
∵E为边AD的中点∴BC=2AE
∵ ∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则 ，
∴ ， ∵△AEF的面积为2∴ 故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．
例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图， ， ， 分别交 于点G，
H，则下列结论中错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD∴ ，∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，
∴ ，∴ ，
∵AB∥CD，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，
∵AE∥DF∴ ，∴ ； ∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴ ，
∵AB＞FA，∴ ∴D选项不正确，符合题目要求． 故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式
是解此题的关键．
例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点O，记 的
面积为 ， 的面积为 ．（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：
（2）探索推广：如图②，若 与 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请
说明理由．（3）拓展应用：如图③，在 上取一点E，使 ，过点E作 交 于点F，点H为 的中点， 交 于点G，且 ，若 ，求 值．
【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出
，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作 交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到
OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到 ，设 ，则
，证明△OGF∽△OHN，推出 ， ，则
，由（2）结论求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴ ，
∴ ，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴ ；
∴ ；（2）（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴ ，
∴ ，
，
∵∠DOE=∠BOF，∴ ；
∴ ；
（3）如图所示，过点A作 交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵ ，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，
∵ ，∴△OEF∽△OAM，∴ ，
设 ，则 ，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，∴HN是△ABM的中位线，
∴ ，∴△OGF∽△OHN，∴ ，
∵OG=2GH，∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
由（2）可知 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，
定理的内容是：如图（1），如果一条直线与 ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三
△
点，那么一定有 ．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A作 ，交DF的延长线于点G，
则有 ， ，∴ ．
请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3）， ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明： ．
△
(2)如图（4），等边 ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且 ，CF与AD交于点
E，则AE的长为___△_____．(3)如图（5）， ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使 ，
连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积△为________．
【答案】(1)证明见解析(2) (3)
【分析】（1）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入 进而可证 成立；
（2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知 ，
， 代入 求值即可；
（3）如图5，分别过 作 ，由题意可知 ， ，
，有 ， ，对
计算求值即可．
(1)证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点
∴
故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE
∴ ∵ ∴ ．
(2)解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G∴由题意可知
∵D是BC的中点， 为等边三角形∴ ，
在 中 ∵
∴ 解得 故答案为： ．
(3)解：如图5，分别过 作∵图5同图1，故可知 ∵F为AB中点，CD=BC，∴
∵ ∴ ∴
∴
∵ ∴四边形BCEF的面积为 故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似．
模型3. “AX”字模型（“A8”模型）
【模型解读与图示】
图1 图2 图3
1）一“A”一“8”模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔
2）两“A”一“8”模型
条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论： .
3）四“A”一“8”模型
条件：如图3，DE∥AF∥BC, ；结论：AF=AG
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D为 边 上任一点， 交 于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵ ，
∴ ，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴ ， ，故B不符合题意，C符合题意；
∴ ，故D不符合题意；故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与
判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图， 中，中线 ， 交于点 ， 交
于点 ．（1）求 的值．（2）如果 ， ，请找出与 相似的三角形，并挑出一个进
行证明．
【答案】（1）3；（2） ，证明见解析
【分析】（1）先证明 ，再证明 ，得到 ，则问题可解；（2）根据题意分别证明 ， 问题可证．
【详解】解：（1） 是 的中点， 是 的中点， ， ，
， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ．
（2）当 ， 时，由（1）可得
， ， ， ，
， ， ，
又 ， ，
， ， ，
， ， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解答关键是根据题意选择适当方法证明三角形相似．
例3.（2023·安徽·九年级期中）图， ，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝
3，求GH的长．
【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 ，可证 CGH∽△CAB，由性质得出 ，由
△
，可证 BGH∽△BDC，由性质得出 ，将两个式子相加，即可求出GH的长．
△【详解】解：∵ ，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴ ，
∵ ，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB， BGH∽△BDC，
△
∴ ，∴ ，∵AB=2，CD=3，∴ ，解得：GH= ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．
例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝ CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证： ＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于
一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；
（2）由△DFO∽△DAB，得 ，同理 ， ， ，利用等式的性质将比例式相加，
从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由
△DMF∽△EMO，可得EM＝ ，由△DMN∽△DOE，得 ，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，
∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝ ；
（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴ ，
同理 ， ， ，∴ ＝ ，
∴ ，即 ；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，
∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，
∴ ，∴EM＝ ，∴ ，
∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴ ，∴ ，∴MN＝ ．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练
1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相
等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 AOB和 COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再
根据外径的长△度解答．△
【详解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB的长．
2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图， 中，点E、F分别在边AB、AC上， ．若 ，
， ，则 ______．【答案】
【分析】易证 AEF∽ ABC，得 即 即可求解．
△ △
【详解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴ AEF∽ ABC，
△ △
∴ ，即
∵ ， ， ，∴ ，∴EF= ，故答案为： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ， 与 相
交于点 ，若 的面积是 ，则 的面积是______．
【答案】27
【分析】根据矩形 的性质，很容易证明 ∽ ，相似三角形之比等于对应边比的平方，即
可求出 的面积．
【详解】解： 四边形 是矩形， ， ，
， ∽ ， ， ， ： ： ，： ： ，即 ： ： ， ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似
三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具
有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为 _____．
【答案】18
【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面积为3，
∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6＝9，
∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积＝△BCF的面积，
∴△ABC的面积为9+9＝18，故答案为：18．
【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．
5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ，
与四边形 的面积的比为__________．
【答案】【分析】先证明 ，再根据相似三角形的性质，即可得到 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，∴ ∴
∵∠B=∠B，∴ ，∴
∴ 与四边形 的面积的比= ．故答案是： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形 中， ， ，点E是 边上一点， ，
连接 ，点F是 延长线上一点，连接 ，且 ，则 _________．
【答案】6
【分析】过点D作DM⊥AF，可证明∠NDM=∠GDM，从而得 ，DN=DG，设DN=DG=x，列
出比例式，求出x的值，进而即可求解．
【详解】解：过点D作DM⊥AF，则∠MAD+∠ADM=90°，
∵在矩形 中，∠ADM+∠CDM=90°，∴∠MAD=∠CDM，∵AD∥BF，∴∠F=∠MAD，
∵ ，∴∠MAD= ，∴∠CDM= ，∴∠NDM=∠GDM，
∵∠NMD=∠GMD=90°，DM=DM，∴ ，∴DN=DG，∵ ， ，∴ ，设DN=DG=x，
∵AB∥CD，∴ ，∴ ，即： ，解得：x=2，∴DN=DG=2，
∵AD∥BF，∴ ，∴ ，即： ，解得：CF=6，故答案是：6．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助
线，证明 ，是解题的关键．
7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且
，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为
__________．
【答案】
【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得 ,因
为 ,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB，
∴ ，∴ 即 ,
又∵ ，∴ ，解得 ,故填： ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之
比的等量关系．
8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中 ，且 ．
为使其更稳固，在 ， 间加绑一条安全绳（线段 ），量得 ，则 ________ ．【答案】1.2
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ 3 ，故答案是：1.2．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握“平行线所截得的对应线段成比例”，是解题的关
键．
9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交
BE于点G，若 ，则 ___．
【答案】2
【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝ DC，根据平行四边形的性质得出
DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求
出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答
案即可．
【详解】解：延长CF、BA交于M，∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝ DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝ AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中
，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，
∵CE＝ AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，
∴ ，∵BE＝8，∴ ，解得：GE＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和
判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在 中， 在 上， ， ．
（1）求证： ∽ ；（2）若 ，求 的值．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意易得 ，然后问题可求证；
（2）由（1）及题意易得 ，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．
梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，
这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与
三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设D，E，F依次是△ABC的三边AB，BC，CA或其延长线上的点，且这三点共线，则满足
．
这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE交△ABC的边AB于点D，交边AC于点F，交边BC的延长线与点E．
过点C作CM∥DE交AB于点M，则 ， （依据），
∴ ＝ ，
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，即 ．
情况②：如图2，直线DE分别交△ABC的边BA，BC，CA的延长线于点D，E，F．…（1）情况①中的依据指： ；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，D，F分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD:DB＝CF:FA＝2:3，连接DF并延长，交BC
的延长线于点E，那么BE:CE＝ ．
【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；（2）见解析；(3)
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．模仿情况①的方法解决问题即可；
（3）利用梅氏定理 即可解决问题．
【详解】解：（1）情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
（2）如图2中，作CN∥DE交BD于N．
则有 ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ，
∴BE•AD•FC＝BD•AF•EC，∴ ＝1．
（3）∵ ＝1，AD:DB＝CF:FA＝2:3，
∴ ＝1，∴ = ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属
于中考常考题型．
12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线 ， 与 的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设 与 之间的距离为 ，则 ， ．∴ ．
【探究】(1)如图②，当点 在 ， 之间时，设点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 ．
证明：∵
(2)如图③，当点 在 ， 之间时，连接 并延长交 于点 ，则 ．
证明：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．由【探究】（1）可知 ，∴ ．
(3)如图④，当点 在 下方时，连接 交 于点 ．若点 ， ， 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，
的值为 ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据三角形的面积公式可得 ，由此即可得证；
（2）过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，先根据平行线的判定可得 ，
再根据相似三角形的判定可证 ，根据相似三角形的性质可得 ，然后结合【探
究】（1）的结论即可得证；
（3）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据相似三角形的判定证出
，再根据相似三角形的性质可得 ，然后根据三角形的面积公式可得
， ，由此即可得出答案．
(1)证明： ， ， ．
(2)证明：过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，则 ，． ． ．
由【探究】（1）可知 ， ．
(3)解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，
， ， ，
点 所对应的刻度值分别为5， ，0，
， ， ，
又 ， ，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三
角形的判定与性质是解题关键．
13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】
教材习题：如图， 、 相交于点 ， 是 中点， ，求证： 是 中点．问题分析：由条件易证 ，从而得到 ，即点 是 的中点
方法提取：构造“平行 字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知 中， ，点 在边 上，点 在边 的延长线上，连接 交 于点
．
(1)如图1，若 ， ，求证：点 是 的中点；
(2)如图2，若 ， ，探究 与 之间的数量关系；
【灵活应用】如图3， 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，点 是 上一点，点 在 延长线上，
， ， ，当点 从点 运动到点 ，点 运动的路径长为______， 扫过的面积为
______．
【答案】(1)见解析；(2) ；【灵活应用】 ，
【分析】（1）过点 作 ，证 ，即可得点 是 的中点；
（2）过点 作 ，可证 ，得 ，由 ， ，得 ，
再证 ，可得 ，由平行线分线段成比例得 ，由 ，可得， ，即可得出 ；
[灵活应用]：由题意可得 ，过点 作 ，则 ，可得 ，进而可得
，证 ，可知 ，过点 作 ，则 ， ，可得
点 在以 为直径的半圆上运动，可求得 运动的路径长度，过点 作 ，则 ，
，则点 在以 为直径的半圆上运动，可知 扫过的面积为以 为直径的半圆与以
为直径的半圆的面积之差，即可求得答案．
【详解】解：（1）证明： ， ，
，
过点 作 ，则 ， ，
是等腰直角三角形，则 ， ， ，
， ，
又 ， ， ， 点 是 的中点；
（2）过点 作 ，则 ，
， ，则 ， ，
， ， ， ，又 ， ， ，
， ，则 ，
， ；
[灵活应用]： 是半圆 的直径，点 是半圆上一点， ，
过点 作 ，则 ，
， ，
， ， ，
又 ， ， ，
过点 作 ，则 ， ， ，
， ， ，则 ，
， 点 在以 为直径的半圆上运动，
运动的路径长为： 过点 作 ，则 ， ，， ， 点 在以 为直径的半圆上运动，
则 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，
即： 扫过的面积为 故答案为： ， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，圆周角定
理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
14．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题
任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度，
如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点
间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；
测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得 的大小，如
图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点 ，如图4，测得 ， ；
（ⅱ）分别在 ， ，上测得 ， ；测得 ．求解过程：
由测量知， ， ， ， ，
∴ ，又∵①___________，
∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ②___________ ．
故小水池的最大宽度为___________ ．
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得 用到的几何知识是___________；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何
量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的
长度用字母 ， ， 表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 ，
且测量的次数最少，才能得满分）．
【答案】(1)① ；② (2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为 ，见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（3）测量过程：在小水池外选点 ，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得 ；用皮
尺测得 ；求解过程：过点 作 ，垂足为 ，根据锐角三角函数的定义推得 ，
， ，根据 ，即可求得．
【详解】（1）∵ ， ， ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．故小水池的最大宽度为 ．
（2）根据相似三角形的判定和性质求得 ，故答案为：相似三角形的判定与性质．
（3）测量过程：（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点 处测得 ，在点 处测得
；
（ⅱ）用皮尺测得 ．求解过程：由测量知，在 中， ， ， ．
过点 作 ，垂足为 ．在 中， ，
即 ，所以 ．同理， ．在 中， ，即 ，所以 ．所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立
数学模型是解题的关键．
15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, , 点 是射线 上的动点, 点
是边 上的动点，且 , 射线 交射线 于点 ．
S
△ADE
（1）如图 1, 如果 , 求 的值；
S
△ODB
（2）联结 , 如果 是以 为腰的等腰三角形，求线段 的长；
（3）当点 在边 上时, 联结 , 求线段 的长．
【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C，
∴∠B＝∠OEC，∴△ABC∽△OEC，∴ ，∴ ，∴CE＝3.2，∴AE＝1.8；
∵∠AED＝∠OEC＝∠B，∠D＝∠D，∴△OBD∽△AED，
S
∴ ，∴
△ADE=0.32=0.09．
S
△ODB
（2）∵ 是以 为腰的等腰三角形，∴AE＝OE，∵OC＝OE，∴设AE＝OE＝OC=x，
由（1）得，△ABC∽△OEC，∴ ，∴ ，
解得， ，经检验， 是原方程的解；则 的长是为 ．
（3）由（1）得，∠B＝∠OEC，∵∠OEC+∠OEA＝180°，∴∠B+∠OEA＝180°，
∴A、B、O、E四点共圆，∴∠DBE＝∠AOD，∵ ，∴ ，
∴AO∥DC，∴△AOE∽△CDE，△ABO∽△DBC，∴ ， ，∴ ，
设OC=x，OB=8-x，∵△ABC∽△OEC，∴ ，∴ ，
解得， ，∴ ∴ ，
解得， ， （舍去），则 的长是为 ．
16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点E在对角线AC上，
且满足AE＝2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N．
（1）当CF＝2时，求线段BN的长；
（2）若设CF＝x，△BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）试判断△BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值．【答案】（1）BN＝10；（2） ，0＜x＜3； ，3＜x＜4.5；（3）x＝2或 或
【分析】（1）由 得△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，进而求得；
（2）分为0＜x＜3和3＜x＜4.5两种情形，作EG⊥BC于G，根据三角形相似求出EG和BN；
（3）分为BM＝BE，EM＝BE，EN＝BM三种，可根据BM＝9﹣2CF求得．
【详解】解：（1）如图1，
在矩形ABCD中，BC＝AD＝6， ， ∴△CFE∽△AME，△NCF∽△NBM，
∴ , ∴AM＝2CF＝4，∴BM＝AB﹣AM＝5，
∴ ， ∴BN＝10；
（2）当CF＝BM时， ，此时△BEN不存在，
∴CF＝9﹣2CF，∴CF＝3，
当点M和B点重合时，AB＝2CF，∴CF＝4.5，
∴分为0＜x＜3和3＜x＜4.5，如图2，当0＜x＜3时，作EG⊥BC于G，由（1）知，EG＝3，AM＝2CF＝2x，
∴BM＝9﹣2x，由 得， ，
∴ ， ∴y＝ ＝ ＝ ；
如图3，
当3＜x＜4.5时，由 得，
∴CN＝ ， ∴y＝ ＝ ；
（3）如图4，∵ ，∴ ， ∴CG＝ CB＝2， ∴GB＝CB﹣CG＝4，∴BE＝5，当BM＝BE＝5时，9﹣2x＝5，∴x＝2，
如图5，当EM＝EB＝5时，作EH⊥AB于H，∴BM＝2BH＝2EG＝6，∴9﹣2x＝6，∴x= ，
如图6，当EM＝BM时，作MH⊥BE于H，
在Rt△BMH中，BH＝ ，cos∠MBH＝cos∠BEG＝ ，
∴BM＝ ，∴9﹣2x＝ ， ∴x＝ ，综上所述：x＝2或 或 ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确
引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键．
17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交
于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．
（1）求证：AD＝DE；（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝
∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到 ， ，得到 ，整理得到 CE2＝AE•EF，
根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．
【详解】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，∴ ，又∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，
∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，
∵DF⊥AC，AC⊥BC，∴∠DFE＝∠BCA＝90°，∴DF∥BC，∴ ，
∵DC∥AB，∴ ，∴ ，∴CE2＝AE•EF，
∵AD＝DE，DF⊥AC，∴AF＝EF，∴CE2＝AE•AF．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定
理是解题的关键．
18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形 的边长为 ，点 是射线 上的一个动点，
连接 并延长，交射线 于点 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
（1）当 时，如图 ，延长 ，交 于点 ，① 的长为________；②求证： ．
（2）当点 恰好落在对角线 上时，如图 ，此时 的长为________； ________；
（3）当 时，求 的正弦值．
【答案】（1）①12；②见解析；（2） ， ；（3） 或 ．
【分析】（1）①根据△ABE∽△FCE，可得 ，即 ＝1，进而得到CF的长；②根据四边形
ABCD为正方形，可得∠F＝∠BAF，由折叠可知：∠BAF＝∠MAF，即可得出∠F＝∠MAF，进而得到AM＝FM．
（2）根据∠CAE＝∠CFE，可得FC＝AC，再根据等腰Rt△ABC中，AC＝ AB＝12 ，即可得到CF
的长为12 ；由折叠可得，BE＝B'E，再根据等腰Rt△CEB'中，CE＝ B'E＝ BE，即可得出
；
（3）分两种情况讨论：①点E在线段BC上，②点E在BC的延长线上，分别设DM＝x，根据Rt△ADM
中，AM2＝AD2＋DM2，得到关于x的方程，求得x的值，最后根据 进行计算即可．
【详解】解： ①如图 ，由 可得： ，
∴ ，即 ，∴ 的长为 ．故答案为： ．
②证明：∵四边形 为正方形，∴ ，∴ ，
由折叠可知： ，∴ ，∴ ．
（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，
由AB CD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，
又∵等腰Rt△ABC中，AC＝ AB＝12 ，∴CF＝12 ，即CF的长为12 ，
由折叠可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝ B'E＝ BE，
∴ ；故答案为： ； ；①当点 在线段 上时，如图3， 的延长线交 于点 ，
由 可得： ，∴ ，即 ，∴ ，
由 ②可知 ．设 ，则 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得： ，
则 ，∴ ．
②当点 在 的延长线上时，如图4
由 可得： ，∴ ，即 ，∴ ，
则 ，设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得： ，
则 ，∴ ．
综上所述：当 时， 的正弦值为 或 ．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理以及解
直角三角形的综合应用，解决问题（3）的关键是运用分类讨论思想，依据勾股定理列方程进行计算求解，解题时注意分类思想与方程思想的运用．
