文档内容
微专题：共线向量的坐标表示及应用
【考点梳理】
平面向量共线的坐标表示：设a＝(x，y)，b＝(x，y)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是xy － xy ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
【题型归纳】
题型一：由坐标判断向量是否共线
1．如果平面向量 ， .那么下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 上的投影向量的模为
2．已知向量 ， ，则 与 （ ）
A．平行且同向 B．平行且反向 C．垂直 D．不垂直也不平行
3．设向量 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D．
题型二：由向量共线（平行）求参数
4．设x， ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．0
5．若 ， ，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型三：由坐标解决三点共线问题
7．已知 ，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
8．已知 ，且 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
9．已知点 ，且 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
题型四：由坐标解决线段平行和长度问题
10．顺次连接点 ， ， ， 所构成的图形是（ ）
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
11．已知 为坐标原点， ，若 、 ，则与 共线的单位向量为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
12．已知平行四边形ABCD的三个顶点 ， ， 则第四个顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．已知向量 =(1，2)， =(m，m+3)，若 ，则m=（ ）
A．-7 B．-3 C．3 D．7
14．已知 、 、 三点共线，则x的值为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．-7 B．-8 C．-9 D．-10
15．设向量 ， ，如果向量 与 平行，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．已知公比为q的等比数列 中， ，平面向量 ， ，则下列 与
共线的是（ ）
A． B． C． D．
17．若向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
18．设向量 ， ， ，且 与 平行，则实数 的值是（ ）
A．4 B． C． D．不存在
19．已知向量 ，则下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则 的值为 B．若 ，则 的值为2
C． 的最小值为1 D．若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是
20．若向量 ，则向量 与 的夹角为锐角的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
21．已知 ， ，且 ，则锐角 等于（ ）
A．45° B．30° C．60° D．30°或60°
22．已知 ，若B、C、D点共线，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
23．经过双曲线 右焦点 的直线 与 的两条渐近线 ， 分别交于 ， 两点，若 ，
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司且 ，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
24．若向量 ， ， 与 共线，则实数k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
25．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
26．已知向量 ＝(3，5)， ＝(9，7)，则（ ）
A． ⊥ B． // C． //( ＋ ) D．(2 － )⊥( ＋ )
27．已知 ＝(1，2)， ＝(2，－2)， ＝(λ，－1)， ，则λ等于（ ）
A．－2 B．－1 C．－ D．
28．已知 ，且 ，则 =（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
29．已知 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
30．已知向量 ， ，若 与 反向共线，则 的值为（ ）
A．0 B．48 C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
32．若向量 ＝(1,2,0)， ＝(－2,0,1)，则（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．cos〈 〉＝ B．
C． D．
33．已知向量 ， ， ，若满足 ， ，则向量 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
34．已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线的充
要条件是（ ）
A． B． C． D．
35．已知点 ， ，则与 同方向的单位向量为（ ）
A． B． C． D．
36．已知平面向量 ＝(1，2)， ＝(－2，m)，且 ∥ ，则2 ＋3 ＝( )
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
二、多选题
37．下列两个向量，不能作为基底向量的是（ ）
A． B．
C． D．
38．关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B． ，若 与 平行，则
C．非零向量 和 满足 ，则 与 的夹角为
D．点 ，与向量 同方向的单位向量为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．已知向量 ， ， ，其中 均为正数，且 ，下列说法正确的是
（ ）
A． 与 的夹角为钝角
B．向量 在 方向上的投影数量为
C．
D． 的最大值为
40．已知向量 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
41．已知向量 ， 满足 ， ， ，则实数 的值为______．
42．已知向量 ，点 ， ，记 为 在向量 上的投影向量，若 ，则
_________．
43．已知 ，向量 ， ，且 ，则θ＝______________．
44．已知向量 ，向量 ，若 ，则实数 ___________.
45．已知向量 ，若 ，则 ___________.
46．已知 ， ， ，若 ，则 __________.
四、解答题
47．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）若 的面积为 ，求 的值；
（2）设 ， ，且 ，求 的值.
48．已知 .
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）当 为何值时， 与 共线？
（2）当 为何值时， 与 垂直？
（3）当 为何值时， 与 的夹角为锐角？
49．已知向量 ， ．
(1)若 ，试研究函数 在区间上的单调性；
(2)若 ，且 ，试求m的值．
50．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知向量 、 满足： ， ，
且 ．
（1）求角 ；
（2）若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
51．已知向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k）．
(1)若 ∥ ，求 的值；
(2)若 ⊥（ ＋2 ），求实数k的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.
【详解】
对于A， ，则 ，A错误；
对于B， ，则 不平行，B错误；
对于C， ，又 ，则 ，C错误；
对于D， 在 上的投影向量的模为 ，D正确.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
由两个向量的坐标得到他们之间的倍数关系，进而判断答案.
【详解】
根据题意可知， ，即 平行且反向.
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
对于A：直接求出 ，即可判断；对于B：先求出 ，即可判断出 不成立；对于C：利用向量的夹
角公式求出 ，即可判断；对于D：先求出 ，即可判断出 .
【详解】
向量 ， .
对于A： ， ，所以 .故A错误；
对于B： ， ，所以 ，所以 不成立.故B错误；
对于C：因为 ，且 ，
所以 .故C错误；
对于D： ， ，所以 ，所以 .故D正确.
第 8 页故选：D
4．D
【解析】
【分析】
由题知 ，进而解方程即可得答案.
【详解】
解：因为向量 ， ， ，且 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：D
5．B
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标运算可直接构造方程求得结果.
【详解】
， ，解得： .
故选：B.
6．B
【解析】
【分析】
首先求出 的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】
解：因为 ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，解得 .
故选：B
7．D
【解析】
【分析】
利用三点共线时，由三点确定的两个向量共线进行判断即可
【详解】
对于A，因为 ，且 ，所以 与 不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错
误，
第 9 页对于B，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 与 不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误，
对于C，因为 ，且 ，所以 与 不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错
误，
对于D，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以
与 共线，因为 与 有公共端点 ，所以A，C，D三点共线，所以D正确，
故选：D
8．A
【解析】
【分析】
利用向量的共线定理的坐标运算即可求解.
【详解】
由 ，得 ,
因为 三点共线，所以 ，即 ，解得 .
所以 .
故选：A.
9．B
【解析】
【分析】
根据 三点共线，得 与 共线，由向量的共线定理即可求解.
【详解】
由 ，得 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
10．B
【解析】
【分析】
由题可得 ，利用共线及数量积即得.
【详解】
因为 ， ， ， ,
所以 ， ，
∴ ，且 , 与 不垂直，
第 10 页所以四边形 是平行四边形.
故选：B.
11．C
【解析】
【分析】
求出 的坐标，除以 ，再考虑方向可得．
【详解】
由 得 ，即 ， ，
，
，
，
与 同向的单位向量为 ，反向的单位向量为 ．
故选：C．
12．B
【解析】
【分析】
设 ，由平行四边形ABCD可知 ，再利用坐标相等即可求解.
【详解】
设 ，由平行四边形ABCD可知
又 ， ， ， ，
，解得 ，即D点的坐标为
故选：B
13．C
【解析】
【分析】
根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得 的值.
【详解】
由于 ，所以 ，解得 .
故选：C
14．B
【解析】
【分析】
依题意可得 ，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得；
【详解】
第 11 页解：因为 、 、
所以 ， ，因为 、 、 三点共线，所以 ，即 ，
解得
故选：B
15．D
【解析】
【分析】
求出 与 的坐标，根据两向量平行求出 的值，即得解.
【详解】
解： ，
所以 .
所以 .
故选：D
16．D
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出等比数列 公比q，再结合向量坐标运算及共线向量即可判断作答.
【详解】
等比数列 公比为q，而 ，则 ，解得 ，
， ，则 ，
对于A， ，因 ，则A不是；
对于B， ，因 ，则B不是；
对于C， ，因 ，则C不是；
对于D， ，因 ，则D是.
故选：D
17．B
【解析】
【分析】
根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量数量积的坐标表示可判断C；根
据向量模的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为向量 ， ，
第 12 页对于A：若 ，则 ，解得： ，所以不存在 ，使得 ，故选项A不正确；
对于B：若 ，则 ，可得 ，所以存在 ，使得 ，故选项B正确；
对于C：令 可得： ，所以存在 使得 ，故 不成立，故选项C
不正确，
对于D： ， ，若 ，则 ，此方程无解，所以不存在
，使得 ，故选项D不正确；
故选：B.
18．A
【解析】
【分析】
利用向量共线的条件即可求得.
【详解】
因为 ， ，所以 .
又， ，且 与 平行，
所以 ，
解得： =4.
故选：A.
19．D
【解析】
【分析】
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若 ，则 ，A选项说法正确.
B选项，若 ，两边平方并化简得 ，即 ，B选项说法正确.
C选项， ，当 时，有最小值为 ，C选项说法正确.
D选项，若 与 的夹角为钝角，则 ，D选项说法不正确.
故选：D
20．D
【解析】
【分析】
依题意可得 且 与 不共线，根据向量数量积的坐标表示及向量共线的充要条件得到不等式组，解得即可；
【详解】
第 13 页解：因为 且向量 与 的夹角为锐角，所以 且 与 不共线，所以
，解得 且 ，所以 ；
故选：D
21．A
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示，结合三角函数，即可求得锐角 .
【详解】
因为 ，所以 ，
得 ，即 ，因为 为锐角，
所以 ，即 .
故选：A
22．D
【解析】
【分析】
根据题意，求出向量 的坐标，分析可得 ，由向量平行的坐标表示可得答案．
【详解】
根据题意，已知 ， ，则 ，
若 、 、 点共线，则 ，则有 ，解得： ，
故选：D．
23．A
【解析】
【分析】
求双曲线的渐近线，并求直线 与渐近线交点坐标，再由向量方程可得解.
【详解】
双曲线 渐近线为： ，焦点 ，
设直线 方程： ，
第 14 页则由列方程组 可得 ；
同理可得 ；
因为 ，所以 ，
得 ， ，而 ；
因为 ，所以 ，
所以 .
故选：A.
24．B
【解析】
【分析】
由题意，结合平面向量线性运算的坐标表示可得 ， ，再由平面向量共线的性质即可得
解.
【详解】
∵向量 ， ，
∴ ， ，
又 与 共线，∴ ，解得
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及平面向量共线的性质，考查了运算求解能力，属于基础题.
25．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算求出 ，利用平行向量的坐标表示计算即可.
第 15 页【详解】
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ．
故选：D
26．D
【解析】
【分析】
A. ，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B. ，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C. ，所以该选项错误.
D. ,所以该选项正确.
【详解】
A. ，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B. ，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C. ， ，所以该选项错误.
D.由条件得， ，
∴ ，
所以 ，所以该选项正确.
故选：D．
27．A
【解析】
【分析】
利用两个向量 与 平行的坐标公式： 求解.
【详解】
∵ ＝(1，2)， ＝(2，－2)，∴ ＝(4，2)，
又 ＝(λ，－1)， ，∴2λ＋4＝0，解得λ＝－2，
故选：A
28．A
【解析】
先求出 和 的坐标，利用向量共线的坐标表示列方程即可求解.
第 16 页【详解】
， ，
因为 ，所以 ，解得： ，
故选：A
29．A
【解析】
由向量平行的坐标表示可得若 ，则 或 ，再由充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】
由 可得 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ” 充分不必要条件.
故选：A.
30．C
【解析】
【分析】
由向量反向共线求得 ，再应用向量线性运算及模长的表示求 .
【详解】
由题意 ，得 ，
又 与 反向共线，故 ，此时 ，
故 .
故选：C.
31．B
【解析】
【分析】
根据向量坐标运算，向量平行可得到 ，从而解出 的值
【详解】
因为 ，所以两个向量的坐标满足 ，即： ，得：
故选：B
32．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标进行运算可得答案.
【详解】
∵向量 ＝(1,2,0)， ＝(－2,0,1)，
∴ ， ，
第 17 页1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2.
∴ .
易知A，B不正确，D正确，C显然也不正确.
故选：D
33．D
【解析】
【分析】
根据向量共线的坐标表示及向量垂直的坐标表示，联立方程组求解即可得答案.
【详解】
解：因为向量 ， ， ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以向量 的坐标为 ，
故选：D.
34．C
【解析】
【分析】
利用向量共线的充要条件有 且 ，即可得答案.
【详解】
由 ， ， 三点共线的充要条件是 且 ，
所以 ，故 .
故选：C
35．A
【解析】
【分析】
列方程即可求得与 同方向的单位向量.
【详解】
，设与 同方向的单位向量为
第 18 页则 ，解之得 或
当 时，所求向量为 ，向量 ，符合题意；
当 时，所求向量为 ，向量 ，不符合题意，舍去.
故选：A
36．A
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
【详解】
∵ ∥ ，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴ ＝(－2，－4)，
∴2 ＋3 ＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
37．AC
【解析】
【分析】
根据两个向量不平行能作为基底确定正确选项.
【详解】
A选项，零向量和任意向量平行，所以 不能作为基底.
B选项， 不平行，可以作为基底.
C选项， ，所以 平行，不能作为基底.
D选项， 不平行，可以作为基底.
故选：AC
38．BCD
【解析】
【分析】
根据向量的数量积、平行、几何意义、单位向量这些知识对每一个选项进行判断即可.
【详解】
对于A，若 且 ，可满足条件，但 ，故A不正确；
对于B，由条件 ，若这两向量平行，有 ，解得 ，故B正确；
第 19 页对于C，由条件可知，以向量 和 为边对应的四边形为一个角是 的菱形，则 与 的夹角为 ，故C正确；
对于D，可得 ，因此与 同方向的单位向量为 ，故D正确.
故选：BCD.
39．CD
【解析】
【分析】
由向量夹角公式和投影的计算方法可判断AB正误；利用向量共线的坐标表示可知C正确，结合基本不等式可知D
正确.
【详解】
对于A， ， ，
为锐角，A错误；
对于B，向量 在 方向上的投影数量为： ，B错误；
对于C， ，又 ， ，即 ，C正确；
对于D， 均为正数，又 ， （当且仅当 时取等号）， ，即
的最大值为 ，D正确.
故选：CD.
40．AD
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算和向量的模的计算可得选项.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，故A正确，B不正
确；
又 ， ， ，所以 ，故D正确，C不正确，
故选：AD.
41． 或
【解析】
【分析】
利用向量平行的充要条件即可求解.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，即 ，
第 20 页解得 或 .
经检验 或 ，符合题意.
所以 或
故答案为： 或 .
42．
【解析】
【分析】
先求得 在向量 上的投影，再根据 为 在向量 上的投影，求得 的坐标，然后由 求解.
【详解】
因为点 ， ，
所以 ，又向量 ，
所以 在向量 上的投影 ，
所以
因为 ，
所以 ，
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
由向量共线的坐标运算可得答案.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ．
故答案为： .
第 21 页44．
【解析】
【分析】
利用共线向量的坐标表示可求得实数 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 .
故答案为： .
45．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标表示计算．
【详解】
因为向量 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： ．
46．
【解析】
【分析】
利用平面向量的坐标的线性运算求得 ，利用向量平行的坐标表示得到方程求得 的值，进而利用
向量的模的坐标公式求得结论.
【详解】
∵ ， ，∴ ，
又∵ ， ，
∴ ,∴ ,∴ ,
∴ ，
故答案为：
47．（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用同角三角函数的基本关系求得 的值，利用三角形的面积公式可求得 的值，再利用平面向量数量
第 22 页积的定义可求得 的值；
（2）由 结合二倍角公式可求得 ，求得 和 的值，再利用两角差的正弦公式可求得
的值.
【详解】
（1） ， ，则 ，
的面积为 ， .
因此， ；
（2） ， ，且 ，所以， ，即 ， .
， .
，
，
因此， .
【点睛】
本题考查解三角形的综合问题，考查三角形面积公式的应用、平面向量数量积的计算、平面向量共线的坐标表示
以及利用三角恒等变换思想求值，考查计算能力，属于中等题.
48．（1） ；（2） ；（3） 且 .
【解析】
【分析】
（1）利用向量共线的坐标表示： 即可求解.
（2）利用向量垂直的坐标表示： 即可求解.
（3）利用向量数量积的坐标表示，只需 且不共线即可求解.
【详解】
解：（1） .
与 平行， ，解得 .
（2） 与 垂直，
，即 ，
第 23 页（3）由题意可得 且不共线，解得 且 .
49．(1) 时，函数 单调递增， 时，函数 单调递减；(2) .
【解析】
【分析】
(1)运用向量的数量积，再把所得函数解析式化简为 的形式，再结合区间上的单调性分类讨论；
(2)由 ，通过变形得m与 的关系式，而 已知，则m的值即可求得．
【详解】
(1)当 时，
，由 ，得 ．
当 ，即 时，函数 单调递增；
当 ，即 时，函数 单调递减．
(2)由 可得 ．
由 ，可得 （若 ，则 （ ），此时 ，与条件矛盾）．
从而有 ，即 ，两边同除以 ，可得 ，∴ ．
50．（1） 或 ；（2） .
【解析】
【分析】
(1)利用向量共线的坐标表示建立关系，再借助正弦定理化边为角即可得解；
(2)由已知条件及(1)的结论，求出角B的范围，再借助正弦定理用角B的函数表示出边b，c即可作答.
【详解】
（1）因 ， ，且 ，
于是有 ，即 ，
在 中，由正弦定理得： ，而 ，
于是得 ，又 ，
所以 或 ；
（2）因 是锐角三角形，由(1)知 ， ，
第 24 页于是有 ，且 ，从而得 ，
而 ，由正弦定理得 ，则 ， ，
则有 ，
而 ，则 ，即 ，
所以 的取值范围 ．
51．(1)3 ；
(2)k＝ ；
(3)k＜ 且k≠－6.
【解析】
【分析】
（1）解方程1×k－2× ＝0即得解；
（2）解方程1× ＋2× ＝0即得解；
（3）解不等式1× ＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k），且 ∥ ，
所以1×k－2× ＝0，解得k＝－6，
所以 ＝ ＝3 ．
(2)
解：因为 ＋2 ＝ ，且 ⊥ ，
所以1× ＋2× ＝0，解得k＝ ．
(3)
解：因为 与 的夹角是钝角，则 ＜0且 与 不共线．
即1× ＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜ 且k≠－6．
第 25 页第 26 页
