文档内容
专题02 平行线重难点模型（四大题型）
重难点模型归纳
模型一：“铅笔模型”
模型二：“猪蹄模型”
模型三：“臭脚模型”
模型四：“抬头模型”
模型一：“铅笔模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；
结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.
【典例1】如图，已知AB∥CD．
（1）如图1所示，∠1+∠2＝ ；
（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝ ；并写出求解过程．
（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝ ；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝ ．
【变式1-1】从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．
(1)如图1，AB∥CD，点E为AB、CD之间的一点．求证：
∠1+∠MEN+∠2=360°．
(2)如图2，AB∥CD，点E、F、G、H为AB、CD之间的四点．则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．
(3)如图3，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+⋯+∠n=______．【变式1-2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小
明的思路是：如图2，过点P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°
+60°=110°．
问题迁移：
（1）如图3．AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，
∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．猜想∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由：
（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点
不重合），请写出∠CPD、∠a、∠β之间的数量关系，选择其中一种情况画图并证明．
模型二：“猪蹄模型”
【方法技巧】
模型二“猪蹄”模型（M模型）
“猪蹄”模型
点P在EF左侧，在AB、 CD内部
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；
结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.
【典例2】【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小
猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．（1）如图①，AB∥CD，M是AB,CD之间的一点，连接BM,DM，若∠M=100°，
求∠B+∠D的度数；
【灵活运用】
1
（2）如图②，AB∥CD,M,N是AB,CD之间的两点，当∠B−∠C= ∠BMN时，
3
请找出∠BMN和∠MNC之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图③，AB∥CD,E,F,G均是AB，CD之间的点，如果
∠E+∠F=2∠G=70°，直接写出∠B+∠D的度数．
【变式2-1】如图 ① ，直线l ∥l ，直线EF和直线l 、l 分别交于C、D两点，点A、B
1 2 1 2
分别在直线l 、l 上，点P在直线EF上，连接PA、PB．
1 2
(1)猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC=15°，∠PBD=40°，求∠APB的
大小
(2)探究：如图 ① ，若点P在线段CD上，写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量
关系并说明理由．
(3)拓展：如图 ② ，若点P在射线CE上或在射线DF上时，写出∠PAC、∠APB、
∠PBD之间的数量关系并说明理由．【变式2-2】综合与探究
【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学
活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的
光线BA,CD都是水平线，即BA∥CD．
【探索发现】
（1）如图1，∠ABO,∠OCD,∠BOC之间的数量关系为______．
【深入探究】
（2）如图2，直线AB∥CD,E,G分别为直线AB,CD上的点，F是平面内的任意一
点，连接EF，GF．P,Q都是直线CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线
MN∥FG，交FQ于点K，试猜想∠FKN与∠PFE之间的数量关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠NKQ=∠AEF，试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关
系．
【变式2-3】【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，
CE，试说明：∠BAE+∠DCE=∠AEC．请完成下面的解题过程．
解：过点E作EF∥AB，∴∠1=∠ （ ）．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF（ ），
∴∠2=∠ ，
∴∠BAE+∠DCE=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠DCE=∠AEC；
【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与
CD交于点N．若∠EFG=115°，∠EMB=55°，求∠DNG的度数；
【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H
分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH．
若∠GQH=70°，直接写出∠AGQ+∠EHQ的度数．
【变式2-4】如图，直线PQ∥MN．
（1）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图甲方式放置，点D，E，F
是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，则∠BDF＝ 度；
（2）若点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个点，且∠1与∠2都是锐
角，如图乙，写出∠DCE与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由；（3）将图甲中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，
∠GEN
点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求 的值．
∠BDF
【变式2-5】如图，已知AB∥CD，点E,F分别在直线AB,CD上，点G在AB和CD之间．
【习题回顾】
（1）如图1，若∠BEF=60°，FG是∠EFC的平分线，求∠GFC的度数；
【变式思考】
（2）如图2，连接EG,GF，求证：∠BEG+∠EGF+∠GFD=360°；
【深入探究】
（3）如图3，连接EG,GF，若∠AEG=60°，∠GFC=40°，∠AEG和∠GFC的
平分线交于点P，求∠P的度数．
【变式2-6】（1）如图①，AB∥CD，试问∠2与∠1+∠3的关系是什么？并说明理由；
（2）如图②，AB∥CD，试问∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的关系是什么？请直接写
出结论；
（3）如图③，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7的关系是什么？
请直接写出结论．模型三：“臭脚模型”
【方法技巧】
结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；
结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.
【典例3】已知AB∥CD，
(1)如图1，若∠ABE=160°，∠CDE=120°，求∠BED的度数；
(2)如图2，若BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD与∠BED有怎样的数量
关系，并说明理由
【变式3-1】如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，
∠ABD:∠DBN＝3:2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE:∠ECP＝3:2，设
∠A＝α，则∠E为度数用含α的式子一定可以表示为（ ）2 3
A．2α B．72+ α C．108− α D．90﹣α
5 5
【变式3-2】如图，已知AB ∥ DE，∠ABC=150°，∠CDE=70°，则∠BCD的度数
为（ ）
A．30° B．40° C．35° D．45°
【变式3-3】如图，AB∥CD，∠EBF=∠FBA，∠EDG=∠GDC，∠E=46°，则
∠H为( )
A．22° B．23° C．24° D．25°
模型四：“抬头模型”
【方法技巧】结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；
结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.
【典例4】已知，AB∥DE，点C是直线AB，DE下方一点，连接BC，DC．
(1)如图1，求证：∠B+∠D−∠C=180°；
(2)如图2，若BF，DG分别平分∠ABC和∠CDE，BF、DG所在的直线相交于点
H，若∠H=α°，求∠C的度数；（用含α的式子表示）
(3)如图3，若BF，DG分∠ABC和∠CDE为两部分，且∠ABF=n∠FBC，
∠EDG=n∠CDG，直线BF，DG相交于点H，则∠H=____________．（用含n
和∠C的式子表示）
【变式4-1】（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP=30°，∠CFP=155°，
求∠EPF的度数；
（2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则
∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系?并说明理由；
（3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和
∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）．【变式4-2】【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1，AB∥CD，点M，N分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之
间．设∠BMP=∠α，∠DNP=∠β，求证：∠MPN=∠α+∠β．
证明：如图2，过点P作PQ∥AB，∴∠MPQ=∠BMP=∠α．
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD，
∴∠QPN=∠PND=∠β，
∴∠MPN=∠MPQ+∠NPQ=∠α+∠β．
【类比应用】
（1）如图3，AB∥CD，∠C=30°，∠GBA=45°，求∠GPC的度数．
（2）如图4，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．
设∠B=∠α，∠PMD=∠β，则∠α，∠β与∠BPM之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图5，AB∥CD，点M在直线CD上，点P在直线AB的上方，连接PB，PM．
∠PMC的平分线与∠PBA的平分线所在的直线交于点Q，请直接写出
1
∠BPM+∠Q的度数．（不要求写过程）
2
【变式4-3】如图，AB∥CD，点E，G分别在直线AB，CD上，F是平面内任意一点，
连接EF，FG．
(1)探究：如图1，当点F在直线EG的左侧时，试说明：∠EFG=∠AEF+∠FGC．
(2)问题迁移：如图2，当点F在AB的上方时，∠EFG，∠AEF，∠CGF之间有何
数量关系？请说明理由．
(3)联想拓展：如图3，若∠EFG=β，∠FEB的平分线和∠FGD的平分线交于点P，
用含β的式子表示∠EPG的度数．
