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专题 03 平行四边形
（考题猜想，10 种易错重难点与解题模型 47 题）
题型一：证明平行四边形（易错）
1．（23-24八年级下·山西临汾·期末）如图，在 中， ， 交于点O， 于E， 交
于F，求证：四边形 是矩形．
2．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，求证：四边
形 是平行四边形．
3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，平行四边形 的对角线 相交于点O， 平分
， ．(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ， ，求 的长．
4．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形 中，点 是 的中点，延长 至点 ，使得
，连接 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 平分 ， ，求菱形 的面积．
5．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形 中，过点D作 于点E，点
F在边 上，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 平分 ， ， ，求 的长．
6．（23-24八年级下·广东江门·期中）综合与实践
如图，在 中， ，过点C的直线 ，D为 边上一点，过点D作 ，
交直线 于点E，垂足为点F，连接 ．(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当D在AB中点时，四边形 是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)在（2）的条件下，当 _____ 时，四边形 是正方形．
题型二：60°菱形问题（易错）
7．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形 中， ， ，对角线
交于点O，若四边形 是矩形， 交 于点F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求菱形 的面积．
8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）如图，在菱形 中， 为对角线， 是 上的点，连接 ，
．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
9．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，点 是菱形 对角线 上任意一点，连接 ， ，
．点 是 延长线上一点，连接 ，交 于点 ，且 ．(1)求 的度数；
(2)若 ，请直接写出 ， ， 的数量关系，不需要证明．
10．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，已知菱形 的边长为2， ，点 、 分别
是边 、 上的两个动点， ，连接 ．
(1) 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在 运动的过程中，四边形 的面积是否发生变化？若不变化，求出面积的值；若变化，说明
理由．
11．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）在 中， ， 是 的中点，过点 作
，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
题型三：四边形中折叠问题（难点）
12．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图．将长方形 沿着对角线 折叠，使点C落在 处，
交 于点E．(1)试判断 的形状，并说明理由；
(2)若 ，求 的面积．
13．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在矩形 中，若点E是线段 上的一动点，将 沿直线
翻折，C点的对应点为F点．
(1)若点F落在矩形内，且满足 ，请用尺规在图1中作出F点（尺规作图，要求保留作图痕迹，不
必写作法）．
(2)如图2，已知 ， ，若点F恰好落在线段 上，求线段 的长．
14．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图1，矩形 ，以 边为底向内作等腰 ， ，
延长 与边 交于点 ，连接 ，把 沿 翻折，点 的对应点 恰好落在 上．(1)① ；（用含 的式子表示）
②若 ， ，求 的长；
(2)如图2，以 边为底向外作等腰 ，且 ，连接 、 ，将 沿 翻折，点 得对
应点 恰好落在 上， ．求 得长．
15．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，将
沿 翻折至 ， 与 相交于点 ，且 ， 与 相交于点G．
(1)求证： ；
(2)求线段 的长．
16．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图①，在正方形 中， 是 上的点（不与 、 重合），
连接 ，把 沿 折叠得到 ，延长 交 于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)如图②，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，连接 ，求证： ；
(3)在图②中，判断 和 的数量关系，并说明理由．
17．（23-24八年级下·陕西安康·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数
学活动．
【操作判断】
(1)如图①，在正方形 中，点 是 的中点， 交 于点 ．点 是 边上的一点，连
接 ，将正方形纸片沿 所在直线折叠，点 的对应点 落在 上．已知 ，则 的
度数为______；
【深入探究】
(2)如图②，在图①的基础上继续折叠，点 是边 上的一点，连接 ，将正方形纸片沿 所在直线折
叠，点 的对应点 落在 上．试探究 与 之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图③，在图②的基础上，点 ， 分别是 ， 的中点，顺次连接 、 、 、 ，若 ，
求点 ， 之间的距离．
18．（23-24八年级下·山东威海·期末）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序号）；
(2)如图， 在正方形 中， E为 上一点， 连接 ， 过点B作 于点H， 交 于点
G， 连 ， ．
判断四边形 是否为“神奇四边形”，并说明理由；
如图2， 点M，N，P，Q分别是 ， ， ， 的中点． 判断四边形 是否是“神奇四边
形”，并说明理由：
(3)如图3， 点F，R分别在正方形 的边 ， 上， 把正方形沿直线 翻折，使得 的对应边
恰好经过点A，过点A作 于点O，若 ，正方形的边长为6，求线段 的长．
19．（23-24八年级下·江西赣州·期末）综合与实践
数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片 对折，使得点
A、D重合，点B、C重合，折痕为 ，展开后沿过点B的直线再次折叠纸片，点A的对应点为点N，折
痕为 ．（1）如图①，若 ，则当点N落在 上时， 和 的数量关系是_______； 的度数为
_____；
思考探究：
（2）在 的条件下进一步进行探究，将 沿 所在的直线折叠，点M的对应点为点 ，当
点 落在 上时，如图②，设 、 分别交 于点J、K，若 ，请求出三角形 的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在矩形纸片 中， ， ，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为 ，点A
的对应点为点N，展开后再将四边形 沿 所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点
为点 ，连接 、 ，若 ，请直接写出 的长．
20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【课本再现】第一步：如图1，对折矩形纸片 ，使 与 重合，折痕为 ，把纸片展平；
第二步：在 上选一点P，沿 折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，根据以上
操作，当点M在 上时， ___________ ；
(2)【类比应用】
如图2，现将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 按照（1）中的方式操
作，并延长 交 于点Q，连接 ，当点M在 上时，求 的度数；
(3)【拓展延伸】
在（2）的探究中，正方形纸片的边长为 ，改变点P在 上的位置（点P不与点A，D重合），沿 折
叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接 ，并延长 交 于点Q，连接 ．当
时，请求出 的长．
题型四：四边形中最值问题（难点）
21．（22-23八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下
列问题：
(1)如图1，以菱形 的一边 为边向外作正方形 ， 、 分别是菱形和正方形的对角线交点，
连接 ．求证：四边形 是“直等补”四边形．
②若 ，求四边形 的面积．
(2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形，其中 ， ，过点 作 于点
且 ，连接 ，若点 是线段 上的动点，请你直接写出 周长的最小值．
22．（22-23八年级下·湖北鄂州·期末）【操作发现】由 得， ；如果两个正数a，
b，即 ， ，则有下面的不等式： ，当且仅当 时取到等号．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，当且仅当 时，即 时式子有最小
值，最小值为4．(1)【问题解决】请根据上面材料回答下列问题：
已知 ，当 为多少时，代数式 的最小值为；
(2)【灵活运用】当 时，求 的最小值；
(3)【学以致用】如图，民民同学想做一个菱形风筝，现在有一根长 的竹竿，他准备把它截成两段做
成风筝的龙骨即菱形的对角线 ， ，请你帮他设计一下，当 为多少 时菱形的面积最大，最大
值为 （直接写出结果）．
23．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，矩形纸片 ， ， ，点P为边 上一动点，
将矩形纸片 沿 折叠，折叠后 与 相交于点E．
(1) 为何值时，点E与点A重合；
(2)当 长为何值时， 的面积最大？并求出面积的最大值．24．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）如图，已知菱形 的边长为 ， ，点 、 分别
是边 、 上的两个动点， ，连接 ．
(1) 是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在 、 运动的过程中， 的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明
理由．
25．（22-23八年级下·重庆忠县·期末）在Rt△ABC中， ， ，点D为直线 上
一点，连接 ．
(1)如图1，当点D在线段AC上时，过点C作 交 的延长线于点E，连接 ，过点A作
交 于点F，当 时，求 的长；
(2)如图2，延长 至点G，使 ，作 的平分线交 于点H，交 的延长线于点K．求证：
；(3)如图3，在（2）的条件下，取 的中点M，连接 、 ，当点D在直线 上运动时，直接写出
的最大值．
题型五：四边形中动点问题（难点）
26．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点 从点A出发，以 的速度向点 运动；点 从点 同时出发，以
的速度向点 运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设点 的运动时间
为 ；
(1) 边的长度为________， 的最大值为________；
(2)当 为何值时，四边形 是矩形；
(3)当 时，判断此时四边形 的形状，并说明理由；
27．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知正方形 的边长为2，点 是边 上的一动点，
平分 交边 于点 ．
(1)①当点 恰好是边 的中点时，求线段 长；②当点 恰好是边CD的中点时，求线段 长．
(2)猜想线段 ， ， 之间的数量关系，并说明理由．
(3)直接写 与 面积和的最大值．
28．（22-23八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形 中， ， ， ，， ，动点 从点A出发，以 的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以
的速度沿折线 向终点 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设
运动时间为 秒．
(1)用含 的式子表示 ；
(2)当 为何值时，直线 把四边形 分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？
(3)只改变点 的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形 为菱形，则点 的运动速度应为多少？
29．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）已知，如图，O为坐标原点，四边形 为矩形， ，
，点D是 的中点，动点P在线段 上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运
动时间为t秒．
(1)当t为何值时，四边形 是平行四边形？
(2)在直线 上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并
求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（22-23八年级下·吉林长春·期末）如图，在 中， ， ， 垂直平分 于点 ．
点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发沿射线 以每
秒3个单位长度的速度运动，点 到达终点时， 、 同时停止运动．设点 运动的时间为 秒 ．(1) 的长为
(2)用含 的代数式表示线段 的长．
(3)当以点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
(4)当 为钝角三角形时，直接写出 的取值范围．
题型六：中点四边形模型（易错）
31．（22-23八年级下·山西吕梁·期中）如图，在四边形 中，对角线 ， ，且 ，
垂足为O，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；再顺次连接四边形 各边的
中点，得到四边形 ，…如此下去得到四边形 ．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)求四边形 的面积．
(3)直接写出四边形 的面积（用含n的式子表示）．
32．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图①，在四边形 中， ， 是对角线 的中点，
是 的中点， 是 的中点．求证： ．
【应用】如图②，连结图①中的 ，并取 中点 ，连结 、 ．（1）若 ，则四边形 的周长为 ．
（2）图③，若 ，且 ，则四边形 的面积为 ．
33．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图1，我们把一个四边形 的四边中点E，F，G，H依
次连接起来得到的四边形 是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接 ．
结合小敏的思路作答：
（1）若只改变图1中四边形 的形状（如图2），则四边形 还是平行四边形吗？请说明理由；
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接 ， ．当 与 满足什么关系时，四边形 是正方
形．直接写出结论．题型七：十字架模型（难点）
34．（22-23八年级下·辽宁大连·期末）如图1， 为正方形 内一点，点 在边 上（不与端点 ，
重合）， 垂直平分 交 于点 ，连接 ．过点 作 交射线 于点 ．
(1)求 的大小；
(2)求证： ；
(3)如图2，连接 ，若 ，求 的值．
35．（23-24八年级下·黑龙江双鸭山·期末）我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边
形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是
___________（填序号）；
(2)如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 ，过点 作 于点 ，交 于点 ，连
、 ．求证：四边形 是“宁美四边形”；36．（23-24八年级下·安徽六安·期末）已知正方形 中，点E，F分别在边 ， 上，连接 ，
．
(1)若E为 的中点， 于点O．
①如图1，求证： ；
②如图2，连接 ，求 的值．
(2)如图3，若 ， ，则 的最小值为 ．（直接写出结果）．
题型八：中心直角模型（难点）
37．（22-23八年级下·山东临沂·期末）如图，点E为正方形 对角线 上一点，连接 ， ．过
点E作 ，交边 于点F，以 ， 为邻边作矩形 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)连接 ，若正方形 的边长为9， ，求正方形 的边长．38．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）四边形 为正方形，点 为线段 上一点，连接 ，过点
作 ，交射线 于点 ，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)如图1，求证：矩形 是正方形；
(2)若 ， ，求 的长度；
(3)当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，求 的度数．
39．（23-24八年级下·河南郑州·期末）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角 的顶点E放在正方形
的对角线 上（点E不与A、C重合），其中直角边 与 交于点F，直角边 与 交于点
G．
(1)发现：如图，当 与 垂直时，填空： ________ ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
(2)探究：如图，当 与 不垂直时，请判断 与 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明
理由，若不变，请给出证明；
(3)拓展：当 与 不垂直时，以 、 为邻边构造矩形 ，连接 ，请直接写出 的度
数．40．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形 中，点 为对角线 上一动
点，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，以 ， 为边作矩形 ．
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当 时，点 与点 重合，此时
可以证明矩形 是正方形．
【探究发现】
(1)博学小组发现，如图2，当 时，点 落在 边上，此时，过点 作 于点 ，
于点 ，通过证明 ，进而可以证明出矩形 是正方形，请你帮助博学小组完成
证明．
(2)奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当 时，点 落在 的延长线上．
①此时矩形 还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
②当 ，且 时，直接写出 的长．
题型九：外角平分线模型（难点）
41．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）综合与实践
【提出问题】
由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形 中，点E是边 上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作 交正方形的外角 的平分线于点F．求证： ．
（1）如图1，当点E在边 上时，小明的证明思路如下：
在 上截取 ，连接 ．
则易得在 和 中
∴
∴
请补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点F作 交直线 于点G．以 为斜边向右作等腰直角三角
形 ，点H在射线 上．
①求证： ；
②当 ， 时，请求出线段 的长．
42．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，四边形 是正方形，点 是边 上的点，
且 交正方形的外角 的角平分线于点F．
(1)求证： ．
(2)试猜想线段 与线段 存在怎样的数量关系，并证明你的结论．(3)如图2，线段 与 交于点N，若 ，连接 ，求 的最小值．
43．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形 是正方形，点 是射线 上的一个动点，连接 ，
过点 作 交正方形的外角 的平分线于点 ．
【提出问题】
（1）如图1，当点 在边 上时， 与 有怎样的数量关系？
以下是乐乐的解题思路：
如图1，乐乐在 上截取 ，连接 ．
通过证全等可得 ________ （填“>”“<”或“=”）；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点 作 交直线 于点 ．以 为斜边向右作等腰直角三角
形 ，点 在射线 上，求证： ；
【思维拓展】
（3）过点 作 交直线 于点 ．以 为斜边向右作等腰直角三角形 ，点 在射线 上．
当 ， 时，直接写出线段 的长．题型十：半角模型（难点）
44．（22-23八年级上·江西宜春·期中）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形 中，
， ， ，点E，F分别是 上的点，且 ，连接 ，
探究线段 之间的数量关系．
(1)探究发现：小明同学的方法是延长 到点G．使 ．连结 ，先证明 ，再证
明 ，从而得出结论：_____________；
(2)拓展延伸：如图2，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 上的点，
且 ，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(3)尝试应用：如图3，在四边形 中， ， ，E、F分别是边 延长线上的点，且 ，请探究线段 具有怎样的数量关系，并证明．
45．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）【问题情境】神奇的半角模型
在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型．截长补短
法是解决这类问题常用的方法．
如图1，在正方形 中，以A为顶点的 ， 与 分别交于E、F两点，为了探
究 之间的数量关系，小明的思路如下：
如图2，延长 到点H，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ．从而
得到 之间的数量关系．
(1)提出问题： 之间的数量关系为________________．
(2)知识应用：如图3， ， ，以A为顶点的 ， ， 与
分别交于E、F两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请
说明理由．
(3)知识拓展：如图4，在四边形 中， ， ， ． 与 互补，
与 分别交于E、F两点，且 ，请直接写出 的周长
________________．（用含a、b、c的式子表示．）46．（23-24八年级下·河南南阳·期末）【问题背景】
从正方形的一个顶点引出夹角为 的两条射线，并连接它们与两对边的交点，构成的基本平面几何模型
称为半角模型．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形 中，以A为顶点的 ， 与边 分别交于E，F两点．
则 之间的数量关系为_________．
【问题探究】
（2）如图2，在四边形 中， ， ， ，以A为顶点的 ，
与边 分别交于E，F两点，且 ，求五边形 的周长．
【问题拓展】
（3）如图3，在四边形 中， ， 与 互补，点E，F分别在射线 上，
且 ．当 ， ， 时，请直接写出 的周长．47．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形 中， 是 上一点， 是 延长线上一
点，且 ，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)在图1中，若 在 上，且 ，连接 ，求证： ；
(3)根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题：
①如图2，在四边形 中， ， ， ， 是 的中点，且
，求 的长；
②如图3，在菱形 中， ， 、 分别在 和 上，且 ，连接 ．若
， ，请直接写出 的长度________．
