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专题 06 反比例函数综合题（考题猜想，4 种必考题型）
题型一：反比例函数K的几何意义（共10题）
一、单选题
1．（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，反比例函数 的图像与矩形 的边 、 分
别相交于点D、E，连接 、 ，直线 与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是
（ ）
①
②
③④）若 ， ，则 ．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
2．（23-24九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线OB在x轴上，顶
点A在反比例函数 的图象上，若菱形 的面积为6，则k的值为（）
A． B．6 C． D．3
3．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，点 、 在 轴上，点 、 在反比例函数 的图像上，
， 过原点 ， 与反比例函数 交于点 ，点 在 上， ，连接 交
于点 ， 的面积为2，若 ，则 的值为 （ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题
4．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，过反比例函数 图象上的一点A作y轴的平行线
交反比例函数 于点B．连接 、 ．若 ，则k的值为 ．5．（24-25九年级上·全国·期末）如图， 中， ，点 在 轴的正半轴，点 在第一象
限，函数 （ ）的图象与边AB， 分别交于点 ，若 ， ，则 的值
为 ．
6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图在平面直角坐标系 中，矩形 的点 在函数 (x>0)
的图象上，点 在函数 ( )的图象上，若点 的横坐标为 ，则点 的坐标为 ．
7．（24-25九年级上·全国·期末）如图，反比例函数 经过 ， 两点，过点 作 轴于
点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 ， ，已知 ， ，，则点 到 的最短距离为 ．
8．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 在函数 的图
象上，点 在点 左侧，延长 交 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，连接 并延长，交 轴于点
，连接 ，若 ， ，则 的值为 ．
9．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，点A，B分别在反比例函数 与 的
图像上，连接 ， ， ，且 ， ，则 的值为 ．
10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点B、C在第
一象限内，顶点A在y轴上，AB交反比例函数 （ ）的图象于点D，若 ，平行四边形
的面积为18，则k的值为 ．题型二：反比例函数与一次函数综合（共7题）
1．（22-23九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象
交于点M，过点M做 轴于N，且 ．
(1)求反比例函数解析式；
(2)在第一象限内，当x取何值时， ？（根据图直接写出结果）
(3)若一次函数 的图象与y轴交于点A，点B在反比例函数 的图象上，且横坐标为3，
求 的面积．
2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于
， 两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)请结合图象，直接写出当 时，自变量x的取值范围．
3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点
、 ，交反比例函数 的图象于点 ，点 在反比例函数的图象上，横坐标
为 ， 轴交直线 于点 ， 是 轴上任意一点，连接 、 ．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 面积的最大值．
4.（23-24九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知 ， 是一次函数 的图象与反比例
函数 的图象的两个交点．(1)求反比例函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)在坐标轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？直接写出点P的坐标．
5．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
， 两点，与 轴、 轴分别交于点 ， ．
(1)求反比例函数的解析式和点 的坐标．
(2)求过 ， 两点的最小圆的面积．
6．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于点A，点B，交反比例函数 （ ）的图象于 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)抛物线 ，经过点B．
①求抛物线与x轴的交点个数；
②该抛物线与反比例函数 的图象交于点 ，求代数式
的值．
7．（23-24九年级上·山东泰安·期末）已知一次函数 和反比例函数 相交于点 和点 ．(1) ＝ ， ＝ ；
(2)连接 ，在反比例函数 的图象上找一点 ，使 ，求出点 的坐标；
(3)点 为 轴正半轴上任意一点，过点 作 轴的垂线交反比例函数 和一次函数 分别
于点 ，且满足 ，求 的值．题型三：实际问题与反比例函数（共9题）
1．（23-24九年级上·山东济南·期末）学校的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升 ，加热到 ，
停止加热，水温开始下降．此时水温 与通电时间 成反比例．当水温降至 时，饮水机再
自动加热．若水温在 时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．水温从 加热到 ，需要
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C．水温从 降至 ，所需时间为
D．水温不低于 的时间为
2.（23-24九年级上·浙江台州·期末）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体
积的面团做成拉面，面条的总长度 是面条的粗细（横截面积） 的反比例函数，其图象如图所
示．
(1)求当面条粗 时，面条的总长度是多少米？
(2)若面条的总长度要求不大于 ，那面条的粗细有什么限制？3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校
对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致
可以用“拥挤指数” （ ）与放学后时间 （分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状
态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数 的图象趋势．若“拥
挤指数” ，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．4．（23-24九年级上·广西百色·期末）【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强P与受力面
积S的数据关系如下表所示：
桌面所受压强
250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
(1)压强的计算公式是： ，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积
（S）中，哪一个量不变？
(2)求出压强 关于受力面积 的函数表达式及a的值；
(3)如图②，将另一长、宽、高分别为 ， ， ，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水
平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为 ，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．5．（23-24九年级上·广西北海·期末）很多学生由于学习时间过长，用眼不科学，视力下降，国家“双
减”政策的目标之一就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效，近视眼镜可以清晰看到远距离物体，
它的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 的关系式为 ．
(1)当镜片焦距是 时，近视眼镜的度数是多少度？
(2)当近视眼镜的度数是400度时，镜片焦距是多少 ？
(3)小明原来佩戴300度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦
距调整为 ，则小明的眼镜度数下降了多少度？
6．（23-24九年级上·山东青岛·期末）大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个
小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，
根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y
（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当 时， ．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离为 ，求火焰的像高；
(3)若火焰的像高不得超过 ，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？7．（23-24九年级上·陕西宝鸡·期末）某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的
温度y（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段 表示原料加热阶段；线段 轴，表示原料的
恒温阶段；曲线 是反比例函数 图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
(1)填空：a的值为 ；
(2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间．
8．（23-24九年级上·陕西西安·期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品.如图，这是某
天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里的温度 随时间 变化的函数图象，其中 段是恒
温阶段， 段是双曲线 的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求 的值.
(2)求恒温系统在这一天内保持大棚内温度不低于 的时间有多长.9．（23-24九年级上·四川达州·期末）通过市场调查发现，一段时间内某地区一种农产品的需求量 与
市场价格 之间存在下列函数关系： ，且该地区这种农产品的产量
与市场价格 成正比例关系： ．现不计其他因素影响，若需求量y等于
产量z时，则称市场处于平衡状态．
(1)当市场处于平衡状态时，求该地区这种农产品的市场价格；
(2)受国家政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，大力提高产品质量，此时产量z与市场价
格x之间的函数关系不变，但需求量y与市场价格x之间的函数关系发生了变化，满足新的函数关系：
．当市场再次处于平衡状态时，市场价格比原平衡状态时上涨了15元，求m的值．
题型四：反比例函数与几何综合（共14题）
1．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴、y轴分
别交于A、B两点．正方形 的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数 的图象上．
若正方形 向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图， 是坐标原点， 的直角顶点 在 轴的正半轴上，
，反比例函数 的图象经过斜边 的中点 ．
（1） ；
（2） 为该反比例函数图象上的一点，若 ，则 的值为 ．
3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点
和 ．
(1)填空：一次函数的解析式________，反比例函数的解析式________．
(2)由图像写出满足 的自变量x的取值范围；(3)点P是线段AB上一点，过点 作 轴于点 ，连接 ，若 的面积为 ，求 的取值范围．
4.（23-24九年级上·湖南株洲·期末）如图，矩形 的顶点 ， 在 轴的正半轴上，点 的坐标为
，点 在点 的右侧，反比例函数 在第一象限内的图象与直线 交于点 ，交
于点 ．
(1)求 点的坐标及反比例函数 的关系式；
(2)连接 ，若矩形 的面积是27，求出 的面积．
5.（23-24九年级上·吉林辽源·期末）如图，已知点A在正比例函数 图象上，过点A作 轴于
点B，四边形 是正方形，点D是反比例函数 图象上．(1)若点A的横坐标为 ，求k的值；
(2)若设正方形 的面积为m，试用含m的代数式表示k值．
6.（22-23九年级上·河南郑州·期末）如图，点A是反比例函数 （x＞0）图象上的一个动点，过点A作
轴于点B，点C是反比例函数图象上不与点A重合的点，以 为边作菱形 ，过点D作
轴于点F，交反比例函数 的图象于点E．
(1)已知当 时，菱形面积为20，则此时点C的横坐标是 ，点D的横坐标是 ，求该反比
例函数的表达式；
(2)若点A在（1）中的反比例函数图象上运动，当菱形面积是48时，求 的值．7．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相
交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点．
(1)当 时，求A、B两点的坐标：
(2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在点P，使 是以 为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，直线 分别交反比例函数 图象的另一支于点C和点D，连接 和
交x轴于点Q， 交y轴于点G．若 ．
①求此时反比例函数的表达式．
②求 ．
8．（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，直线 （ ）的图象与双曲线 的图象
相交于点 和点 ，点 是 轴上的一个动点．
(1)求出点 的坐标．
(2)连接 ，若 的面积为 ，求此时点 的坐标．
(3)点 为平面内的点，是否存在以点 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出相应的点
的坐标，若不存在，请说明理由．9．（23-24九年级上·广东佛山·期末）如图，矩形 的两个顶点A、B分别落在x、y轴上，顶点C、D
位于第一象限，且 ，对角线 交于点G，若曲线 经过点C、G．
(1)设 ，求点G的坐标（用含m、n的式子表示）；
(2)求点C的坐标；
(3)求矩形 的面积．10．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为：
与x轴交于点B，且与过原点的直线 互相垂直且交于点 ．正方形 的其中一个顶点C与
原点重合，另一顶点E在反比例函数 上，正方形 从现在位置出发，在射线 上以每秒1个
单位长度的速度向右平移，运动时间为t．
(1)当D落在线段 上时 ________，当D落在线段AB上时 ________．
(2)记 与正方形 重叠面积为S，当 时，请直接写出S与t的函数关系式以及t的取值范
围．
(3)在正方形 从图1位置开始向右移动的同时，另一动点P在线段AB上以每秒1个单位长度的速度
从B点运动到A点，当 时，请求出使得 是以 为腰的等腰三角形的t的值．
11．（23-24九年级上·辽宁丹东·期末）如图，点 和 是一次函数 的图象与反比例函数
的图象的两个交点，直线 交y轴于点C．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求 的面积；
(3)从下面A，B两题中任选一题作答．
A．设y轴上有一点 ，点D是坐标平面内一个动点，当以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边
形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标；
B．设点M是坐标平面内一个动点，点Q在y轴上运动，当以点A，C，Q，M为顶点的四边形是菱形时，
请直接写出点Q的坐标．
12．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1，反比例函数 与一次函数 交于 ，B
两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当 面积最小时，在直线 上存在两点 ，
且 ，求四边形 周长的最小值？
(3)如图3，在（2）问条件下，连接 ，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接 交x轴于点H，在反比
例函数上是否存在一点P，使 ？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明
理由．
13．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图1， 的图像与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)点C是线段 上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图像交于点D，连
接 ，当四边形 的面积等于24时，求点C的坐标；
(3)在（2）的前提下，将 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ，若点O的对应点 恰好
落在该反比例函数图像上，是否在此反比例函数图像上存在点M，使得 ，若存在，请
直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，已知双曲线 ，直线 ：
，过定点 ，且与双曲线交于 、 两点，设A(x ,y )，B(x ,y ) ．
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(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的值；
(3)如图2，若 ，点 在双曲线上，点 在直线 ： 上，且 轴，求 的
最小值，并求出此时点 的坐标．
