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专题 1.1 一元二次方程全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 一元二次方程的定义
一元二次方程定义：只含有 2 未知数，且未知数的最高次数为 2 的 2 方程叫做一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：
① 2 方程．
②方程中只含有 2 未知数．
③化简后方程中未知数的最高次数是 2 ．
④二次项的系数 2
【典例1】（2024春•莱山区校级月考）下面关于x的方程中：1 4x2 x2−y2 1
(1−x)=0， =0， =0， +x=0，x2+3x=0，ax2+bx+c＝0，其中一元二次方程的个数
5 π−3 2 x
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】（2023秋•威县校级期末）如果方程 是关于x的一元二次方程，则p的值
(p−3)xp2−7−x+3=0
是（ ）
A．2 B．﹣3 C．3 D．±3
【典例3】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是
（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
知识点2 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式： ．
其中 2 为二次项，其系数为 2 ； 2 为一次项，其系数为 2 ； 2 为常数项．
【注】1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．
2．一般形式中， 、 可以是任意实数，而二次项系数 ，若 ，方程就不是一元二次方程
了，
也未必是一次方程，要对 进行讨论．
3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定 、 、 的值，不要
漏掉符号．
4．项及项的系数要区分开．
【典例1】（2024春•东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项
系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
【典例2】（2024春•崇川区校级月考）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，
则a的值为 ．
【典例3】（2024秋•丰顺县校级月考）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一
次项，则a的值为 ．
知识点3 一元二次方程的解
一元二次方程的解：使方程左右两边 2 的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也
叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时,只需将 2 代入原方程再解关于待定系数的方程.【典例1】（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m
的值为（ ）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
【典例2】（2024春•大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的
值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【典例3】（2024春•张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，
则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【典例4】（2024春•太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2
﹣2024m+4）的值为（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16
知识点4 解一元二次方程
1.直接开平方法：
对于形如 或 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数
的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．
【总结】直接开平方法：形如 （ ）的方程可用直接开平方法解，
两边直接开平方得 2 或 2 ，
∴ 2 ， 2 ．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件b ．若b ，
则方程 无实数根．
2.配方法：
通过配方把一元二次方程转化成形如 的方程，再运用 方法求解．
【总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 ；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 的形式；
④求解：若 时，方程的解为 ，若 时，方程无实数解.
3.公式法：
（1）公式法的定义：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ，当
时，方程 的实数根可写为 的形式,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二
次方程最多有两个实数根.
（2）一元二次方程根的个数与根的判别式的关系
一般地,式子 叫做方程 根的判别式,通常用希腊字母△表示,即
.
设一元二次方程为 ，其根的判别式为： ，则
① 方程 有 的实数根 ．
② 方程 有 的实数根 ．
③ 方程 实数根．
（3）公式法的一般步骤：
①把一元二次方程化为一般式；
②确定 的值；
③代入 中计算其值，判断方程是否有实数根；
④若 代入求根公式求值；否则，原方程无实数根．
，
（先计算 减少计算量．另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）
4.因式分解法：
因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 ，那么这两个因式至少有一个为
，即：若 ，则 或 ；
因式分解法的一般步骤：
①将方程化为一元二次方程的一般形式；
②把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于 ；
③令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；
④解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根.
【典例1】（2024春•合肥期中）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x
1
＝2，x ＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（ ）
2
A．x ＝2，x ＝﹣3 B．x ＝4，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝0，x ＝﹣1 D．x ＝0，x ＝﹣3
1 2 1 2
【典例2】（2024•呼和浩特一模）用配方法解一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
5 33 5 41
A．(x− ) 2= B．(x− ) 2=
4 16 4 165 27 5 29
C．(x− ) 2= D．(x− ) 2=
2 4 2 4
−b±❑√b2−4ac
【典例3】（2024春•湖州期末）在用求根公式x= 求一元二次方程的根时，小珺正确地代
2a
入了a，b，c得到 3±❑√(−3) 2−4×2×(−1)，则她求解的一元二次方程是（ ）
x=
2×2
A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0
【典例4】（2024春•靖江市月考）用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x﹣
6，则p的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【典例5】（2024•武威三模）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a
的取值范围是（ ）
A．a≠2 B．a≥1且a≠2 C．a＞1且a≠2 D．a＞1
【典例6】（2023秋•临沭县期中）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0（配方法）；
（2）2x2﹣3x+1＝0（配方法）．
【典例7】用直接开平方法解下列方程：
9
（1）（x﹣1）2− =0；
4
（2）（x﹣3）2＝（5﹣2x）2．
【典例8】（2024秋•惠阳区校级月考）用公式法解下列方程：
（1）3x2﹣7x+3＝﹣1；
（2）x（x﹣2）＝3﹣x．
【典例9】（2024秋•青县校级期末）用因式分解法解下列方程．
（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0；
（2）2（t﹣1）2+t＝1．
【典例10】（2024春•顺义区期末）关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根小于﹣2，求m的取值范围．知识点5 一元二次方程的根与系数关系
如果 的两根是 ， ，则 ， ．（使用前提：
）
特别地，当一元二次方程的二次项系数为 1 时，设 ， 是方程 的两个根，则
， ．
判断根的正负性：在 的条件下，我们有如下结论：
（1）当 时，方程的两根必一正一负．
①若 ，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若 ，则此方程的正根小于负根的绝对
值．
（2）当 时，方程的两根同正或同负．
①若 ，则此方程的两根均为正根；②若 ，则此方程的两根均为负根．
注意：（1）若 ，则方程 必有实数根．
（2）若 ，方程 不一定有实数根．
【典例1】（2024春•宁阳县期末）设x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0的两个实数
1 2
根，且（x +1）（x +1）＝13，则m的值为（ ）
1 2
A．2 B．4 C．2或﹣4 D．﹣2或4
【典例2】（2024春•贵池区期末）已知 ， 是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个根，则 2﹣2 ﹣ 的值为（
） α β α α β
A．﹣2023 B．﹣2024 C．2024 D．2023
【典例3】（2023秋•汨罗市月考）已知方程x2+4x+1＝0的两根是 、 ．
（1）求| ﹣ |的值； α β
√ααβ √β
（2）求❑ +❑ 的值．
β α
知识点6 一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题得一般步骤：
①审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间得等量关系。②设：就是指设元，也就就是设出未知数。
③列：就就是列方程，这就是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义得一个相等含义，然后列代
数式表示这个相等关系中得各个量，就得到含有未知数得等式，即方程。
④解：就就是解方程，求出未知数得值。
⑤验：就是指检验方程得解就是否保证实际问题有意义，符合题意。
⑥答：写出答案。
【典例1】（2024春•萨尔图区校级月考）2024年元旦即将来临，同学们互发微信祝福语来表达新年祝
福，若每人都给其他人发一条微信祝福，共发出90条微信祝福，设共有x人参与这项活动，则可列方
程为（ ）
A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90
1 1
C． x(x+1)=90 D． x(x−1)=90
2 2
【典例2】（2023秋•临沭县校级月考）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三
条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方
程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【典例3】（2023秋•锡山区校级月考）某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设
二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝280
B．100（1+x）+100（1+x）2＝280
C．100（1﹣x）2＝280
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝280
【典例4】（2023秋•北辰区校级月考）一次排球赛，计划安排7天，每天安排4场，赛制是参赛的每个队之间都要比赛一场．设有x个球队参加比赛，则x满足的方程是（ ）
1 1
A． x(x−1)=28 B． x(x+1)=28
2 2
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【典例5】（2024春•榆阳区校级月考）某服装店于12月初购进了一批保暖衣．在销售中发现：该保暖衣
平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价活动，以扩大销
售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件保暖衣每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想
平均每天销售这种保暖衣能盈利1200元，又能尽快减少库存，求每件保暖衣应降价多少元？
