文档内容
专题 1.2 角度计算的经典模型（八大题型）
【题型01：双垂直模型】
【题型02：A字模型】
【题型03：8字模型】
【题型04：飞镖模型】
【题型05：风筝模型】
【题型06：两内角角平分线模型】
【题型07：两外角角平分线模型】
【题型08：内外角平分线模型】
【题型01：双垂直模型】
【条件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【结论】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【典例1】AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．【变式1-1】如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交
于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【变式1-2】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上
的高，H是BE和CF的交点．求∠ABE和∠BHC的度数．
【题型02：A字模型】
图1
【条件】图1中三种情况
【结论】∠1=∠2
【证明】略
图2【结论】∠1+∠2=∠3+∠4
【证明】根据内角和定理，∠1+∠2+∠A=∠3+∠4+∠A=180°
∴∠1+∠2=∠3+∠4
图3
【结论】∠1+∠2=180°+∠A
【证明】∠1+∠2=（∠AED+∠A）+（∠ADE+∠A）=180°+∠A
【典例2】如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接
EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：AB∥DG；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数．
【变式2-1】探索归纳：（1）如图 1，已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则
∠1+∠2＝ ．
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2＝ ．
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是
．
（4）如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关
系，并说明理由．
【变式2-2】如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则
∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
【变式2-3】如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则
∠BDE+∠CED=（ ）．
A．180° B．215° C．235° D．245°
【变式2-4】如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3−∠2的度数为．
【题型03：8字模型】
【条件】AE、BD相交于点C
【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.
【典例3】（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：
∠A+∠B=∠C+∠D．
（2）如图（2），AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若
∠ABC=36°，∠ADC=16°．求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与
∠B、∠D的数量关系是______；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是______．【变式3-1】如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240° B．280° C．360° D．540°
【变式3-2】如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
【变式3-3】如图，已知AB∥CD,∠B=∠D，CD与AE相交于F．
(1)求证：AD∥BC；
(2)若∠B=50°，AE平分∠BAD，求∠DFE的度数．
【变式3-4】已知：如图，FE∥OC,AC和BD相交于点O，F是OD上一点，且
∠1=∠A．
(1)求证：AB∥DC；
(2)若∠B=30°,∠1=65°，求∠OFE的度数．【变式3-5】如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与
CD相交于点G，∠A=42°．
（1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；
（2）若∠C=38°，求∠P的度数．
【题型04：飞镖模型】
图1 图2 图3
【条件】四边形ABPC如图1所示
【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.
【典例4】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图
（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说
明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经
过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝ 5 0 °．
②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求
∠DCE的度数．
【变式4-1】一个零件的形状如图，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，检验工人量
得∠CDB＝148°，就断定这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理
由．
【变式4-2】附加题：如图，试说明：
①∠BDC＞∠A；②∠BDC＝∠B+∠C+∠A．
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
【变式4-3】如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D
＝40°，则∠C为（ ）
A．20° B．15° C．30° D．25°
【变式4-4】如图，点E在BC上，ED⊥AC于F，交BA的延长线于D，已知∠D＝30°，
∠C＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【变式4-5】如图，已知在△ABC中，∠A=40°，现将一块直角三角板放在△ABC上，
使三角板的两条直角边分别经过点B,C，直角顶点D落在△ABC的内部，则
∠ABD+∠ACD=（ ）．
A．90° B．60° C．50° D．40°
【变式4-6】如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．
【题型05：风筝模型】
【典例5】如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折
叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 ③ （只
填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
【变式5-2】如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的
位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．40° B．80° C．90° D．140°【变式5-1】将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．
（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的
数量关系？并说明理由．
（2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与
∠2之间的关系是 ．
（3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在
怎样的数量关系？并说明理由．
【题型06：两内角角平分线模型】
双内角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACB的角平分线.
1
【结论】∠P=90°+2∠A.
【典例6】如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别
是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
（1）若∠MON=60°，则∠ACG= ；（直接写出答案）
（2）若∠MON=n°，求出∠ACG的度数；（用含n的代数式表示）
（3）如图2，若∠MON=80°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量
关系．【变式6-1】如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G，若
∠BDC=140°，∠BGC=100°，则∠A=（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
【变式6-2】如图，在△ABC中，已知∠A=70°，∠ABC、∠ACB的平分线OB、OC相
交于点O，则∠BOC的度数为 ．
【变式6-3】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC+∠ACB＝130°，求∠BPC的度数．
（2）当∠A为多少度时，∠BPC＝3∠A？【题型07：两外角角平分线模型】
双外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠EBC、∠BCF的角平分线.
1
【结论】∠P=90°-2∠A.
【典例7】如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
(1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
(2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数
量关系．
(3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3
倍，求∠A的度数．
【变式7-1】如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则
∠AEC= ．【变式7-2】如图，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点O，∠A＝40°，求
∠BOC的度数．
【题型08：内外角平分线模型】
内外角平分线模型
【条件】BP、CP分别为∠ABC、∠ACE的角平分线
1
【结论】∠P=2∠A
【典例8】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+
∠A；
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何
数量关系，并证明你的结论．【变式8-1】如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，BO的延长线交外
角∠ACD的角平分线于点E．以下结论：①∠1=2∠2；②∠BOC=3∠2；③
∠BOC=90°+∠2；④∠BOC=90°+∠1．其中正确的结论有 （填序号）．
【变式8-2】如图，在△ABC中，∠A=α，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A ，得
1
∠A ；∠A BC与∠A CD的平分线相交于点A ，得A ；⋯；∠A BC与∠A CD
1 1 1 2 2 2019 2019
的平分线相交于点A ，得∠A ，则∠A = ．
2020 2020 2020
【变式8-3】【初步认识】
（1）如图1，BM平分∠ABC，CM平分外角∠ACD，若∠A=80°，则∠M=____°．
【变式探究】
（2）已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图2，∠ADC=110°，
∠BCD=120°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，则∠F=______°．
【继续探索】
（3）已知ABCD为四边形，E为边AB延长线上一点，如图3，∠ADC=α，∠BCD=β
，且α+β>180°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点F，求∠F与α、β之间的数量关系，
并说明理由；
【终极挑战】
（4）如果将（3）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，再分别作∠DAB和∠CBE的
平分线，且两平分线所在的直线交于点F，那么∠F与α、β又有怎样的数量关系？请直接
写出结论．（不用说明理由）
