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专题 11.13 三角形中的几个重要几何模型（专项练习）
一、单选题
1．如图，在由线段 组成的平面图形中， ，则 的度数为
（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，已知在 中， ，现将一块直角三角板放在 上，使三角板的两条直角边分别
经过点 ，直角顶点D落在 的内部，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（ ）
A．240° B．280° C．360° D．540°
4．如图，在 中， ， 与 的角平分线交于 ， 与 的角平分线交
于点 ，依此类推， 与 的角平分线交于点 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
5．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果为（ ）
A．90° B．360° C．180° D．无法确定
6．如图，已知BE，CF分别为△ABC的两条高，BE和CF相交于点H，若∠BAC=50°，则∠BHC为（ ）
A．115° B．120° C．125° D．130°
7．如图， ， 的角平分线交于点 ，若 ， ，则 的度数（ ）
A． B． C． D．
8．如图， 平分 ， 平分 ， 与 交于点 ，若 ， ，则
（ ）A．80° B．75° C．60° D．45°
9．如图，△ABC中，∠E=18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
10．如图，已知△ABC，O是△ABC内的一点，连接OB、OC，将∠ABO、∠ACO分别记为∠1、∠2，则
∠1、∠2、∠A、∠O四个角之间的数量关系是（ ）
A．∠1+∠0=∠A+∠2 B．∠1+∠2+∠A+∠O=180°
C．∠1+∠2+∠A+∠O=360° D．∠1+∠2+∠A=∠O
二、填空题
11．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ．
12．如图，则 的度数是 ．13．如图，若 ，则 ．
14．如图，在 中， 、 分别平分 ， ， 的延长线交外角 的角平分线于
点 ．以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确
的结论有 （填序号）．
15．如图，在 中， ， 与 的平分线交于点 ，得 ； 与 的平
分线相交于点 ，得 ； ； 与 的平分线相交于点 ，得 ，则
．
16．如图，五边形 在 处的外角分别是 分别平分 和
且相交于点P．若 ，则 ．17．如图，已知 的两条高 、 交于点 ， 的平分线与 外角 的平分线交于
点 ，若 ，则 ．
18．如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：
∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
三、解答题
19．如图所示， ，且 ，求 和 的度数．20．如图， 中，
（1）若 、 的三等分线交于点 、 ，请用 表示 、 ；
（2）若 、 的 等分线交于点 、 （ 、 依次从下到上），请用
表示 ， ．
21．如图，已知 、 的平分线相交于点 ， 过点 且 ．
（1）若 ， ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 、 的度数．
22．（1）如图所示，在 中， 分别是 和 的平分线，证明： ．（2）如图所示， 的外角平分线 和 相交于点D，证明： ．
（3）如图所示， 的内角平分线 和外角平分线 相交于点D，证明： ．
23．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“ 字形”，试说明： ．
（2）如图②， ， 分别平分 ， ，若 ， ，求 的度数．（3）如图（3），直线 平分 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、 的数量关
系是________；
（4）如图（4），直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，猜想 与 、
的数量关系是________．
24．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明： ．
（2）如图②， 分别平分 ，若 ，求 的度数．
（3）如图③，直线 平分 的外角 平分 的外角 ，若 ，
则 ________用 的代数式表示）25．（1）问题发现：
如图1，在 中， ， 和 的平分线交于 ，则 的度数是______
（2）类比探究：
如图2，在 中， 的平分线和 的外角 的角平分线交于 ，则 与 的关
系是______，并说明理由．
（3）类比延伸：
如图3，在 中， 外角 的角平分线和 的外角 的角平分线交于 ，请直接
写出 与 的关系是______．
26．【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数；
【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，
∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP= ∠CAB，∠CDP= ∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的
数量关系为： （用α、β表示∠P）；
②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．参考答案：
1．C
【分析】如图标记 ，然后利用三角形的外角性质得 ， ，
再利用 互为邻补角，即可得答案．
【详解】解：如下图标记 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
故选C．
【点拨】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补
角的意义是解答此题的关键．
2．C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明
∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°
∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴ 40°-90°=50°
故选C．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
3．A
【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一
起即可．
【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，
∴∠2+∠3=120°，
即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，
∵∠B+∠C=120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．
故选A．
【点拨】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角
分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．
4．B
【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD ，CD ，CD ，BD …BD ，CD 是角平分线，可得
1 1 2 2 n n
∠ABD +∠ACD =160×（ ）n，可求∠BCD +∠CBD 的值，再根据三角形内角和定理可求结果．
n n n n
【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∵BD 平分∠ABC，CD1平分∠ACB，
1
∴∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACD，
1 1
∵BD 平分∠ABD ，CD 平分∠ACD ，
2 1 2 1
∴∠ABD = ∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACD = ∠ACB，
2 1 2 1
同理可得∠ABD = ∠ABC，∠ACD = ∠ACB，
5 5∴∠ABD +∠ACD =160× =5°，
5 5
∴∠BCD +∠CBD =155°，
5 5
∴∠BD C=180-∠BCD -∠CBD =25°，
5 5 5
故选B．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题．
5．C
【详解】如图，连接BC，
∵∠D+∠E+∠DOE=∠BOC+∠OCB+∠BOC=180°，∠DOE=∠BOC，
∴∠D+∠E=∠OBC+∠OCB，
又∵∠A+∠ABO+∠ACO+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠A+∠ABO+∠ACO+∠D+∠E=180°．
故选：C．
6．D
【详解】∵BE为△ABC的高，∠BAC=50°，
∴∠ABE=90°-50°=40°，
∵CF为△ABC的高，
∴∠BFC=90°，
∴∠BHC=∠ABE+∠BFC=40°+90°=130°．
故选D．
7．A
【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋
∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋
∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF
＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P．法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋ ∠ACD＝∠A
＋ ∠ABD，代入计算即可．
【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，
∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D，
∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，
∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD，
∵PB、PC是角平分线
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A−∠D
∵∠A＝48°，∠D＝10°，
∴∠P＝19°．
法二：延长DC，与AB交于点E．
∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°，
∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC．
∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°，
∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°，
整理得∠ACD−∠ABD＝58°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，
∴∠P＋ ∠ACD＝∠A＋ ∠ABD，
即∠P＝48°− （∠ACD−∠ABD）＝19°．
故选A.
【点拨】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等
知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
8．C
【分析】连接 先求解 再求解 可得 再利用角平分线
的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得 的大小.
【详解】解：连接
平分 ， 平分 ，故选：
【点拨】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求
解与之相关的角的大小是解题的关键.
9．A
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠ACD=∠A+∠ABC，
∠ECD=∠E+∠EBC；由角平分线的性质，得∠ECD= （∠A+∠ABC），∠EBC= ∠ABC，利用等量代换，
即可求得∠A与∠E的关系，即可得到结论．
【详解】解：∵∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠ECD= （∠A+∠ABC）．
又∵∠ECD=∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC= （∠A+∠ABC）．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC= ∠ABC，
∴ ∠ABC+∠E= （∠A+∠ABC），
∴∠E= ∠A=18°，
∴∠A=36°．
故选A．
10．D
【分析】连接AO并延长，交BC于点D，由三角形外角的性质可知∠BOD=∠BAD+∠1，
∠COD=∠CAD+∠2，再把两式相加即可得出结论．
【详解】解：连接AO并延长，交BC于点D，∵∠BOD是△AOB的外角，∠COD是△AOC的外角，
∴∠BOD=∠BAD+∠1①，∠COD=∠CAD+∠2②，
①+②得，∠BOC=（∠BAD+∠CAD）+∠1+∠2，即∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．
故选：D．
【点拨】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解
答此题的关键．
11．900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点拨】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
12． /180度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，
，然后利用三角形的内角和定理即可得解．
【详解】解：如图，∵ 是 的外角， 是 的外角，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和．熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，
∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图
∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外
角性质．14． /
①③ ③①
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到 ， ，
，即可得出答案．
【详解】解：∵ 为外角 的平分线， 平分 ，
∴ ，
又∵ 是 的外角，
∴ ，
即 ，故①正确；
∵ 、 分别平分 ， ，
∴ ，
∴
，故④错误；
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ，故②错误、③正确；
综上，正确的有①③．
故答案为：①③．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，
以及角平分线的定义．
15．【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得 ，同理得
；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意， ， 与 的平分线交于点
∴
∵
∴
∵
∴
同理，得 ；
；
；
…
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角
平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
16．105°
【分析】根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，根据题意求出∠BCD＋∠CDE的度数，从而求出
∠PCD＋∠PDC的度数，运用三角形内角和定理即可求出∠CPD的度数．
【详解】解：∵∠A＝160°，∠B＝80°，∠E＝90°，
∴∠BCD＋∠CDE＝（5−2）×180°−160°−80°−90°＝210°，∴∠PCD＋∠PDC＝ （180°×2−210°）＝75°，
在△CPD中，∠CPD＝180°−（∠PCD＋∠PDC）＝180°−75°＝105°，
故答案为：105°．
【点拨】本题主要考查多边形内角和公式，三角形内角和定理，以及外角的平分线，根据已知条件求出
∠BCD＋∠CDE的度数是解题的关键．
17．36
【分析】首先根据三角形的外交性质求出 ，结合三角形的高的知识得到 和 之间的关系，
进而可得结果；
【详解】由图知： ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的两条高 、 交于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在四边形 中有： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：36．【点拨】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和与外角性质，准确分析计算是解题的关键．
18．36°
【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN= ×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平
分线及三角形内角和即可求得结果．
【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN= ×180°=90°，
∴∠CMB+∠CNB=180°，
又∠CMB：∠CNB=3：2，
∴∠CMB=108°，
∴ （∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠ACB+∠ABC=144°，
∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°
是关键．
19．
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进
行思考．由 ，可得 ，根据三角形外角性质可得
，可得 的度数；根据三角形内角和定理可得 ，即可得 的
度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
，
∴ ，
在 中， ．
20．(1) ， ，
(2) ，【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得 ，再由 、 的三等分
线交于点 、 ，可得 再根据三角形的
内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理可得 ，再由 、 的 等分线交于点
、 ，可得 再根据三角
形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 的三等分线交于点 、 ，
∴
∴ ，
；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ 、 的 等分线交于点 、 ，
∴
∴ ，
．
【点拨】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类
比思想解答是解题的关键．
21．（1）125° （2）60°；40°
【分析】（1）由角平分线的定义可求得∠OBC=25°，∠OCB=30°，再利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）由已知条件易求∠1，∠2的度数，根据平行线的性质即可得∠OBC，∠OCB的度数，利用角平分线的定义可求解；
【详解】解：（1）∵ 和 的平分线 与 相交于点 ，
∴ ， ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ 和 的平分线 与 相交于点 ，
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的性质等知
识点的综合运用．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）设 ．
由 的内角和为 ，得 ．①
由 的内角和为 ，得 ．②
由②得 ．③
把③代入①，得 ，
即 ，
即
（2）∵BD、CD为 ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，
△
∴由三角形内角和定理得， ，
=180°- [∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°- （∠A+180°），
=90°- ∠A；
（3）如图：
∵BD为 ABC的角平分线，交AC与点E，CD为 ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D
△ △
∴∠1=∠2，∠5= （∠A+2∠1），∠3=∠4，
在 ABE中，∠A=180°-∠1-∠3
∴∠△1+∠3=180°-∠A①
在 CDE中，∠D=180°-∠4-∠5=180°-∠3- （∠A+2∠1），
△
即2∠D=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A②，
把①代入②得∠D= ∠A．
【点拨】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题．
23．（1）见解析；（2）26°；（3） ；（4）
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°和对顶角的性质即可得证；
（2）设 ， ， 解方程即可得到答案；
（3）根据直线 平分 ， 平分 的外角 ，得到
， 从而可以得到180° ，
再根据∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D得到
即可求解；（4）连接PB，PD根据 180°， 180°得到
360°，同理得到： 360°，再根据
180°， 180°， ， ，即可求解.
【详解】解：（1） 180°， 180°，
．
，
；
（2） ， 分别平分 ， ，设 ， ，
则有 ，
，
（36°+16°）=26°
（3） 直线 平分 ， 平分 的外角 ，
， ，
∴ 180°- ，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴∴
∴180° ，
即 90° ．
（4）连接PB，PD
直线 平分 的外角 ， 平分 的外角 ，
， ，
∵ 180°， 180°
∴ 360°
同理得到： 360°
∴ 720°
∴ 720°
∵ 180°， 180°
∴ 360°，
180°-
【点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识
进行求解.
24．（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；（2）设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解．
【详解】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180゜，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）∵ 分别平分 ，
设∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，
则有 ，
∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，
∴ ；
（3）如图，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2=180°-∠1，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠ADC+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠ABC+∠4，
∴2∠P=∠ABC+∠ADC，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好“8字形”的结论，然后
列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．25．（1）110°；（2） ；（3）
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算
即可；
（2）根据三角形外角的性质得到∠ACE=∠ABC+∠A、∠PCE=∠PBC+∠BPC，根据角平分线的定义解答；
（3）根据（1）的结论然后用角分线的定义，计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ 和 的平分线交于 ，
∴ ， ，
∴
故答案为110°
（2） ，
证明：∵ 是 的外角，
是 的外角，
∴
，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）由（1）得， ，
故答案为： ．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理的应用以及角平分线的定义，掌握三角形内角和等于180°和三
角形外角性质是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P= ②∠P=
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出
∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出
2∠P=∠B+∠D，即可解决问题．
（4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题．
【详解】（1）在 AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在 CED中，∠C+△∠D+∠CED=180°．
∵∠△AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如图3：
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P= （∠B+∠D）= ×（36°+16°）=26°．
（4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P= ．
故答案为：∠P= ．
②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P= ．
故答案为：∠P= ．
【点拨】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会
用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型．
