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专题13.12 等腰三角形（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．若 是轴对称图形，中线 所在直线为其唯一的一条对称轴，则下列说法正确的是（
）
A． 的周长 B． 的周长
C． 的周长 D．以上都不对
2．如图，在 ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合） ，下列说法正确的是（ ）
△
A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC
B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC
C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°
D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°
3．如图，在 中， ， 是边 上的两点，且 ， ，设 ， ，
则 与 之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点 在 的边 上，点 在射线 上（不与点 ， 重合），连接 ， ．下列命题
中，假命题是（ ）A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
5．如图，在四边形 中， ， ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形根
据学习平行四边形性质的经验，有同学得出如下筝形的性质，你认为其中不正确的是（ ）
A．两组邻边分别相等
B．有一组对角相等
C．两条对角线相互垂直平分
D．一条对角线被另一条对角线垂直平分
6．如图，四边形ABCD中，DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC，则以下结论不正确的是（
）
A．AD＝CD B．∠B＝∠A+∠C
C．∠EDF＝∠ADE+∠CDF D．BE＝BF
7．如图， 中， ，从以下条件① ；② ；③ ；④中，选出一个条件证明 ，那么符合要求条件的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在 中， 的平分线与边 交于点 ，与外角 的平分线交于点 ，若
，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中， ， ，点E在边BC上，将△ABE沿AE翻折，点B落在AC
边上的点D处，连结DE、BD，若 ．下列结论：①AE垂直平分BD；② ；③点E是
BC的中点；④△CDB的周长比△CDE的周长大5．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在 中， ， 的度数为α．点P在边 上（点P不与点B，点C重
合），作 于点D，连接 ，取 上一点E，使得 ，连接 ， 并延长 交 于
点F之后，有 ．若记 的度数为x，则下列关于 的表达式正确的是
（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
11．若等腰三角形的腰长恰好是方程 的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的
周长为 ．
12．如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，将一个含30°的直角三角板如图放置，若AC∥DE，则∠ABD
＝ ．
13．在 中， ，D为 的中点，如图所示，E为 上一点，将 沿着直线 翻折，
点B的对应点 落在 的延长线上，分别联结 、 ， 与 交于点F．如果 ，那么
（结果用用整数比比表示）
14．将一个含 角的三角板 如图放置，其中顶点A在y轴正半轴上，顶点B在第一象限，且点B的
横、纵坐标相等，顶点 在第四象限，则点C的坐标为 ．15．如图，在 中， ， ，分别与 、 为直角边向外作等腰直角 、
，连结 交 的延长于点M，则 的长为 cm．
16．如图，坐标平面内O为原点，M为x轴正半轴上一点，且 ，P是y轴上的一个动点，如果
以点P、O、N为顶点的三角形是等腰三角形，那么这个等腰三角形顶角的度数为 ．
17．如图，在 中， ， ， ，分别以 、 为一直角边作等腰直角
、 ，连接 交 的延长线于F，则 的面积为 ．18．如图所示，在等腰 中， ，点D为射线CB上的动点， ，且 ，
与 所在的直线交于点P，若 ，则 ．
三、解答题
19．如图，已知 ，请用尺规作图法，在 边上求作一点P，使 是以 为底的等腰三角形．
（保留作图痕迹，不写作法）
20．（1）已知等腰 的周长是 ，且腰长比底边长的2倍少4，求等腰 的三边的长；
（2）已知 ， ， 是 的三个内角，且 ， ，求 三个内角
的度数.
21．如图，已知等腰 与等腰 的顶角分别是 和 ， ，请说明
．下面是解答过程，请在括号内填上相应的依据．解答过程：因为 与 是等腰三角形，
所以 ， （______）
因为 ，
所以 ，（______）
所以______，（等量代换）
在 和 中，
所以 （______）．
22．如图， 和 都是等腰三角形，且 ， ，如果点B，C，D在同一条直
线上．那么 与 有怎样的关系呢？请说明理由．
23．直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点O，点C是直线 上一点，连接 ．以 为斜边作等腰直角 ，连接 ．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2所示，点E是直线 上一点，且 ，连接 ，延长 至点F，使得 ，连
接 ．根据题意补全图2，写出线段 之间的关系，并证明．
24．定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源
角”．如图， 和 为“同源三角形”， ， ， 与 为“同源角”．
（1）如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则
______°．（3）如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取 ， 的中点
， ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
参考答案
1．B
【分析】根据轴对称的性质，得到 是以 和 为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．
【详解】解：由题意可得： 是以 和 为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故选B．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出 是等腰三角
形．
2．B
【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质逐项判定可求解．
【详解】解：A．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=∠B+∠C=90°，
∵∠BAP=∠B，
∴∠CAP=∠C，
∴AP=PC，
只有当∠B=30°时，AC=PC，故错误；
B．∵∠BAC=90°，
∴∠BAP+∠CAP=90°，
∵∠BAP=∠C，
∴∠C+∠CAP=90°，
∴∠APC=180°-（∠C+∠CAP）=90°，
即AP⊥BC，故正确；
C．∵AP⊥BC，PB=PC，
∴AP垂直平分BC，
而∠BAC不一定等于90°，故错误；
D．根据PB=PC，∠BAP=∠CAP，无法证明∠BAC=90°，故错误，
故选：B．
【点拨】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关
键．
3．C
【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义表示求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵在 中， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】此题考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和以及等腰
三角形的性质．
4．D
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质证明PD是否是BC的垂直平分线，判断即可．
【详解】因为AB=AC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则A是真命题；
因为PB=PC，且AD⊥BC，得AP是BC的垂直平分线，所以AB=AC，则B是真命题；
因为AB=AC，且∠1=∠2，得AP是BC的垂直平分线，所以PB=PC，则C是真命题；
因为PB=PC，△BCP是等腰三角形，∠1=∠2，不能判断AP是BC的垂直平分线，所以AB和AC不一定相
等，则D是假命题．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，掌握性质定理是解题的关键．
5．C
【分析】将筝形分成两个全等三角形，即可得出结论解．
【详解】解：连接AC和BD相交于点OAB＝AD，BC＝DC，AC＝AC（公共边）
ABC ADC（SSS）
ABC＝ ADC.
BAC＝ DAC
又知 ABD是等腰三角形
AC BD且OB＝OD
故：A、B、D项成立，B不成立
故选：C
【点拨】本题考查推断筝形的性质，能够掌握常见图形的基本性质，并能在理解的基础上加以分析是解出
此题的基本要求．
6．D
【分析】如图，连接BD根据中垂线的性质，进行线段和角度的转化即可求解．
【详解】证明：连接BD，
∵DE和DF恰好分别垂直平分AB和BC
∴AD=BD，CD=BD；
∴AD=CD，选项A正确，不符合题意；
∵AD=BD，CD=BD
∴∠A＝∠DBE，∠C＝∠DBC
∴∠ABC＝∠A+∠C，选项B正确，不符合题意；
又∵BD=CD,∠BFD＝∠DFC＝90°
∴∠BDF＝∠FDC
同理：∠ADE＝∠BDE
∴∠EDF＝∠ADE+∠CDF，选项C正确，不符合题意；
∵BE≠BF，选项D不正确，符合题意．
故选D．
【点拨】本题考查垂直平分线的性质．遇到中垂线，常常要将中垂线上的点与线段的两个端点连起来构造等腰三角形来解题．
7．C
【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一判断即可．
【详解】解：由 ， ，无法证明 ，故①不符合题意；
由 ， ， ，利用 即可证明 ，则 ，故②符合题意；
由 ， ， ，利用 即可证明 ，则 ，故③符合题意；
由 ， ， ，利用 即可证明 ，则 ，故④符合题
意，
综上分析可知，符合条件的个数为3个，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是
解题的关键．
8．D
【分析】由全等三角形的性质得到 ， ， ，推出 ；利用等角对等边
推出 ；利用等腰三角形的性质推出 ；据此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B选项正确，不符合题意；
∵ 是 的平分线，
∴ ，即 ，故C选项正确，不符合题意；
没有理由能证明 ，故D选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题
的关键．
9．C
【分析】根据翻折后图形大小不变，三角形的外角和，三角形周长，即可判断出正确．【详解】∵ 是 翻折而得的
∴ ，
∴ 垂直平分
故 正确；
∵ 中， ，
∴
∴
∴
∴
故 正确；
∵ 是 翻折而得的
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴ ，但
∴ 不是 的中点
故 错误；
∵
∴
故 正确．
故正确的结论的是： ．
故选：C．
【点拨】本题考查翻折的性质和三角形的知识，解题的关键是掌握翻折的性质，三角形外角和定理，三角
形周长等．
10．B
【分析】由等腰三角形的性质求出 ，由三角形外角的性质可求 ，由平角的定义即可求出 ．
【详解】∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴ ．
故选：B．
【点拨】此题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
11．6
【分析】先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长即可求解．
【详解】解：
，
∴等腰三角形的腰长为2，
又由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2，
∴这个等腰三角形的周长为 ，
故答案为：6．
【点拨】本题考查了一元一次方程，等腰三角形和三角形的三边关系，关键是熟练掌握三角形的三边关
系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
12．15°/15度
【分析】根据AC∥DE，可得∠ACB=∠E=30°，再由等腰三角形的性质，可得∠A=∠ABC=75°，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠E=30°，∠DBE=60°，∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E=30°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=75°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=15°，
故答案为：15°
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，平行线的性质
是解题的关键．
13．5:6:7
【分析】根据点B沿 折叠，对应点B落在 延长线上，得出 垂直平分 可求
，可证 ，求出 ，利用角的和差
，利用三角形内角和 即可．
【详解】解：∵点B沿 折叠，对应点B落在 延长线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ （垂直平分线性质）．
∴ ，
∴ （外角性质），
又∵D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ （三角形内角和 ），
∴ ．
故答案为： 5:6:7．
【点拨】本题考查折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和，
掌握折叠性质，线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，三角形内角和是解题关键．
14．
【分析】根据等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，求出相应的线段的长度，进而表示点
的坐标，由点 的纵、横坐标之间的关系得出答案即可．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 轴于 ， 轴于 ，过点 作 轴于 ，
点B的横、纵坐标相等，
设点 ，则 ，
是含有 角的三角板，
，
，
，
又 ，
，
在 与 中
，
，
，，
，
设 ，则 ，
点 在第四象限，
，
又 点 ，
，
，
；
故答案为： ．
【点拨】此题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关的性质与判
定是解答此题的关键．
15．2
【分析】过点E作 于H，由 得 ， ，再证明 得
即可解决问题．
【详解】解：如图，过点E作 于H，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 和 都是等腰三角形，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ （AAS），∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ （AAS）．
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等
三角形，掌握添加辅助线的方法．
16． 或 或
【分析】分两种情况：①点 在 轴正半轴上时；②点 在 轴负半轴上时．然后再根据等腰三角形的性
质与三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：分两种情况：
①点 在 轴正半轴上时，
，
，
以点P、O、N为顶点的三角形是等腰三角形，
只能是顶角，
这个等腰三角形顶角的度数为 ；
②点 在 轴负半轴上时，
，
，
以点P、O、N为顶点的三角形是等腰三角形，
当 为顶角时，这个等腰三角形顶角的度数为 ；
当 为底角时，这个等腰三角形顶角的度数为： ；
综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点拨】此题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活地进行分类讨论是解答此题的关键．17．
【分析】作 交 的延长线于点H．先证 ≌ ，推出 ， ，再
证 ≌ ，推出 ，最后利用三角形面积公式即可求出 的面积．
【详解】解：如图，作 交 的延长线于点H．
则 ，
，
是等腰直角三角形，
， ，
，
．
在 和 中，
∵ ，
≌ ,
， ．
是等腰直角三角形，
， ，
．
在 和 中，
∵ ，≌ ,
．
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积公式等，解题的关键是作
辅助线构造全等三角形．
18． /
【分析】作 ，交 的延长线于H，利用 证明 ，得 ， ，
再证明 ，得 ，从而解决问题．
【详解】解：作 ，交 的延长线于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
设 ，则 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三
角形．
19．见解析
【分析】作边 的垂直平分线l，与 交于点P即可．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质和作法，解题的关键是确定等腰三角形的底，
从而找到对应的作图步骤．
20．（1） ；（2） ， ，
【分析】(1)利用等腰三角形的性质，设出未知数，列方程组即可求解；
(2)根据已知，结合三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：（1）设等腰 的腰长为x，底边长为y，
根据题意得 ，解得 ，
∴等腰 的三边的长为 ；
解：（2）∵ ， ，∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ 的三个内角的度数为 ， ，
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
21．等腰三角形的定义；等式的性质； ；
【分析】根据等腰三角形的定义，三角形全等的判定方法，即可填空．
【详解】因为等腰 与等腰 的顶角分别是 和 ，
所以 ， （等腰三角形的定义），
因为 ，
所以 ，（等式的性质），
所以 ，（等量代换），
在 和 中，
所以
【点拨】本题考查等腰三角形的定义和三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定定理，进行求解．
22． ， ，理由见解析
【分析】求出 ，根据 证出 ，则 ，
,即可得到结论．
【详解】证明：∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵在 和 中
，∴ ，
∴ ， ,
∵ ，
∴
【点拨】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出
．
23．(1)
(2)见解析； ，
【分析】（1）先证明全等三角形，得到等角，然后直接计算角度即可；
（2）先按要求画图，然后证明两组全等三角形，即可得到边相等且平行的关系．
【详解】（1）∵直线 是线段 的垂直平分线，垂足为点O，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，连接 ，与（1）同理可得： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的性质，解题关键是通
过已知条件判定全等三角形，得到边和角的关系．
24．(1) ，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证 ，然后根据 证明 即可；
（2）由“同源三角形”的定义和 可求出 ，由（1）可知 ，
得 ，然后根据“8”子三角形即可求出 的度数；
（3）由（1）可知 ，可得 ， ．根据 证明 ，可得 ， ，进而可证结论成立．
【详解】（1） ．
理由：因为 和 是“同源三角形”，
所以 ，所以 ．
在 和 中，
所以 ．
所以 ．
（2）∵ 和 是“同源三角形”，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由（1）可知 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为：45；
（3）由（1）可知 ，
所以 ， ．
因为 ， 的中点分别为 ， ，
所以 ．
在 和 中，所以 ，
所以 ， ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ，所以 是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知
识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
