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专题14.19 因式分解（提取公因式）（分层练习）
一、单选题
1．（2023秋·上海浦东新·七年级统考期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）若 ，则常数p的值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2021秋·陕西延安·八年级校考阶段练习）多项式 的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·浙江杭州·七年级统考期末）多项式 因式分解的结果是（ ）
A． B． C．a D．
5．（2023春·浙江温州·七年级校考期末）下列变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·山东威海·八年级山东省文登第二中学校联考阶段练习）已知多项式 有一个因
式为 ，则 的值为（ ）
A． B．10 C．5 D．20
7．（2022春·广东清远·八年级校考期中）多项式 的公因式是（ ）A． B． C． D．
8．（2022春·河北石家庄·七年级校考期末）如图，边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·七年级单元测试）若 能分解成两个一次因式的积，则 的值为
（ ）
A．1 B． C． D．2
11．（2023秋·山东泰安·八年级校考阶段练习）多项式 的公因式是 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
12．（2023春·河北邯郸·八年级统考期末）将多项式 因式分解，结果为
（ ）
A． B． C． D．
二、填空题13．（2023·广东河源·统考三模）分解因式： ．
14．（2023秋·山东东营·八年级东营市东营区实验中学校考阶段练习）若 ，
则 ．
15．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）多项式 的公因式是 ．
16．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）因式分解： ．
17．（2023春·湖南常德·七年级统考期中）观察下列从左到右的变形：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
其中是因式分解的有 （填序号）．
18．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）若 ，则 的值为
．
19．（2022春·七年级单元测试） 的公因式是 ； 的
公因式是 .
20．（2023秋·上海松江·七年级校考阶段练习）分解因式： ．
21．（2023春·全国·七年级专题练习）把一个多项式化成几个 ，叫做因式分解． 因式分解和整
式乘法具有 的关系．
22．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）已知关于 的二次三项式 可分解为 ，
则 的值为 ．23．（2023春·全国·七年级专题练习）多项式 ， 与 的公因式为 ．
24．（2022秋·河北邢台·八年级邢台三中校考开学考试）如图，长和宽分别为 ， 的长方形的周长为
，面积为 ，则 的值为 ；
三、解答题
25．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分
解？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）
26．（2023春·江苏徐州·七年级统考期末）将下列各式进行因式分解
（1） （2）
27．（2023春·全国·七年级专题练习）辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因.
（1） ； （2） ；（3）
28．（2023秋·河南开封·八年级校考期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 ，则 ，
即 ，∴ ，解得 ．
故另一个因式为 ，m的值为 ．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
29．（2023秋·八年级课时练习）把下列各式分解因式：
（1） ； （2） ．
30．（2023秋·八年级课时练习）分解因式：
（1） ． （2） ．（3） ．
31．（2022秋·山西临汾·八年级统考期中）分解因式：
（1） ； （2） ．
参考答案
1．D
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
解：A．右边不是整式的积的形式，不是因式分解；
B、选项是整式的乘法，不是因式分解；
C、选项是整式的乘法，不是因式分解；
D、选项是因式分解．
故选：D．
【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键．因式分解：将一个多项式转化成
整式的积的形式．
2．A【分析】将等式右边利用多项式乘多项式运算法则展开，再使等式左右两边x的一次项系数相等即可
求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查已知因式分解结果求参数、多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式运算法
则并正确求解是解答的关键．
3．B
【分析】根据公因式的定义，找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数，直接找出每一项中
公共部分即可．
解：多项式 各项的公因式是： ．
故选：B．
【点拨】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义是解决问题的关键．
4．B
【分析】直接提取公因式x即可．
解： ，
故选：B．
【点拨】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解
常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式
都不能再分解为止．
5．D
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
解：A、 中，是整式乘法，故本选项不符合题意；
B、 不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
C、 不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；D、 ，故本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
6．A
【分析】根据多项式的次数为2以及最高次项的系数为2，设多项式 另一个因式为 ，
则 ，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可
求出 的值及 的值．
解：根据题意，设多项式 另一个因式为 ，则
，
等式右边展开，得 ，
，
， ，
解得 ， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题关键．
7．D
【分析】根据确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：定系数，即确定各项系数的最大公约
数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同
多项式因式）的指数的最低次幂找出公因式即可；
解：多项式 的公因式是 ，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了找公因式，关键是掌握找公因式的方法．
8．C
【分析】根据题意可得 ， ，再把所给式子提取公因式 ，然后代入求值即可．
解：∵边长为 ， 的长方形，它的周长为 ，面积为 ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 的值为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查因式分解的应用，长方形的周长和面积，求代数式的值，运用了整体代入的思想．
掌握因式分解是解题的关键．
9．C
【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B． ，不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C． ，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D． ，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不
符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式
是解题关键．
10．C
【分析】首先设原式 ，进而求出即可．
解：原式
故 ， ， ，
解得： ， ， 或 ， ， ，
∴ ．
故选C．
【点拨】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键．
11．A【分析】根据公因式是各项中都含有的因式，可得答案．
解： ，
故选：A．
【点拨】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
12．C
【分析】先提取公因式 ，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要
分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果．
解：
，
故选：C．
【点拨】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把 看作一个整体．
13．
【分析】利用提公因式法即可求解．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
14．
【分析】将等式右边去括号整理即可得 和 的值，计算即可．
解：
则 ，故
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查多项式的乘法，因式分解，明确题意，求得 和 的值是解此题的关键．
15． /
【分析】公因式的确定，系数：取各项系数的最大公约数；字母：取各项相同的字母；指数：取各项
相同字母的最低次数；据此即可求解．
解： 和 的最大公约数是 ，
字母因式为 ，
公因式为 ，
故答案： ．
【点拨】本题考查了公因式的定义，掌握找公因式的方法是解题的关键．
16．
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
解： ，
故答案为：
【点拨】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
17．（3）
【分析】根据因式分解的定义判断即可．
解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式（或因式分解）
（1） 不是因式分解，不符合题意；
（2） 不是因式分解，不符合题意；
（3） 是因式分解，符合题意；
（4） 是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故答案为：（3）.
【点拨】本题考查了整式的因式分解，正确理解整式的因式分解是解本题的关键．
18．【分析】利用多项式乘多项式的法则展开，然后可得 的值，整体代入计算即可．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了因式分解与整式乘法，熟知因式分解与整式乘法互为逆运算是解题的关键．
19． 3y
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即
可．
解：多项式 的系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是y，故公因式是
3y；
多项式 的系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂是 ，
故公因式是 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了公因式的定义，熟练掌握多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的
公因式是解题的关键．
20．
【分析】提公因式进行因式分解即可．
解： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了提公因式进行因式分解，解题的关键在于对知识的熟练掌握．
21． 整式的积的形式 互逆
【分析】根据因式分解的定义进行填空即可解题.
解：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解,因式分解和整式乘法具有互逆的关系．
【点拨】本题考查了因式分解的定义,因式分解和整式的乘法之间的关系,属于简单题,熟悉因式分解的
概念是解题关键.
22．9
【分析】把 展开，求出 、 的值，计算即可．
解： ，
，
， ，
，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．
23．
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）．
故答案： ．
【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的
最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千
万别忘了“﹣1”．
24．
【分析】根据长方形周长和面积的公式得到 ， ，再将 因式分解等于 ，
再代入求值即可．
解： 长方形的长和宽分别为 ， ，
， ，
， ，
，
故答案为： ．【点拨】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
25．（1）不是因式分解；（2）不是因式分解；（3）是因式分解；（4）是因式分解
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
（1）解： ，是整式的乘法，不是因式分解；
（2）解： ，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解；
（3）解： ，是因式分解；
（4）解： ，是因式分解．
【点拨】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键．
26．（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用提公因式即可求解；
（2）整理后，再利用提公因式即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
27．（1）错误，原因是另一个因式漏项了；（2）错误，原因是公因式没有提完；（3）错误，原因
是与整式乘法相混淆
【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断；
（2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母
的指数取次数最低的确定公因式为2x3，即可判断；
（3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解.解：（1）∵
∴原式错误，原因是另一个因式漏项了；
（2）∵
∴原式错误，原因是公因式没有提完；
（3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式
∴ 是整式乘法运算，不是因式，
∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆
【点拨】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和
正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键.
28． ，
【分析】设另一根因式为 ，可得 ，再建立方程组
，再解方程组即可得到答案．
解：∵二次三项式 有一个因式是 ，
∴设另一根因式为 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴另一根因式为： ．
【点拨】本题考查的是因式分解的含义，二元一次方程组的解法，熟练的利用待定系数法建立方程组
是解本题的关键．
29．（1） ；（2）
【分析】（1）直接利用提公因式法解答即可；注意首项系数为负数，需把“-”号提出来；
（2）利用提公因式法解答，注意符号的变化．
解：（1）．
（2）
．
【点拨】本题考查了多项式的因式分解，找准多项式的公因式是解题的关键．
30．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）直接提取公因式 进行分解因式即可；
（2）直接提取公因式 进行分解因式即可；
（3）直接提取公因式 进行分解因式即可．
解：（1））解：原式 ．
（2）解：原式
．
（3）解：原式
．
【点拨】本题主要考查了分解因式，熟知提公因式法分解因式是解题的关键．
31．（1） ；（2）
【分析】（1）先提取公因式m，然后再运用平方差公式分解即可；
（2）先凑出公因式 ，然后再提取公因式 即可解答．（1）解： ，
，
．
（2）解： ，
．
【点拨】本题主要考查了因式分解，正确确定公因式是解答本题的关键．
