理数含答案_2.2025数学总复习_数学高考模拟题_2023年模拟题_老高考_甘肃省张掖市23届高三上学期第一次诊断考试数学含答案

张掖市 2022-2023 学年第一学期高三年级第一次诊断考试 数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.） 1. 已知集合A{x|x2 2x30}，B {y| y 2x1}，则AB （） A. (1,) B. [1,) C. (1,3]D. (1,) 2. 若复数z满足  1i  z 3i（其中i为虚数单位），则 z  A.1 B. 2 C.2 D. 5 3. 已知直线l :2x y10，l : xay10，且l l ，点P  1,2  到直线l 的距离d （） 1 2 1 2 2 5 2 5 4 5 3 5 A. B. C. D. 5 5 5 5 1  π 4. 已知sin2 ，则cos2     3  4 1 1 1 2 A. B. C. D. 6 3 2 3 5.若函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是( ) sinx f(x)(|x|1)sinx B. f(x) A. |x|1 cosx C. f(x)(|x|1)cosx D. f(x) |x|1 3 6. 已知 a log 3 2 ，be0.1 ，clne 3 ，则 a,b,c的 大小关系是（） A abc B. acb C. cba D. cab .   7. 把函数 f(x) 2sin(2x )的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移 6 3 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递减区间为  4    5 A. [ , ] B. [,2] C. [ , ] D. [ , ] 3 3 12 3 4 4 8. 在长为10cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介 于25cm2与49cm2之间的概率为( ) 3 1 2 4 A. B. C. D. 10 5 5 5 9.已知数列a 的首项a 1，a 0，前n项和S 满足S2 S S2 S 2S S 0，则数 n 1 n n n n n1 n1 n n1 列a 的前n项和S 为( ) n n n(n1) A. B.2n1 C.2n2 1 D.2n 1 2 1 1 10. 已知函数 f  x  log (x 1)，则不等式 f  m2  的解集为（） x2 1 1 2 2 A.  1,3  B. ,1  3, C.  0,4  D. ,0  4, 11. 已知抛物线C: y2 4x的焦点为F ，过点F 的直线l与抛物线C交于P,Q两点，且    FP3FQ0，则△OPQ(O为坐标原点)的面积S等于（ ） 2 3 4 3 A. 3 B. 2 3 C. D. 3 3 12. 已知函数 f(x)满足当x0时，2f(x2) f(x)，且当x(2,0]时，f(x)|x1|1； 当x0时，f(x)log x(a 0且a1).若函数 f(x)的图象上关于原点对称的点恰好有3对， a 则a的取值范围是（ ） A. (625,) B. (4,64) C. (9,625) D. (9,64) 二、填空题（本大题 4小题，每小题 5分，共 20分．       13. 已知a,b是单位向量，且|ab|1，则|ab|__________. 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 2 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司14. 若(13x)n展开式中各项系数的和等于64,则展开式中x2的系数是________. 15. 设函数 f  x  x3ax2  a2  x．若 f  x  的图像关于原点0,0对称，则曲线 y f  x  在点  1,3  处的切线方程为______． 16. 正四面体ABCD的棱长为a，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，若截面面积最小  值为 ，则a ______． 2 三､解答题（本大题共 6小题，共 70分.） 17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosBbcosC 3acosB. （1）求cosB的值；（2）若c2，△ABC的面积为2 2，求b的值. 18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD， AD//BC,BAD90,AD2BC，M 为PD的中点． （1）证明：CM //平面PAB； （2）若△PBD是等边三角形，求二面角A-PB-M 的余弦值． 19．某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学 金（奖金额3000元）、专业二等奖学金（奖金额1500元）及专业三等奖学金（奖金额600元）， 且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图（1）是统计了该校2018年500名学生周课外 平均学习时间频率分布直方图，图（2）是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专 业奖学金的频率柱状 图. 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 3 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司n(adbc)2 K2  (ab)(cd)(ac)(bd) （1）求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数； （2）若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，完成列 联表并判断是否有99.9%的把握认为获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？ （3）若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机 变量X ，求随机变量X 的分布列和期望. 5 20.已知抛物线C:y2 2px(p1)上的点Px ,1到其焦点F的距离为 . 0 4 (1)求抛物线C的方程； (2) 点 E(t,4) 在 抛 物 线 C 上 ， 过 点 D(0,2) 的 直 线 l 与 抛 物 线 C 交 于 Ax,y ,Bx ,y y 0,y 0两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB 1 1 2 2 1 2 交于点M，N(O为坐标原点)，求证：|AM ||MN|. 1 21.已知函数 f x ax2 xlnxaR. 2 (1)若 a2 ，求函数 f x的单调区间； (2)若函数 f x在区间0,4上有两个不同的极值点，求实数a的取值范围. 22.选修4-4：坐标系与参数方程  1 x1 t   2 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为  （t为参数），在以坐标原点O为极点，x  3 y t  2 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C的极坐标方程为2 13cos2  4. （1）写出直线l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程； （2）设点M1,0.若直线l与曲线 C相交于不同的两点A,B，求 AM  BM 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 4 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司设函数 f x xa  2xa1. （1）当a0时，求不等式 f x2 x 1的解集； （2）若a0，且关于x的不等式 f x2有解，求实数a的取值范围. 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 5 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司张掖市 2022-2023 学年第一学期高三年级第一次 诊断考试 数学（理科）试卷答案 一、选择题BDCDD BABAB DC 二、填空题13、 3 14、135 15、5x y20 16、 2 1 17.答案：（1）cosB （2）b3 3 解析：（1）在△ABC中，由正弦定理及ccosBbcosC 3acosB， 得sinCcosBsinBcosC 3sinAcosB，sin(CB)3sinAcosB . 又sin(CB)sinA ，sinA3sinAcosB .A(0,π) ，sinA0 ， 1 cosB . 3 2 2 （2）角B是△ABC的内角，sinB0，sinB 1cos2B  . 3 1 1 2 2 又S  acsinB， a2 2 2 ，解得a3. △ABC 2 2 3 在 △ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 2accosBa2 c2 b2 ， 1 232 32 22 b2，解得b3. 3 3 18.答案：（1）见解析（2） 3 解析：（1）证明：如图取AD的中点N ， 连接MN 和CN ，MN //AP，AD2BC,AN BC， 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 6 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司又BC//AD， 四边形ABCN 是平行四边形， AB//CN ，又CNNM N,BAAP A，  平面CMN // 平面PAB，CM 平面MNC，CM //平面PAB； （2）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， △PBD.为等边三角形，AB AD AP，不妨设AB2， 则A(0,0,0), B(2,0,0), P(0,0,2), D(0,2,0) ，   BD(2,2,0),BP(2,0,2) ，  设平面PBD的法向量为n (x,y,z) ， 1    n BD0 2x2y0 由 1  ，得 ，令z1 ，得x1,y1， n BP0 2x2z0 1  n (1,1,1), ，易知 AD 平面 PAB ，平面 PAB 的法向量为 1  n (0,1,0)， 2 设二面角A-PB-M 的平面角为 ，由图观察可知 为锐角，   n n cos  1  2   1  3 ，二面角A-PB-M 的余弦值为 3 ． n  n 31 3 3 1 2 19．【解析】I获得三等奖学金的频率 0.0080.0160.0450.150.040.0560.01650.40.0160.00850.40.32 5000.32160,故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人. II每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型”学生有 5000.0080.0160.040.040.0560.0165440人， 其中获得一、二等奖学金学生有 500x0.0080.0160.0450.055000.040.0560.01650.250.0592 每周课外学习时间超过35小时称为“努力型”学生有5000.1260人， 其中获得一、二等奖学金学生有600.350.2536人， 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 7 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司22列联表如图所示: “非努力型”学生 “努力型”学生 总计 获得一二等奖学金学生 92 36 128 未获得一二等奖学金学生 348 24 372 总计 440 60 500 5003483692242 K2   42.36 10.83 44060128372 故有99.9%的把握认为获得一二等奖学金与学习“努力型”学生的学习时间 有关； IIIX的可能取值为0,600,1500,3000 PX 6000.32,PX 15000.198,PX 30000.058, PX 010.320.1980.0580.424 X 的分布列 X 0 600 1500 3000 P 0.424 0.32 0.198 0.058 EX 00.4246000.321500x0.19830000.058192297174663 元. 20.答案：(1)方程为y2 4x. (2)证明过程见解析. 1 解析：(1)由点Px ,1在抛物线上可得，12 2px ，解得x  . 0 0 0 2p p 1 p 5 由抛物线的定义可得|PF|x     ，整理得2p2 5p20， 0 2 2p 2 4 1 解得 p2或 p (舍去).故抛物线C的方程为y2 4x. 2 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 8 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司(2)由E(t,4)在抛物线C上可得42 4t，解得t 4，所以E(4,4)，直线OE 的方程为y x 易知Hx,y ，x,x 均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0， 1 1 1 2 设直线l的方程为ykx2(k 0)， ykx2, 联立，得 消去y，得k2x2 (4k4)x40. y2 4x, 1 44k 则(4k4)2 16k2 1632k 0，得0k  ，所以x x  ， 2 1 2 k2 4 xx  . 1 2 k2 y 由直线OE的方程为y x，得Mx,x  .易知直线OB的方程为y 2 ，故 1 1 x 2  x y  Nx, 1 2 .  1 x  2 数形结合可知，要证|AM ||MN|，即证2y  y  y ， M 1 N x y 即证 1 2  y 2x ，即证x y x y 2xx ， x 1 1 1 2 2 1 1 2 2 4 88k 即证(2k2)xx 2x x 0，则(2k2)  0，此等式显然 1 2 1 2 k2 k2 成立， 所以|AM ||MN|.  1 1  21.答案：(1) f x的单调递增区间 0,  ， f x的单调递减区间  ,  2 2  3 1 (2) a 16 4 1 2x1x1 解析：(1)a2，x0,， fx2x1  x x 1  1 令 fx0解得0 x ，所以x0,  ， fx0，故 f x的单调递 2  2 增； 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 9 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司1  x , ， fx0，故 f x的单调递减； 2   1 1  综上， f x的单调递增区间 0,  ， f x的单调递减区间  , ；  2 2  1 ax2 x1 (2)由题意：x0,， fxax1  ， x x 所以 fx0在x0,4上有两个不同根，故ax2 x10在x0,4上 有两个不同根， x1 x1 即 a 在 x0,4上有两个不同根，设 gx ， x0,4， x2 x2 2x gx ， x3 所以x0,2，gx0，gx单调递增：x2,4，gx0，gx单 调递减； 3 1 所以g4ag2即 a . 16 4 y2 22、答案： （1） 3x y 30 ， x2  1 16 4 （2） 7 解析：（1）由直线l的参数方程消去参数t ，得直线l的普通方程为 ， 3x y 30 又将曲线 C的极坐标方程化为2 32cos24 ，曲线 C的直角坐标方程 y2 为 x2  1. 4 y2  1  2  3  2 (2)将直线l的参数方程代入 x2  1 中，得 41 t   t  4 ，得 4  2   2  7t2 16t 0 16 此方程的两根为直线l与曲线 C的交点A,B对应的参数 t ， t ，得 t  ， 1 2 1 7 t 0， 2 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 10 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司16 由直线参数的几何意义，知 AM  BM  t  t  1 2 7 23.答案：（1）2,0 （2）0a1 解析：（1）由题意知， f x x  2x1 2 x 1，即 2x1 x 1. 1 1 1 当 x 时 ， 2x1x1 . 解 得 2x . 当  x0 时 ， 2 2 2 1 2x1x1.解得 x0. 2 当x0时，2x1x1.无解.综上所述，不等式的解集为2,0 . （2）由题意知，a0， f x xa  2xa1 2有解. a1 a1 当 x 时，3x12 .解得 x1.此时有解，则 1.解得 2 2 a1. a1 当   xa 时 ， x2a12 . 解 得 x12a . 此 时 有 解 ， 则 2 a1  12a.解得a1. 2 1 1 当xa时，3x12.解得x .此时有解，则a .综上所述，实数a的 3 3 取值范围为0a1. 张掖市高三年级第一次诊断考试数学（理科）试卷· 第 11 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司