文档内容
秘籍 03 二项式定理归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 二项展开式与指定项系数
二项式定理消失了几年，作为新高考之后的模拟考中的常客是今年高考的热门，而且难度不大，题型
也相对较少，所以算是高考中必须要拿到的分数，至于二项展开式思想的应用也完全可以和数列等知识结
合考察，要明白其中的道理。
【题型一】 指定项系数问题
基本规律
二项展开式的通项公式 .可以求解某一项，也可求解某一项的系数）
1. 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 的展开式中,通项公式： ，
令10−r=7，解得r=3.
∴x7的系数为 ,
故选：C.
2.． 的展开式中 的系数为_____．
【答案】-20
详解：由二项式定理可知，展开式的通项为
，要求解 的展开式中含 的项，则 ，
所求系数为 ．
3.二项式 的展开式的常数项为第（ ）项
A．17 B．18 C．19 D．20
【答案】C
试题分析：由二项式定理可知 ,展开式的常数项是使
的项,解得 为第19项,答案选C.
1．（2023·福建福州·统考二模）若二项式 展开式中存在常数项，则正整数n可以是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】二项式 展开式的通项为 ，
令 ，解得： ，又因为 且 为整数，所以 为 的倍数，
所以 ，
故选： .
2．（2023·广西·校联考模拟预测）二项式 的展开式中含 的项的系数为（ ）
A．-60 B．60 C．30 D．-30
【答案】B
【详解】 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，故所求系数为 .
故选：B.
3．（2023·北京西城·统考一模）在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设 的通项 ，则 ，化简得 ，
令 ，则 的系数为 ，即A正确.
故选：A
【题型二】 因式相乘型
基本规律
因式相乘型，可以采取乘法分配律，变为两式相加型再转而求对应通项系数
1. 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．28 D．56
【答案】B
【详解】由题知 ,
展开式的通项公式为 ，
将含 项记为 ,则 ,
故含 项的系数为 ，
故选：B2.在 的展开式中常数项为（ ）
A．14 B．－14 C．6 D．－6
【答案】D
【详解】由二项式定理得 ，
所以所求常数项为 ．
故选：D．
3. 的展开式中的 系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
【答案】A
【详解】 展开式的通项公式为 ，
当 时， ，此时只需乘以第一个因式 中的 即可，得到 ；
当 时， ，此时只需乘以第一个因式 中的 即可，得到
；
据此可得： 的系数为 .故选：A.
1．（2023·山西太原·统考一模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．9 B．10 C．24 D．25
【答案】B
【详解】 的通项 ，
令 ， ，令 ， ，令 ， ，
展开式中 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数为10.
故选：B2．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．85 B．5 C．-5 D．-85
【答案】A
【详解】 的展开式的通项为 ，
则 ， ，
从而 的展开式中 的系数为 ．
故选：A．
3．（2023·贵州·统考模拟预测） 展开式中的常数项为（ ）
A．13 B．17 C．18 D．22
【答案】B
【详解】 的展开式中的常数项为 .
故选：B.
【题型三】 二项式给通项求 n 或参数
基本规律
利用二项展开式通信公式，待定系数法可求得。注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情况。
1.若 的展开式中第 项为常数项，则 ______.
【答案】
【详解】解： 的展开式中第 项为，再根据它为常数项，
可得 ，求得 ，故答案为： .
2.若 展开式中含 项的系数等于含x项的系数的8倍，则n等于（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【详解】 ，
所以 ，解得 （负值舍去）．故选：A．
3.若 的展开式中存在常数项，则 可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 展开式的第 项
令 则 （ ）
所以 为偶数。故选：A
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若 的展开式中 的系数为40，则k＝（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，且 的系数为40，
所以 ，即 ，
解得 .
故选：C
2．（2023·江苏南通·二模）已知 的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（ ）
A．60 B．80 C． D．
【答案】B【详解】当 时， ，解得 ，
则 的展开式第 项 ，
令 ，解得 ，所以 ，
故选：B
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知 展开式的常数项为76，则
（ ）
A．1 B．61 C．2 D．
【答案】A
【详解】因为 ，
所以
，
的展开式的通项为 ， ，
当 时为常数项，常数项为 ，
的展开式的通项为 ， ，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为 ， ，
展开式没有常数项，的展开式的通项为 ， ，
当 时为常数项，常数项为 ，
的展开式的通项为 ， ，
展开式没有常数项，
的展开式没有常数项，
又 为常数，
所以常数项为 ，
所以 ，又 ，
解得 ．
故选：A.
【题型四】 因式相乘型给通项求参数
1.若 的展开式中 的系数为75，则 （ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【答案】A
【详解】 的展开式的通项公式为 ，所以 的展开式中 的系数为
，由题知， ，解得 ．
故选：A.
2.关于二项式 ，若展开式中含 的项的系数为 ，则 （ ）A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】C
【详解】由题意得 的系数为 ，解得 ，
故选：C.
3.已知 的展开式中 的系数为40，则 的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【详解】由题意可得 ，
在 的展开式中，由 ，
令 无解，即 的展开式没有 项；
在 的展开式中，由 ，
令 解得 ，即 的展开式中 的项的系数为 ，又 的系数
为40，所以 ，解得 .
故选：B
1．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中含有常数项，则 的值及展开式中的常数项分
别为（ ）
A．3， B．4， C．3， D．4，
【答案】A
【详解】 的展开式的通项为 ，
因为 ．
令 ，得 ，与 矛盾，舍去．
因为 ．令 ，得 ，此时 ，
所以 ，常数项为 ．
故选：A．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模） 的展开式中，含 项的系数为 ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】 的展开式的通项公式为 ，令 ，可得 ；
所以含 项的系数为 ，即 ，解得 .
故选：C.
3．（2022·全国·模拟预测）在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由二项式定理可知：展开式各项的表达式为： ，
其中 ， ， ；
令 得： ， 或 ，
含 的项的系数为 .
故选：D.
【题型五】二项展开式赋值法常见的通法是通过赋值使得多项式中的 变为 和 ，在本题中要使 即给等式中的 赋值 ，
求出展开式的常数项 ；
1.若(x－2)5＝a x5＋a x4＋a x3＋a x2＋a x＋a ，则a ＋a ＋a ＝( )．
5 4 3 2 1 0 1 3 5
A．1 B．－1
C．121 D．106
【答案】C
【详解】
解：
令 得 ①
令 得 ②
①减②得
故选：
2.若 的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。
【答案】5
【详解】
令 得：
令 得：
奇数项的系数和为： ，解得：
本题正确结果：
3.设 ，若 ，
则实数 ________.
【答案】
【详解】两边分别求导：
取
故答案为
1．（2023·北京海淀·统考一模）若 ，则 （ ）
A． B．1 C．15 D．16
【答案】C
【详解】因为 ，
令 得， ，
令 得， ，
所以， ．
故选：C.
2．（2023·北京朝阳·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】 展开式第 项 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
故选：A.
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【答案】B
【详解】因为 ，
展开式第 项 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
即 .
故选：B
【题型六】二项展开式赋值法
常见的通法是通过赋值使得多项式中的 变为 和 ，在本题中要使 即给等式中的 赋值 ，
求出展开式的常数项 ；
1.若(x－2)5＝a x5＋a x4＋a x3＋a x2＋a x＋a ，则a ＋a ＋a ＝( )．
5 4 3 2 1 0 1 3 5
A．1 B．－1
C．121 D．106
【答案】C
【详解】
解：
令 得 ①
令 得 ②①减②得
故选：
2.若 的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。
【答案】5
【详解】
令 得：
令 得：
奇数项的系数和为： ，解得：
本题正确结果：
3.设 ，若 ，
则实数 ________.
【答案】
【详解】
两边分别求导：
取
故答案为
1．（2023·北京海淀·统考一模）若 ，则 （ ）
A． B．1 C．15 D．16
【答案】C【详解】因为 ，
令 得， ，
令 得， ，
所以， ．
故选：C.
2．（2023·北京朝阳·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】 展开式第 项 ，
∵ ，∴ ，
∴ .
故选：A.
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知 ，
则 的值为（ ）
A．10 B． C．30 D．
【答案】B
【详解】因为 ，
展开式第 项 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，即 .
故选：B
【题型七】换元型
1.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则 ，
又 展开式通项为： ， .
故选：C.
2.对任意实数x，有 则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由 ，
当 时， ， ，A选项错误；
当 时， ，即 ，C选项正确；
当 时， ，即 ，D选项正确；
，由二项式定理， ，B选项正确.
故选：BCD
3.若多项式 ，则 （ ）
A．9 B．10 C．-9 D．-10
【答案】D
，，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1
故选D.
1．（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以
推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：
对于任意实数 ，
当 比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得： ，并且 的值越小，所得
结果就越接近真实数据.用这个方法计算 的近似值，可以这样操作：
.
用这样的方法，估计 的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930
【答案】B
【详解】 .
故选：B.
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）若 是9的倍数，则自然数n
为（ ）
A．4的倍数 B．3的倍数 C．奇数 D．偶数
【答案】C
【详解】因为
，又 是9的倍数，
∴ 为偶数，即 为奇数．
故选：C.
3．（2023·全国·模拟预测）若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，
所以 ，
所以 .
故选：D.
【题型八】三项展开式
三项展开式的通项公式：
1.下列各式中，不是 的展开式中的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 表示4个因式 的乘积，在这4个因式中，有一个因式选 ，其余的3个因
式选 ，所得的项为 ，所以 是 的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式选 ，其余的2个因式选 ，所得的项为 ，所以 是
的展开式中的项，在这4个因式中，有1个因式选 ，剩下的3个因式选 ，所得的项为
，所以 是 的展开式中的项，在这4个因式中，有2个因式
选 ，其余的2个因式中有一个选 ，剩下的一个因式选 ，所得的项为
，所以 不是 的展开式中的项.
故选:D.
2.． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
【答案】A
【详解】解：设 的通项为 ，
设 的通项为 ，
令
所以 的系数为 .
故选：A
3. 展开式中 的系数是___________.
【答案】
【详解】 的展开式中，含有 的项为：
，
所以 展开式中 的系数是 .
故答案为：
1．（2023·全国·模拟预测）已知 的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含 项的系数为（ ）
A．－36 B．－18 C．18 D．36
【答案】B
【详解】令 ，则 ，解得 ，
的展开式中含 项为
，
所以展开式中含 项的系数为 .
故选：B
2．（2023·浙江嘉兴·统考二模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．-60 B．240 C．-360 D．720
【答案】D
【详解】展开式中的 项可以看成6个因式 中，
其中3个取 ，剩下的3个因式中2个取 ，最后一个取 ，
即得到 .
所以展开式中 项的系数为 .
故选：D.
3．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B．15 C．120 D．30
【答案】A
【详解】方法1： 可以看作6个 相乘，从中选2个y，有 种选法；再从剩余的4
个括号中选出3个x，最后一个括号选出 ，有 种选法；所以 的系数为 ．方法2：因为 ，所以其展开式的通项公式为 ，
令 ，得 展开式的通项公式为 ，再令 ，得 ，
所以 的系数为 ．
故选：A.
高考模拟练习
1．（2023·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A．9 B．-9 C．10 D．-10
【答案】B
【详解】由于 ，
所以 的展开式中 的系数是 展开式中 的系数和 的系数和， 的展开
式中第 项为 ，
分别令 和 ，得到 的展开式中 的系数 和 的系数 ，
因此 的展开式中 的系数是 .
故选：B.
2．（2023·河南安阳·统考二模） 的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【答案】D
【详解】该二项式的通项公式为 ，
由 ，可得 ．因为 ，所以展开式中各项系数的最大值为 ．
故选：D
3．（2023·吉林长春·校联考一模）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算
法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成
就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问
题，如开方、数列等.
我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.
；
若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列 ，则关于数列 叙述正确的是（ ）
A． B．
C．数列 的前n项和为 D．数列 的前n项和为
【答案】A
【详解】 .
对选项A： ，正确；
对选项B： ，错误；对选项C：当 时， ，错误；
对选项D：当 时， ，错误；
故选：A
4．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式 的展开式中只有第3项的二项式系数
最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A．32 B． C．16 D．
【答案】B
【详解】∵ 的展开式共有 项，只有第3项的二项式系数最大，
∴ ，
∴ ，
∴ 的第 项为 ，（ ），
∴令 ，解得： ，
∴ ，即：展开式中 项的系数为 .
故选：B.
5．（2023·浙江温州·统考二模） 展开式中二项式系数最大的是 ，则 不可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【详解】当 时， 是最大的二项式系数，符合要求，
当 时， 是最大的二项式系数，符合要求，
当 时， 是最大的二项式系数，符合要求，当 时，显然 ，不满足，
故选：A．
6．（2023·内蒙古赤峰·校联考模拟预测）已知 的展开式中只有第4项的二项式系数
最大，且 项的系数为 ，则 的值为（ ）
A．40 B． C． D．12
【答案】C
【详解】由只有第4项的二项式系数最大可知 ，则 项为 ，
即
故选：C
7．（2023·四川南充·统考二模）在二项式 的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中
所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为 ，
所以 .
则 即 ，通项公式为 ，
故展开式共有9项，当 时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有 种,故有理项都互不相邻的概率为 ,
故选：C
8．（2023·安徽宿州·统考一模）设 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【详解】由题可知， ，所以 ；
同理可得 ；
由 可得 ，即 ，
所以 ，即 ，
解得 .
故选：D
9．（2023·重庆·统考二模）设 ， 其中 是自然对数的底数 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】记 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以在 上 ，
所以 ，
又 单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
而由二项式定理得：，
对于a、c，由 ， ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 .
综上所述： .
故选：C.
10．（2023·山西·统考模拟预测） 除以5的余数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意可知，
，
由此可知 除以5的余数，即为 除以 的余数，故所求余数为 .
故选：D.
