文档内容
第 01 讲 函数的概念及其表示(精讲+精
练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的概念
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域；②抽象函数定义域
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）②换元法求解析式（换元必换范
围）
③待定系数法；④方程组消去法
高频考点四：分段函数
①分段函数求值②已知分段函数的值求参数
③分段函数求值域（最值）
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域；②分式型函数求值域
③根式型函数求值域；④根据值域求参数
⑤根据函数值域求定义域
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 01 讲 函数的概念及其表示（精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的概念
设 、 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在
集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合 到集合 的一个函数，记作
， .
其中： 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域
与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量 ， 之间的关 就是把 ， 之间的关系绘
就是将变量 ， 的取值列
系用一个关系式 来 制成图象，图象上每个点的
成表格，由表格直接反映出
表示，通过关系式可以由 坐标就是相应的变量 ，
两者的关系.
的值求出 的值. 的值.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4) 的定义域是 .
(5) ( 且 )， ， 的定义域均为 .
(6) ( 且 )的定义域为 .
(7) 的定义域为 .
5.2函数求值域（1）分离常数法：
将形如 ( )的函数分离常数，变形过程为：
，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：
如：函数 ，可以令 ，得到 ，函数
可以化为 ( )，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，
求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数 和 是相同的函数( )
【答案】错误
函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
∴函数 和 不是相同的函数.
故答案为：错误
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数 的定义域是
( )
【答案】错误
=由 ，解得 且 ，使用函数 的定义域是： ，
故答案为：错误
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知 则 .( )
【答案】错误∵ ，
∴ ，
故答案为：错误.
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）函数 的定义域为 .( )
【答案】正确
解：由 ，
则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：错误.
二、单选题
1．（2022·宁夏·青铜峡市高级中学高二学业考试）如图，可以表示函数 的图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
根据函数的定义，对于一个 ，只能有唯一的 与之对应，只有D满足要求
故选：D
2．（2022·全国·高一阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C要使函数 有意义，则有 ，解得 且 ，所以其定义域为
．
故选：C.
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
对于A， ，对应法则不同，故不是同一函数；
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不相同，
故不是同一函数；
对于C， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故是同一函数；
对于D， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数.
故选：C．
4．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））设函数 ，若
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
解： ， ．
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数的概念
1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 有1个交点，
故选：B.
2．（2022·湖南·高一课时练习）设集合 ， ，那么下列四个图形中，能表
示集合 到集合 的函数关系的有（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【答案】C
由题意，函数的定义域为 ，
对于①中，函数的定义域不是集合 ，所以不能构成集合 到集合 的函数关系；
对于②中，函数的定义域为集合 ，值域为集合 ，所以可以构成集合 到集合 的函数关系；
对于③中，函数的定义域为集合 ，值域为集合 ，所以可以构成集合 到集合 的函数关系；
对于④中，根据函数的定义，集合 中的元素在集合 中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不
正确.
故选：C
3．（2022·江西赣州·高一期末）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为 ，截面
半径为 （ ， 为常量），油面高度为 ，油面宽度为 ，油量为 （ ， ， 为变量），则下列说法错
误的（ ）
A． 是 的函数 B． 是 的函数
C． 是 的函数 D． 是 的函数
【答案】B
根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，
A：由于v确定，故h确定，w就确定，符合函数的定义，故A正确；
B：由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，
故与函数的定义相矛盾，不是函数，故B错误；C：由于v确定，故h确定，符合函数的定义，故C正确；
D：由于h确定，故v确定，符合函数的定义，故D正确.
故选：B.
4．（2022·江苏泰州·高一期末）若函数 和 ．分别由下表给出：
0 1
1 0
1 2 3
0 1
则不等式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
当 时，有 成立，故 是不等式 的解；
当 时，有 不成立，故 不是不等式 的解；
当 时，有 成立，故 是不等式 的解.
综上：可知不等式 的解集为 .
故选：C
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域
1．（2022·广东汕尾·高一期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由 可得 又因为 ，所以 的定义域为
故选：C
2．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B要使函数有意义，则有 解得 且 .
所以函数 的定义域为 .
故选：B
3．（2022·广东潮州·高一期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：由 ，得 且 ，
所以函数 的定义域为 ，
故选：B.
②抽象函数定义域
1．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y＝f（x＋1）定义域是[－2，3]，则y＝f（x－2）
的定义域是（ ）
A．[1，6] B．[－1，4] C．[－3，2] D．[－2，3]
【答案】A
由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，
∴－1≤x－2≤4，得1≤x≤6，
即y＝f（x－2）的定义域为[1，6]；
故选：A.
2．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数 的定义域为[1，10]，则 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题意可知，函数 的定义域为[1，10]，则函数 成立需要满足
，解得 .
故选：B.3．（2022·全国·高一）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：由题意得： ，解得 ，
由 解得 ，
故函数的定义域是 .
故选：D
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）
1．（2022·全国·高一）已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
因为 ，所以 .
故选:B
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 = ，则 的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由 =
所以
故选：A
②换元法求解析式（换元必换范围）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
令 ，则 ，
据此可得： ，
所以 的解析式为 .
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ，那么 等于（ ）
A．8 B．3 C．1 D．30
【答案】A
由于 ，
令 ，得 ，
则 ，
当 时，，
故选：A.
③待定系数法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是一次函数，且 ，则 的解析式为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
设 ，则 ，
即 对任意的 恒成立，
所以 ，解得： 或 ，
所以 的解析式为 或 ，
故选：A
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f
（x）的解析式为___________.
【答案】
根据顶点为（-2，3），设 ，
由f（x）过点（-3，2），得
解得a=-1，
所以
故答案为：
④方程组消去法
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．
【答案】D由 ，可得 ，
联立两式可得 ，代入 可得 .
故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
∵ ，①，∴ ，②，
由①②联立解得 ．
故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 满足 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
把 ①中的 换成 ，得 ②
由① ②得 .
故选：D
高频考点四：分段函数
①分段函数求值
1．（2022·甘肃张掖·高一期末）已知 ，则 为（ ）
A． B．2 C．3 D． 或3
【答案】C因为 ，
所以 ．
故选：C
2．（2022·安徽阜阳·高一期中）函数 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
.
故选：D.
3．（2022·河南·高一阶段练习）若 是奇函数，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】B
依题意得： ．
故选：B
4．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）设 ，则 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
，
故 ，
故选：C
②已知分段函数的值求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）函数 ，若 ，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
【答案】C
当 时，令 ，与 矛盾，不合题意；当 时，令 ，取 ，符合题意，
故选：C
2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2或 C． 或2 D． 或
【答案】C
当 时，此时 ，即令 ，得 ，满足；
当 时，此时 ，即令 ，得 ，因为 ，所以 。
综上所述， 或 .
故选：C.
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知 若 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
作出函数 的图像， 在 , 上分别单调递增.
由 ，
若 ，即 ，此时 ，
所以 ，即 ，解得 或 （不满足 ，舍去）
此时 满足题意，则
若 ，此时不存在满足条件的
故选：B
4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数 ，且 ，则
（ ）
A．26 B．16 C．－16 D．－26【答案】A
由题意得
当 时， ，方程无解，
当 时， ，解得 ，
所以 ，
故选：A
③分段函数求值域（最值）
1．（2022·全国·高三专题练习） ，若 是 的最小值，则 的取值范围为
（ ）.
A．[ 1，2] B．[ 1，0] C．[1，2] D．
【答案】D
由于当 时， 在 时取得最小值 ，
因为 是 的最小值，
所以当 时， 是递减的，则 ，此时最小值为 ，
因此 ，解得 ，
故选：D．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数 的值域为 ，那么实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
函数 ，而函数 是增函数，当 时， ，则当 时，函数
值域为 ，
因函数 的值域为 ，因此，在当 时，函数 取尽一切负数，
当 ，即 时， ，不符合题意，当 时， ，也不符合题意，当
时， 为增函数，由 可得 ，
则需 ，解得 ，所以实数 的取值范围是： .
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
∵ ，又函数 的值域为R，
则 ，解得 ．
故选：C．
4．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数
(1)求 ， 的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
【答案】(1) ， ；(2)作图见解析；(3) ；
(1)
由解析式知： ， .(2)
由解析式可得：
0 1 2
0 0 1 0
∴ 的图象如下：
(3)
由（2）知： 的值域为 .
5．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数f(x)＝ 求f(x)的最大值、最小值．
【答案】最大值为1，最小值为0.
作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1.当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，
故f(x)的最大值为1，最小值为0.
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（理））函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大
值、最小值分别是（ ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
【答案】B
因为y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，且x∈[－2，3]，
所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－2时，ymax＝(－2－1)2＋1＝10.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
为开口方向向上，对称轴为 的二次函数
令 ，解得： ，
即实数 的取值范围为
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域都是 ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】B
因为函数 在 上为增函数，且定义域和值域都是 ，
所以 ， ，解得 或 （舍），
故选：B
②分式型函数求值域
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数 的值域（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
解：依题意， ，其中 的值域为
，故函数 的值域为 ，故选D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解：
又
，所以函数 的值域为
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当 时， ；
当 时， ，当且仅当 时，等号成立；
当 时， ，且 ，
当且仅当 时，等号成立.
综上所述，函数 的值域为 .
故选：D.4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为
A． B． C． D．
【答案】C
解：令 ， ，
令 ，则 ，
原函数化为 ，
该函数在 上为减函数，在 上为增函数，
又当 时， ，当 时， ，当 时， .
∴函数 的值域为 ，
则函数 的值域为 .
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________________．
【答案】
定义域为 ，
当 时， ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 ，
当 时， ，
当且仅当 即 时等号成立，所以 ，
所以函数 的值域为 ，
故答案为： .
③根式型函数求值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
解：令 ，
当 时， ，又 ，
所以 ， ，即
所以 ，
故选：D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
函数 的定义域为： ，
设 ，所以有 ，
因为 ，所以函数 的最小值为： ，即 ，
所以函数 的值域是 ，
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
解：令 ，则 ，
原函数即为： ，
对称轴方程为 ，可知 ，
函数值域为 ．
故选：C．
4．（2022·全国·高二）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由题意函数 ，所以函数 可以表示为 轴上的点 到点 和 的距离之和，
当三点成一条直线时距离之和最小，
所以 ，
故选：B．
④根据值域求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，求a的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】A
当 时， 的值域为 ，符合题意；
当 时，要使 的值域为 ，则使 .
综上， .
故答案选A
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，
当 时， ；当 或 时， .
因此当 时，函数 在区间 上的最小值为 ，
最大值为 ，所以，实数 的取值范围是 .
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
时， ，
又 的值域为 ，则 时， 的值域包含 ，
，解得： .
故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
函数 在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，
时 时 ，
函数 的部分图象及在 上的的图象如图所示.
所以为使函数 在 上的值域为 ，实数m的取值范围是 ，
故选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值
为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
解：由题意知 ， ， ， ，∴ ，当且仅当 ，即 ， 时取等号.
故选 ：D.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若对任意 ，总
存在 ，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
解：∵函数 的图象是开口向上的抛物线，且关于直线 对称
∴ 时， 的最小值为 ，最大值为 ，
可得 值域为
又∵ ， ，
∴ 为单调增函数， 值域为
即
∵ ， ，使得 ，
∴
故选：D.
⑤根据函数值域求定义域
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，
5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ）
A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1）
【答案】D
画出 的图象如图所示：由图可知： ， ，
根据选项可知：当 的定义域为 ，值域为 时，
的可能值为 ， ， ，所以D错误.
故选：D.
2．（2021·江苏·高一专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数
为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个
【答案】C
值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，
－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况.
故选：C．
3．（2021·江西省泰和中学高二开学考试（理））定义区间 的长度为 ，已知函数
的定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】A
若函数 单调，则 的长度最小，若函数单调递增，
，此时区间长度是1，若函数单调递减，
则 ，此时区间长度是1，所以区间 的长度的最小值是1，
若函数在区间 不单调，值域又是 ，则区间的最大值 ，
此时区间长度是 ，则区间 的长度的最大值和最小值的差是 .故选：A.
4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域为______.
【答案】 ##
由函数 的值域为 ，可得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·山东·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】A
由函数解析式有意义可得
且
所以函数的定义域是 且 ，
故选：A.
2．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
由题知： ，解得 且 .
所以函数定义域为 .
故选：B3．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 ___________.
【答案】2
，故 ，
故答案为：2.
4．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；（2）
（1）函数 的图象如图所示：
（2） ，
当 时， ，可得： ，
当 ， ，可得： ，
所以 的解集为： ，
所以 的取值范围为 .
5．（2020·山东·高考真题）已知函数 .（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
解：（1）因为 ，
所以 ，因为 ，
所以 .
（2）因为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
第五部分：第 01 讲 函数的概念及其表示（精练）
一、单选题
1．（2022·全国·高一）已知 ， ，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的
函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：A是函数图象，其值域为 ，与已知函数的值域为 不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为 ，值域为 ，故符合题意；
C是函数图象，值域为 ，与已知函数的值域为 不符，故不符合题意；D是函数图象，值域为 ，故不符合题意.
故选：B
2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
解：对于A，两个函数的定义域都是 ，
，对应关系完全一致，
所以两函数是相同函数，故A符合题意；
对于B，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
故两函数不是相同函数，故B不符题意；
对于C，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
故两函数不是相同函数，故C不符题意；
对于D，函数 的定义域为 ，
函数 的定义域为 ，
故两函数不是相同函数，故D不符题意.
故选：A.
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
由题意， 且 ，所以函数的定义域为 .
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则 的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
f（ 1）＝x+ ，
设 t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+ ﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选： .
5．（2022·四川成都·二模（文））已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
.
故选：A.
6．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
∵函数 在 上单调递减，∴ ，解得 ，实数 的取值范围是 .
故选：A.
7．（2022·全国·高一期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每 人推选一名代表，当班人数除以 的
余数大于 时，再增选一名代表，则各班推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （
表示不大于 的最大整数，如 ， ）可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
设班级人数的个位数字为 ，令 ，（ ），当 时， ，当 时， ，
综上，函数关系式为 .
故选：B.
8．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（理））设集合 ，函数 ，若
，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．（ ， ）
C． D．（ ，1]
【答案】B
，则 ，
∵ ，解得 ，又 ．
故选：B.
二、填空题
9．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数 若 ，则a的值为______．
【答案】
解：因为 ，所以 ，所以
，解得 ．
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，
出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 毫克/立方米时，顾客方可进
入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 （毫克/立方米）与时间 （分钟）之间的函数关系
为 （ 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开
始喷洒药物的时间最迟是______【答案】
根据函数的图象，可得函数的图象过点 ，
代入函数的解析式，可得 ，解得 ，所以 ，
令 ，可得 或 ，
解得 或 ，
所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是 .
故答案为：9:30.
11．（2022·河南开封·高一期末）已知函数 ， ，对 ，用 表示 ，
中的较大者，记为 ，则 的最小值为______.
【答案】
如图，在同一直角坐标系中分别作出函数 和 的图象，
因为对 ， ，故函数 的图象如图所示：由图可知，当 时，函数 取得最小值 .
故答案为： .
12．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）已知函数 若 是函数 的最
小值，则实数a的取值范围为______．
【答案】
要使 是函数 的最小值，
则当 时，函数 应为减函数，
那么此时 图象的对称轴应位于y轴上或y轴右侧，即
当 时， ，当且仅当x=1时取等号，
则 ，解得 ，
所以 ，
故答案为： .
三、解答题
13．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）
与时间 （单位：小时）的关系 满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当
时，曲线是二次函数图象的一部分；当 时，曲线是函数 （
且 ）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求函数 的解析式；
(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
【答案】(1)
(2)当天在 这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析
(1)
当 时，
，将 代入得 ，
∵ 时， ，
∴由 的图象是一条连续曲线可知，点 在 的图象上，当 时，
设 ，将 代入得 ，
∴ ．
(2)
由题意可知，空气属于污染状态时 ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，∴ ，
∴当天在 这个时间段，该城市的空气处于污染状态．
14．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数(1)求 的值；
(2)对函数 ，若存在点 ，使得 ，求实数 的值．
【答案】(1) (2) 或
(1)
解：由 ，
得 ，
所以
(2)
解：由 ，
当 时，则 ，解得 （舍去），
当 时，则 ，解得 ，
当 时，则 恒成立，
综上所述，实数 的值为 或 .
15．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数 ，
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(1)
的图象开口向上，对称轴为 ，所以函数 在 上单调递减.因为函数 在区间
上存在零点，所以 ，解得 ，即实数a的取值范围为 .
(2)
记函数 ， 的值域为集合A， ， 的值域为集合B.则对任
意的 ，总存在 ，使得 成立 .因为 的图象开口向上，对称轴为 ，所以当 ，
，得 .
当 时， 的值域为 ，显然不满足题意；
当 时， 的值域为 ，因为 ，所以 ，解得 ；
当 时， 的值域为 ，因为 ，所以 ，解得 .
综上，实数a的取值范围为
